unidade e funções trigonométricas -...
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Unidade E
Funções Trigonométricas e Trigonometria
Débora Bastos IFRS – CAMPUS RIO GRANDE FURG
76
20. Resumo Trigonometria no triângulo retângulo, resolução de triângulos
quaisquer.
Todos os resultados da trigonometria do triângulo retângulo continuam válidos. Por exemplo:
Por definição se + =90º:
(a) senAC
BCcos
(b) cosAC
ABsen
(c)
tan
1ancot
BC
ABtan
E também por definição:
(d)
cos
sentan (d)
sen
cosancot (e)
cos
1sec (f)
sen
1seccos
Alguns resultados consequências dessas definições:
(a) sen² + cos²=1
(b) tan² + 1 = sec²
(c) cotan² + 1 = cossec² Alguns resultados bastante importantes são as leis dos cossenos e senos, que basicamente resolvem triângulos quaisquer, além do Teorema de Pitágoras, que só se aplica aos triângulos retângulos e seno e cosseno dos arcos soma.
(a) Lei dos Senos: sen
c
sen
b
sen
a
(b) Lei dos Cossenos: c² = a² + b² - 2ab.cos (c) Relação entre ângulos suplementares: cosx = - cos(180o – x) e senx = sen(180o- x)
(d) Seno da adição/subtração: 1
sen(a b) = sena.cosb senbcosa
(e) Cosseno da adição/subtração:
cos(a b) = cosacosb senasenb
Sabemos inicialmente seno e cosseno dos arcos notáveis: 30º, 45º e 60º. A partir
das fórmulas agora do seno e cosseno da soma de arcos é possível encontrar o
valor exato para mais alguns ângulos, incluindo ângulos obtusos.
Exemplos: 1. Calcule:
(a) sen15º (b) cos15º
1 Veja vídeo com a demonstração das fórmulas seno e cosseno da soma em: https://www.youtube.com/watch?v=5G1Dq3ng_ls
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(c) sen75º (d) tan75º
(f) sen 105º (g) sen(2x)
(h) cos(2x) (i) tan(2x)
(j)
2
xcos (k) cos(x - 180º)
78
(l) sen(-x) (m) sen90º
(n) cos180º (o) cos(x-180º)
21. Introdução à trigonometria no círculo 21. 1. Círculo Já sabemos que o círculo é o conjunto de todos os pontos de um plano que estão a uma mesma distância de um ponto dado chamado centro. Essa distância é denominada medida do raio do círculo e denotamos pela letra r.
O ponto O é o centro do círculo. A medida do comprimento do círculo é chamada de sua circunferência e denotada pela letra C é calculado pela fórmula:
C= 2r
Observação: Não há necessidade nos cálculos de substituir o valor de , pois qualquer representação decimal finita, por exemplo, 3,14, será uma aproximação e não o valor real. Fazemos essa substituição
apenas quando queremos ter noção da medida envolvida. 21.2. Ângulo central e arco de circunferência.
É a parte do círculo compreendida entre dois de seus pontos, por exemplo, A e B na figura. Usamos o sentido anti-horário para diferenciar as duas partes formadas que são ambas arcos de circunferência. Destinaremos a letra S para a medida de um arco de circunferência.
Então, na figura, 𝐴�̂� é o arco menor e o arco 𝐵�̂� é o arco maior. Cada arco subentende um ângulo central.
O arco 𝐴�̂� está relacionado com o ângulo Os ângulos centrais podem ser medidos em graus ou em radianos. Assim para calcularmos o valor do arco de circunferência basta calcular uma fração do todo. Como existe a proporção podemos usar regra de três.
Estamos mais acostumados com as medidas em graus, mas para termos funções trigonométricas precisaremos relacionar ângulos com números reais e arcos em radianos fazem esse papel. Grau 1- O que é 1o? O ângulo central correspondente ao arco de circunferência se dividirmos o círculo em 360 partes iguais e tomarmos
uma. Portanto o ângulo central total é de 360o. . O que faz o arco 𝐵�̂�, da figura anterior, estar relacionado com o ângulo 3600 - .
