6a. LISTA DE EXERCICIOS DE ALGEBRA I

Turma Especial Licenciatura em Matematica

Profa. Andrea Cardoso Data: 09/11/2010

1. Verifique em cada caso se f e homomorfismo. Determine, para cada homomorfismo, onucleo e se sao injetores ou sobrejetores.

(a) f : Z Z, f(x) = kx , onde k Z(b) f : R R, f(x) = |x|(c) f : Z Z Z, f(x, y) = x(d) f : R R+, f(x) = (x y, 0)(e) f : Z Z Z Z, f(x, y) = x(f) f : C R, f(z) = |z|(g) f : C C, f(z) = z(h) f : R C, f() = cos + isen(i) f : Zn C, f(x) = cos

(2pixn

)+ isen

(2pixn

)2. Seja G o conjunto dos numeros complexos {1, i,1,i}. Mostre que (G, .) ' (Z4,).3. Seja

H =

{(1 2 3 41 2 3 4

),

(1 2 3 43 4 1 2

),

(1 2 3 42 1 4 3

),

(1 2 3 44 3 2 1

)}um subgrupo de S4. Verifique se H pode ser isomorfo a Z4.

4. Mostre que o grupo de Klein e o grupo aditivo Z4 nao sao isomorfos.

5. Determine todos os subgrupos nao triviais do grupo aditivo Z6. Para cada subgrupo H,construa a tabua do grupo quociente Z6/H.

6. Considere V = {(1), (12)(34), (13)(24), (14)(23)}.

(a) Mostre que V e subgrupo de S4;

(b) Mostre que o grupo diedral de ordem 4 e isomorfo a V ;

(c) Defina W = (12)(34) S4, mostre que W / V mas nao e um subgrupo normal deS4. Conclua que a normalidade nao e transitiva.

7. Seja f : Z6 Z2 dada por f(x) = r, onde r e o resto da divisao de x por 2. Verifique se:(a) f esta bem definida;

(b) f e um homomorfismo;

(c) f e injetor;

(d) f e sobrejetor.

6a. Lista de Exerccios de Algebra I - Licenciatura em Matematica 2

8. Sabendo que G = {e, a, b, c, d, f} e um grupo multiplicativo isomorfo do grupo aditivoZ6, pede-se:

(a) Construa a tabua de G;

(b) Calcule a2, b1;

(c) Verifique se G e cclico, e no caso afirmativo determine os seus geradores.

9. Mostre que se G = {e, a, b, c} e um grupo de ordem 4 com elemento neutro e, entao so haduas possibilidades essencialmente distintas para a tabua de G. Mostre que o grupo deordem 4 em que a2 = b2 = c2 = e e isomorfo ao Grupo de Klein, definido na lista anterior.

10. Sejam G um grupo multiplicativo comutativo e n um numero inteiro positivo. Mostreque a aplicacao f(x) = xn e um homomorfismo de G.

11. Mostre que um grupo G e abeliano se, e somente se, f : G G definida por f(x) = x eum homomorfismo.

12. Se f : G1 G2 e um homomorfismo entao N(f) / G1.13. Seja f : G1 G2 um homomorfismo. Mostre que:

(a) o(f(a)) divide o(a), a G1.(b) Se f e injetor entao o(f(a)) = o(a).

14. Seja f : G1 G2 um homomorfismo sobrejetor de grupos. Se H e um subgrupo normalde G1, mostre que f(H) e subgrupo normal de G2.

15. Se H1 G e H2 / G entao H1 H2 / H1.16. Mostre que todo grupo de ordem menor que 6 e abeliano.

17. Responda Verdadeiro ou Falso e justifique sua escolha.

(a) ( ) Se G e um grupo e H /G entao todo homomorfismo G G/H tem nucleo H.(b) ( ) Todo grupo quociente de um grupo abeliano e abeliano.

(c) ( ) Se todo subgrupo de um grupo G e normal entao G e abeliano.

(d) ( ) {e} / G e G/{e} ' G.(e) ( ) Z(G) = G se, e somente se, G e abeliano.

(f) ( ) Quaisquer dois grupos finitos de mesma ordem sao isomorfos.

(g) ( ) O subgrupo {0} de Z e isomorfo ao subgrupo {(1)} de S5.

BOM TRABALHO!!!