Sebenta de exercícios

de

Álgebra II

Curso: Matemática

Ano Lectivo 2004/2005

19 de Fevereiro de 2005

(versão 1.1)

Índice

Notas Prévias ii

Notações e terminologia iii

1 Noções sobre relações, aplicações e cardinais 11.1 Conjuntos e relações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Aplicações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.3 Números cardinais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2 Anéis 62.1 Anéis e subanéis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.2 Morfismos de anéis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.3 Ideais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.4 Relações de congruência. Anéis quociente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.5 Divisores de zero. Domínios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182.6 Anéis de divisão. Corpos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212.7 Divisibilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

3 Anéis de polinómios 233.1 Polinómios numa indeterminada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233.2 Divisibilidade de polinómios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243.3 Irredutibilidade de polinómios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

4 Módulos 314.1 Módulos e submódulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314.2 Submódulo gerado por um conjunto. Módulos livres . . . . . . . . . . . . . . 344.3 Morfismos de módulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354.4 Módulos quociente. Teoremas de isomorfismos . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

Bibliografia 38

i

Notas Prévias

Este caderno de exercícios juntamente com a matéria leccionada nas aulas teóricas for-mam um todo, i.e., são uma parte integrante do programa da disciplina e não meramenteum conjunto de exercícios soltos.Em relação à resolução dos exercícios que constam neste caderno, chama-se a atenção de

que, só tem sentido tentar resolvê-los, após um estudo, cuidadoso, da matéria leccionada nasaulas teóricas, tudo o resto, será uma mera tentativa de resolução mecânica dos exercícios,sem qualquer fundamentação.O material contido neste caderno de exercícios, foi elaborado com base nas referências

[1, 2, 3, 4, 5] e de um conjunto de exercícios elaborados pelo próprio. De salientar, quealguns destes exercícios, foram revistos por alguns dos meus colegas do Departamento deMatemática com quem tenho trabalhado ao longo dos anos. A todos eles, os meus sincerose profundos agradecimentos.

N.B.: Na elaboração deste caderno, e dentro do possível, houve o cuidado de se usar umaescrita matemática rigorosa e uma simbologia o mais actualizada possível, no entanto, estecaderno pode não estar isento de - apesar de involuntárias - omissões e incorrecções1.

1apesar de se encontrar em permanente actualização, aceitam-se e agradecem-se sugestões, comentáriose correcções, de preferência, enviados para psemiao@ualg.pt.

ii

Notações e terminologia

Faremos uso dos seguintes símbolos para representar os conjuntos usuais:

; o conjunto vazioN = f0, 1, 2, 3, ¢ ¢ ¢g o conjunto dos números naturais

Z = f¢ ¢ ¢ ,¡2,¡1, 0, 1, 2, ¢ ¢ ¢g o conjunto dos números inteiros

Q =nxy2 R : x 2 Z ^ y 2 Z n f0g

oo conjunto dos números racionais

R o conjunto dos números reais

C o conjunto dos números complexos

Sendo X 2 fN,Z,Q,Rg, representaremos por X>0,X≥0 e X6=0, respectivamente, osseguintes conjuntos:

X>0 := fx 2 X : x > 0gX≥0 := fx 2 X : x ¸ 0gX6=0 := fx 2 X : x 6= 0g .

Como exemplos, o conjunto

R≥0 := fx 2 R : x ¸ 0g = [0,+1[,

representa o conjunto dos números reais não negativos, enquanto que o conjunto

R6=0 := fx 2 R : x 6= 0g = R n f0g ,

representa o conjunto de todos os números reais, excepto o zero.Faremos também uso do símbolo C6=0, para representar o conjunto C n f0g.De um modo geral, o símbolo K representa um corpo qualquer e o símbolo ‘:=’ quer

designar a igualdade de duas entidades por definição.Iremos representar por card(A) o cardinal do conjunto A. O símbolo ‘v’ representa umasubestrutura de uma dada estrutura algébrica. Por exemplo, sendo R um anel e A umsubconjunto de R, para abreviar a expressão ‘A é um subanel de R’, usamos o simbolismoA v R.

iii

Tabela de Símbolos

Y X o conjunto de todas as aplicações de X em Y

Inj(X,Y ) o conjunto de todas as aplicações injectivas de X em Y

Surj(X, Y ) o conjunto de todas as aplicações sobrejectivas de X em Y

Bij(X, Y ) o conjunto de todas as aplicações bijectivas de X em Y

Mor(R, S) (= Hom(R, S)) o conjunto de todos os morfismos de R em S

End(R) o conjunto de todos os endomorfismos em R

Mono(R,S) o conjunto de todos os monomorfismos de R em S

Epi(R, S) o conjunto de todos os epimorfismos de R em S

Bim(R, S) o conjunto de todos os bimorfismos de R em S

Sect(R,S) o conjunto de todas as secções de R em S

Retr(R,S) o conjunto de todas as retracções de R em S

Iso(R, S) o conjunto de todos os isomorfismos de R em S

Aut(R) o conjunto de todos os automorfismos em R

Emb(R,S) o conjunto de todos os mergulhos de R em S

Ul(R) (resp., Ur(R), U(R)) o conjunto de todos as unidades (esq., direitas, bilaterais) de R

Il(R) (resp., Ir(R), I(R)) o conjunto de todos os ideais (esq., direitos, bilaterais) de R

R (A) (resp., (A)R, (A)) ideal esquerdo (resp., direito, bilateral) gerado por A

P (R) o conjunto de todos os elementos primos de R

hAi (resp., R hAi) o subanel (resp., R-submódulo) gerado por A

Fk um corpo finito com k elementos

iv

1. Noções sobre relações, aplicações ecardinais

1.1. Conjuntos e relações

1.1.1) Seja ρ uma relação de equivalência definida num conjunto A. Mostre que a definiçãode relação de equivalência é equivalente a ser formulada, pelas seguintes condições:

i) IA µ ρ.ii) ρ µ ρ−1.iii) ρ ± ρ µ ρ.

a) Mostre ainda que se tem ρ = ρ−1, ou seja, i), ii) e iii) são equivalentes a i), ii’)ρ = ρ−1 e iii).

