Espaços Vetoriais, Planos, Cônicas e

Superfícies

Jonathan T. Quartuccio

Notas de Aula de Geometria Analítica

Espaços Vetoriais

ℝ¹ - reta, com coordenadas 𝑥 ou 𝑦.

ℝ² - plano, com coordenadas 𝑥 e 𝑦.

ℝ³ - espaço, com coordenadas 𝑥, 𝑦 e 𝑧.

Podemos denotar, de uma maneira geral, um espaço ℝ𝑛, chamado de espaço n-

dimensional. Assim, para n =1 temos uma reta ou espaço unidimensional. Para n = 2 temos um

espaço bidimensional e para n = 3 temos um espaço tridimensional.

Distâncias entre pontos

Em ℝ¹ temos dois pontos fixos A, situado na coordenada 𝑥1 e B, situado na

coordenada 𝑥2. A distância entre esses dois pontos é dado por |𝑑𝐴𝐵| = 𝑥2 − 𝑥1. Essa distância

determina uma reta (a menor distância).

No espaço bidimensional, ou ℝ², temos a representação de um plano cartesiano.

Fixado um ponto A no plano cartesiano, teremos suas coordenadas dadas em 𝑥𝐴 e 𝑦𝐴.

Um segundo ponto B terá suas coordenadas dadas por 𝑥𝐵 e 𝑦𝐵. Sendo assim, a distância entre

os pontos A e B é dado por:

||𝑑𝐴𝐵|| = √(𝑥𝐵 − 𝑥𝐴)2 + (𝑦𝐵 − 𝑦𝐴)

2

Isso é facilmente verificado utilizando-se o teorema de Pitágoras.

A distância entre dois pontos determina um vetor.

Vetores

Sejam dois pontos A e B presentes no plano. Sendo A a origem de um segmento que

une esse ponto com B, chamamos B de extremidade do segmento. Temos a representação de

um vetor 𝑣, denotado por 𝑣 = 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗.

Partindo do plano cartesiano, vamos adotar um segmento que parte da origem do

plano e chega até um ponto A, com coordenadas 𝑥 e 𝑦. A distância entre o ponto A e a origem,

seria dada por: ||𝑑𝐴𝑂||√(𝑥 − 0)2 + (𝑦 − 0)2 = √𝑥2 + 𝑦2.

Basicamente, vetores são grandezas determinadas por uma intensidade (o tamanho do

vetor, ou a distância entre dois pontos), uma direção e um sentido.

Determinação de Coordenadas de um Vetor

Um ponto A é determinado por uma coordenada em 𝑥 e outra em 𝑦. Chamamos 𝐴𝑥 a

coordenada de A em 𝑥 e 𝐴𝑦 a coordenada de A em 𝑦. Assim, as coordenadas de A é dado por

(𝐴𝑥 , 𝐴𝑦).

Norma de um Vetor

Seja um vetor ligando a origem do plano ao ponto A, determinamos a norma (ou

comprimento) do vetor como ||𝑣|| = √𝐴𝑥2 + 𝐴𝑦

2 .

Vamos adotar agora, um caso num espaço ℝ³, ou tridimensional.

Um ponto A, situado num espaço tridimensional, possuiria três coordenadas, sendo

elas 𝑥, 𝑦 e 𝑧.

Coordenadas Canônicas

Vamos adotar três vetores unitários, ou seja, a norma deles é um. Adotamos, em cada

eixo de coordenada, um valor unitário. Um ponto A num espaço tridimensional possui

coordenadas (𝑥, 𝑦, 𝑧). Um vetor unitário em 𝑥 possuiria as coordenadas (1,0,0), um vetor

unitário em 𝑦 é dado por (0,1,0) e um vetor unitário em 𝑧 é dado por (0,0,1). Chamaremos o

vetor unitário 𝑥 de 𝑖 , o vetor unitário 𝑦 de 𝑗 e o vetor unitário 𝑧 de �⃗� . Assim, as coordenadas de

um vetor 𝑣 num espaço tridimensional são dadas por: 𝑣 = 𝑣1𝑖 + 𝑣2𝑗 + 𝑣3𝑘 (o que é análogo a

𝑣𝑥𝑖 + 𝑣𝑦𝑗 + 𝑣𝑧𝑘). As coordenadas canônicas mostram o sentido em que determinado ponto se

encontra nos eixos. Um vetor 𝐴 ⃗⃗ ⃗ num espaço tridimensional será:

Nesse caso, o vetor 𝐴 ⃗⃗ ⃗ = 𝑂𝑃̅̅ ̅̅ , ou seja, é o segmento que une O a P. As coordenadas

desse vetor serão 𝐴 ⃗⃗ ⃗ = 𝐴1𝑖 + 𝐴2𝑗 + 𝐴3𝑘.

Vamos supor que existam dois pontos. O ponto P determinado por (𝑥1, 𝑦1, 𝑧1) é a

origem do segmento e o ponto Q, dado por (𝑥2, 𝑦2, 𝑧2), é a extremidade do segmento. Sendo

assim, temos um vetor 𝑃𝑄⃗⃗⃗⃗ ⃗, cujo módulo é dado por:

||𝑃𝑄|| = √(𝑥2 − 𝑥1)2 + (𝑦2 − 𝑦1)

2 + (𝑧2 − 𝑧1)2

Generalização para um espaço n-dimensional

Seja um ponto qualquer P sobre uma reta. Sua coordenada será dada por 𝑃 = (𝑥).

Para um ponto P num plano, teremos uma coordenada em 𝑥 e outra em 𝑦. Assim, num plano

temos 𝑃 = (𝑥𝑦). Podemos atribuir uma coordenada em um plano como 𝑥1 e 𝑥2 ao invés de 𝑥 e

𝑦 (esse método é mais fácil de trabalhar quando temos n coordenadas). Portanto, num plano

podemos determinar as coordenadas de P por 𝑃 = (𝑥1𝑥2).

Num espaço tridimensional, podemos representar as coordenadas do ponto P como

𝑃 = (

𝑥1𝑥2𝑥3).

Agora, vamos supor a existência de um espaço ℝ𝑛. Um ponto P nesse espaço possuiria

as coordenadas 𝑃 =

(

𝑥1𝑥2...𝑥𝑛)

.

Se esse ponto determina um vetor 𝑣 ⃗⃗⃗ , então o comprimento desse vetor será:

||𝑣|| = √∑𝑥𝑖2

𝑛

𝑖=1

Operações com Vetores

A representação de um vetor 𝑣 ⃗⃗⃗ pode ser feita utilizando-se matrizes. Uma matriz

linha, ou coluna, é a representação de um vetor. Seja, então, o vetor 𝑣 ⃗⃗⃗ com três coordenadas,

temos:

𝑣 ⃗⃗⃗ = (

𝑣1𝑣2𝑣3)

As operações de soma entre dois vetores 𝑣 ⃗⃗⃗ e 𝑤 ⃗⃗⃗⃗ será:

𝑣 ⃗⃗⃗ + 𝑤 ⃗⃗⃗⃗ = (

𝑣1 +𝑤1𝑣2 +𝑤2𝑣3 +𝑤3

)

A multiplicação de um vetor 𝑣 ⃗⃗⃗ por um escalar 𝛼 será:

𝛼𝑣 ⃗⃗⃗ = (

𝛼𝑣1𝛼𝑣2𝛼𝑣3

)

As operações são as mesmas em n-dimensões.

Coordenadas de um vetor

Sejam 𝑃 = (𝑥1𝑦1) e 𝑄 = (

𝑥2𝑦2), o vetor dado por 𝑣 ⃗⃗⃗ = 𝑃𝑄̅̅ ̅̅ possui coordenadas:

𝑣 ⃗⃗⃗ = 𝑃𝑄̅̅ ̅̅ = 𝑄 − 𝑃 = (𝑥2 − 𝑥1𝑦2 − 𝑦1

)

Vetores Coplanares

Seja A um vetor e B outro vetor, dizemos que A e B são coplanares (ou paralelos) se:

∃𝛼 ∈ ℝ | 𝐴 = 𝛼𝐵.