2- Qual o valor de um arco de circunferência subentendido por um ângulo central medido em graus?
360o ---------- 2r
---------- S
Chega-se ao resultado 180
rS
O
O A
B
79
Exemplo: Na figura abaixo, indique a medida, em graus, do arco 𝑃�̂�. Em seguida calcule o comprimento do arco 𝑄�̂� sabendo que o círculo tem 10 cm de raio.
𝑃�̂�.= 2600
cm9
130
180
26010S
Radiano 1- O que é 1 rad? É a medida do ângulo central subentendido por um arco de circunferência, cujo comprimento coincide com a
medida do raio da circunferência. Ou seja, se 𝐴�̂� = r, então = 1 rad. 2 - Quantos radianos possui o ângulo central total? É o mesmo que responder quantos raios cabem na circunferência, pois cada
comprimento de arco que mede r, subentende um ângulo central de 1 rad. Como a circunferência mede 2r, quantos raios cabem?
Bom, basta dividir o valor da circunferência por r, logo 2 rad. Agora podemos converter uma medida em graus para radianos e vice-versa, usando a relação que acabamos de obter. Exemplos: 1. Determine em radianos, a medida dos arcos notáveis: 30o, 45o, 60o e 900.
Segundo a regra de três sabemos que: 1800 rad
0 x rad
Chegamos a 180x = (A) Portanto se queremos transformar um ângulo em graus para radianos, devemos isolar x.
x = 180
= 30o 6180
30
6
rad = 45o
4180
45
4
rad = 60o
3180
60
3
rad
= 90o 2180
90
2
rad
2. Quantos graus tem 1 rad?
Agora se queremos transformar um ângulo em radianos em graus, devemos isolar na expressão definida por (A).
=
x180
1 rad x = 1 rad 29,57180
Observação: Para determinar o comprimento de um arco se este é dado em radianos, é mais complicado passar para graus e
calcular o comprimento. Façamos uma nova regra de três para encontrar a "fórmula" do comprimento de arco, se é dado em radianos:
Se está em radianos:
2 rad ---------- 2r
---------- S
22. Circunferência trigonométrica.
Para as funções trigonométricas precisamos de domínio
real, assim, os ângulos serão convertidos em radianos
para equivaler a uma unidade de medida, ou seja, um
número real.
Se inserirmos numa circunferência de raio
unitário (r = 1) os eixos do sistema cartesiano
ortogonal, de maneira que a origem do plano cartesiano
coincida com o centro da circunferência, que seja
fixado um ponto A (1,0) chamado de origem dos arcos,
de onde, como o nome sugere, são determinados arcos
com início nesse ponto. Podemos visualizar os arcos
com o ponto A fixo e o ponto P móvel. Se o ponto P se
O Q
P
100o
S = r
80
desloca no sentido anti-horário o arco AP é positivo e se o ponto P se desloca
no sentido horário o arco tem medida negativa.
Observações:
Todos os arcos têm origem em A, o que determinará se o arco determinado no
sentido anti-horário ou horário é o sinal do arco;
Para converter um ângulo em graus em radianos ou vice-versa, basta uma regra
de três simples, fazendo a correspondência rad – 180º;
Os eixos coordenados dividem a circunferência (e o plano) em quatro quadrantes,
numerados segundo o sentido positivo dos arcos. Os limites dos arcos de acordo
com os quadrantes estão dispostos na figura a seguir (complete):
Em graus: Em radianos:
IQ: ____ < < ________ IQ: ____ < < ________
IIQ: ____ < < ________ IIQ: ____ < < ________
IIIQ: ____ < < ________ IIIQ: ____ < < ________
IVQ: ____ < < ________ IVQ: ____ < < ________
Atribuindo sentido a arcos positivos e negativos atribuímos sentido também
a arcos maiores que 360º ou 2 rad, basta imaginarmos o ponto P "móvel"
completando mais de uma volta.
