Curso de Engenharia de Controle e Automação Disciplina: Álgebra Linear Professor: Marcelo Cendron

Exercícios – Bases e dimensões.

1. Determineadimensãoeumabaseparacadaumdosseguintesespaçosvetorias:

a. 𝑥,𝑦, 𝑧 ∈ ℝ! 𝑦 = 3𝑥}dim:2

b. 𝑥,𝑦, 𝑧 ∈ ℝ! 𝑦 = 5𝑥 𝑒 𝑧 = 0}dim:1

c. 𝑥,𝑦 ∈ ℝ! 𝑥 + 𝑦 = 0}

d. 𝑥,𝑦, 𝑧 ∈ ℝ! 2𝑦 − 𝑦 + 3𝑧 = 0}

e. 𝑥,𝑦, 𝑧 ∈ ℝ! 𝑧 = 0}

2. Determineadimensãoeumabaseparacadaumdosseguintesespaçosvetorias

deM(2,2):

a. 𝑎 𝑏𝑐 𝑑 ; 𝑏 = 𝑎 + 𝑐 𝑒 𝑑 = 𝑐 dim:2

b. 𝑎 𝑏𝑐 𝑑 ; 𝑏 = 𝑎 + 𝑐 dim:3

c. 𝑎 𝑏𝑐 𝑑 ; 𝑐 = 𝑎 − 3𝑏 𝑒 𝑑 = 0

d. 𝑎 𝑏𝑐 𝑑 ;𝑎 + 𝑑 = 𝑏 + 𝑐

3. Encontreumabasedoespaçosoluçãodosistemalinearhomogêneoeencontreadimensãodesseespaço.

a. 𝑥 + 2𝑦 − 2𝑧 − 𝑡 = 02𝑥 + 4𝑦 + 𝑧 + 𝑡 = 0𝑥 + 2𝑦 + 3𝑧 + 2𝑡 = 0

dim:2,umabase:{(1,0,3,-5),(0,1,6,-10)}

b. 𝑥 + 2𝑦 − 𝑧 + 3𝑡 = 02𝑥 − 𝑦 + 𝑧 − 𝑡 = 04𝑥 + 3𝑦 − 𝑧 + 5𝑡 = 0

dim:2,umabase:{(0,-2,-1,1),(1,-3,-5,0)}

c. 𝑥! + 𝑥! − 𝑥! = 0

−2𝑥! − 𝑥! + 2𝑥! = 0−𝑥! + 𝑥! = 0

d. 3𝑥! + 𝑥! + 𝑥! + 𝑥! = 05𝑥! − 𝑥! + 𝑥! − 𝑥! = 0

e. 𝑥! − 4𝑥! + 3𝑥! − 𝑥! = 02𝑥! − 8𝑥! + 6𝑥! − 2𝑥! = 0

f. 𝑥! − 3𝑥! + 𝑥! = 0𝑥! − 6𝑥! + 2𝑥! = 03𝑥! − 9𝑥! + 3𝑥! = 0

g. 2𝑥! + 𝑥! + 3𝑥! = 0𝑥! + 5𝑥! = 0

𝑥! + 𝑥! = 0

4. Encontrebasesdosseguintessubespaços

a. Oplano3𝑥 − 2𝑦 + 5𝑧 = 0

b. Oplano𝑥 − 𝑦 = 0

c. Areta𝑥 = 2𝑡,𝑦 = −𝑡, 𝑧 = 4𝑡

5. Encontreadimensãodecadaumdosseguintesespaçosdeℝ!:

a. Todososvetoresnaforma(a,b,c,0)

b. Todososvetoresnaforma(a,b,c,0)emque𝑑 = 𝑎 + 𝑏 e𝑐 = 𝑎 – 𝑏

c. Todososvetoresnaforma(a,b,c,0)emque𝑎 = 𝑏 = 𝑐 = 𝑑