Para determinar se A, B e C são coplanares, podemos fazer:

𝐴 = (

𝑥1𝑥2𝑥3) 𝐵 = (

𝑦1𝑦2𝑦3) 𝐶 = (

𝑧1𝑧2𝑧3)

𝐴𝐵̅̅ ̅̅ = (

𝑦1 − 𝑥1𝑦2 − 𝑥2𝑦3 − 𝑥3

) ≡ 𝐴𝐶̅̅ ̅̅ = (

𝑧1 − 𝑥1𝑧2 − 𝑥2𝑧3 − 𝑥3

)

Outra maneira de saber se os vetores são coplanares é utilizar a determinante dos três

pontos. Assim:

𝐴 = (

𝑎1𝑎2𝑎3) 𝐵 = (

𝑏1𝑏2𝑏3

) 𝐶 = (

𝑐1𝑐2𝑐3)

𝑑𝑒𝑡 (

𝑎1 𝑎2 𝑎3𝑏1 𝑏2 𝑏3𝑐1 𝑐2 𝑐3

) = 0

Portanto, os vetores serão paralelos se a determinante for zero.

Definiça o de Reta

Uma reta em ℝ𝑛 é um subconjunto:

𝑟 = {𝑃 + 𝜆𝑣 ∶ 𝜆 ∈ ℝ} ⊆ ℝ𝑛

Onde P é um ponto fixo e v é um vetor também fixo.

Uma reta que passa pelo ponto 𝑃 = (𝑎𝑏) e tem vetor de direção 𝑣 = (

𝑣1𝑣2) é descrita

como:

(𝑥𝑦) = (

𝑎𝑏) + 𝜆 (

𝑣1𝑣2)

O que nos fornece:

{𝑥 = 𝑎 + 𝜆𝑣1𝑦 = 𝑏 + 𝜆𝑣2

Essa é a chamada equação paramétrica da reta.

Equação Geral da Reta

Uma reta que passa pelos pontos 𝐴 = (𝑥1, 𝑦1) e 𝐵 = (𝑥2, 𝑦2) passa por um ponto

genérico 𝑃 = (𝑥, 𝑦) qualquer. Aplicando a condição de alinhamento de três pontos, temos:

|1 1 1𝑥1 𝑥2 𝑥3𝑦1 𝑦2 𝑦3

| = 0

Desenvolvendo esse determinante, encontramos:

(𝑦1 − 𝑦2)𝑥 + (𝑥2 − 𝑥1)𝑦 + (𝑥1𝑦2 − 𝑥2𝑦1) = 0

Assim, adotando:

𝑦1 − 𝑦2 = 𝑎, 𝑥2 − 𝑥1 = 𝑏 𝑒 𝑥1𝑦2 − 𝑥2𝑦1 = 𝑐

Obtemos:

𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐 = 0

Combinação Linear

Temos um vetor 𝑣 ∈ ℝ𝑛 e sejam 𝑣1, 𝑣2, … , 𝑣𝑚 ∈ ℝ𝑛. Com isso, 𝑣 é combinação linear

de 𝑣1, 𝑣2, … , 𝑣𝑚 ⇔ ∃𝛼1, 𝛼2, … , 𝛼𝑚 ∈ ℝ | 𝑣 = 𝛼1𝑣1 + 𝛼2𝑣2 +⋯+ 𝛼𝑚𝑣𝑚

Uma ideia de um espaço ℝ𝟒

Um ponto num espaço quadridimensional possuiria as coordenadas (𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡) .

Para espaços n=3 dimensões, sabemos calcular vetores e outros tipos de formas

geométricas. Para espaços n=4 dimensões a coisa fica um pouco mais complexa. Não podemos

observar objetos em 4 dimensões pois habitamos em um mundo governado por 3 dimensões.

Mas podemos ter uma representação do que seria a sombra de um objeto de 4 dimensões em

um mundo de 3 dimensões. Primeiro, vamos ver a representação de um objeto de 3

dimensões em um plano, ou seja, em duas dimensões. Se projetarmos a sombra de um cubo

em uma mesa ou desenharmos um cubo numa folha de papel, iremos observar que as arestas

sofrem certa deformação, ou seja, perdemos os ângulos retos. Todas as arestas do cubo são

ortogonais às arestas que se ligam, mas a ortogonalidade se perde com a representação de um

cubo num plano 2-D.

Mas, assim como podemos representar a sombra de um objeto 3-D em um plano 2-D,

podemos ter a representação de um objeto 4-D em um plano 3-D (embora aqui esteja

representado em 2-D). O nome que daremos ao nosso cubo 4-D será Hipercubo 4-D ou

Tesserato. Nossa representação aqui é a de um pequeno cubo dentro de outro, e da mesma

maneira que num cubo 3-D, as arestas formam ângulos retos.

A rotação do Tesserato seria observada da seguinte forma:

Em um mundo de 4-D seria possível beber um refrigerante sem a necessidade de abrir

a garrafa. Isso implica que quanto mais dimensões temos, mais coisas do que parecem surreais

tornam-se possíveis (para seres que habitam no que Carl Sagan chamou de planolândia, o

conceito de ir pra cima ou pra baixo é surreal).

Produto Interno ou Produto Escalar

Sejam 𝑣 = (

𝑥1𝑥2𝑥3) ,𝑤 = (

𝑦1𝑦2𝑦3) ∈ ℝ³ (podemos estender isso para ℝ𝑛).

Definimos 〈𝑣, 𝑤〉 = 𝑥1𝑦1 + 𝑥2𝑦2 + 𝑥3𝑦3

Pela definição de produto escalar:

𝑣 ∙ 𝑤 = ||𝑣||||𝑤||𝑐𝑜𝑠𝛼

O ângulo entre dois vetores pode ser calculado por:

𝑐𝑜𝑠𝛼 =𝑣 ∙ 𝑤

||𝑣||||𝑤||

Projeção Ortogonal

Seja um vetor 𝑣 e um vetor 𝑤, cujas origens estão juntas:

A projeção de 𝑣 sobre 𝑤 é:

𝑝𝑟𝑜𝑗𝑤𝑣 = (𝑣 ∙ 𝑤

||𝑤||²) ∙ 𝑤

Digamos que o vetor 𝑤 esteja sobre uma reta s. Se a reta s passa pela origem então

calculamos a projeção de 𝑣 sobre 𝑤 da maneira que vimos. Mas, se s não passar pela origem,

mas sim por um ponto A, então:

𝑝𝑟𝑜𝑗𝑤𝑣 = 𝐴 + (𝐴𝑃̅̅ ̅̅ ∙ 𝑤

||𝑤||²) ∙ 𝑤

Produto Vetorial

O produto vetorial é representado por ℝ³ × ℝ³.

Sejam dois vetores 𝐴 = (𝐴𝑥, 𝐴𝑦, 𝐴𝑧) e 𝐵 = (𝐵𝑥, 𝐵𝑦, 𝐵𝑧). O produto vetorial pode ser

calculado como:

𝐴 × 𝐵 = |𝑖 𝑗 𝑘𝐴𝑥 𝐴𝑦 𝐴𝑧𝐵𝑥 𝐵𝑦 𝐵𝑧

|

Ou seja, 𝐴 × 𝐵 = 𝐶 = (𝐶𝑥𝑖 + 𝐶𝑦𝑗 + 𝐶𝑧𝑘)

Fazendo uma expansão por cofatores, temos:

𝐴 × 𝐵 = |𝐴𝑦 𝐴𝑧𝐵𝑦 𝐵𝑧

| 𝑖 − |𝐴𝑥 𝐴𝑧𝐵𝑥 𝐵𝑧

| 𝑗 + |𝐴𝑥 𝐴𝑦𝐵𝑥 𝐵𝑦

| 𝑘

𝐴 × 𝐵 = (𝐴𝑦𝐵𝑧 − 𝐴𝑧𝐵𝑦)𝑖 − (𝐴𝑥𝐵𝑧 − 𝐴𝑧𝐵𝑥)𝑗 + (𝐴𝑥𝐵𝑦 − 𝐴𝑦𝐵𝑥)𝑘

Pela definição de produto vetorial, temos:

𝐴 × 𝐵 = ||𝐴||||𝐵||𝑠𝑒𝑛𝛼

O resultado de um produto vetorial é um terceiro vetor. Sendo assim, a direção e o

sentido do vetor resultante pode ser encontrado utilizando-se a regra da mão direita. Sejam A,

B e C vetores. Se fizermos 𝐴 × 𝐵 = 𝐶 os dedos apontam para o mesmo sentido de A, pois

ele foi o primeiro termo a surgir. Então você rotacional os dedos em direção à B

(formando o ângulo). O polegar apontará no sentido do vetor C.