A todo arco maior que uma volta corresponde a um arco da primeira volta.
Arcos que começam e terminam no mesmo lugar, diferenciando-se apenas por um
número inteiro de voltas, chamam-se de arcos côngruos. Se e são côngruos:
Em radianos: - = 2n , n ℤ.
Em graus: - = 360ºn , n ℤ. Exemplos: 54º , 414º e – 306º são congruentes
5
rad,
5
11rad,
5
21 rad são congruentes
23. Função Cosseno.
Para determinar a função cosseno:
f: ℝ ℝ y = cosx
Façamos uma perpendicular do ponto P até encontrar o
eixo ox. A intersecção da perpendicular com o eixo ox,
será o ponto C. A medida do cosx é a abscissa do ponto
C, ou seja,
cosx = xc
Observação: A definição de cosseno na circunferência
trigonométrica não contradiz a definição no triângulo
retângulo, mas torna esse conceito mais abrangente. No triângulo retângulo só
aparece ângulos agudos, só existia sentido cosseno de ângulos entre 0º e 90º.
Agora podemos definir cosseno para qualquer arco, seja positivo ou negativo,
maior que 360º ou menor que 360º, ou melhor, qualquer ângulo em radianos. Veja:
IIQ
IIIQ
I Q
IVQ
O
81
Assim o valor de cosseno de um ângulo pode assumir o sinal positivo se o ponto
C estiver a direita da origem ou negativo se o ponto C estiver à esquerda da
origem.
Fazendo a construção no programa GeoGebra2 observamos:
Quadrante I II III IV
Sinal
positivo negativo negativo positivo
Crescimento
decrescente decrescente crescente crescente
Variação
cosx ]0,1[ cosx ]-1,0[ cosx ]-1,0[ cosx ]0,1[
E o gráfico da função cosseno é:
23.1 Redução ao primeiro quadrante
Podemos relacionar os valores de cosseno de arcos em qualquer quadrante com,
cosseno de arcos de qualquer outro quadrante. Essas relações nos dão subsídios
para manipular algebricamente expressões que envolvam cossenos. Faremos o mesmo
com outras funções trigonométricas.
Exemplo: Determine o valor dos cossenos abaixo em relação a arcos do primeiro
quadrante na primeira volta do sentido positivo. Trabalharemos em graus para
facilitar o processo, mas para as funções trigonométricas é importantíssimo que
arcos sejam em radianos.
(a) cos120º (b) cos245º
(c) cos278º (d) cos335º
2 Download gratuito, disponível em várias plataformas, no site: www.geogebra.org.br
82
Generalizando:
cos(180º - x) = - cosx ou cos( - x) = - cosx
cos( x – 180º) = - cosx ou cos( x - ) = - cosx
cos( 360º - x) = cosx ou cos( 2 - x ) = cosx
Esses resultados podem ser igualmente definidos pela fórmula do cosseno da
soma/subtração.
Observação: Todas as relações trigonométricas válidas no triângulo retângulo,
vistos anteriormente continuam valendo, já que a matemática não define conceitos
com nomes iguais que se contradiriam nas suas propriedades e essência.
