equações diferenciais e engenharia de segurança no trabalho - algumas aplicações básicas...

Equações Diferenciais e Equações Diferenciais e Engenharia de Segurança no Engenharia de Segurança no

Trabalho - Algumas Trabalho - Algumas Aplicações BásicasAplicações Básicas

Fundação de Amparo à Pesquisa do Estado do Rio Grande do Fundação de Amparo à Pesquisa do Estado do Rio Grande do Sul – FAPERGSSul – FAPERGS

20062006

UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO SULUNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO SUL

INSTITUTO DE MATEMÁTICAINSTITUTO DE MATEMÁTICA

DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA PURA E APLICADADEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA PURA E APLICADA

Dados de IdentificaçãoDados de Identificação

• Aluno BolsistaAluno Bolsista: Deborah Marcant Silva Madalozzo: Deborah Marcant Silva Madalozzo• CursoCurso: Engenharia Civil: Engenharia Civil• Professor OrientadorProfessor Orientador: Elisabeta D’ Elia Gallicchio : Elisabeta D’ Elia Gallicchio • Período de VigênciaPeríodo de Vigência: agosto/2005 a julho/2006: agosto/2005 a julho/2006• InstituiçãoInstituição:: Universidade Federal do Rio Grande do SulUniversidade Federal do Rio Grande do Sul• UnidadeUnidade: Instituto de Matemática: Instituto de Matemática• ÓrgãoÓrgão: Departamento de Matemática Pura e Aplicada: Departamento de Matemática Pura e Aplicada• Número do ProcessoNúmero do Processo: 05510790: 05510790

Etapas do ProjetoEtapas do Projeto

i.i. Estudo da teoria concernente aos Estudo da teoria concernente aos modelos matemáticos e métodos de modelos matemáticos e métodos de resolução utilizados resolução utilizados

ii.ii. Correlação com a área de Correlação com a área de Engenharia Engenharia

de Segurançade Segurança

i.i. Resolução analítica e Resolução analítica e computacional de problemas reaiscomputacional de problemas reais


i.i. Estudo da teoria concernente aos Estudo da teoria concernente aos modelos matemáticos e métodos de modelos matemáticos e métodos de resolução utilizadosresolução utilizados

ii. Correlação com a área de EngenhariaCorrelação com a área de Engenharia

de Segurançade Segurançai. Resolução analítica e computacional Resolução analítica e computacional ii. de problemas reaisde problemas reais


ii. Correlação com a área de EngenhariaCorrelação com a área de Engenharia

de Segurançade Segurançai. Resolução analítica e computacional Resolução analítica e computacional ii. de problemas reaisde problemas reais

1.1. Equilíbrio dos FiosEquilíbrio dos Fios

2.2. Flexão de VigasFlexão de Vigas

3.3. Vibrações de VigasVibrações de Vigas

i.i. Estudo da teoria concernente aos modelos Estudo da teoria concernente aos modelos matemáticos e métodos de resolução utilizadosmatemáticos e métodos de resolução utilizados

Cabo sujeito a cargas Cabo sujeito a cargas concentradasconcentradas

Cabo sujeito à carga distribuídaCabo sujeito à carga distribuída


com carregamento variávelcom carregamento variável

Cabo sujeito ao próprio peso Cabo sujeito ao próprio peso

Vibração longitudinal Vibração longitudinal

Vibração transversalVibração transversal

DeflexãoDeflexão

FlambagemFlambagem


2. Flexão de VigasFlexão de Vigas

3. Vibrações de VigasVibrações de Vigas






Cabo sujeito ao próprio pesoCabo sujeito ao próprio peso

Vibração longitudinalVibração longitudinal

Vibração transversal Vibração transversal

Deflexão Deflexão

Flambagem Flambagem


• Cabos flexíveis e correntes são elementos Cabos flexíveis e correntes são elementos muito utilizados em projetos estruturais para muito utilizados em projetos estruturais para suportar e transmitir cargas de um suportar e transmitir cargas de um componente a outro. componente a outro.

• Na análise de forças atuantes nos sistemas, o Na análise de forças atuantes nos sistemas, o peso dos cabos pode ou não ser desprezado, peso dos cabos pode ou não ser desprezado, conforme o seu valor (baixo ou considerável) conforme o seu valor (baixo ou considerável) em comparação às cargas a serem suportadas. em comparação às cargas a serem suportadas.