Nesse caso, 𝐴 × 𝐵 = 𝐶. Perceba que se fizermos 𝐵 × 𝐴 = −𝐶. Ou seja, o vetor C

estara apontando para baixo. Portanto, dizemos que:

𝐴 × 𝐵 = −𝐵 × 𝐴

Produto Misto

Sejam os vetores 𝑣,𝑤 e 𝑢 ∈ ℝ³, o produto misto entre eles será:

(𝑣 × 𝑤) ∙ 𝑢

Geometricamente, teremos:

(𝑣 × 𝑤) ∙ 𝑢 = |𝑣 × 𝑤| ∙ |𝑢|𝑐𝑜𝑠𝛼

Se tivermos um paralelepípedo formado por 𝑣,𝑤 e 𝑢, sendo 𝑢 correspondente a

altura. Temos que o volume do paralelepípedo será:

(𝑣 × 𝑤) ∙ 𝑢 = ||𝑣 × 𝑤||ℎ

Sendo que ℎ = |𝑢|𝑐𝑜𝑠𝛼

Podemos calcular o produto misto com o determinante, sendo 𝑣 = (

𝑎1𝑎2𝑎3) ,𝑤 = (

𝑏1𝑏2𝑏3

) e

𝑢 = (

𝑐1𝑐2𝑐3)

(𝑣 × 𝑤) ∙ 𝑢 = 𝑑𝑒𝑡 (

𝑎1 𝑎2 𝑎3𝑏1 𝑏2 𝑏3𝑐1 𝑐2 𝑐3

)

Se (𝑣 × 𝑤) ∙ 𝑢 = 0 então 𝑣,𝑤 e 𝑢 são coplanares .

Planos

Temos um plano 𝛼 em que 𝑃0(𝑥0, 𝑦0𝑧0) pertence a ele. Um vetor não nulo

perpendicular ao plano (normal) é dado por 𝑛 ⃗⃗ ⃗(𝑎, 𝑏, 𝑐). Adotando outro ponto qualquer, sendo

esse 𝑃(𝑥, 𝑦, 𝑧) no plano, podemos determinar um segmento 𝑃0𝑃̅̅ ̅̅ ̅ pertencente a 𝛼. Como o

vetor 𝑛 ⃗⃗ ⃗ é perpendicular ao plano, temos que 𝑛 ⃗⃗ ⃗ ∙ 𝑃0𝑃̅̅ ̅̅ ̅ = 0.

Tomando 𝑃0𝑃̅̅ ̅̅ ̅ = 𝑃 − 𝑃0 = (𝑥 − 𝑥0, 𝑦 − 𝑦0, 𝑧 − 𝑧0) teremos:

𝑛 ⃗⃗ ⃗ ∙ 𝑃0𝑃̅̅ ̅̅ ̅ = (𝑎, 𝑏, 𝑐) ∙ (𝑥 − 𝑥0, 𝑦 − 𝑦0, 𝑧 − 𝑧0) = 0 ∴

𝑎(𝑥 − 𝑥0) + 𝑏(𝑦 − 𝑦0) + 𝑐(𝑧 − 𝑧0) = 0

∴ 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐𝑧 − 𝑎𝑥0 − 𝑏𝑦0 − 𝑐𝑧0 = 0

Sendo −𝑎𝑥0 − 𝑏𝑦0 − 𝑐𝑧0 uma constante, podemos chamar de d, temos:

𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐𝑧 + 𝑑 = 0

E assim, temos a equação geral do plano.

Se 𝑣 e 𝑤 são dois vetores não colineares do plano 𝜋 e 𝑃 ∈ 𝜋 ⇒ 𝜋 ∶ 𝑃 + 𝜆𝑣 + 𝜇𝑤 de

maneira que 𝜆, 𝜇 ∈ ℝ. Assim, obtemos a equação paramétrica do plano.

A equação paramétrica do plano 𝜋 que passa pelo ponto 𝑃 = (𝑎, 𝑏, 𝑐) e tem vetores

𝑣 = (𝑣1, 𝑣2, 𝑣3) e 𝑤 = (𝑤1, 𝑤2, 𝑤3) pode ser determinada:

{

𝑥 = 𝑎 + 𝜆𝑣1 + 𝜇𝑤1𝑦 = 𝑏 + 𝜆𝑣2 + 𝜇𝑤2𝑧 = 𝑐 + 𝜆𝑣3 + 𝜇𝑤3

Seja 𝑃0 = (𝑥0, 𝑦0, 𝑧0) e 𝑣 ⃗⃗⃗ = (𝑎, 𝑏, 𝑐). Temos que:

𝑥 − 𝑥0𝑎

=𝑦 − 𝑦0𝑏

=𝑧 − 𝑧0𝑐

Que nada mais é do que a equação na forma simétrica.

Ângulo entre vetores diretores de Retas

Um vetor diretor pode ser calculado como:

𝑢 = (1

||𝑣||) 𝑣

Um vetor diretor nos eixos nos da os vetores unitários 𝑖 ⃗, 𝑗 ⃗⃗ e 𝑘 ⃗⃗⃗ . Sejam então dois

vetores diretor das retas, temos:

|𝑐𝑜𝑠𝜃| =|𝑣1 ∙ 𝑣2|

||𝑣1|| ∙ ||𝑣2||

Ângulos entre Planos

Tomando dois vetores normais de um plano, temos:

cos(𝜋1, 𝜋2) = |𝑐𝑜𝑠𝜃| =|𝑛1 ∙ 𝑛2|

||𝑛1|| ∙ ||𝑛2||

Distância de um ponto ao Plano

Um ponto 𝑃 no plano 𝜋 que se liga a um ponto 𝑃0 fora do plano cria um vetor, cuja

projeção ortogonal sobre o plano coincide com a distância desse ponto ao plano. Então:

𝑑𝑖𝑠𝑡(𝑃0, 𝜋) = 𝑝𝑟𝑜𝑗𝑛𝑃𝑃0̅̅ ̅̅ ̅ =|𝑃𝑃0̅̅ ̅̅ ̅ ∙ 𝑛|

||𝑛||

Distância de um ponto a Reta

Temos uma reta 𝑟 e um vetor 𝑣 presente nessa reta. A distância de um ponto 𝑃0 à reta

será:

𝑑𝑖𝑠𝑡(𝑃0, 𝑟) =||𝑃𝑃0̅̅ ̅̅ ̅ × 𝑣||

||𝑣||

𝑝𝑟𝑜𝑗𝑟𝑃𝑃0̅̅ ̅̅ ̅ =(𝑃𝑃0̅̅ ̅̅ ̅ ∙ 𝑣)

2

||𝑣||

Distância entre dois Planos

Sejam dois planos 𝜋1 e 𝜋2 e 𝑃1 e 𝑃2 pontos nos respectivos planos. A distância entre os

planos é:

𝑑𝑖𝑠𝑡(𝜋1, 𝜋2) =|𝑃1𝑃2̅̅ ̅̅ ̅̅ ∙ 𝑛1|

||𝑛1||

Onde 𝑛 é a normal.

Co nicas

Tomando uma figura de um cone, podemos fazer secções transversais a fim de obter

figuras geométricas chamadas de cônicas.

Uma cônica satisfaz a equação:

𝑎𝑥² + 𝑏𝑦² + 𝑐𝑥𝑦 + 𝑑𝑥 + 𝑒𝑦 + 𝑓 = 0

Elipse

Dados dois ponto 𝐹1e 𝐹2 chamados de focos, temos que uma elipse é um conjunto de

pontos 𝑃 ∈ ℝ² de maneira que: 𝑑𝑖𝑠𝑡(𝑃, 𝐹1) + 𝑑𝑖𝑠𝑡(𝑃, 𝐹2) = 2𝑎

Os pontos A e B são os vértices da elipse. Temos que 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ é o eixo maior da elipse e 𝐶𝐷̅̅ ̅̅

é o eixo menor. A distância entre um dos eixos ao centro da elipse chamamos de a. A distância

entre o centro à C ou D chamamos de b. Uma elipse encontra-se na forma padrão se o seu

centro coincide com a origem das coordenadas.