24. Variações Função Cosseno. As funções trigonométricas são ditas periódicas, pois existe um número real p, tal que: f(x)=f(x+p), já que ao completar
uma volta a função passa a assumir os mesmos valores da primeira volta, o mesmo acontece com o sentido horário. O menor valor de p possível, válido para todo x é chamado de período. Também podemos pensar, que é o tamanho do menor segmento do domínio em que o gráfico não contém repetição. A metade da maior variação horizontal do gráfico é chamada de amplitude. Frequência de uma função periódica é o número de ciclos numa determinada unidade de tempo. Na função cosseno básica:
p = 2 A = 1 f = 1 Qualquer variação na função cosseno, esses parâmetros são alterados:
f: ℝ ℝ y = acos(bx+c)+d
Novamente, com o auxílio do programa GeoGebra, podemos concluir facilmente as alterações que a composição da função cosseno com a função afim produz. 1 – No GeoGebra, esboce as funções y = 2cosx, y = 3cosx, y=0,5cosx e y = -4cosx. Observe o que acontece com o período, amplitude, frequência e imagem. 2 - No GeoGebra, esboce as funções y = cos(2x), y = cos(3x), y=cos(0,5x) e y = cos(-4x). Observe o que acontece com o período, amplitude, frequência e imagem.
3 - No GeoGebra, esboce as funções y = cos(x+) , y = cos(x-), y=cos(x-4) e y = cos(x+1). Observe o que acontece com o período, amplitude, frequência e imagem e se há um deslocamento em relação ao gráfico da função básica. 4 - No GeoGebra, esboce as funções y = cosx + 2 , y = cosx - 3, y = cosx - 4 e y = cosx + 1. Observe o que acontece com o período, amplitude, frequência e imagem e se há um deslocamento em relação ao gráfico da função básica.
Período Amplitude Frequência Imagem
1- y = acos(x) 2 |a| 1 ciclo/volta [-|a|,|a|]
2 - y = cos(bx) |b|
2
1 b ciclo/volta [-1,1]
3 - y = cos(x+c) 2 1 1 ciclo / volta [-1,1]
4 - y = cos(x) + d 2
1 1 ciclo/volta [-1+d,1+d]
Observações: O item 3 gera uma translação no sentido horizontal. Direita se c é negativo e esquerda se c é positivo. Já no item 4, há uma translação vertical. Para cima se c é positivo e para baixo se c é negativo. Exemplo: Esboce o gráfico da função
f: ℝ ℝ
14
x2cos3y
Faremos uma alteração por vez, até chegar na função f. 1- a = 3 mudará essencialmente a amplitude. Im = {-3,3].
83
2 – b = 2 mudará a frequência e período. Serão dois ciclos a cada 2 rad (observe o destaque do segmento vermelho) e por isso o
período será p = .
3 – c = 4
o gráfico se deslocará
4
unidades para direita.
4 – d = 1, inserirá no gráfico um translação de uma unidade para cima. Assim a imagem ficará Im = [-2,4]. Último passo para o gráfico definitivo. Gráfico da função f:
84
25. Função Seno.
Para determinar a função cosseno:
f: ℝ ℝ y = senx
Façamos uma perpendicular do ponto P até encontrar o eixo
oy. A intersecção da perpendicular com o eixo oy, será o
ponto S. A medida do senx é a abscissa do ponto S, ou seja:
senx = ys
A definição de seno na circunferência trigonométrica não contradiz a
definição no triângulo retângulo, mas torna esse conceito mais abrangente, assim
como na função cosseno. Assim o valor de seno de um ângulo pode assumir o sinal
positivo se o ponto S estiver acima da origem ou negativo se o ponto S estiver
abaixo da origem.
Quadrante I II III IV
Sinal
Crescimento
Variação
Exemplo: Determine o valor dos senos abaixo em relação a arcos do primeiro
quadrante na primeira volta do sentido positivo. Trabalharemos em graus para
facilitar o processo, mas para as funções trigonométricas é importantíssimo que
arcos sejam em radianos.
(a) sen145º (b) sen205º
(c) sen238º (d) sen345º
85
18.1. Gráfico Função Seno.
Na função seno básica:
p = 2 A = 1 f = 1
Observe a diferença entre os gráficos da função seno e cosseno na imagem
abaixo.
Dizemos que há uma diferença de fase em relação aos gráficos das funções
seno e cosseno, fazendo c = 2
em uma das funções, os gráficos coincidem.