• O cabo é considerado como perfeitamente O cabo é considerado como perfeitamente inextensível e flexível. inextensível e flexível.

1. Equilíbrio dos Fios1. Equilíbrio dos Fios

1.1 Cabo sujeito a cargas concentradas1.1 Cabo sujeito a cargas concentradas

• Quando um cabo de peso próprio desprezível suporta varias cargas Quando um cabo de peso próprio desprezível suporta varias cargas concentradas, este assume a forma de vários segmentos de linha concentradas, este assume a forma de vários segmentos de linha reta. reta.

• A solução deste tipo de problema implica nas equações de A solução deste tipo de problema implica nas equações de equilíbrio de forças em cada nó (equilíbrio de forças em cada nó (ΣΣFFxx, , ΣΣFFyy, , ΣΣMMzz) e noções básicas de ) e noções básicas de geometria.geometria.

Figura 1 – Exemplo de um cabo sujeito a cargas concentradasFigura 1 – Exemplo de um cabo sujeito a cargas concentradas


1.2 Cabo sujeito à carga distribuída1.2 Cabo sujeito à carga distribuída

• O peso próprio do cabo é desprezível, considerando-se apenas o O peso próprio do cabo é desprezível, considerando-se apenas o carregamento a que o cabo é submetido. carregamento a que o cabo é submetido.

• A partir da análise do diagrama de um infinitesimal de cabo (Figura A partir da análise do diagrama de um infinitesimal de cabo (Figura 2), seguida das equações de equilíbrio, expansões trigonométricas, 2), seguida das equações de equilíbrio, expansões trigonométricas, simplificações, derivações e integrações, chega-se à expressão para a simplificações, derivações e integrações, chega-se à expressão para a curva de deslocamentos de um cabo sujeito à carga distribuída:curva de deslocamentos de um cabo sujeito à carga distribuída:

Figura 2 – Diagrama de um infinitesimal Figura 2 – Diagrama de um infinitesimal de cabo sujeito à carga distribuídade cabo sujeito à carga distribuída

Onde:Onde:

CC11 e C e C22 são constantes, a serem são constantes, a serem determinadas com as condições de contorno determinadas com as condições de contorno do problemado problema

FFHH é a componente horizontal da força é a componente horizontal da força trativa em qualquer ponto ao longo do cabotrativa em qualquer ponto ao longo do cabo

WWoo é o valor do carregamento a que o cabo é o valor do carregamento a que o cabo está submetido quando este é constanteestá submetido quando este é constante

1.2 Cabo sujeito à carga distribuída - APLICAÇÃO1.2 Cabo sujeito à carga distribuída - APLICAÇÃO



1.3 Cabo sujeito à carga distribuída com carregamento 1.3 Cabo sujeito à carga distribuída com carregamento variávelvariável• A formulação para este tipo de problema é análoga a do caso A formulação para este tipo de problema é análoga a do caso anterior (carga distribuída).anterior (carga distribuída).

• Aqui o carregamento se apresenta variável ao longo do cabo.Aqui o carregamento se apresenta variável ao longo do cabo.

Onde:Onde:

FFHH é a componente horizontal é a componente horizontal da força trativa em qualquer da força trativa em qualquer ponto ao longo do caboponto ao longo do cabo

W(x)=f(x) é a expressão para W(x)=f(x) é a expressão para o carregamentoo carregamento Figura 3 - Exemplo de um cabo sujeito a Figura 3 - Exemplo de um cabo sujeito a

carregamento variávelcarregamento variável


1.4 Cabo sujeito ao próprio peso1.4 Cabo sujeito ao próprio peso

• Na análise de forças, o peso do cabo deve ser considerado. Na análise de forças, o peso do cabo deve ser considerado.

• O carregamento ao longo do cabo depende do comprimento O carregamento ao longo do cabo depende do comprimento ss do arco e do arco e não do comprimento projetado não do comprimento projetado x.x.