Seja a elipse representada por coordenadas:

http://www.google.com.br/url?sa=i&rct=j&q=&esrc=s&frm=1&source=images&cd=&cad=rja&docid=hifCpWLrFa0yxM&tbnid=JgUTYIW9i9k6AM:&ved=0CAUQjRw&url=http://professorederlima.blogspot.com/2012/09/seccoes-conicas-3-ano.html&ei=r3-ZUaLFK47U9ATOq4CYAw&psig=AFQjCNFkzyD_uDX7yKQDmMv3XwlJAfhC2Q&ust=1369100544658525http://www.google.com.br/url?sa=i&rct=j&q=&esrc=s&frm=1&source=images&cd=&cad=rja&docid=f0tnj-UzSmS2kM&tbnid=65Cg8Jf2BWjY_M:&ved=0CAUQjRw&url=http://matematecnologia.blogspot.com/2010/10/elipse-para-ensino-medio.html&ei=kICZUc7QCIaQ9QTA2IH4Cg&psig=AFQjCNHDXdGXM3uFfhvqDzEDXFg9_4YqRA&ust=1369100781371753

Sua equação será:

𝑥2

𝑎2+𝑦2

𝑏2= 1

Pode calcular o valor de b:

𝑏 = √𝑎2 − 𝑐2

Agora, digamos que os focos da elipse estão sobre o eixo y ao invés de x. Assim,

teremos:

𝑥2

𝑏2+𝑦2

𝑎2= 1

Excentricidade da Elipse

A excentricidade (𝑒) da elipse mostra a quão achatada, ou não, é uma elipse. Assim:

𝑒 =𝑐

𝑎 ∈ [0,1)

Se a excentricidade for igual a zero (ou seja, 𝐹1 = 𝐹2 ⇒ 𝑐 = 0), nossa elipse será um

circulo.

No caso geral de uma elipse, temos:

𝑒 =𝐹

𝑉< 1

Posição Padrão de cônicas

Para uma cônica estar em posição padrão, devemos ter:

𝑐 = 0 (𝑥𝑦)

𝑑 = 0 (𝑥)

𝑒 = 0 (𝑦)

Cônica em boa posição

Para uma cônica estar em boa posição, devemos ter:

𝑐 = 0 (𝑥𝑦)

Exemplos de Cônicas

Seja a cônica descrita pela seguinte equação:

𝑥2 + 2𝑦2 = 3

Essa cônica está em posição padrão (𝑥𝑦 = 0, 𝑥 = 0, 𝑦 = 0) e está em boa posição

(𝑥𝑦 = 0).

Seja a cônica descrita pela seguinte equação:

𝑥2 − 𝑦2 + 2𝑥 − 𝑦 + 3 = 0

Essa cônica não está em posição padrão (pois 𝑥 ≠ 0 e 𝑦 ≠ 0). Mas está em boa

posição, pois 𝑥𝑦 = 0.

Cônicas em posição Padrão

𝛼𝑥2 + 𝛽𝑦2 = 𝛾 𝛾 > 0

1° Caso: Elipse ⇒ 𝛼 > 0, 𝛽 > 0

2° Caso: Hipérbole ⇒ 𝛼𝛽 < 0 (sinal diferente)

3° Caso: Parábola ⇒ 𝛼 = 0 ou 𝛽 = 0

Hipérbole

Uma hipérbole possui equação:

𝑥2

𝑎2−𝑦2

𝑏2= 1

Ou, de maneira análoga:

𝑦2

𝑎2−𝑥2

𝑏2= 1

Calculamos o foco como:

𝑐 = √𝑎2 + 𝑏2

Para o caso de 𝑦 = 0, teremos:

Para o caso de 𝑥 = 0 teremos:

Para a hipérbole, temos que sua excentricidade será: 𝑒 =𝐹

𝑉> 1

Assíntotas

Existem duas assíntotas relacionadas às nossas cônicas. São elas:

𝑦 =𝑏

𝑎𝑥

E

𝑦 = −𝑏

𝑎𝑥

Parábola

Uma parábola pode ser descrita como:

𝑦² = 𝑎𝑥

Ou então:

𝑥² = 𝑎𝑦

Seja r uma reta diretriz e F um foco, temos:

Ou então, podemos ter:

Uma propriedade diz que: 𝑝 ∈ 𝑃𝑎𝑟á𝑏𝑜𝑙𝑎 ⟺ 𝑑𝑖𝑠(𝑝, 𝐹) = 𝑑𝑖𝑠𝑡(𝑝, 𝑟).

O ponto p vale:

𝑝 =𝑎

4

Assim temos:

𝑦² = 4𝑝𝑥

E:

𝑥² = 4𝑝𝑦

Se a cônica encontra-se em boa posição, então existe uma equação canônica a saber:

(𝑥 − 𝑥0)2

𝑎2+(𝑦 − 𝑦0)

2

𝑏2= 1 ⇒ 𝐸𝑙𝑖𝑝𝑠𝑒

(𝑥 − 𝑥0)2

𝑎2−(𝑦 − 𝑦0)

2

𝑏2= 1 ⇒ 𝐻𝑖𝑝é𝑟𝑏𝑜𝑙𝑒

(𝑦 − 𝑦0)2 = 𝑎(𝑥 − 𝑥0)

2 ⇒ 𝑃𝑎𝑟á𝑏𝑜𝑙𝑎

Características das Cônicas

A respeito da excentricidade, temos:

𝑒 = 1 ⇒ 𝑃𝑎𝑟á𝑏𝑜𝑙𝑎

0 < 𝑒 < 1 ⇒ 𝐸𝑙𝑖𝑝𝑠𝑒

𝑒 > 1 ⇒ 𝐻𝑖𝑝é𝑟𝑏𝑜𝑙𝑒

Vista Geral de Cônicas em Posição Padrão

𝛼𝑥² + 𝛽𝑦² = 𝛾 𝛾 > 0

1° Caso: Elipse → 𝛼 > 0, 𝛽 > 0

2° Caso: Hipérbole → 𝛼𝛽 < 0 (sinais contrários)

3° Caso: Parábola → 𝛼 = 0 ou 𝛽 = 0

Analisando uma elipse:

𝛼𝑥² + 𝛽𝑦² = 𝛾

Escrito na forma canônica:

𝑥2

𝑎2+𝑦2

𝑏2= 1

Assim:

(𝛼𝑥2 + 𝛽𝑦2 = 𝛾 ⟹𝛼

𝛾𝑥2 +

𝛽

𝛾𝑦2 = 1⟹ 𝑎 = √

𝛾

𝛼 , 𝑏 = √

𝛾

𝛽)

Como exemplo, temos que:

3𝑥2 + 5𝑦2 = 2

3

2𝑥² +

5

2𝑦² = 1

𝑎 = √2

3 , 𝑏 = √

2

5

Assim, temos que:

𝑥2

(√23)

2 +𝑦2

(√25)

2 = 1

Translação de Cônicas

Uma cônica C é o conjunto de pontos 𝑃 = (𝑥, 𝑦) ∈ ℝ² que verificam a seguinte

equação:

𝑎1𝑥² + 𝑎2𝑥𝑦 + 𝑎3𝑦² + 𝑎4𝑥 + 𝑎5𝑦 + 𝑎6 = 0

Em que (𝑎1, 𝑎2, 𝑎3) ≠ (0,0,0).

As cônicas são classificadas em:

Não Degeneradas: Elipse, hipérbole e parábola.

Degeneradas: união de duas retas, uma reta, um ponto ou o conjunto vazio.

Se C está em boa posição então podemos aplicar uma translação, de forma a obter C’

em excelente posição. Classificamos C’, achamos seus elementos e logo voltamos à nossa

cônica original.