1.1.2) Sejam A um conjunto qualquer e ρ uma relação de equivalência definida em A.Mostre que:

a) 8a 2 A, a 2 [a].b) 8a, b 2 A : aρb, [a] = [b].

c) As classes de equivalência de elementos de A formam uma partição de A, ou seja,

i) 8a 2 A, [a] 6= ;.ii) 8a, b 2 A : [a] 6= [b] =) [a] \ [b] = ;.iii) 8a 2 A : S

a∈A[a] = A.

1.1.3) Sejam A um conjunto qualquer e C := fAi µ A : i 2 Ig µ P(A) uma partição de A.Então existe uma relação de equivalência em A tal que os elementos de C são as classesde equivalência dos elementos de A.

Sugestão: Considere a seguinte relação, para todo o a, b 2 A

aρb() 9i 2 I : (a 2 Ai ^ b 2 Ai).

1.1.4) Seja n 2 N. Mostre que a relação ´ definida para todo o a, b 2 Z por:

a ´ b (modn)() 9k 2 Z : a+ (¡b) = k ¢ n

é uma relação de equivalência. Esta relação é a relação usual de congruência dosnúmeros inteiros.

1.1.5) Sejam A,B µ X. Mostre que a relação ρ definida para todo o A,B 2 P(X) por:

AρB () A µ B _ B µ A

é uma relação reflexiva, simétrica mas não transitiva.

1

1.1.6) Considere-se a relação » definida para todo o elemento de N2 por:

(a, b) » (c, d)() a+ d = b+ c.

Mostre que é uma relação de equivalência e diga o que é [(a, b)]. Com esta relaçãodefine-se Z := N2

∼ e à classe de equivalência [(a, b)] chama-se número inteiro.

1.1.7) Seja A := fa, b, c, d, eg e consideremos as relações ρi, i = 1, . . . , 8 definidas em A.

a) Das relações seguintes, quais são reflexivas, simétricas, transitivas e equivalências:

1) ρ1 := f(a, b), (b, a), (c, d), (d, c)g.2) ρ2 := f(a, b), (b, c), (a, c)g.3) ρ3 := f(a, a), (b, b), (c, c), (d, d), (e, e), (a, b), (b, c)g.4) ρ4 := f(a, a), (b, b), (c, c), (d, d), (e, e)g (relação identidade).5) ρ5 := f(a, b), (c, e), (d, a), (d, b)g.6) ρ6 := f(a, a), (b, b), (c, c), (d, d), (e, e), (c, d), (d, c)g.7) ρ7 := ; (relação vazia).8) ρ8 := A£ A (relação universal).

b) Determine os seguintes conjuntos quociente A/ρ4, A/ρ6 e A/ρ8.

1.1.8) Considere os conjuntos A := fa, b, cg, B := fd, e, fg e C := fg, hg e as relações:

R := f(a, d), (b, e), (c, d)g e S := f(d, g), (e, h), (f, h)g

definidas, respectivamente, em A£ B e B £ C. Determine S ±R.1.1.9) Sejam S := Z £ Z 6=0 e ρ := f((r, s), (t, u)) 2 S2 : r ¢ u = s ¢ tg. Mostre que ρ é uma

relação de equivalência em S.

2

1.2. Aplicações

1.2.1) Sejam A e B conjuntos quaisquer e f : A ! B uma aplicação e considere a relaçãopara todo x, y 2 A

xρfy () f(x) = f(y).

Mostre que ρf é uma relação de equivalência.

1.2.2) Considere uma relação de equivalência qualquer, ρ, definida em A.

a) Mostre que existe uma aplicação h : A! A/ρ sobrejectiva.

b) Considere uma aplicação f : A ! B qualquer, tal que f é compatível com ρ, ouseja,

8x, y 2 A : xρy =) f(x) = f(y).

Defina g, i.e., a sua lei de transformação, de modo que o diagrama

A Aρ

--h

B?

f g¡

¡¡

¡¡ª

seja comutativo, ou seja, g ± h = f .c) Mostra ainda que, nestas condições, g é sobrejectiva se, e só se, f é sobrejectiva.

d) Mostre também que, f é bicompatível com ρ se, e só se, g é injectiva.

1.2.3) Seja f : A! B uma aplicação que preserva as relações, ou seja,

8a, b 2 A : aρb =) f(a)ρ0f(b).

a) Mostre que existe uma única aplicação f∗ : A/ρ ! B/ρ0 tal que o seguintediagrama

B Bρ0

-νB

A Aρ

-νA

?

f

?

f ∗

é comutativo. Diz-se que f ∗ é a aplicação induzida por f . Reciprocamente, se paraduas quaisquer aplicações f e f ∗ o diagrama é comutativo, então f é a aplicaçãoque preserva a relação e, f ∗ é a aplicação induzida por f .

b) Sejam A = B := Z,

ρ :=©(a, a0) 2 Z2 : a ´ a0 (mod 4)ª , ρ0 :=

©(b, b0) 2 Z2 : a ´ a0 (mod 2)ª

e f : A! B uma aplicação que preserva a relação, definida por f(n) := n.Sendo f∗ : A/ρ ! B/ρ0 mostre que:

1) f ∗([0]4) = f∗([2]4) = [0]2.

2) f ∗([1]4) = f∗([3]4) = [1]2.

1.2.4) Mostre que se f : X ! Y é uma aplicação qualquer, então f induz as seguintesaplicações:

3

a) f→ : P(X)! P(Y ).b) f← : P(Y )! P(X).