• A partir da análise do diagrama de um infinitesimal de cabo (Figura A partir da análise do diagrama de um infinitesimal de cabo (Figura abaixo), abaixo),

Figura 4 – Diagrama de um infinitesimal Figura 4 – Diagrama de um infinitesimal de cabo sujeito ao próprio pesode cabo sujeito ao próprio peso

seguida das equações de equilíbrio e seguida das equações de equilíbrio e de de expansões trigonométricas, expansões trigonométricas, simplificações, derivações e simplificações, derivações e integrações, decorrem às expressões integrações, decorrem às expressões que, combinadas corretamente com as que, combinadas corretamente com as condições de contorno, determinam a condições de contorno, determinam a curva de deslocamentos de um curva de deslocamentos de um cabo sujeito ao próprio peso:cabo sujeito ao próprio peso:


1.4 Cabo sujeito ao próprio peso1.4 Cabo sujeito ao próprio peso

Expressão Expressão para o para o comprimento comprimento do cabodo cabo

Expressão Expressão para o para o comprimento comprimento do vãodo vão

Expressões Expressões para a curva para a curva de de deslocamento deslocamento de um cabo de um cabo submetido ao submetido ao próprio pesopróprio peso

Onde:Onde:

CC1 1 e C e C2 2 são as são as constantes a constantes a serem serem determinadas com determinadas com o uso das o uso das condições de condições de contorno do contorno do problemaproblema

FFHH é a é a componente componente horizontal da horizontal da força trativa em força trativa em qualquer ponto ao qualquer ponto ao longo do cabolongo do cabo

WWo o é o valor do é o valor do peso próprio do peso próprio do cabocabo

1.2 Cabo sujeito ao próprio peso - APLICAÇÃO1.2 Cabo sujeito ao próprio peso - APLICAÇÃO


Cabo Sujeito ao Próprio Peso.mws

1. Equilíbrio dos FiosEquilíbrio dos Fios


3. Vibrações de VigasVibrações de Vigas






Cabo sujeito ao próprio pesoCabo sujeito ao próprio peso

Vibração longitudinal Vibração longitudinal


DeflexãoDeflexão

Flambagem Flambagem


• Vigas são elementos estruturais que oferecem Vigas são elementos estruturais que oferecem resistência à flexão devido a cargas aplicadas resistência à flexão devido a cargas aplicadas

• Considera-se a viga como uniforme, Considera-se a viga como uniforme, homogênea e formada por fibras longitudinaishomogênea e formada por fibras longitudinais

• Quando submetida à ação de uma carga, a Quando submetida à ação de uma carga, a estrutura delgada se deforma devido à sua estrutura delgada se deforma devido à sua elasticidade: elasticidade: a fibra que coincidia com o eixo de a fibra que coincidia com o eixo de simetria da viga (linha imaginária que passa simetria da viga (linha imaginária que passa pelos centros de gravidade das seções pelos centros de gravidade das seções transversais) se deforma segundo a curva transversais) se deforma segundo a curva elásticaelástica

2. Flexão de Vigas2. Flexão de Vigas

2.1 Deflexão de vigas2.1 Deflexão de vigas

• A Equação Diferencial de Segunda OrdemA Equação Diferencial de Segunda Ordem::

juntamente com as condições de contorno, determinam a expressão da juntamente com as condições de contorno, determinam a expressão da Curva ElásticaCurva Elástica

• Onde: M, o somatório dos momentos, é o Momento Fletor da Onde: M, o somatório dos momentos, é o Momento Fletor da secção secção transversal;transversal; EI é o módulo de rigidez à flexão (característico do EI é o módulo de rigidez à flexão (característico do material);material); e a derivada de segunda ordem é obtida do e a derivada de segunda ordem é obtida do raio de raio de curvaturacurvatura da curva, dado por da curva, dado por


2.1 Deflexão de vigas - APLICAÇÃO2.1 Deflexão de vigas - APLICAÇÃO


2.2 Flambagem de vigas2.2 Flambagem de vigas

• Viga vertical com carga axial P atuante na extremidade Viga vertical com carga axial P atuante na extremidade superior (Figura 6).superior (Figura 6).

• O comportamento da estrutura é O comportamento da estrutura é modelado através da modelado através da EDO de segunda ordemEDO de segunda ordem, obtida com o cálculo do , obtida com o cálculo do momento fletor para a carga aplicada:momento fletor para a carga aplicada:

Figura 6 – Viga disposta Figura 6 – Viga disposta verticalmente com a verticalmente com a ação de uma carga P.ação de uma carga P.