{𝑥 → 𝑥 + 𝑥0𝑦 → 𝑦 + 𝑦0

Como exemplo, temos:

𝐶: 9𝑦² − 9𝑥2 + 6𝑥 = 5

Essa cônica está em boa posição. Então:

𝐶′: 9(𝑦 − 𝑦0)2 − 9(𝑥 − 𝑥0)

2 + 6(𝑥 − 𝑥0) = 5

9𝑦2 − 18𝑦0𝑦 + 9𝑦02 − 9𝑥2 + 18𝑥0𝑥 − 9𝑥0

2 + 6𝑥 − 6𝑥0 = 5

−9𝑥2 + 9𝑦2 + (18𝑥0 + 6)𝑥 − 18𝑦0𝑦 + (9𝑦02 − 9𝑥0

2 − 6𝑥0) = 5

Impomos {18𝑥0 + 6 = 0 ⟹ 𝑥0 = −1/3−18𝑦0 = 0 ⟹ 𝑦0 = 0

𝐶′ : − 9𝑥2 + 9𝑦2 = 4

𝐶′ : −9

4𝑥2 +

9

4𝑦2 = 1

𝐶′ : −𝑥2

49

+𝑦2

49

= 1

𝐶′:𝑦2

(23)2 −

𝑥2

(23)2 = 1

Seja um vetor no plano, cuja origem é o ponto 𝑃 = (7,6) e a extremidade é o ponto

𝑃′ = (4,3). Temos que a coordenada do vetor será:

𝑣 ⃗⃗⃗ = 𝑃𝑃′̅̅ ̅̅̅ = (−3−3)

Aplicando uma translação nesse vetor, temos:

{𝑥 → 𝑥 − 3𝑦 → 𝑦 − 3

Seja 𝐶 ⊆ ℝ² com equação 𝐶: 𝐹(𝑥, 𝑦) = 0

(𝑥, 𝑦) ∈ 𝐶 ⇔ 𝐹(𝑥, 𝑦) = 0

(𝑥 − 𝑥0, 𝑦 − 𝑦0) verificam 𝐹(𝑥 + 𝑥0, 𝑦 + 𝑦0) = 0

Então, se temos um vetor:

𝑣 ⃗⃗⃗ = (−𝑥0−𝑦0

)

Sua translação será:

{𝑥 → 𝑥 − 𝑥0𝑦 → 𝑦 − 𝑦0

Como exemplo, seja 𝐶: 𝑥² + 𝑦² = 1, e 𝐶′ a circunferência de raio 1 com centro (2,1).

Achar a equação de 𝐶′.

Fazendo a translação:

{𝑥 → 𝑥 + 2𝑦 → 𝑦 + 1

𝐶′: (𝑥 − 2)2 + (𝑦 − 1)2 = 1

𝐶′: 𝑥2 − 2𝑥 + 4 + 𝑦2 − 2𝑦 + 1 = 1

𝐶′: 𝑥2 + 𝑦2 − 2𝑥 − 2𝑦 + 4 = 0

Aplicações às Cônicas

Vamos tomar algumas cônicas:

𝐶: 𝑥2 + 2𝑥 + 4𝑦2 − 2𝑦 + 1 = 0

{𝑥 → 𝑥 − 𝑥0𝑦 → 𝑦 − 𝑦0

𝐶′: (𝑥 + 𝑥0)2 + 2(𝑥 + 𝑥0) + 4(𝑦 + 𝑦0)

2 − 2(𝑦 − 𝑦0) + 1 = 0

𝑥2 + 4𝑦2 + (2𝑥0 + 2)𝑥 + (8𝑦0 − 2)𝑦 + (𝑥02 + 2𝑥0 + 4𝑦0

2 − 2𝑦0 + 1) = 0

{𝑥0 = −1𝑦0 = 1/4

𝑥2 + 4𝑦2 −1

4= 0

𝑥2 + 4𝑦2 =1

4

4𝑥2 + 16𝑦2 = 1

𝐶′ : 𝑥2

(12)2 +

𝑦2

(14)2 = 1

{

𝑥 → 𝑥 + 𝑥0 = 𝑥 − 1

𝑦 → 𝑦 + 𝑦0 = 𝑦 +1

4

𝐶:(𝑥 + 1)2

(12)2 +

(𝑦 −14)2

(14)2 = 1

A partir de sua equação canônica, podemos encontrar os elementos de C:

𝑎 = 1/2

𝑏 = 1/4

𝑐 = √|𝑎2 − 𝑏2| = √3

4

Utilizando outro método, temos:

𝐶: 𝑥2 + 2𝑥 + 4𝑦2 − 2𝑦 + 1 = 0

{𝑥 → 𝑥 − 𝑥0𝑦 → 𝑦 − 𝑦0

𝐶′: (𝑥 + 𝑥0)2 + 2(𝑥 + 𝑥0) + 4(𝑦 + 𝑦0)

2 − 2(𝑦 + 𝑦0) + 1 = 0

Impondo o coeficiente de 𝑥 = 0 e o coeficiente de 𝑦 = 0, temos:

{𝑥0 = −1𝑦0 = 1/4

𝐶′: (𝑥 + 𝑥0)2 + 2(𝑥 + 𝑥0) + 4(𝑦 + 𝑦0)

2 − 2(𝑦 + 𝑦0) + 1 = 0

𝐶′ : 𝑥2

(12)2 +

𝑦2

(14)2 = 1

Coordenadas Polares

A relação entre coordenadas polares e cartesianas é:

𝑃 = (𝑥0, 𝑦0) → 𝑐𝑎𝑟𝑡𝑒𝑠𝑖𝑎𝑛𝑎𝑠

𝑃 = (𝑟, 𝜎) → 𝑝𝑜𝑙𝑎𝑟𝑒𝑠

Assim, temos:

𝑥0 = 𝑟𝑐𝑜𝑠𝜎

𝑦0 = 𝑟𝑠𝑒𝑛𝜎

Podemos encontrar, por Pitágoras, e sendo 𝑟 a reta que parte da origem até um ponto

P e 𝜎 o ângulo formado com o eixo dos x:

𝑟 = √𝑥02 + 𝑦0

2

𝜎 = 𝐴𝑟𝑐𝑡𝑔 (𝑦0𝑥0) 𝑠𝑒 𝑥0 ≠ 0

Chamamos de polo o ponto (0,0) e eixo polar a semireta positiva sobre o eixo dos x.

Se tivermos um ponto dado em (1,1), que são suas coordenadas cartesianas, temos

que suas coordenadas polares serão:

𝑟 = √12 + 12 = √2

𝜎 = 𝐴𝑟𝑐𝑡𝑔(1) =𝜋

4

Têm-se 𝑠: 𝑦 = 2. Podemos escrever s em coordenadas polares:

𝑠𝑒𝑛𝜎 =2

𝑟 ↔ 𝑟𝑠𝑒𝑛𝜎 = 2

Sendo 𝑠: 2𝑥 + 𝑦 = 1. Teremos:

𝑠: 2𝑟𝑐𝑜𝑠𝜎 + 𝑟𝑠𝑒𝑛𝜎 = 1

𝑠: 𝑟(2𝑐𝑜𝑠𝜎 + 𝑠𝑒𝑛𝜎) = 1

Cônicas em Coordenadas Polares

Vamos expressar a cônica 𝐶: (𝑥 − 1)2 + (𝑦 − 1)2 = 2 de forma polar.

𝑥2 + 𝑦2 − 2𝑥 − 2𝑦 = 0

𝑥 = 𝑟𝑐𝑜𝑠𝜎

𝑦 = 𝑟𝑠𝑒𝑛𝜎

Então:

𝑟2𝑐𝑜𝑠2𝜎 + 𝑟2𝑠𝑒𝑛2𝜎 − 2𝑟𝑐𝑜𝑠𝜎 − 2𝑟𝑠𝑒𝑛𝜎 = 0

𝑟𝑐𝑜𝑠²𝜎 + 𝑟𝑠𝑒𝑛²𝜎 − 2𝑐𝑜𝑠𝜎 − 2𝑠𝑒𝑛𝜎 = 0

𝑟(𝑐𝑜𝑠2𝜎 + 𝑠𝑒𝑛2𝜎) − 2𝑐𝑜𝑠𝜎 − 2𝑠𝑒𝑛𝜎 = 0

Sendo (𝑐𝑜𝑠2𝜎 + 𝑠𝑒𝑛2𝜎) = 1

𝑟 = 2(𝑐𝑜𝑠𝜎 + 𝑠𝑒𝑛𝜎)

Equação Polar de Cônicas em Boa Posição

Tomemos uma cônica C e uma reta diretriz paralela a um dos eixos coordenados.