1.2.5) Sejam f : X ! Y uma aplicação, (Ai)i∈I uma família de subconjuntos de X e (Bi)i∈Iuma família de subconjuntos de Y . Mostre que:

a) f(Si∈IAi) =

Si∈If(Ai).

b) f(Ti∈IAi) µ

Ti∈If(Ai).

c) f−1(Si∈IBi) =

Si∈If−1(Bi).

d) f−1(Ti∈IBi) =

Ti∈If−1(Bi).

1.2.6) Seja f : A! B uma aplicação qualquer.

a) f é injectiva se, e só se, existe uma aplicação g : B ! A tal que g ± f = idA.(A g chama-se a inversa esquerda de f e diz-se que f é uma secção).

b) f é sobrejectiva se, e só se, existe g : B ! A tal que f ± g = idB.(A g chama-se a inversa direita de f e diz-se que f é uma retracção).

c) f é bijectiva se, e só se, existe g : B ! A tal que g ± f = idA ^ f ± g = idB.(A g chama-se função inversa de f e diz-se que f é um isomorfismo).

d) Mostre que a aplicação inversa de f é única e, portanto, faz sentido representá-lapor f−1(f−1 : B ! A).

1.2.7) Seja f : A! B uma aplicação qualquer. Mostre que:

a) f é injectiva se, e só se, para todo o conjunto C e para todo o par de aplicaçõesg, g0 : C ! A então tem-se que:

f ± g = f ± g0 =) g = g0.

(Uma aplicação que verifique esta condição diz-se um monomorfismo).

b) f é sobrejectiva se, e só se, para todo o conjunto C e para todo o par de aplicaçõesg, g0 : B ! C então tem-se que:

g ± f = g0 ± f =) g = g0.

(Uma aplicação que verifique esta condição diz-se um epimorfismo).

1.2.8) Sejam f : A! B e g : B ! C aplicações quaisquer:

a) Mostre que a composição de aplicações, g ± f , é uma aplicação.b) Mostre que a composição de aplicações injectivas, g ±f , é uma aplicação injectiva.c) Mostre que a composição de aplicações sobrejectivas, g ± f , é uma aplicação so-brejectiva.

d) Mostre que a composição de aplicações bijectivas, g ±f , é uma aplicação bijectiva.e) Se g ± f é uma aplicação sobrejectiva, então g é uma aplicação sobrejectiva.f) Se g ± f é uma aplicação injectiva, então f é uma aplicação injectiva.

4

1.3. Números cardinais

1.3.1) Considere A e B dois conjuntos quaisquer. O conjunto A diz-se equipotente ou equipo-lente a B e representa-se por A ' B se, e só se, existe uma aplicação bijectiva de Aem B. Mostre que a seguinte relação:

A ' B () 9f 2 BA : f 2 Bij(A,B)

é uma relação de equivalência.

Diz-se que os conjuntos A, B tem a mesma cardinalidade se

card(A) = card(B)() A ' B.

1.3.2) Mostre que para quaiquer conjuntos A e fyg, tem-se que A£ fyg ' A.1.3.3) Sejam A e B dois conjuntos quaisquer. Mostre que, A ' B ) P(A) ' P(B).1.3.4) Seja A um conjunto qualquer. Mostre que, P(A) ' f0, 1gA.

(Sugestão: Considere as relações f : P(A) ! f0, 1gA e g : f0, 1gA ! P(A) definidas,respectivamente, por B 7! χB e h 7! h−1 (f1g).)

1.3.5) SejaA um conjunto qualquer. Mostre que, existe uma aplicação injectiva deA! P(A).1.3.6) Sejam A e B conjuntos quaisquer. Mostre que a relação ∙ definida por:

card(A) ∙ card(B)() 9f 2 BA : f 2 Inj(A,B)

é uma relação de ordem parcial.

(Sugestão: Use o teorema de Schröder-Bernstein para conjuntos infinitos. Se tivermosaplicações injectivas de A em B e de B em A, então card(A) = card(B)).

5

2. Anéis

2.1. Anéis e subanéis

2.1.1) Mostre que num anel com elemento identidade (R; +, ¢, 0R) tem-se que 0R = 1R se, esó se, o conjunto suporte de (R; +, ¢, 0R) tem um único elemento.

2.1.2) Mostre que se num conjunto singular definirmos duas operações binárias, então ele éum anel multiplicativo e comutativo.

2.1.3) Verifique se os seguintes conjuntos com as operações indicadas são anéis e, indique, osque são comutativos e os que tem identidade:

a) (Mn×n(R); +, ¢, On×n), onde R é um anel.Em particular, com R := Z, obtemos o anel Mn×n(Z).

b)¡Zn; +, ¢, 0n, 1n

¢, onde n 2 N.

c)¡Q£pp¤; +, ¢, 0¢, onde Q £p

p¤:=

©x+ y

pp 2 R : x, y 2 Q ^ p 2 P (N≥2)

ªe as

operações binárias são definidas por:

(a+ bpp) + (c+ d

pp) := (a+ c) + (b+ d)

pp

(a+ bpp) ¢ (c+ dpp) := (ac+ pbd) + (ad+ bc)pp.

Em particular, conclua que Z£pp¤é um anel.

d) (2Z; +, ¤), onde + é a soma usual e a operação binária ¤ é definida por:

m ¤ n := 1

2mn.

e) R com as operações binárias θ e θ0 definidas por:

xθy := x+ y e xθ0y := 2xy.

f) A := f(x, 1) 2 R2 : x 2 Rg e as operações θ e θ0 definidas por:

(x, 1)θ(x0, 1) := (x+ y, 1) e (x, 1)θ0(x0, 1) := (xy, 1).

g) fa, bg com as operações binárias “+” e “¢” definidas através das seguintes tabelas:

+ a b

a a bb b a

e¢ a b

a a ab a b

.

2.1.4) Seja (R; +, 0R) um grupo abeliano no qual se introduz a operação binária “¢” definidapara todo o a, b 2 R por a ¢ b = 0R. Mostre que (R; +, ¢, 0R) é um anel e verifique seeste anel tem identidade.