Qualquer variação na função seno, esses parâmetros são alterados:
f: ℝ ℝ y = asen(bx+c)+d
Período Amplitude Frequência Imagem
y = asen(x)
y = sen(bx)
y = sen(x+c)
y = sen(x) + d
y = asen(bx+c)+d
Exemplo: Esboce o gráfico da função
f: ℝ ℝ
86
232
xsen2y
Deveríamos estudar tão profundamente como as funções seno e cosseno, as funções
tangente, cossecante, secante, cotangente. Pela escassez de tempo, deixamos a
cargo do estudante usar os conhecimentos aqui vistos para deduzir as propriedades
destas outras funções.
19 Exercícios.
1- Um dos catetos de um triângulo retângulo mede 10 cm e a hipotenusa mede 12
cm. Determine o valor do cosseno de cada ângulo agudo do triângulo.
2- Seja o ângulo agudo x tal que cosx =25
7, determine senx, cossecx, secx, tanx
e cotanx.
3- Calcule o comprimento da sombra projetada por um poste de 6 metros de altura
no instante em que os raios solares que incidem sobre ele formam com o solo,
horizontal, um ângulo de 60º.
4- Uma telha de um galinheiro quebrou. Em dias chuvosos,
uma goteira produz no chão, embaixo da telha quebrada,
uma pequena poça de água a 1,85 metros de uma das paredes
do galinheiro, conforme a figura. Considerando que a
espessura dessa parede é de 15 cm e que d é a distância
entre o ponto mais alto do telhado e a quebra da telha,
calcule, d em metros.
87
5- Um túnel reto AB deverá ser construído a partir da perfuração de uma montanha.
De um ponto C – situado a 65 metros de A, na perpendicular ao traçado do túnel
– avistam-se as futuras extremidades do túnel sob ângulo de 60º. Qual o
comprimento do túnel a ser construído?
6- Dois homens, H1 e H2, com 2 metros e 1,50
metros de altura, respectivamente, estão em pé
numa calçada, em lados opostos de um poste de
5 m de comprimento, iluminados por uma lâmpada
desse poste, como mostra a figura. Determine a
distância entre os homens.
20. Exercícios.
1- Dê o sinal de cada um dos seguintes números reais:
(a) cos 99º
(b) cos301º
(c) cos
18
17
(d) cos195º
(e) cos
5
7
(f) cos610º
(g) cos
2
21
2-Preencha a tabela abaixo:
x
(rad)
0
6
3
4
3
6
7
4
5
3
5
2
x
(º)
45º
90º
120º
150º
240º
270º
315º
330º
cosx
senx
3- Verdadeiro ou Falso? Corrija os falsos:
(a) cos310º cos50º = 0 (b) cos66º = 2cos33º
(c) cos 955º > cos 235º
(d) cos 31º < cos 49º
(e) cos 128º < cos179º
(f) cos 203º > cos 261º
(g) cos
7
3= cos
7
31
(h) cos33º = cos147º
88
(i) cos161º = cos19º
(j) cos358º = cos2º
4- Dê o sinal de cada um dos seguintes números reais:
(a) sen345º
(b) sen 127º
(c) sen 256º
(d) sen 872º
5- Associe o valor de cada seno, com um arco do primeiro quadrante:
(a) sen234º
(b) sen 156º
(c) sen283º
(d) sen301º
(e) sen120º
(g) sen135º
(h) sen 150º
(i) sen 210º
(j) sen 225º
(k) sen 240º
(l) sen300º
(m) sen315º
(n) sen 330º
6-Preencha as lacunas com >, < ou = :
(a) sen 15º ___ sen 67º
(b) sen 125º ___ sen 186º
(c) sen 231º ____ sen 129º
(d) sen 171º ____ sen 305º
(e) sen
3
5 ____ sen
6
5
(f) sen 123º ___ sen 690º
(g) sen
6
11 ____ sen
3
5
(h) sen 123º ____ sen 843º
(i) sen 234º ____ sen 280º
(j) sen 79º ____ sen 101º
(k) sen
4
5 ____ sen
4
7
7- Determine amplitude, frequência, período e imagem das funções reais de variável
real abaixo:
(a) y = 5cos(2x) +3
(b) y = 6sen(5x)-6
(c)
37
xcos2y
(d) 44
5
3
x2sen7y
89
21. Respostas dos exercícios item 10.
1-
(a) A = [4,+[
(b) A =
,
2
1
2
1,
2
3
(c) A =
2
1,2
(d) A = ℝ
2-
(a) A = ℝ. É função, porque qualquer reta vertical interseciona o gráfico apenas
uma vez, satisfazendo a definição de função. Im = ]0,+[.
(b) A = [6,6[. É função, porque qualquer reta vertical em A intersecciona o
gráfico apenas uma vez, satisfazendo a definição de função. Im=[4,7[.
(c) A = ℝ. Não, há três intersecções com o eixo oy, ou seja, para x = 0 existem três valores de y relacionado a ele.
(d) A = ℝ - {1}. É função, porque qualquer reta vertical em A intersecciona o
gráfico apenas uma vez, satisfazendo a definição de função. Im= ℝ.
3-
(a) Sim, no caso em que a = 0 (reta horizontal).
(b) Não, uma reta vertical não é função.
4-
(a)
3
1x/lRxS ou
3
1,S
90
(b)
5
3x ou 1x/lRxS ou
,
5
31,S
(c)
2x ou 2
5x/lRxS ou
,22
5,S
(d)
6x ou 3
4x
3
2/lRxS ou
,6
3
4,
3
2S
(e)
2
1x ou 2x/lRxS ou
,
2
12,S
(f)
2
3x ou
3
2x/lRxS ou
,
2
3
3
2,S
(g) 1x/lRxS ou ,1S
(h)
3x ou 2x2
3 ou 1x/lRxS ou
,32,
2
31,S
22. Respostas dos Exercícios item 11.
1- 2- 3- 4-
5x2 ou 2
3lR/x xS5- ou 5,2
2
3,S
6-
2
5 x lR/ xS ou
2
5lRS
4,21,1S 7-
2
1,0
2
1,
2
3S8-
9- S = [2,3]
,21,
2
1
4
5,S10-
,
3
2
2
1,2S11-
1x0 ou 1-lR/x xS 12- ou 1,01,S
,2S13-
23. Respostas dos exercícios do item 12.
91
1- ∄ gof e
x
3xy
lR*lR:fog
642
xx9x2727y
lRlR:fog
2- e
6x3y
lRlR:gof
3- ∄ gof e ∄ fog
11xy
,1,1:gof
3
4- e
3xy
lRlR:fog
5
1
1xy
lRlR:f
5-
3
1xy
lRlR:g1
6-
4x
2y
lR4lR:f*1
7-
1x
3x3y
3lR1lR:h1
8-
4
2xy
lRlR:g
3
1
9-
10- Não existe a inversa, pois para f, por exemplo, y=0, está relacionado com x= 0 e x
= -1. (0,0) f e (-1,0) f, ou seja, (0,0) f-1 e (0,-1) f-1, para f-1 temos dois y
para o mesmo x, logo não é função.
11- f=f-1
12 a 14 e 17- Não existe, pois há mais de um x para o
mesmo y, assim na inversa teria mais de um y para o
mesmo x, não sendo função.
15- Existe, e o gráfico é idêntico.
16- Existe, gráfico em vermelho.
24. Respostas dos exercícios do item 13.
1 - (a) Decrescente (b) Crescente (c) Crescente (d) Decrescente (e) Crescente
2 – (a) > (b) < (c) < (d) <
3 – (a) S = {6} (b) S = {4} (c) S = (d) S = {-25} (e) S = {3} (f) S = {3} (g)
S = {0,3} (h) S = {2}
4 – (a) S = ]5, +[ (b) S = ℝ-{1} (c) S = ]-4, +[ (d) S = ]-,-3] (e) S = ]-,
3[
5 – (a) A = ]-, 0] [2,+[ (b) A = ]6, +[
6 –
(a) y > 0 x
3
1, ; y = 0 x =
3
1 e y < 0 x
,
3
1
(b) Não, pois depende da solução da equação 03
11x3
, que não existe.
(c) A reta y = -1 é assíntota da função (resultado de (b), poderemos generalizar
o conceito de assíntota quando estudarmos limites), desta forma Im = ]-1, +[ (d) P(0,2)
(e)
92
25. Respostas dos exercícios do item 18.
1- A = ]3, 5[ 2- A=]-,2[]3,+[ 3- A = ]-1,1[]1,3[
4- 5-
f: ]-9,+[ ℝ g: ]4,+[ ℝ
9xlog5
1
5
2y
3
3
4xlog
3
15y
2
3logx
2
36-
36logx
3
647-
8- x = 2
9- S=
10-
11- x = 32
12- S = {2,16}
13- S = {-1,5}
14- 15- S = ,7log3
16- S=
3
1,0
17- S=
18- S= ]8,+[
93
19- f>0 x
,2
16
1,0 ; f=0 x =
16
1 ou x = 2; f<0
2,
16
1
26. Respostas dos exercícios do item 19.
1-
2- senx = 25
24, cossecx =
24
25, secx =
7
25, tanx =
24
7, cotanx =
7
24
3- 32
4- 2 2
5- 65 3
6- 3 3+7
27. Respostas dos exercícios item 20.
1- (a) – (b) + (c) – (d) – (e) – (f) – (g) 0
2-
x(rad)
0
6
4
3
2
3
2
4
3
6
5
6
7
4
5
3
4
2
3
3
5
4
7
6
11
2
x(º)
0
30º
45º
60º
90º
120º
135º
150º
180º
210º
225º
240º
270º
300º
315º
330º
360º
cosx
1
2
3
2
2
2
1 0 -
2
1 -2
2 -2
3
-1
-2
3 -2
2 -2
1 0 2
1
2
2 2
3 1
senx
0 2
1 2
2
2
3
1
2
3 2
2 2
1 0
2
1 -2
2 -2
3
-1
-2
3 -2
2 -2
1 0
3-
(a) V (b) F, cos2x 2cosx (c) F cos955º=cos235º (d) F, cos31º > cos49º. No IQ, cosseno é decrescente.
(e) F, cos128º > cos179º. No IIQ, cosseno é decrescente.
(f) F, cos203º < cos261º. No IIIQ, cosseno é crescente.
(g) V, arcos congruentes.
(h) V, 180º - 147º = 33º.
94
(i) F, cos161º= - cos19º, 180º - 161º = 19º.
(j) V, 360º - 358º= 2º.
4-(a) – (b) + (c) – (d) +
5-(a) sen234º= - sen54º (b) sen156º = sen24º (c) sen283º = - sen77º
(d) sen301º = - sen59º (e) sen120º = sen60º (f) sen135º = sen45º
(g) sen150º = sen30º (h) sen210º = - sen30º (i) sen225º = - sen45º
(j) sen210º = -sen30º (k) sen240º = - sen60º (l) sen300º= - sen60º
(m) sen315º = -sen45º (n) sen330º = - sen30º
6-(a) < (b) > (c) < (d) > (e) < (f) > (g) > (h) = (i) > (j) = (k) =
7-
Amplitude frequência período Imagem
(a) 5 2 [-2,8]
(b) 6 5
5
2
[0,12]
(c) 2
7
1
14 [-2,2]
(d) 7
3
2
3 [-11,3]