Curso de Engenharia de Controle e Automação Disciplina: Álgebra Linear Professor: Marcelo Cendron

Exercícios – Espaços vetoriais

Exercícios1. Verifique se os espaços abaixo são vetoriais:

a. O conjunto ℚ dos números racionais.

Resposta: Não é espaço vetorial. Não atende o axioma 6, pois não é fechado

na multiplicação. Exemplo 𝛼 = 2,3 𝑒 𝑢 = 1 3 ,então𝛼𝑢 = 2,33 ∉ 𝑐𝑜𝑛𝑗𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑄

b. O conjunto ℚ! = {(𝑎, 𝑏) | 𝑎, 𝑏 ∈ ℚ}, com as operações usuais

Resposta: Não é espaço vetorial, idem anterior

c. O conjunto unitário {0}, com as operações usuais,

Resposta: É espaço vetorial

d. ℝ! = {𝑥 ∈ ℝ ∶ 𝑥 > 0} com as operações usuais,

Resposta: Não é espaço vetorial. Não atende o axioma 5, dado um vetor u =

(x), não existe um vetor –u = (-x)

e. O conjunto dos números complexos com parte real não negativa com as

operações usuais

Lembrando das operações usuais dos números complexos:

Soma: z1+z2=(a+bi)+(c+di) = (a+c)+(b+d)i

Multiplicação:𝛽𝑧 = (𝛽𝛼 + 𝛽𝑏𝑖)

Resposta: Não é espaço vetorial. Não atende o axioma 5, dado um vetor u =

(a+ bi), um vetor –u = (-a - bi) não pertence ao conjunto de números

complexos com parte real não negativa

2. Seja V o conjunto de todos os pares ordenados de números reais e considere as

operações de adição e multiplicação por escalar definidas em 𝑢 = (𝑢1, 𝑢2) e

𝑣 = (𝑣1, 𝑣2) por:

𝑢 + 𝑣 = (𝑢1 + 𝑣1, 𝑢2 + 𝑣2), 𝛼𝑢 = (0,𝛼𝑢!)

a. Calcule 𝑢 + 𝑣 e 𝛼𝑢, com u = (-1, 2), v = (3, 4) e 𝛼 = 3

b. Explique por que V é fechado na adição e multiplicação por escalar

c. Como a adição de V é uma operação de adição padrão de ℝ! certos

axiomas de espaço vetorial valem para V por valerem em ℝ!. Quais são

esses axiomas

d. Mostre que valem os axiomas 7, 8 e 9

e. Mostra que o axioma 10 falha e que, portanto, V não é um espaço vetorial

com as operações dadas.

3. Seja V o conjunto de todos os pares ordenados de números reais e considere as

operações de adição e multiplicação por escalar definidas em 𝑢 = (𝑢1, 𝑢2) e

𝑣 = (𝑣1, 𝑣2) por:

𝑢 + 𝑣 = (𝑢1 + 𝑣1 + 1, 𝑢2 + 𝑣2 + 1), 𝛼𝑢 = (𝛼𝑢!,𝛼𝑢!)

a. Calcule 𝑢 + 𝑣 e 𝛼𝑢, com u = (0, 4), v = (1, -3) e 𝛼 = 2

b. Mostre que (0, 0) ≠ 0

c. Mostre que −1,−1 = 0

d. Mostre que vale o axioma 5 fornecendo um par ordenado –u tal que u + (-

u) = 0 com 𝑢 = (𝑢1, 𝑢2)

e. Encontre dois axiomas de espaço vetorial que não sejam válidos.

4. Nos exercícios a seguir, determine se o conjunto dado com as operações é um

espaço vetorial. Para os que não são espaços vetoriais, identifique os axiomas que

falham:

a. O conjunto de todos os números reais com as operações padrão de adição

e multiplicação.

b. O conjunto de todos os pares de números reais da forma (x, 0) com as

operações padrão de ℝ!

c. O conjunto de todos os pares de números reais da forma (x, y) em que

𝑥 ≥ 0 com as operações padrão de ℝ!

d. O conjunto de todos os termos de números reais com operação padrão de

adição, mas com multiplicação por escalar definida por:

𝛼 = 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 𝑎!𝑥, 𝑎!𝑦, 𝑎!𝑧

e. O conjunto de todas as matrizes 2 x 2 da forma:

𝑎 00 𝑏

Com as operações matriciais padrão de adição e multiplicação por escalar.