Curso de Engenharia de Controle e Automação Disciplina: Álgebra Linear Professor: Marcelo Cendron

Exercícios – Conversão de bases

1. Emcadaparteencontreovetorcoordenada𝑤emrelaçãoabase𝐴deℝ!

a. 𝐴 = {(1, 0), (0, 1)}; 𝑤 = (3,−7)

b. 𝐴 = {(2,−4), (3, 8)}; 𝑤 = (1, 1)

c. 𝐴 = {(1, 1), (0, 2)}; 𝑤 = (𝑎, 𝑏)

2. Emcadaparteencontreovetorcoordenada𝑤emrelaçãoabase𝐴deℝ!

a. 𝐴 = {(1, 0, 0), (2, 2, 0), (3, 3, 3)}; 𝑤 = (2,−1, 3)

b. 𝐴 = {(1, 2, 3), (−4, 5, 6), (7,−8, 9)}; 𝑤 = (5,−12, 3)

3. Emcadaparteencontreovetorcoordenada𝑝emrelaçãoabase𝐵 = {𝑝!,𝑝!,𝑝!de

𝑃!

a. 𝑝! = 1,𝑝! = 𝑥,𝑝! = 𝑥!;𝑝 = 4− 3𝑥 + 𝑥!

b. 𝑝! = 1+ 𝑥,𝑝! = 1+ 𝑥!,𝑝! = 𝑥 + 𝑥!;𝑝 = 2− 𝑥 + 𝑥!

4. Encontreovetordecoordenadasde𝐴emrelaçãoabase𝑆 = {𝐴!,𝐴!,𝐴!,𝐴!}

𝐴! =−1 10 0 ,𝐴! =

1 10 0 ,𝐴! =

0 01 0 ,𝐴! =

0 00 1 ; 𝐴 = 2 0

−1 3

5. Consideremosasseguintesbasesdeℝ!:

𝐴 = 1, 1 , 0,−1 𝑒 𝐵 = 2,−3 , −3, 5

a. Determineamatrizmudançadebase 𝐼 !!

𝐼 !! = 8 −3

5 −2

b. Utilizaamatrizobtidanoitema)paracalcular𝑣! ,sendo𝑣! = (2, 3)

𝑣! = (7, 4)

c. Determineamatrizmudança 𝐼 !!

𝐼 !! = 2 −3

5 −8

6. Seja𝐴 = 3,−1 , 1,−2 𝑒 𝐵 = 3, 2 , 2, 2 .Determineasmatrizesde

mudança 𝐼 !!e 𝐼 !

! ecalcule𝑣! ,sendo𝑣! = (4, 3)

𝐼 !! =

4 3!!!

−4 𝐼 !! =

!!

!!

!!!

!!!

𝑣! = (25,−30)

7. Seja𝐵! = 1, 0 , 0, 1 ,𝐵! = 1, 1 , −1, 0 ,𝐵! = −1, 1 , 2, 3 𝑒 𝐵! =

2, 1 , −5,−1 ,basesdoℝ!.

a. Determine 𝐼 !!!! , 𝐼 !!

!! , 𝐼 !!!! , 𝐼 !!

!! , 𝐼 !!!!

b. Determineovetorcoordenadade𝑣 = (−3, 4)emrelaçãoasbases

𝐵!,𝐵!,𝐵!,𝐵!

8. Consideremosasseguintesbasesdeℝ!:

𝐴 = 1, 0, 0 , 0, 1, 0 , 0, 0, 1 𝑒 𝐵 = 1, 0,−1 , 0, 1,−1 , −1, 1, 1

a. Determineamatriz 𝐼 !!

𝐼 !! =

2 1 1−1 0 11 1 1

b. Utilizaamatrizobtidanoitema)paracalcular𝑣! ,sendo𝑣! = (1, 2, 3)

𝑣! = (7,−4, 6)

c. Determineamatriz 𝐼 !!

𝐼 !! =

2 1 1−1 0 11 1 1

9. Seja𝐵! = 2, 1, 1 , 1, −2, 0 , (0, 2, 2) ,𝐵! = 1, 2, 0 , −2,−1,−1 , 0, 1,

1 ,𝐵! = −2, 0, 1 , 1, 1, 2 , (−1, 2,−2) ,basesdoℝ!.

a. Determine 𝐼 !!!! , 𝐼 !!

!! , 𝐼 !!!! , 𝐼 !!

!!

b. Determineovetorcoordenadade𝑣 = (3, 4, 1)emrelaçãoasbases

𝐵!,𝐵!,𝐵!

10. Se:

𝐼 !! =

0 1 01 1 01 1 1

Determinar[𝑣]!,sabendoque:

[𝑣]! =3−20

Obs.:PercebaqueamatrizdemudançadebasesereferedeA!B,enquantoo

vetorcoordenadaestárelacionadacomabaseb.

[𝑣]! =−532

11. Sabendoque 𝐼 !! = −1 4

4 −11 e𝐵 = 3, 5 , 1, 2 .DetermineabaseA.

12. Sabendoque 𝐼 !! = −7 6

−11 8 e𝐴 = 1, 3 , 2,−4 .DetermineabaseB.