6

2.1.5) Sejam R um anel (resp., anel unitário) e A um conjunto qualquer.

a) Mostre que RA é um anel (resp., anel unitário) para as operações usuais de adiçãoe multiplicação de funções, onde para todo o x 2 A:

(f + g)(x) := f(x) + g(x) e (f ¢ g)(x) := f(x) ¢ g(x).

b) Indique condições para que RA seja um anel comutativo.

c) Mostre que se A := R, então RR é um anel (resp., anel unitário).

d) Mostre que, em particular, o conjunto de todas as funções reais de variável real,i.e., RR é um anel unitário comutativo. Estude ainda como caso particular oconjunto R[a,b].

2.1.6) Sejam (R; +R, ¢R, 0R) e (S; +S, ¢S, 0S) (resp., (R; +R, ¢R, 0R, 1R) e (S; +S, ¢S, 0S, 1S) anéisunitários) e R£ S o produto cartesiano de R e S.

a) Mostre que R £ S é um anel (resp., anel unitário) se definirmos as seguintesoperações binárias:8a1, a2 2 R, 8b1, b2 2 S,

(a1, b1) + (a2, b2) := (a1 +R a2, b1 +S b2) e (a1, b1) ¢ (a2, b2) := (a1 ¢R a2, b1 ¢S b2).

Este anel (resp., anel unitário) é o produto cartesiano dos anéis R e S e, tambémé conhecido por produto directo (externo) dos anéis R e S.

b) Generalize para o produto cartesiano de n anéis (resp., anéis unitários) distintos.

Conclua que, em particular, Rn :=

nz }| {R£ R£ ¢ ¢ ¢ £ R é um anel (resp., anel unitário).

2.1.7) Seja R um anel. Mostre que para todo o a, a1, ..., an, b1, b2, ..., bn 2 R tem-se que:

a) a(b1 + b2 + ¢ ¢ ¢+ bn) = ab1 + ab2 + ¢ ¢ ¢+ abn.b) (b1 + b2 + ¢ ¢ ¢+ bn)a = b1a+ b2a+ ¢ ¢ ¢+ bna.

c)µ

nPi=1

ai

¶ÃmPj=1

bj

!=

nPi=1

mPj=1

aibj.

2.1.8) Sejam R um anel e a, b, c 2 R.

a) Mostre que para o grupo aditivo do anel tem-se que:

1) O elemento neutro aditivo do anel, 0R, é único.2) Cada elemento de R tem um único simétrico.3) ¡(¡a) = a.4) ¡(a+ b) = (¡a) + (¡b).5) Se a+ b = a+ c, então b = c (analogamente, b+ a = c+ a, então b = c).6) Cada uma das equações a+ x = b e x+ a = b tem uma única solução.

b) Mostre que para o semigrupo multiplicativo do anel tem-se que:

1) 0Ra = a0R = 0R.2) Se o anel tem elemento unidade 1R, então (¡1R)a = ¡a.3) a(¡b) = (¡a)b = ¡(ab).

7

4) (¡a)(¡b) = ab.5) a(b¡ c) = ab¡ ac e (b¡ c)a = ba¡ ca.

2.1.9) Prove que num anel R são válidas as seguintes regras usuais da aritmética, para todoo m,n 2 Z e a, b 2 R:

a) (m+ n)a = ma+ na.

b) (mn)a = m(na).

c) m(a+ b) = ma+mb.

d) n(ab) = (na)b = a(nb).

e) (ma)(nb) = (mn)ab.

2.1.10) Prove que num anel R com elemento unidade são válidas as seguintes regras usuais daaritmética, para todo o m,n 2 N e a, b 2 R:

a) anam = an+m.

b) (an)m = anm.

c) Se a e b comutam, então (ab)n = anbn.

d) Se a e b comutam, então ambn = bnam.

2.1.11) Seja R um anel e a, b 2 R elementos permutáveis. Mostre que se tem:

a) a(¡b) = (¡b)a.b) (¡a)(¡b) = (¡b)(¡a).c) (a+ b)n = an+

¡n1

¢an−1b+

¡n2

¢an−2b2+ ¢ ¢ ¢+ ¡

nn−1

¢abn−1+ bn, onde

¡nk

¢:= n!

k!(n−k)! .

2.1.12) Mostre que para todo o a, b 2 R, a2 ¡ b2 = (a + b)(a ¡ b) se, e só se, R é um anelcomutativo.

2.1.13) Sejam R um anel (resp., anel unitário) e A µ R. Mostre que A é um subanel (resp.,subanel unitário) de R se, e só se, verifica o seguinte:

i) 0R 2 A (resp., 1R 2 A);ii) 8x, y 2 R : x, y 2 A) x+ (¡y) 2 A;iii) 8x, y 2 R : x, y 2 A) xy 2 A.

2.1.14) Verifique nas alíneas seguintes se os subconjuntos são subanéis do respectivo anel e,indique, os que são comutativos e os que tem identidade:

a) Considere o anel R[a,b] e o subconjunto A :=©f 2 R[a,b] : f(b) = 0ª.

b) Considere o anel RR e o subconjunto C(R,R) de todas as funções contínuas reaisde variável real.

c) Considere o anel (M2×2(Z); +, ¢, O2×2) e os seguintes subconjuntos dele:

1)½∙

a bc d

¸2M2×2(Z) : c = d = 0

¾.

2)½∙

a bc d

¸2M2×2(Z) : c = 0

¾.

8

3)½∙

a bc d

¸2M2×2(Z) : b = c = 0

¾.

4)½∙

a bc d

¸2M2×2(Z) : b = d = 0

¾.

5)½∙

a bc d

¸2M2×2(Z) : b = c = 0 ^ d = 1

¾.