Adotemos o polo sendo F e s paralela ou perpendicular ao eixo polar. Assim:

𝑑 = 𝑑𝑖𝑠𝑡(𝐹, 𝑠)

1. Se a reta s está a direita do polo F:

𝑟 =𝑑𝑒

1 + 𝑒𝑐𝑜𝑠𝜎

2. Se a reta s está acima do polo F:

𝑟 =𝑑𝑒

1 − 𝑒𝑠𝑒𝑛𝜎

3. Se a reta s está debaixo do polo F:

𝑟 =𝑑𝑒

1 − 𝑒𝑠𝑒𝑛𝜎

4. Se a reta s está à esquerda do polo F:

𝑟 =𝑑𝑒

1 − 𝑒𝑐𝑜𝑠𝜎

Como exemplo, vamos identificar a seguinte cônica:

𝐶: 𝑟 =4

2 + 𝑐𝑜𝑠𝜎

𝑟 =𝑑𝑒

1 + 𝑒𝑐𝑜𝑠𝜎

𝐶: 𝑟 =4

2 + 𝑐𝑜𝑠𝜎→ 𝑟 =

2

1 +12 𝑐𝑜𝑠𝜎

→ {𝑒 = 1/2 → 𝐸𝑙𝑖𝑝𝑠𝑒𝑑𝑒 = 2 → 𝑑 = 4

Outro exemplo:

𝐶: 𝑟 =5

2 − 2𝑐𝑜𝑠𝜎

𝑟 =𝑑𝑒

1 − 𝑒𝑐𝑜𝑠𝜎=

52

(1 − 𝑐𝑜𝑠𝜎)→ {

𝑒 = 1 → 𝑃𝑎𝑟á𝑏𝑜𝑙𝑎𝑑𝑒 = 5/2 → 𝑑 = 5/2

Polinômio Característico de uma Matriz

Para uma matriz 2x2 temos que seu polinômio característico será:

𝐴 = (𝑎 𝑏𝑐 𝑑

) → 𝑝𝐴(𝜆) = 𝑑𝑒𝑡 (𝑎 − 𝜆 𝑏𝑐 𝑑 − 𝜆

)

Suas raízes são chamadas valores próprios de A.

Como exemplo, temos:

𝐴 = (2 10 3

)

𝑝𝐴(𝜆) = 𝑑𝑒𝑡 (2 − 𝜆 10 3 − 𝜆

)

= (2 − 𝜆)(3 − 𝜆)

𝑝𝐴(𝜆) = 𝜆2 − 5𝜆 + 6

𝑝𝐴(𝜆) = 0 → {𝜆1 = 2𝜆2 = 3

E assim obtemos os valores próprios de A.

Matriz de Rotação

Definimos a matriz de rotação de ângulo 𝜎 como:

𝑅𝜎 = (𝑐𝑜𝑠𝜎 −𝑠𝑒𝑛𝜎𝑠𝑒𝑛𝜎 𝑐𝑜𝑠𝜎

)

Se aplicarmos uma matriz de rotação sobre um vetor, nós giramos esse vetor sem

alterar seu módulo.

Temos um triângulo formado por 𝐴𝐵𝐶 onde 𝐴 = (0,0), 𝐵 = (1,2). Esse triângulo é

equilátero e queremos encontrar o valor de 𝐶.

Sabemos que os ângulos internos valem 60°, assim:

𝜎 = 60° → 𝑅𝜎 = (𝑐𝑜𝑠60° −𝑠𝑒𝑛60°𝑠𝑒𝑛60° 𝑐𝑜𝑠60°

) = (1/2 −√3/2

√3/2 1/2)

𝑅𝜎(𝐴𝐵)̅̅ ̅̅ ̅ = 𝐴𝐶̅̅ ̅̅ 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ = 𝐵 − 𝐴 = 𝐵 = (12)

= (1/2 −√3/2

√3/2 1/2)(12) =

(

1

2− √3

√3

2+ 1

)

= 𝐶

Equação Matricial de Cônicas

Seja a cônica

𝐶: 𝑎𝑥² + 𝑏𝑥𝑦 + 𝑐𝑦² + 𝑑𝑥 + 𝑒𝑦 + 𝑓 = 0

Sua forma matricial será:

𝐶: 𝑋𝑡𝐴𝑋 + 𝐵𝑋 + 𝑓 = 0

Onde:

𝐴2𝑋2 , 𝐵1𝑋2 , 𝑓 ∈ ℝ 𝑒 𝑋 = (𝑥𝑦)

Para escrever uma cônica em forma matricial devemos ter:

𝐶: (𝑥 𝑦) (𝑎 𝑏/2𝑏/2 𝑐

) (𝑥𝑦) + (𝑑 𝑒) (

𝑥𝑦) + 𝑓 = 0

Vamos expressar a seguinte cônica em forma matricial:

𝐶: 2𝑥2 − 3𝑥𝑦 + 3𝑦2 − 5𝑦 + 2 = 0

𝐶: (𝑥 𝑦) (2 −3/2

−3/2 3) (𝑥𝑦) + (0 − 5) (

𝑥𝑦) + 2 = 0

Teorema:

Seja a cônica 𝐶: 𝑋𝑡𝐴𝑋 + 𝐵𝑋 + 𝑓 = 0

• Se det(𝐴) > 0 → 𝐶 é uma elipse, um ponto ou vazio.

• Se det(𝐴) < 0 → 𝐶 é uma hipérbole ou um par de retas

concorrentes.

• Se det(𝐴) = 0 → 𝐶 é uma parábola, um par de retas paralelas

ou vazio.

No exemplo, temos que a determinante de A é maior que zero.

Superfí cies Qua dricas

Uma quádrica é o conjunto de pontos 𝑃 ∈ ℝ³ que satisfazem a equação:

𝑆: 𝑎𝑥² + 𝑏𝑦² + 𝑐𝑦² + 𝑑𝑥𝑦 + 𝑒𝑥𝑧 + 𝑓𝑦𝑧 + 𝑔𝑥 + ℎ𝑦 + 𝑖𝑧 + 𝑗 = 0

De maneira que (𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑, 𝑒, 𝑓) ≠ (0,0,0,0,0,0)

Vejamos um esfera de centro 𝑐 = (𝑥0, 𝑦0, 𝑧0) e raio r.

𝑃 = (𝑥𝑦𝑧) ∈ 𝐸 ↔ 𝑑𝑖𝑠𝑡(𝑃, 𝑐) = 𝑟

↔ √(𝑥 − 𝑥0)2 + (𝑦 − 𝑦0)

2 + (𝑧 − 𝑧0)2

↔ 𝐸: (𝑥 − 𝑥0)2 + (𝑦 − 𝑦0)

2 + (𝑧 − 𝑧0)2 = 𝑟²

Coordenadas Esféricas

É importante notar que:

𝜌2 = 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2

Chamamos o eixo x de eixo polar. Assim, determinamos:

𝑥 = 𝜌𝑠𝑒𝑛𝜙𝑐𝑜𝑠𝜎

𝑦 = 𝜌𝑠𝑒𝑛𝜙𝑠𝑒𝑛𝜎

𝑧 = 𝜌𝑐𝑜𝑠𝜙

O que nos fornece:

𝑟 = 𝜌𝑠𝑒𝑛𝜙

𝑥 = 𝑟𝑐𝑜𝑠𝜎

𝑦 = 𝑟𝑠𝑒𝑛𝜎

A origem do sistema de coordenadas chamamos de polo.

Observações:

• 𝜌 = 𝑐𝑡𝑒 → 𝐸𝑠𝑓𝑒𝑟𝑎 𝑑𝑒 𝑟𝑎𝑖𝑜 𝜌 𝑒 𝑐𝑒𝑛𝑡𝑟𝑜 𝑛𝑎 𝑜𝑟𝑖𝑔𝑒𝑚.

• 𝜙 = 𝑐𝑡𝑒 → 𝐶𝑜𝑛𝑒 𝑐𝑜𝑚 𝑣é𝑟𝑡𝑖𝑐𝑒 𝑛𝑎 𝑜𝑟𝑖𝑔𝑒𝑚.

• 𝜎 = 𝑐𝑡𝑒 → 𝑃𝑙𝑎𝑛𝑜 𝑝𝑒𝑟𝑝𝑒𝑛𝑑𝑖𝑐𝑢𝑙𝑎𝑟 𝑎𝑜 𝑝𝑙𝑎𝑛𝑜 𝑥𝑦.

Para todos esses casos, teremos uma rotação de uma reta sobre um eixo. Para o caso

de um cone, teremos:

Coordenadas Cilindricas

Temos que:

{𝑥 = 𝑟𝑐𝑜𝑠𝜎𝑦 = 𝑟𝑠𝑒𝑛𝜎𝑧 = 𝑧

O que representa coordenadas de P:

1) Vamos encontrar o centro e o raio da esfera:

𝐸: 4𝑥² + 4𝑦² + 4𝑧² − 3𝑥 + 𝑧 − 1 = 0

Iremos também:

2) Encontrar a equação canônica de E.

