Curso de Engenharia de Controle e Automação Disciplina: Álgebra Linear Professor: Marcelo Cendron

Exercícios – Bases

1. Verificarquaisdosseguintesconjuntosdevetoresformabasedeℝ!

a. 1, 2 , −1, 3 ébase

b. {(3, 6), (−4, 8)}nãoébase

c. {(0, 0), (2, 3)}

d. {(3,−1), (2, 3)}

2. Qualovalorde𝑘deformaqueoconjunto𝛽 = 1, 𝑘 , 𝑘, 4 sejaumabasedeℝ!

Paraserumabaseovalor𝑘 ≠ ±2

3. Oconjunto𝛽 = 2,−1 , −3, 2 éumabasedeℝ!.Escreverovetorgenéricodo

ℝ! comocombinaçãolinearde𝛽

𝑥,𝑦 = 2𝑥 + 3𝑦 2,−1 + (𝑥 + 2𝑦)(−3, 2)

4. Quaisdosseguintesconjuntosdevetoresformaumabasedeℝ!?

a. (1,1,-1),(2,-1,0),(3,2,0)ébase

b. (1,0,1),(0,-1,2),(-2,1,-4)nãoébase

c. (2,1,-1),(-1,0,1),(0,0,1)

d. (1,2,3),(4,1,2)

e. (0,-1,2),(2,1,3),(-1,0,1),(4,-1,-2)

5. Quaisdosseguintesconjuntosdevetoresformabasede𝑃!

a. −4+ 𝑡 + 2𝑡!, 1− 3𝑡 + 𝑡!nãoébase

b. 1, 𝑡, 𝑡!ébase

c. 2, 1− 𝑥, 1+ 𝑥!

d. 1+ 𝑥 + 𝑥!, 𝑥 + 𝑥!, 𝑥!

e. 1+ 𝑥, 𝑥 − 𝑥!, 1+ 2𝑥 − 𝑥!

6. MostrequeoconjuntoéumabasedeM(2,2)2 3−1 0 , 1 −1

0 −2 , −3 −21 −1 , 3 −7

−2 5

7. Determinarovetorcoordenadade𝑣 = (6, 2)emrelaçãoasseguintesbases:

a. 𝑎 = {(3, 0), (0, 2)}𝑉! = (2,1)

b. 𝑏 = {(1, 2), (2, 1)} 𝑉! = (!!!, !"!)

c. 𝑐 = {(1, 0), (0, 1)}

d. 𝑑 = {(0, 1), (1, 0)}

e. 𝑒 = {(2, 2), (1, 4)}

f. 𝑓 = {(−1, 0), (3,−1)

8. Emcadaparte,expliqueempalavrasporqueosvetoresdadosnãosãoumabasedoespaçovetorialdado:

a. 𝑢! = 1, 2 , 𝑢! = 0, 3 , 𝑢! = 2, 7 𝑝𝑎𝑟𝑎 ℝ!

b. 𝑢! = −1, 3, 2 , 𝑢! = 6, 1, 1 𝑝𝑎𝑟𝑎 ℝ!

c. 𝑝! = 1 + 𝑥 + 𝑥!, 𝑝! = 𝑥 − 1 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑃!

d. 𝐴 = 1 12 3 ,𝐵 = 6 0

−1 4 ,𝐶 = 3 01 7 ,𝐷 = 5 1

4 2 ,𝐸 = 7 12 9

9. Quaisdosconjuntosdevetoresdadossãobasesdeℝ!?

a. {(2,1),(3,0)}

b. {(0,0),(1,3)}

c. {(4,1),(-7,-8)}

d. {(3,9),(-4,-12)}

10. Quaisdosconjuntosdevetoresdadossãobasesdeℝ!?

a. {(1,0,0),(2,2,0),{3,3,3)}

b. {(3,1,-4),(2,5,6),{1,4,8)}

c. {(2,-3,1),(4,1,1),{0,-7,1)}

d. {(1,6,4),(2,4,-1),{-1,2,5)}

11. Quaisdosconjuntosdevetoresdadossãobasesde𝑃!

a. 1 − 3𝑥 + 2𝑥!, 1 + 𝑥 + 4𝑥!, 1 − 7𝑥

b. 4 + 6𝑥 + 𝑥!,−1 + 4𝑥 + 2𝑥!, 5 + 2𝑥 − 𝑥!

c. 1 + 𝑥 + 𝑥!, 𝑥 + 𝑥!, 𝑥!

12. Mostrequeasmatrizesdadasformamumabasede𝑀!!.3 63 −6 , 0 −1

−1 0 , 0 −8−12 −4 , 1 0

−1 2