2.1.15) Seja R um anel unitário. Mostre que:

a) Se a, b 2 U(R)) ab 2 U(R).b) Se an 2 U(R)) a 2 U(R).c) Se a, b 2 U(R), então não necessariamente se tem que a+ b 2 U(R).

2.1.16) Determine:

a) U (Z8).b) U (M2×2 (Z)) (anel definido no exercício 2.1.3 com R := Z e n := 2).c) U

¡Z£p2¤¢(anel definido no exercício 2.1.3 com p := 2).

2.1.17) Mostre que no anel Zn, tem-se que para todo o n 2 Nn f0, 1g, n¡ 1 2 U(Zn).2.1.18) Seja K um corpo. Mostre que:

a) O conjunto U(Mn×n(K)), que se representa por:

GLn(K) := fA 2Mn×n(K) : A é invertívelg

é um subgrupo do monóide multiplicativo do anel unitário Mn×n(K).b) O conjunto de todas as matrizes diagonais invertíveis, Diag(GLn(K)), é um sub-grupo de GLn(K).

2.1.19) Sejam R um anel (resp., anel unitário) e A,B v R. Mostre que:

a) A \ B v R, i.e, a intersecção de dois subanéis (resp., subanéis unitários) de Rainda é um subanel (resp., subanel unitário) de R.Generalize para uma família infinita (Ai)i∈I de subanéis de R.

b) A [ B v R , A µ B _ B µ A, i.e., a união de dois subanéis (resp., subanéisunitários) de R ainda é um subanel (resp., subanel unitário) de R se, e só se, umdeles está contido no outro.

c) Se A ¢ B µ A ^ B ¢ A µ B ) A + B v R, i.e., a soma de dois subanéis (resp.,subanéis unitários) de R é um subanel (resp., subanel unitário) de R se o produtodeles está contido em ambos os factores.

d) Se B ¢ A µ A ¢ B ) A ¢ B v R, i.e., o produto de dois subanéis (resp., subanéisunitários) de R é um subanel (resp., subanel unitário) de R se o produto dosegundo pelo primeiro está contido no produto do primeiro pelo segundo.Mostre que se tem a recíproca no caso de R ser anel unitário.

2.1.20) Sejam R um anel e X µ R. Mostre que hXi é um subanel de R.

9

2.1.21) Sejam R um anel e A µ R. O centralizador de A em R é definido como sendo oconjunto

CR(A) := fx 2 R : 8a 2 A, ax = xag .

a) Mostre que o centralizador é um subanel de R.No caso particular de A := R, chama-se centro do anel R e representa-se por:

Z(R) := fx 2 R : 8r 2 R, xr = rxg .

b) Indique qual é o centro se o anel for comutativo.

2.1.22) Sejam (R; +, ¢, 0R, 1R) um anel unitário e Rop := (R; +, ¢op, 0R, 1R), onde para todo ox, y 2 R,

x ¢op y := y ¢ x.Mostre que Rop é um anel unitário.Ao anel unitário Rop chama-se anel oposto do anel R.

2.1.23) Diga, justificando, se é verdadeira ou falsa cada uma das seguintes afirmações:

a) Se A é subanel de um anel R que contém uma unidade b, então A contém b−1.

b) Num anel de característica 2, qualquer elemento é simétrico de si próprio.

c) Um anel finito pode ter característica zero.

d) A característica de um anel é sempre um número primo.

e) A característica de um corpo é sempre um número primo.

10

2.2. Morfismos de anéis

2.2.1) Indique, quais das seguintes aplicações são morfismos de anéis e, em cada caso afirma-tivo, determine o respectivo núcleo e classifique o respectivo morfismo:

a) f : Z! Z definida por f(a) := 3a.b) f : Z! Z definida por f(a) := a2.c) f : Z6 ! Z3 definida por f([a]6) := [a]3.d) f : C! R definida por f (z) := jzj.e) f : C! R definida por f (z) := Re (z).f) f : C! C definida por f (z) := iz.g) f : C! C definida por f (z) := z.h) f :Mn×n (R)!Mn×n (R) definida por f (A) := AT .i) f :Mn×n (R)! R definida por f (A) := det(A).

2.2.2) Sejam R, S anéis (resp., anéis unitários) e f : R ! S um morfismo de anéis (resp.,anéis unitários). Mostre que:

a) f é injectiva se, e só se, f é um monomorfismo.

b) f é sobrejectiva, então f é um epimorfismo. Será que a recíproca é verdadeira?

2.2.3) Sejam (R; +R, ¢R, 0R), (S; +S, ¢S, 0S) anéis e f : R! S um morfismo de anéis. Mostreque:

a) f (0R) = 0S.

b) 8n 2 Z, 8a 2 A, f (na) = nf (a).Em particular, f(¡a) = ¡f(a).

c) Se A v R, então f (A) v S.d) Se B v S, então f−1 (B) v R.e) f 2 Inj(R, S) se, e só se, Ker(f) = f0Rg.

2.2.4) Sejam R e S anéis (resp., anéis unitários). Mostre que:

a) Mor(R,S) não é um subanel do anel SR para as operações “+” e “¢” de morfismos.b) End(R) não é um anel para as operações “+” e “¢” de morfismos.c) Mor(R,S) é um subanel do anel SR para as operações “+” e “¢” de funções (nãode morfismos) (resp., anel unitário).Em particular, quando S := R, então End(R) é um anel (resp., anel unitário).

2.2.5) Sejam R e S anéis e S é comutativo. Indique, condições, para que se tenha o seguinte:

a) f, g 2 Hom(R,S), então f + g 2 Hom(R,S).b) f, g 2 Hom(R,S), então f ¢ g 2 Hom(R, S).c) Com a(s) condição(ões) que deduziu será que Hom(R, S) é um anel, para asoperações de “+” e “¢” de morfismos de anéis?Em particular, quando S := R, então End(R) é um anel.

11

2.2.6) Seja R um anel. Mostre que:

a) (RR; +, ±, c0R) não é um anel.

b) (End(R); +, ±, c0R) não é um anel.