3) Encontrar E em coordenadas cilindricas.

4) Encontrar E em coordenadas esféricas.

Uma esfera de centro 𝐶 = (𝑥0, 𝑦0, 𝑧0) e raio r será da forma:

𝐸 = {𝑃 ∈ ℝ3|𝑑𝑖𝑠𝑡(𝑃, 𝐶) = 𝑟}

𝐸: (𝑥 − 𝑥0)2 + (𝑦 − 𝑦0)

2 + (𝑧 − 𝑧0)2 = 𝑟2

𝐸: (𝑥 − 𝑥0)

2

𝑟2+(𝑦 − 𝑦0)

2

𝑟2+(𝑧 − 𝑧0)

2

𝑟2= 1

4 (𝑥2 −3

4𝑥) + 4𝑦2 + 4(𝑧2 +

1

4𝑧) = 1

4 (𝑥 −3

8)2

+ 4𝑦2 + 4(𝑧 +1

8)2

= 1 +9

16+1

16=26

16=13

8

Assim:

1) Centro 𝐶 = (3

8, 0, −

1

8) e raio √

13

32

(𝑥 −3

8)2

+ 𝑦2 + (𝑧 +1

8)2

=13

32

2) 𝐸: (𝑥−

3

8)2

(√13

32)

2 +𝑦2

(√13

32)

2 +(𝑧+

1

8)2

√(13

32)2= 1

3) {𝑥 = 𝑟𝑐𝑜𝑠𝜎𝑦 = 𝑟𝑠𝑒𝑛𝜎𝑧 = 𝑧

𝑥2 + 𝑦2 = 𝑟2

𝐸: 4𝑟² + 4𝑧² − 3𝑟𝑐𝑜𝑠𝜎 + 𝑧 − 1 = 0

4) {

𝑥 = 𝜌𝑠𝑒𝑛𝜙𝑐𝑜𝑠𝜎𝑦 = 𝜌𝑠𝑒𝑛𝜙𝑠𝑒𝑛𝜎𝑧 = 𝜌𝑐𝑜𝑠𝜙

𝑥2 + 𝑦² + 𝑧2 = 𝜌2

𝐸: 4𝜌² − 3𝜌𝑠𝑒𝑛𝜙𝑐𝑜𝑠𝜎 + 𝜌𝑐𝑜𝑠𝜙 − 1 = 0

Superfí cies

Vimos que uma quádrica é da forma:

𝑆: 𝑎𝑥² + 𝑏𝑦² + 𝑐𝑦² + 𝑑𝑥𝑦 + 𝑒𝑥𝑧 + 𝑓𝑦𝑧 + 𝑔𝑥 + ℎ𝑦 + 𝑖𝑧 + 𝑗 = 0

Sendo (𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑, 𝑒, 𝑓) ≠ (0,0,0,0,0,0)

Vejamos algumas superfícies (as expressões são dadas quando a quádrica estiver em

excelente posição).

Elipsóide

𝑥2

𝑎2+𝑦2

𝑏2+𝑧2

𝑐2= 1

Hiperbolóide de uma folha

Podemos escrever a equação canônica da hiperbolóide de uma folha de três maneiras

distintas:

𝑥2

𝑎2+𝑦2

𝑏2−𝑧2

𝑐2= 1

𝑥2

𝑎2−𝑦2

𝑏2+𝑧2

𝑐2= 1

−𝑥2

𝑎2+𝑦2

𝑏2+𝑧2

𝑐2= 1

Hiperbolóide de duas folhas

Da mesma maneira que a hiperbolóide de uma folha, teremos três equações que

descrevem a hiperbolóide de duas folhas:

𝑥2

𝑎2−𝑦2

𝑏2−𝑧2

𝑐2= 1

−𝑥2

𝑎2+𝑦2

𝑏2−𝑧2

𝑐2= 1

−𝑥2

𝑎2−𝑦2

𝑏2+𝑧2

𝑐2= 1

Parabolóide Elíptico

Descrevemos o parabolíde elíptico como (sendo 𝑐 ≠ 0):

𝑥2

𝑎2+𝑦2

𝑏2= 𝑐𝑧

𝑥2

𝑎2+𝑧2

𝑏2= 𝑐𝑦

𝑦2

𝑎2+𝑧2

𝑏2= 𝑐𝑥

Parabolóide Hiperbólico

Sendo (𝑐 ≠ 0).

𝑥2

𝑎2−𝑦2

𝑏2= 𝑐𝑧

𝑥2

𝑎2−𝑧2

𝑏2= 𝑐𝑦

𝑦2

𝑎2−𝑧2

𝑏2= 𝑐𝑥

Cone Elíptico

As equações que determinam o cone elíptico são:

𝑥2

𝑎2+𝑦2

𝑏2= 𝑧2

𝑥2

𝑎2+𝑧2

𝑏2= 𝑦2

𝑦2

𝑎2+𝑧2

𝑏2= 𝑥²

Temos uma equação no ℝ³ da forma 𝑓(𝑥, 𝑦) = 0 (ou seja 𝑓(𝑥, 𝑧) = 0 ou 𝑓(𝑥, 𝑦) = 0).

→ 𝑐𝑖𝑙𝑖𝑛𝑑𝑟𝑜 𝑒𝑙í𝑝𝑡𝑖𝑐𝑜 𝑠𝑒 𝑓(𝑥, 𝑦) = 0 𝑟𝑒𝑝𝑟𝑒𝑠𝑒𝑛𝑡𝑎 𝑢𝑚𝑎 𝑒𝑙𝑖𝑝𝑠𝑒 𝑒𝑚 ℝ2

→ 𝑐𝑖𝑙𝑖𝑛𝑑𝑟𝑜 ℎ𝑖𝑝𝑒𝑟𝑏ó𝑙𝑖𝑐𝑜 𝑠𝑒 𝑓(𝑥, 𝑦) = 0 𝑟𝑒𝑝𝑟𝑒𝑠𝑒𝑛𝑡𝑎 𝑢𝑚𝑎 ℎ𝑖𝑝é𝑟𝑏𝑜𝑙𝑒 𝑒𝑚 ℝ2

→ 𝑐𝑖𝑙𝑖𝑛𝑑𝑟𝑜 𝑝𝑎𝑟𝑎𝑏ó𝑙𝑖𝑐𝑜 𝑠𝑒 𝑓(𝑥, 𝑦) = 0 𝑟𝑒𝑝𝑟𝑒𝑠𝑒𝑛𝑡𝑎 𝑢𝑚𝑎 𝑝𝑎𝑟á𝑏𝑜𝑙𝑎 𝑒𝑚 ℝ2

Como exemplo temos: 𝑥² + 𝑦² = 1 em ℝ³. Essa equação representa uma elipse,

então temos:

Exemplos:

Vamos determinar:

𝐸: 8𝑥2 − 𝑦2 − 𝑧2 = 0

𝑦2 + 𝑧2 − 8𝑥2 = 0

𝑦2

(√8)2 +

𝑧2

(√8)2 = 𝑥

2 → 𝑐𝑜𝑛𝑒 𝑒𝑙í𝑝𝑡𝑖𝑐𝑜

𝑆: 3𝑥2 + 𝑦2 − 𝑧 = 0

3𝑥2 + 𝑦2 = 𝑧

𝑥2

(1

√3)2 +

𝑦2

12= 𝑧 → 𝑝𝑎𝑟𝑎𝑏𝑜𝑙ó𝑖𝑑𝑒 𝑒𝑙í𝑝𝑡𝑖𝑐𝑜

𝑥2 + 𝑦2 + 2𝑧2 − 4 = 0

𝑥2 + 𝑦2 + 2𝑧2 = 4

𝑥2

4+𝑦2

4+𝑧2

2= 1

𝑥2

22+𝑦2

22+

𝑧2

(√2)2 = 1 → 𝑒𝑙𝑖𝑝𝑠ó𝑖𝑑𝑒

So lidos de Revoluça o

Podemos tomar uma curva C num plano e rotacionar a mesma sobre um eixo, de

maneira a obter uma figura tridimensional, chamada sólido de revolução.