Onde:Onde:

P é a carga aplicada longitudinalmenteP é a carga aplicada longitudinalmente

EI é o módulo de rigidez do materialEI é o módulo de rigidez do material

É a expressão da É a expressão da Curva ElásticaCurva Elástica, com , com A e B determinadas a partir das A e B determinadas a partir das condições de contorno do problemacondições de contorno do problema


2.1 Flambagem de vigas - APLICAÇÃO2.1 Flambagem de vigas - APLICAÇÃO

1. Equilíbrio dos FiosEquilíbrio dos Fios

2. Flexão de VigasFlexão de Vigas

3.3. Vibrações de VigasVibrações de Vigas




Cabo sujeito à carga distribuída Cabo sujeito à carga distribuída com carregamento variávelcom carregamento variável

Cabo sujeito ao peso próprioCabo sujeito ao peso próprio

Vibração longitudinalVibração longitudinal


Deflexão Deflexão

Flambagem Flambagem

3.3. Vibrações de vigasVibrações de vigas

•A vibração transversal, ao contrário da A vibração transversal, ao contrário da longitudinal, é facilmente percebida: o longitudinal, é facilmente percebida: o deslocamento de pessoas sobre uma ponte deslocamento de pessoas sobre uma ponte suspensa é um bom exemplo de vibração suspensa é um bom exemplo de vibração transversal.transversal.

• Na análise de vibrações, os primeiros modos Na análise de vibrações, os primeiros modos de freqüência são os mais importantes uma de freqüência são os mais importantes uma vez que apresentam as maiores amplitudes.vez que apresentam as maiores amplitudes.

3. Vibrações de Vigas3. Vibrações de Vigas

3.1 Vibração longitudinal 3.1 Vibração longitudinal

• A equação para a vibração longitudinal de uma estrutura é obtida a A equação para a vibração longitudinal de uma estrutura é obtida a partir do equilíbrio dinâmico de um elemento infinitesimal na direção x partir do equilíbrio dinâmico de um elemento infinitesimal na direção x (Figura abaixo)(Figura abaixo)

• E a carga, a partir da Lei de Hooke, dada por E a carga, a partir da Lei de Hooke, dada por

• Dão origem à Dão origem à Equação Diferencial Parcial de Segunda OrdemEquação Diferencial Parcial de Segunda Ordem

válida para (0<x<L, t>0) e que pode ser resolvida com o Método de válida para (0<x<L, t>0) e que pode ser resolvida com o Método de Separação de Variáveis. Separação de Variáveis.

Onde:Onde:

CC22 = E/ = E/

E é o módulo de Young E é o módulo de Young

é a massa específica do é a massa específica do materialmaterial

Figura 7 – Diagrama de Figura 7 – Diagrama de um infinitesimal de viga um infinitesimal de viga para análise do equilíbrio para análise do equilíbrio dinâmico dinâmico


3.1 Vibração longitudinal de vigas - APLICAÇÃO3.1 Vibração longitudinal de vigas - APLICAÇÃO


3.2 Vibração transversal 3.2 Vibração transversal

• A equação para a vibração transversal de uma estrutura é obtida a A equação para a vibração transversal de uma estrutura é obtida a partir do equilíbrio dinâmico de um elemento infinitesimal na direção x partir do equilíbrio dinâmico de um elemento infinitesimal na direção x (Figura abaixo) (Figura abaixo)

• Da Segunda Lei de Newton (com algumas substituições e Da Segunda Lei de Newton (com algumas substituições e simplificações), decorre a simplificações), decorre a Equação de Euler-Bernoulli:Equação de Euler-Bernoulli:

válida para (0<x<L e t>0) e que pode ser resolvida com o Método de válida para (0<x<L e t>0) e que pode ser resolvida com o Método de Separação de Variáveis: Separação de Variáveis:

Figura 8 – Diagrama de um elemento Figura 8 – Diagrama de um elemento infinitesimal para o equacionamento do infinitesimal para o equacionamento do equilíbrio dinâmicoequilíbrio dinâmico

Onde:Onde:

cc22 = EI/A = EI/Acom: com: : massa específica do : massa específica do materialmaterial