2.2.7) Considere o grupo comutativo (M ; +, 0M). Mostre que:

a) (End(M); +, ±, c0M , idM) é um anel unitário, a que se chama o anel dos endomor-fismos de M .

b) Sendo R um anel a relação ρ : R ! End(M) definida por ρ(x) := fx é ummorfismo de anéis.(Se A v End(M), então diz-se que ρ : R! A é uma representação do anel R emA.)

2.2.8) Mostre que as seguintes aplicações são morfismos e classifique-os:

a) f : Z£p2¤ ! Z

£p2¤definida por a+ b

p2 7! a¡ bp2.

b) fn : (Z; +, ¢, 0)!¡Zn; +n, ¢n, 0n

¢, onde n 2 N6=0 um elemento arbitrário mas fixo

e definida por x 7! xn.

c) f : C!M2×2(R) definida por f(a+ bi) 7!∙a b¡b a

¸.

d) f :Mn×n(R)!Mn×n(R) definida por f(A) 7! P−1AP , onde P 2 U(Mn×n(R)).

2.2.9) Sejam (R; +R, ¢R, 0R), (S; +S, ¢S, 0S) e (T ; +T , ¢T , 0T ) anéis. Mostre que:a) R »= R.b) Se R »= S, então S »= R.c) Se R »= S e S »= T , então R »= T .

2.2.10) Sejam R e S anéis. Mostre que se R »= S, então char(R) = char(S).2.2.11) Sejam R e S anéis (resp., anéis unitários). Mostre que para qualquer morfismo de anéis

(resp., anéis unitários) f 2 Mor(R, S) tem-se que:a) Se A v R, então

f−1(f(A)) = A+Ker(f) e Ker(f) µ A+Ker(f).Em particular, se b := f(a) 2 Im(f), então f−1(fbg) = fag+Ker(f).

b) Se B v S, entãof(f−1(B)) = B \ Im(f).

c) Se g 2 Mor(S, T ), entãoKer(g ± f) = f−1(Ker(g)) e Im(g ± f) = g(Im(f)).

2.2.12) Sejam (R; +, ¢, 0R), (S; +, ¢, 0S) anéis e f : R! S um isomorfismo de anéis. Prove que:

a) Se R é comutativo, então S é comutativo.

b) Se R tem identidade 1R, então S tem identidade f (1R).

c) Se a 2 U(R), então f (a) 2 U(S).d) Se R é corpo, então S é corpo.

2.2.13) Mostre que não existe nenhum isomorfismo (de anéis) entre os anéis (Z; +, ¢, 0) e(2Z; +, ¢, 0).

12

2.3. Ideais

2.3.1) Seja R um anel.

a) Mostre que f0Rg e o próprio anel R são ideais de R.b) Mostre que se X := fx1, x2, ..., xng µ R, então X µ (X).

2.3.2) Sejam R um anel unitário e I E R. Mostre que as seguintes condições são equivalentes:i) 1R 2 I. ii) I contém uma unidade. iii) I = R.

2.3.3) Seja R um anel unitário comutativo. Determine:

a) (1R) e (0R).

b) (u), onde u 2 U(R).

2.3.4) Sejam R um anel, B v R e I, J E R. Mostre que:

a) B + I v R.b) I + J E R.c) I ¢ J E R.d) I \ J E R.Generalize para uma família (finita ou infinita) de ideais de R.

e) I \ B E B.f) Se I µ B µ A, então I E B.

1) R(B ¢ I) E R (resp., (I ¢ B)R E R).2) Se R é um anel comutativo, então I ¢ B E R (resp., B ¢ I E R).

g) Se I, J µ B, então I + J E B.

2.3.5) Sejam R um anel e I, J,K E R. Mostre que se tem:

a) I + (0R) = (0R) + I = I.

b) I + (J +K) = (I + J) +K.

c) I ¢ (J ¢K) = (I ¢ J) ¢K.d) I ¢ (J +K) = (I ¢ J) + (I ¢K) e (I + J) ¢K = (I ¢K) + (J ¢K).e) I ¢ (J \K) µ (I ¢ J) \ (I ¢K).f) Se J µ I, então I \ (J +K) = J + (I \K).

2.3.6) Sejam R um anel unitário e a, b 2 R. Mostre que:

a) Se a, b 2 Z(R), então (a ¢ b) = (a) ¢ (b).b) (fa, bg) = (a) + (b).c) (fag £ fbg) µ (a)£ (b).

2.3.7) Seja I (R) o conjunto de todos os ideais do anel (R; +, ¢, 0R). Classifique I (R) comoestrutura algébrica, relativamente às operações de soma e produto de ideais de R.

13

2.3.8) Sejam R um anel e A 2 P6=∅(R). Os conjuntos

AnnR(A) := fr 2 R : 8a 2 A, ra = 0Rg e Ann(A)R := fr 2 R : 8a 2 A, ar = 0Rg

chamam-se, respectivamente, anulador esquerdo e anulador direito de A em R.Mostre que:

a) AnnR(A) E R.b) Ann(A)R E R.c) Se A E R, então AnnR(A) e Ann(A)R são ambos ideais (bilaterais) de R.d) Se R é um anel unitário, então AnnR(A) = Ann(A)R = f0Rg.

2.3.9) Sejam R um anel e a, b 2 R. Mostre que (fa, bg) = (a) + (b).Generalize para fx1, x2, . . . , xng µ R, i.e., (fx1, x2, . . . , xng) = (x1) + (x2)+ ¢ ¢ ¢+ (xn).

2.3.10) Sejam R um anel e a 2 R.

a) Prove que (a)R E R (resp., R(a) E R).b) Mostre que é o menor (no sentido de contido) ideal direito (resp., esquerdo) quecontém o elemento a.

c) Se a é um elemento idempotente, então a 2 (a)R.d) Se R tem identidade, então a 2 (a)R.e) Se I E R tal que a 2 I, então R(a) µ I.