Na figura acima, a curva gira em torno do eixo x.

Outros exemplos:

Vamos ver um exemplo:

𝐻: 𝑥2

4−𝑧2

9= 1

Essa figura representa uma hipérbole no plano xz. Giramos essa hipérbole sobre o eixo

z de forma a obter um sólido de revolução. Então:

𝑓(𝑥, 𝑧) =𝑥2

4−𝑧2

9− 1

𝑆: 𝑓 (±√𝑥2 + 𝑦2, 𝑧) = 0

𝑆: (±√𝑥2+2, 𝑧)

2

4−𝑧2

9= 1

𝑆: 𝑥2 + 𝑦2

4−𝑧2

9= 1

Volume

O cálculo integral busca resolver problemas relacionados à áreas de gráficos. Quando

temos uma curva de um gráfico (dado por uma função 𝑓(𝑥)) rotacionado em torno de um

eixo, obtemos um sólido de revolução e assim podemos calcular seu volume:

𝑉 = 𝜋∫[𝑓(𝑥)]²𝑑𝑥

𝑏

𝑎

Reconhecimento de Quádricas e Superfícies através de suas Equações Paramétricas

Sendo C uma curva plana, denotamos (sendo 𝑡 ∈ ℝ):

𝐶: {𝑥 = 𝑎(𝑡)𝑦 = 𝑏(𝑡)

Se S é uma superfície, temos (sendo 𝑠, 𝑡 ∈ ℝ):

𝑆: {

𝑥 = 𝑎(𝑠, 𝑡)𝑦 = 𝑏(𝑠, 𝑡)𝑧 = 𝑐(𝑠, 𝑡)

Vamos lembrar algumas propriedades da trigonometria:

𝑠𝑒𝑛2𝑥 + 𝑐𝑜𝑠2𝑥 = 1

𝑐𝑜𝑠ℎ2𝑥 − 𝑠𝑒𝑛ℎ2𝑥 = 1

𝑠𝑒𝑐2𝑥 − 𝑡𝑔2𝑥 = 1

Determinaremos, agora, algumas cônicas:

𝐶: {𝑥 = 𝑎𝑐𝑜𝑠𝑡𝑦 = 𝑏𝑠𝑒𝑛𝑡

(𝑥

𝑎)2

= 𝑐𝑜𝑠2𝑡

+

(𝑦

𝑏)2

= 𝑠𝑒𝑛2𝑡

=

𝑥2

𝑎2+𝑦2

𝑏2= 𝑐𝑜𝑠²𝑡 + 𝑠𝑒𝑛²𝑡 →

𝑥2

𝑎2+𝑦2

𝑏2= 1 → 𝐸𝑙𝑖𝑝𝑠𝑒

𝐶: {𝑥 = 2 sec(𝑡)𝑦 = 𝑡𝑔(𝑡)

(𝑥

2)2

= 𝑠𝑒𝑐2(𝑡)

−

𝑦2 = 𝑡𝑔2(𝑡)

=

𝑥2

22−𝑦2

12= 1 → ℎ𝑖𝑝é𝑟𝑏𝑜𝑙𝑒

𝐶: {𝑥 = 2 cosh(𝑥)𝑦 = 3𝑠𝑒𝑛ℎ(𝑥)

(𝑥

2)2

= 𝑐𝑜𝑠ℎ2(𝑥)

−

(𝑦

3)2

= 𝑠𝑒𝑛ℎ2(𝑥)

=

𝑥2

4−𝑦2

9= 1 → ℎ𝑖𝑝é𝑟𝑏𝑜𝑙𝑒

𝑆: {

𝑥 = 𝑎𝑠𝑒𝑛(𝑠)cos (𝑡)

𝑦 = 𝑏𝑠𝑒𝑛(𝑠)𝑠𝑒𝑛(𝑡)𝑧 = 𝑐𝑐𝑜𝑠(𝑠)

Nesse caso, resolvemos normalmente, fazendo operações com as duas primeiras

linhas e depois, com o resultado obtido, fazer a operação com a terceira linha:

(𝑥

𝑎)2

= 𝑠𝑒𝑛2(𝑠)𝑐𝑜𝑠2(𝑡)

+

(𝑦

𝑏)2

= 𝑠𝑒𝑛2(𝑠)𝑠𝑒𝑛2(𝑡)

=

𝑥2

𝑎2+𝑦2

𝑏2= 𝑠𝑒𝑛2(𝑠)

+

𝑧2

𝑐2= 𝑐𝑜𝑠2(𝑠)

=

𝑥2

𝑎2+𝑦2

𝑏2+𝑧2

𝑐2= 1 → 𝐸𝑙𝑖𝑝𝑠ó𝑖𝑑𝑒

Superfí cies Mí nimas

Veremos agora algumas aplicações de superfícies, as chamadas superfícies mínimas.

Dada uma superfície, fixamos todos os pontos do bordo. Tomando dois pontos

quaisquer nós podemos ligá-los por infinitas curvas, de maneira que uma dessas curvas é uma

catenária.

Superfícies mínimas possuem curvatura média nula, o que quer dizer que para um

determinado limite uma superfície mínima não pode ser modificada sem aumentar sua área.

Catenária

A catenária descreve uma família de curvas planas, semelhantes às curvas geradas por

cordas suspensas pelas extremidades e sob a ação da gravidade.

A catenária é descrita pela função hiperbólica:

𝑦 = acosh(𝑥

𝑎) =

𝑎

2(𝑒𝑥/𝑎 + 𝑒−𝑥/𝑎)

Uma força aplicada em um ponto qualquer de uma catenária é dividida por toda a

curva. Por essa razão, fabricamos, com esse formato, fundos de latas, iglus, sprays, túneis,

usamos em fiação de postes, etc.

Se rotacionarmos uma catenária sobre um eixo, obteremos uma catenóide.

Catenóide

A catenóide é uma superfície de mínima área.

Quando brincamos com bolhas de sabão, nós simplesmente reproduzimos uma

superfície mínima. Um fênomeno físico chamado de tensão superficialfaz com que as películas

portem-se como superfícies elásticas, assumindo as formas de menor área possível.

A imagem acima mostra uma catenóide construida com película de sabão.

http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/6/6b/Catenary-pm.pnghttp://pt.wikipedia.org/wiki/Ficheiro:Bulle_cat%C3%A9no%C3%AFde.png

De todos os sólidos com volumes iguais e não nulos, a esfera é o sólido que possui a

menor área superficial possivel. Assim como a esfera, a catenóide constitui uma solução para o

problema de extremização da área de superfícies que satisfazem determinadas condições de

contorno.

Tensão Superficial

As moléculas no interior de um líquido são atraídas em todas as direções pelas

moléculas vizinhas. A resultante dessas forças de atração se torna praticamente nula. As

moléculas presentes na superfície do líquido, por sua vez, sofrem atração apenas lateralmente

e inferiormente. As forças aplicadas para os lados e para baixo criam a tensão superficial, e a

superfície do líquido age como se fosse uma membrana, comportando-se como uma película

elástica.

Superfície Costa

Essa superficie mínima foi descoberta pelo matemático brasileiro Celso José da Costa.

Até a sua descoberta, as únicas superfícies até então eram a Catenóide, a Helicóide e o plano.

A imagem abaixo é uma helicóide:

http://www.google.com.br/url?sa=i&rct=j&q=&esrc=s&frm=1&source=images&cd=&cad=rja&docid=5AyRSihzZBU4IM&tbnid=vo1YpHXYAlCQoM:&ved=0CAUQjRw&url=http://www.intelliwise.com.br/digital/natinta/natinta2.asp&ei=SZm8UZXVNJDi8gTq0IHwCw&psig=AFQjCNEZWiZK1ELf3dv6znJjR4PdSXEWEQ&ust=1371400832068756

Abaixo temos a superfície Costa:

https://www.google.com.br/url?sa=i&rct=j&q=&esrc=s&frm=1&source=images&cd=&cad=rja&docid=ZhuhHjTxf2yNmM&tbnid=qokybWpwTMe_UM:&ved=0CAUQjRw&url=https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Helicoide.png&ei=05u8UcCkJpTi8gTN1oC4DQ&psig=AFQjCNEaxsTk1FhI6szrEvxZqyA6rFCMDg&ust=1371401518837364http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/1/1b/Costa_minimal_surface.jpg