Engenharia EltricaCaulo 01Prof. Carlos NegoFUNO EXPONENCIALRegras de Potenciao1. xA . xB = xA + B2. xA xB = xA - B3. (xA)B = xA . B4. (x)A/B = xA B5. xy=yx-AA

_,

_,

6. (x . y)A = xA . yA7. (x + y)-A = 1x+yA

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8. x = 1Representaoy = Ax A = Base x = ExpoenteCrescente e DecrescenteA > 0 (Funo Crescente)0 < A < 1 (Funo Decrescente)Domnio e ImagemDomnio:RImagem : R+*EQUAES EXPONENCIAISMtodo da Reduo a uma base comumEste mtodo usvamos quando conseguamos a potncia de mesma base.AB = ACB = C (0 < a 1)EXERCCIOS01. Resolver as seguintes equaes exponenciais:a) 2x = 128b) 2x = 1/16c)( )2 =83xd) ( )4 =185xe) 8x = 0,25f) 125x = 0,0402. Resolver as equaes:a) 74x + 3 = 49b)3 =243x2+ 2xc)8 = 42x+ 1 x- 1 3d) 23x - 1 . 42x + 3 = 83 - xe)2 =23x- 8 x+ 4 x- 5f)2 - 8 =03x- 1 3 x- 1 x- 3 3x- 703. Resolva as equaes:a) 3x - 1 - 3x + 3x + 1 + 3x +2 = 306b) 3 . 2x - 5 . 2x +1 + 5 . 2x + 3 - 2x +5 = 2c) 9x + 3x + 1 = 4d) 4x +1 - 9 . 2x + 2 = 0e) 3 -153+3 =233xx- 1x- 3x- 2INEQUAES EXPONENCIAISDefinioInequaes exponenciais so as inequaes com incgnita no expoente.Mtodo da reduo a uma base comumSe B e C so nmeros reais ento: para A > 1 tem-se AB > AC B > C para 0 < A < 1 tem-se AB > AC B < CEXERCCIO04. Resolver as seguintes inequaes abaixo:a) 2x > 128b) 2 < 8x 34

_,

c) (3x)2x - 7 > 1/27d) 7 : 7< 343x+ 1x- 1x- 1x+ 1FUNO LOGARTMICADefinioSendoAeBnmeros reais epositivos, comA 1, chama-selogaritmo de Bnabase A,oexpoente quese deve dar base A de modo que a potncia obtida seja igual a B.logAxB=x A =B B = logaritmando, nmero, antilogaritmoA = base do logaritmox = logaritmoCondioB>0 A>0eA 1 'EXERCCIOS01. Calcular pela definio os seguintes logaritmos: a) log4 16B - 29Engenharia EltricaClculo 01Prof. Carlos Negob)log73 49c)log334d)log0,0082502. Calcule a soma S nos seguintes casos:a) S=log 8+log4 / 9 -log0,642 1,5

1,25

b)( ) ( ) ( )S = log log 9 + log log 3 + log log 324 3 2 81 0,8 16Conseqncias da definio1. Ologaritmoda unidadeemqualquer base iguala zero.log 1=0A2. Dois logaritmos em uma mesma base so iguais se, e somente se, os logaritmandos so iguais:log b=log c b=ca aPropriedades log A =1A log A m . log Acmc logA10 . log =log AA A= BlogB Antilog B =AAB cologA = -logAB B logB =1mlogBAm

A log (A / B)=logA+log BC C C log (A / B)=logA-log BC C ClogB =1log AABEXERCCIOS03. Se log 2 = a e log 3 = b, colocar em funo de aeb os seguintes logaritmos decimais:a) log 6b) log 0,5c) log 12d) log 1504. Calcular o valor de:a)8log25b)31+ log34c)92- log32d) ( ) Antilog log2 23FUNO CRESCENTE E DECRESCENTEDado a funo abaixo:f(x)=log xCrescente(A>1)Decrescente (0 2}EXERCCIOS05. Se log3=A e log5=B,calcular log30 30 102.06. CalcularA=log 5. log27.log 23 4 25.07. Determine o domnio das funes abaixo:a) f(x)=log5x+ 11- xb) f(x)=log (2x -5x+2)(x+ 1) 2EQUAES LOGARTMICAS1 Tipo30 - BEngenharia EltricaCaulo 01Prof. Carlos Negolog f(x)=log g(x) f(x)=g(x)a aEXERCCIO08. Resolver as equaes:a) log2 (3x - 5) = log2 7b) log3 (2x - 3) = log3 (4x - 5)c) log5 (x2 - 3x - 10) = log5 (2 - 2x)2 TipologA f(x) = B f(x) = ABEXERCCIO09. Resolver as equaes:a) log2 (3x + 1) = 4b) log3 (x2 + 3x - 1) = 2c) log2 [1 + log3 (1 - 2x)] = 23 Tipo: Incgnita auxiliarSoas equaes queresolvemos fazendo inicialmente uma mudana de incgnita, ou melhor, substituindo o logaritmo por uma letra.EXERCCIO10. Resolver as equaes:a) logx-logx=2222Ateno: log x2 log2 x log x2 = 2 log x log2 x = (log x)2b)2+log3logx+logx1+logx=23333c)4 . x =xlog2 x311. Resolva o sistema:log(x . y)=3 x+cotagy=133log3'INEQUAES LOGARITMASCondio1 TipologA f(x) > loga g(x) f(x) > g(x) > 0 seA > 1 ou0 < f(x) < g(x) se 0 < A < 1'EXERCCIOS12. Resolver a inequao log1/3 (x2 - 4x) > log1/3 513. Resolver a inequao log5 (x2 - 2x - 6) log5 22 TipologA f(x) > K f(x)>A se A>1 0323b) 3 logx+5 logx-2 0323TAREFO01. (PUC-SP) Depois de simplificar2 -2 .22 .2n + 4 nn + 3encon-tramos:a) 2n + 1 -18b) - 2n + 1c) 1 - 2nd)78e) Nada disso02. (F CESP) Para todo n, (2n + 2n - 1) (3n - 3n - 1) igual a:a) 6nb) 1c) 0d) 2n . 3n - 1 + 3n . 2n - 1e) 2n . 3 + 2 . 3n03. (PUC-SP) Remover osexpoentesnegativosesimplificar x +y(xy)-1 -1-1:a) x - yb) xc) y + x d) ye) Nenhuma das respostas anteriores.04. (U.MACK) SeA=3 +3 e B=3 -32x -x x -x2,ento, para todo x real, A2 - B2 vale:a)0b)1c) -1B - 31Engenharia EltricaClculo 01Prof. Carlos Negod) -2e)205. (U.F.PR) Se 2x + 2-x = 3, o valor de 8x + 8-x :a) 12b) 18c) 21d) 24e) 2706. (U.MACK) O nmero 141414( )tem como ltimo algarismo (algarismo das unidades):a) 2b) 3c) 4d) 6e) 807. (PUC-SP) Omenor nmerointeiropositivoxparaque 2.940x = M3 onde M um inteiro :a) 2.040b) 1.960c) 3.150d) 2.060e) Nada disso08. (CESCEM) Chamam-secossenohiperblicodexeseno hiperblicodex, erepresentam-serespectivamentepor cosh x aos nmeros:cosh x=e +e senh x=e -ex -x x -x2 2Ento (cosh x)2 - (senh x)2 vale:a) cosh 2xb) senh 2xc) -1d) 1e) Nenhuma das anteriores.09. (U.F.RN) 13+ 7+ 2+ 4 igual a:a) 4b) 5c) 6d) 7e) 810. (CESGRANRIO) Um nmero realx, que satisfaz 350n1n1n,b) (abm)p = abmp, a 1c) am + a-m = 1, a > 0d) anbm = (ab)n + m, a 1, b 1e)a = aa>0n m mn,02. (ITA) A lei de decomposio do radium no tempo t 0, dada por M(t) =Ce-kt, ondeM(t) aquantidadede radium no tempo t; C, K so constantes positivas (e a basedologaritmoneperiano). Seametadedaquanti-dadeprimitiva M(0),desapareceem 1.600anos,qual a quantidade perdida em 100 anos?a) (1 - 100-1) da quantidade inicialb) (1 - 2-6) da quantidade inicialc) (1 - 2-16) da quantidade iniciald)(1-2-116) da quantidade iniciale) Nenhuma das respostas anteriores.03. (CESGRANRIO) Uma substncia radioativa esta em processo de desintegrao,de modo que no instante t, a quantidade no desintegrada :A(t) - A(0) . e-3tonde A(o) indica a quantidade de substncia no instante t = 0. O tempo necessrio para que a metade da quantidade inicial se desintegre :a)13b) 2e-3c)13ed) Determinvel somentesefor conhecidoovalor de A(0)e)13 log(2)e04. (ITA) Ocrescimentodeumacertaculturadebactrias obedece a funo X(t) = Cekt, onde X(t) o nmero de bactrias no tempo t 0; C, k so constantes positivas (e abasedologaritmoneperiano). Verificando-sequeo nmeroinicial debactrias X(0), duplica em4horas, quantas se pode esperar no fim de 6 horas?a) 3 vezes o nmero inicialb) 2,5 vezes o nmero inicialc)2 2 vezes o nmero iniciald)2 23 vezes o nmero iniciale) Nenhuma das respostas anteriores.05. (U.F.PE) Assinale a alternativa que nos fornece a base a tal que:log = -13a3a) a=127b) a=19c) a = -3d) a= -19e) Um tal a no existe pois o logaritmo de um nmero sempre positivo.06. (U.F.RS) Supondoqueumacidade, comPOhabitantes, no instante 0, ter P = POekt habitantes, no instante t, com k R, que a populao de 2PO no instante 30 e que n 2 0,693, ento k :a) 20,79b) 2,079c) 0,693d) 0,231e) 0,023107. (CESGRANRIO) OpHuma soluo definido por pH = log1H10+

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onde H+ a concentrao de hidrognio em ons-grama por litro de soluo. O pH de uma soluo tal que H+ = 1,0 x 10-8 :a) 7b) 10-8c) 1,0d) 8e) 008. (CESGRANRIO) As indicaes R1e R2, na escala Richter, de dois terremotos esto relacionadas pela frmula R1-R2=log10 M1M2

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onde M1e M2 medem a energia liberadapelosterremotossobaforma deondasquesepropagampelacrostaterrestre. Houve dois terremotos: umcorrespondentea R1=8eoutro correspondente a R2 = 6. A razo MM12 :a) 2b) log2 10c)43d) 102e) log1043

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09. (U.F.GO) Seacurvadafigurarepresentaogrficoda funo y = log x, x > 0.34 - BEngenharia EltricaCaulo 01Prof. Carlos Negoo valor da rea hachurada :a) log 2b) log 3c) log 4d) log 5e) log 610. (ITA) Sejam a e bdois nmeros reais,a > 0 e b > 0, a 1, b 1. Que relao devem satisfazer aebpara queaequaox2- x(logba) +2logab=0tenhaduas razes reais e iguais?a) a = b2b) a = bc) a2 = bd) a = 2be) b = 2a11. (PUC-SP) Um estudante quer resolver a equao 2x = 5, utilizando uma calculadora que possui a tecla log x. Para obter um valor aproximado de x, o estudante dever usar a calculadora para obter os seguintes nmeros:a) log 2, log 5 e log 5 - log 2b) log 2, log 5 e log 5 : log 2c) log 2, log 5 e log 25d) 5/2 e log 5/2e) 5 e log5B - 35