2.3.11) Seja R um anel. Mostre que para qualquer elemento a 2 R tem-se que:

a) (a) =½na+ at+ pa+

kPi=1

riasi 2 R : n 2 Z, t, p, ri, si 2 R, k 2 N6=0¾.

b) Dê um aspecto mais simplificado no caso de R ser um anel unitário.

2.3.12) Mostre que para qualquer anel unitário R e a 2 R tem-se que:

(a) =

(kXi=1

riasi 2 R : si, ri 2 R, k 2 N6=0)= RaR.

2.3.13) Seja R um anel comutativo. Mostre que:

a) 8a 2 R, (a) = (a)R =R (a).

b) se I, I0 E R tais que I + I 0 = R, então I \ I 0 = I ¢ I 0 .

c) Z(R) = R. O que conclui quanto à recíproca, i.e., se Z(R) = R, então R é umanel comutativo?

2.3.14) Considere o anel unitário (M2×2 (Z) ; +, ¢, O2×2, I2×2).

a) Determine Z (M2×2 (Z)).b) Será que Z (M2×2 (Z)) EM2×2 (Z)?

2.3.15) Prove que no anel dos inteiros (Z; +, ¢, 0, 1) todo o ideal é principal.

14

2.3.16) Mostre que para todo o n 2 N, o conjunto nZ := fnk 2 Z : k 2 Zg é ideal de (Z; +, ¢, 0, 1).2.3.17) Em Z, determine os seguintes ideais indicando qual o seu gerador:

a) (2) + (5) . b) (2) + (6) . c) (2) \ ((5) + (6)) .d) (2) ¢ ((5) \ (6)) . e) (8) \ (12) . f) (8) ¢ (12) .

2.3.18) Determine todos os ideais do anel unitário¡Zn; +, ¢, 0n, 1n

¢no seguintes casos:

a) n = 4.

b) n = 11.

c) n = 12.

d) n = 6, mas somente para¡46¢e¡36¢.

2.3.19) Considere os seguintes subconjuntos de matrizes em (M2×2(Z); +, ¢, O2×2, I2×2):

B :=

½∙a bc d

¸2M2×2(Z) : a = b = 0

¾. C :=

½∙a bc d

¸2M2×2(Z) : c = d = 0

¾.

D :=

½∙a bc d

¸2M2×2(Z) : a = c = 0

¾. E :=

½∙a bc d

¸2M2×2(Z) : b = d = 0

¾.

a) Mostre que D e E são ideais esquerdos mas não direitos de M2×2(Z).b) Mostre que B e C são ideais direitos mas não esquerdos de M2×2(Z).c) Dê exemplos de subconjuntos de matrizes que não sejam nem ideais esquerdosnem direitos de M2×2(Z).

d) Determine emM2×2(Z), os elementos do ideal esquerdo do exercício 2.3.8.a), con-

siderando para tal A :=½∙

0 10 0

¸¾.

2.3.20) Sejam R um anel e I E R. Mostre que:

a) O centralizador de I em R,

CR(I) := fx 2 R : 8i 2 I, xi = ixgé um ideal de R. Averigúe, o que acontece, se I é apenas um subconjunto de R.

b) Z(R) E R.

2.3.21) Sejam R, S anéis, I, I 0 E R, J E S e f : R! S um morfismo de anéis. Mostre que:

a) Ker(f) E R.b) Se f 2 Surj(R, S), então Im(f) E S.c) f(I) E Im(f).d) Se f 2 Surj(R, S), então f(I) E S.e) f−1(J) E R.f) Se (a)R é um ideal direito de R, então f((a)R) = (f(a))S.

g) f(I + I 0) = f(I) + f(I 0).

h) Se R é anel comutativo, então f(I ¢ I 0) = f(I) ¢ f(I 0).i) f(I \ I 0) µ f(I) \ f(I 0), com a igualdade se Ker(f) µ I ._ Ker(f) µ I 0.

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2.4. Relações de congruência. Anéis quociente

2.4.1) Sejam R um anel e ρ uma relação de congruência definida em R. Sendo [0R] a classedo zero, mostre que [0R] E R.

2.4.2) Sejam R um anel, ρ uma relação de congruência definida em R, I E R e X µ R.Mostre que:

a) X/ρ = X + I.

b) Se A v R, então A/ρ = A+ I.c) Se J E R, então J/ρ E R.d) Se A v R, então A = A+ I se, e só se, I µ A.

2.4.3) Sejam R um anel (resp., anel unitário) e I E R. Mostre que R/I é um anel (resp.,anel unitário).

2.4.4) Sejam R um anel e I E R. Mostre que:

a) se R é comutativo, então R/I é comutativo.

b) se R tem identidade, então R/I tem identidade.

c) se R é domínio, então R/I não é necessariamente um domínio.

2.4.5) Sejam R um anel e I E R. Mostre que R/I é comutativo se, e só se, para todo oa, b 2 R, ab¡ ba 2 I.

2.4.6) Sejam R,R0 anéis (ou anéis unitários) e I E R. Mostre que:

a) A relação ν : R! R/I é um morfismo sobrejectivo.

b) Se I µ Ker(f), então para todo o morfismo f : R ! R0, existe um morfismog : R/I ! R0 tal que o seguinte diagrama

R R/I-ν

R0?

f g

¡¡

¡¡

¡¡¡ª

é comutativo.Mostre ainda que, nestas condições:

1) I = Ker(f) se, e só se, g 2 Inj(R/I,R0).2) f 2 Surj(R,R0) se, e só se, g 2 Surj(R/I,R0).3) Coim(f) »= Im(f).

2.4.7) Mostre que as únicas imagens epimórficas de Z são os anéis Zn := Z/(n).

2.4.8) Considere a relação f : Z12 ! Z4, definida por f (a12) := a4.

a) Mostre que f assim definida é uma aplicação.

b) Verifique que f é um morfismo de anéis.

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c) Verifique que Z12/¡412

¢ »= Z4.d) Construa as tabelas de Cayley para o anel Z12/

¡412

¢.

2.4.9) Sejam R um anel e I, J E R tais que I µ J . Mostre que:

a) I E J .b) J/I E A/I.c) Será que todos os ideais de A/I são da forma J/I nas condições do enunciado?

2.4.10) (2.o teorema do isomorfismo) Sejam R um anel e I, J E R tais que I µ J . Sejaf : R/I ¡! R/J a relação definida por f ([a]I) = [a]J . Mostre que:

a) f é uma aplicação.

b) f é um morfismo de anéis.

c) Ker(f) = J/I.

d) f é sobrejectiva.

e) Conclua, usando o teorema do homomorfismo, que R/IJ/I

»= R/J .

17

2.5. Divisores de zero. Domínios

2.5.1) Considere o anel unitário (M2×2 (Z3) ; +, ¢, O2×2, I2×2), com a soma e o produto usuais

de matrizes e, seja A :=½∙

a3 b3c3 d3

¸2M2×2 (Z3) : c3 = 03

¾.

a) Verifique se M2×2 (Z3) é um domínio.

b) Mostre que A é um subanel de M2×2 (Z3) e verifique se A EM2×2 (Z3).c) Determine a característica de M2×2 (Z3).

2.5.2) Verifique se as seguintes estruturas algébricas são domínios de integridade.

a)¡RR; +, ¢, c0R

¢.

Será que o subanel (C (R,R) ; +, ¢, c0R) é um domínio de integridade?

b) R[a,b].

c)³Z£p2¤; +, ¢, c0Z[√2]

´.

2.5.3) Considere o anel R2 onde estão definidas as operações binárias θ e θ0 definidas por:

(x, y)θ(z, t) := (x+ z, y + t) e (x, y)θ0(z, t) := (xz + 4yt, xt+ yz).

Averigúe se o anel tem divisores de zero.

2.5.4) Sejam R um anel e b 2 R6=0 um elemento idempotente. Mostre que b é um divisor dezero esquerdo ou direito.

2.5.5) Indique um anel R e elementos a, b, c 2 R6=0 para os quais se tem ab = ac mas, nãoobrigatoriamente, b = c.

2.5.6) Determine os divisores de zero dos seguintes conjuntos:

a) Z4.b) Z10.c) Z£ Z.

2.5.7) Mostre que um anel R 6= f0Rg no qual se tem 8a 2 R6=0, aR = R é um domínio.

2.5.8) Prove que um anel R 6= f0Rg é um domínio se, e só se, qualquer um dos seus elementosdiferentes de zero é simplificável.

2.5.9) Seja R 6= f0Rg um anel. Mostre que R é um domínio se, e só se, (R6=0; ¢, 1R) é ummonóide.

2.5.10) Prove que se R 6= f0Rg é um domínio, então é válida a lei do corte para o produto nomonóide multiplicativo (R 6=0; ¢, 1R).

2.5.11) Mostre que um anel R 6= f0Rg é um domínio se, e só se, qualquer equação do tipoax = b ou xa = b, com a 6= 0R, admite quando muito uma solução.

18

2.5.12) Considere o conjuntoH :=

½∙a¡ di c+ bi¡c+ bi a+ di

¸2M2×2(C) : a, b, c, d 2 R

¾e as seguintes

matrizes:

I :=

∙1 00 1

¸J :=

∙0 ii 0

¸K :=

∙0 1¡1 0

¸L :=

∙ ¡i 00 i

¸e verifique que:

a) §I,§J,§K,§L 2 H.b) J2 = K2 = L2 = ¡I.c) JK = L.

d) KL = J .

e) LJ = K.

f) KJ = ¡L.g) LK = ¡J .h) JL = ¡K.i) H = faI + bJ + cK + dL 2M2×2(C) : a, b, c, d 2 Rg.j) H é fechado para a adição e multiplicação de matrizes.Conclua que (H; +, ¢, O2×2, I2×2) é um anel unitário.

k) 8A 2 H, det(A) 6= 0() A 6= O2×2.l) H é um anel de divisão.

2.5.13) Sejam R um anel unitário comutativo e S um submonóide do seu monóide multiplica-tivo. Considere a seguinte relação » em R£ S definida por:

(a, s) » (b, s0)() 9t 2 S : t(s0a¡ sb) = 0R.

a) Mostre que » é uma relação de equivalência em R£ S.b) Ao conjunto das classes de equivalência representa-se por:

R £ S» := RS := f[(a, s)] µ R£ S : (a, s) 2 R£ Sg .

Defina-se em RS as seguintes relações, onde as:= [(a, s)],

a

s+b

s0:=(s0a+ sb)ss0

ea

s¢ bs0:=

ab

ss0.

1) Mostre que estas relações são operações binárias em RS.2) Mostre que RS é um anel unitário.No caso particular de o anel unitário R ser um domínio de integridade, maispropriamente, R := Z e S := Z6=0 (ou seja, Z6=0 é o monóide multiplicativo)define-se Q := Z×Z6=0

∼ e neste caso a relação reveste um aspecto mais simples,s0a = sb.

3) Mostre que a relação νS : R ! RS definida por νS(a) := [(a, 1R)] é ummorfismo entre anéis unitários tal que para todo o s 2 S, νS(s) é invertível.

4) Mostre que νS é um morfismo injectivo se, e só se, nenhum elemento de S édivisor de zero em R.

19

5) Mostre que se f : R ! R0 é um morfismo de anéis unitários tal que paratodo s 2 S, f(s) é um elemento invertível, então existe um e um só morfismog : RS ! R0 tal que o seguinte diagrama

R RS-νS

R0?

f g

¡¡

¡¡

¡¡¡ª

é comutativo.Ao par (RS, νS) chama-se localização de R em S.

2.5.14) