equaÇÃo exponencial - conceito e resolução

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Matemática

Equação Exponencial

Prof. Roberto

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Equação ExponencialEquação Exponencial

Definição:Uma equação exponencial é aquela que apresenta a incógnita no expoente de pelo menos uma de suas potências.

Exemplos:

a) 2x = 32

b) 3x+1 = 243

c) 5-x²+4 = 32

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Para solucionarmos estas equações, necessitamos ter conhecimentos das propriedades de potências, e das seguinte propriedade:

Se duas potências são iguais, tendo as bases iguais, então os expoentes são iguais:

am = an <=> m = n, sendo a > 0 e a ≠ 1

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Vamos resolver as equações:

a) 2x = 32

Podemos utilizar o método da decomposição por fatores primos para obtermos a potência de resultado 32.

32168421

22222

25

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32 = 25, substituímos na equação, quando reduzimos a mesma base podemos igualar os expoentes.

Resolução:

2x = 25 x = 5 S = ( 5 )<=> <=>

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b) 3x+1 = 243

2438127931

33333

35


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3x+1 = 243

3x+1 = 35

x + 1 = 5

x = 5 - 1

x = 4 S = ( 4 )

243 = 35, substituímos na equação, quando reduzimos a mesma base, neste caso base 3 onde igualamos os expoentes.

Resolução:

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c) ( 32 )x+1

=( 23 )

−2 x+3

Invertemos uma das frações, lembrando-se de “trocar” o sinal do expoente. Procedendo deste modo, podemos obter potências com bases iguais nos dois membros da equação.

Resolução:

Vejamos no próximo slide.

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Temos;

( 32 )

x+1

=[( 32 )

−1]−2 x+3

x + 1 = +2x - 3

x – 2x = -3 - 1-x = -4

S = ( 4 )x = 4

Observe as regras de sinais.

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Observe que esta equação possui três termos no 1º membro.

3x+1=3x . 31

1) Desmembramos o exponencial de expoente x + 1.

d)

2) Desmembramos o exponencial de expoente x - 1.

3x+3x+1−3x−1=119

3x-1= 3x

31

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Vamos substituir na equação:

3x+3x+1−3x−1=119

3x+3x . 31− 3x

31=11

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Sendo 3x fator comum, vamos mudar a variável para melhorarmos a equação.

Onde 3x será igual á t => 3x = t.

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Sendo 3x = t, temos:

3x+3x . 31− 3x

31=11

9t+t . 31−

t

31=

119

t+ 3 t−t

31=

119

9 t9

+27 t

9−

3 t9

=119

36 t9

−3 t9

=119

33 t9

=119

33 t= 11 t=1133

t=13

S=13

Observe que encontramos o m.m.c. e simplificamos o resultado final da fração.

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3 x2 + x= 36

e) (3 x)x+1=729

x2+x=6

x2+x−6=0

7292438127

93

33333

36

13

Aplicamos o método da decomposição por fatores primos, temos 729 = 36, e resolvemos a equação encontrada pela fórmula de Bhaskara.

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x2+x−6=0

∆ = b² – 4.a.c

∆ = (1)² - 4.(1).(-6)

∆ = 1 +24

∆ = 25

Aplicando a fórmula de Bhaskara:

x=−b±√Δ

2ax=

−1±√252 . (1 )

x=−1±5

2x1=

−1+52

x2=−1−5

2

x1=42

x2=−62

x 1=2 x 2=−3

S=(2,−3)Solução

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Atividade elaborada pelo:

Prof. Roberto

Disciplina Matemática.

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REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS:

BOSQUILHA, Alessandra – CORRÊA, Marlene L. Pires – VIVEIRO, Tânia Cristina Neto G. - Mini Manual Compacto de Matemática Ensino Médio: Editora Rideel.

IEZZI, Gerson – DOLCE, Oswaldo – DEGENSZAJN, David – PÉRIGO, Roberto – ALMEIDA, Nilze de - Matemática Ciências e Aplicações: Editora Saraiva..

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