A: área da seção transversalA: área da seção transversal


3.2 Vibração transversal de vigas - APLICAÇÃO3.2 Vibração transversal de vigas - APLICAÇÃO



ii.ii. Correlação com a área de Engenharia Correlação com a área de Engenharia


iii.iii. Resolução analítica e computacional Resolução analítica e computacional dede

problemas reaisproblemas reais


ii.ii. Correlação com a área de Engenharia Correlação com a área de Engenharia


iii.iii. Resolução analítica e computacional Resolução analítica e computacional dede

problemas reaisproblemas reais

1.1. A importância dos cabos de aço no A importância dos cabos de aço no canteiro de obrascanteiro de obras

2.2. Síntese da palestra:Síntese da palestra:

“ “Ordem de Serviço: Pedreiro”Ordem de Serviço: Pedreiro”

ii.ii. Correlação com a área de Engenharia de Correlação com a área de Engenharia de SegurançaSegurança

((Empresa Colaboradora: Empresa Colaboradora:

MR Engenharia Empreendimentos e Consultorias LtdaMR Engenharia Empreendimentos e Consultorias Ltda))

1.1. A importância dos cabos de aço no A importância dos cabos de aço no canteirocanteiro de obras de obras

• As As linhas de vidalinhas de vida, usadas em serviços , usadas em serviços periféricos, periféricos, se apresentam ora fixadas em pilares, ora se apresentam ora fixadas em pilares, ora em em tubos suportes.tubos suportes.

• Tubo suporte é uma haste cilíndrica de aço, Tubo suporte é uma haste cilíndrica de aço, fixada fixada na base e apoiada nas lajes que atravessa. na base e apoiada nas lajes que atravessa.

• A modelagem usual, para o tubo suporte, A modelagem usual, para o tubo suporte, consideraconsidera aa divisão dos esforços em: horizontais divisão dos esforços em: horizontais, , pressupondopressupondo a deflexão da barra como similar à de uma a deflexão da barra como similar à de uma estruturaestrutura delgada, sujeita a uma força concentrada; delgada, sujeita a uma força concentrada; verticaisverticais,, como a flambagem na estrutura, causada por como a flambagem na estrutura, causada por cargascargas axiais.axiais.

1. A importância dos cabos de aço no canteiro de 1. A importância dos cabos de aço no canteiro de obrasobras

Figura 9 – Cabo de aço sujeito ao próprio pesoFigura 9 – Cabo de aço sujeito ao próprio peso


Figura 10 – Cabo de aço sujeito ao próprio pesoFigura 10 – Cabo de aço sujeito ao próprio peso


Figura 11 – Cabo de aço sujeito ao próprio peso e a cargas Figura 11 – Cabo de aço sujeito ao próprio peso e a cargas concentradas (mosquetão)concentradas (mosquetão)


Figura 12 – Tubo suporte sujeito a esforço inclinadoFigura 12 – Tubo suporte sujeito a esforço inclinado

2. Síntese da palestra: “Ordem de Serviço: 2. Síntese da palestra: “Ordem de Serviço: Pedreiro”Pedreiro”

Figura 13 – Ata palestra Figura 13 – Ata palestra do dia 08.02.2005do dia 08.02.2005


i. Estudo da teoria concernente aos Estudo da teoria concernente aos modelos matemáticos e métodos de modelos matemáticos e métodos de resolução utilizados resolução utilizados

ii. Correlação com a área de Engenharia Correlação com a área de Engenharia


i.i. Resolução analítica e computacional Resolução analítica e computacional

de problemas reaisde problemas reais

i. Estudo da teoria concernente aos Estudo da teoria concernente aos modelos matemáticos e métodos de modelos matemáticos e métodos de resolução utilizados resolução utilizados

ii. Correlação com a área de Engenharia Correlação com a área de Engenharia


i.i. Resolução analítica e computacional Resolução analítica e computacional

de problemas reaisde problemas reais

1.1. Correias flexíveisCorreias flexíveis

2.2. Deslizamento de cabo sobre roldanaDeslizamento de cabo sobre roldana

3.3. Deslocamento horizontal sobre Deslocamento horizontal sobre plataforma delgada plataforma delgada

iii.iii. Resolução analítica e computacional de problemas Resolução analítica e computacional de problemas reaisreais

1.1. Correias FlexíveisCorreias Flexíveis

• Dispositivos de transporte vertical no Dispositivos de transporte vertical no canteiro de obras como o guincho em coluna e canteiro de obras como o guincho em coluna e andaimes móveis, como o Suspenso Mecânicoandaimes móveis, como o Suspenso Mecânico

1. Correias Flexíveis1. Correias Flexíveis

1.1 Correias flexíveis - APLICAÇÃO1.1 Correias flexíveis - APLICAÇÃO

2. Deslizamento de Cabo sobre Roldana2. Deslizamento de Cabo sobre Roldana

2.1 Deslizamento de cabo sobre roldana - APLICAÇÃO2.1 Deslizamento de cabo sobre roldana - APLICAÇÃO

AgradecimentosAgradecimentos

• Fundação de Amparo à Pesquisa do Estado do Rio Fundação de Amparo à Pesquisa do Estado do Rio Grande do Sul – FAPERGS Grande do Sul – FAPERGS

• MR Engenharia Empreendimentos e Consultorias MR Engenharia Empreendimentos e Consultorias Ltda, em especial à Eng.ª de Segurança no Ltda, em especial à Eng.ª de Segurança no Trabalho Maria Regina Pereira Buss Trabalho Maria Regina Pereira Buss

• Professora Orientadora Elisabeta D’ Elia Gallicchio Professora Orientadora Elisabeta D’ Elia Gallicchio

• Professores do Curso de Engenharia Civil que Professores do Curso de Engenharia Civil que colaboraram com a pesquisacolaboraram com a pesquisa

ReferênciasReferências• ARTICOLO, G. Partial Differential Equations & BoundaryARTICOLO, G. Partial Differential Equations & Boundary Value Problems with Maple V. ACADEMIC PRESS, New Value Problems with Maple V. ACADEMIC PRESS, New

York, US, 1998.York, US, 1998.• ASMAR, N. Partial Differential Equations and Boundary ASMAR, N. Partial Differential Equations and Boundary

Value Problems. Prentice-Hall Value Problems. Prentice-Hall Inc., New Jersey, US, 2000.Inc., New Jersey, US, 2000.• AYRES, Frank Jr., Equações Diferenciais, Coleção Schaum,AYRES, Frank Jr., Equações Diferenciais, Coleção Schaum,

1ª ed1ª ed,, Rio de Janeiro, ed. Livro Técnico S.A., 1952. Rio de Janeiro, ed. Livro Técnico S.A., 1952.• CHOPRA, Anil K., Dynamics of Structures Theory and CHOPRA, Anil K., Dynamics of Structures Theory and

Applications to Earthquake Engineering, Prentice-Hall Applications to Earthquake Engineering, Prentice-Hall Inc., New Jersey, US, 1995.Inc., New Jersey, US, 1995.

• CLAEYSSEN,J., GALLICCHIO, E., TAMAGNA, A., Sistemas CLAEYSSEN,J., GALLICCHIO, E., TAMAGNA, A., Sistemas Vibratórios AmortecidosVibratórios Amortecidos,, Porto Alegre, Editora da UFRGS, Porto Alegre, Editora da UFRGS, 2004.2004.

ReferênciasReferências INMAN, Daniel J., Engineering Vibration, Prentice-INMAN, Daniel J., Engineering Vibration, Prentice-

Hall Inc.,New Jersey, US, 1996Hall Inc.,New Jersey, US, 1996 MERIAN, James L., Mecânica: estáticaMERIAN, James L., Mecânica: estática,, 4ª. ed., Rio 4ª. ed., Rio

de Janeiro, Livros Técnicos e Científicos, 1999.de Janeiro, Livros Técnicos e Científicos, 1999.• MERIAN, James L., Mecânica: dinâmica, 4ª. ed., MERIAN, James L., Mecânica: dinâmica, 4ª. ed.,

Rio de Janeiro, Livros Técnicos e Científicos, 1999. Rio de Janeiro, Livros Técnicos e Científicos, 1999. THOMSON, Willian T., Teoria da vibração com THOMSON, Willian T., Teoria da vibração com

aplicações, Editora Interciência, Rio de Janeiro, aplicações, Editora Interciência, Rio de Janeiro, 1978. 1978.

WHITE, Richard N.,GERGELY, Peter, SEXSMITH, WHITE, Richard N.,GERGELY, Peter, SEXSMITH, Robert G., Structural Engineering - Introduction to Robert G., Structural Engineering - Introduction to Design Concepts and Analysis, V. 1, Canada, John Design Concepts and Analysis, V. 1, Canada, John Willey & sons Inc, 1972.Willey & sons Inc, 1972.

equações diferenciais e engenharia de segurança no trabalho - algumas aplicações básicas...

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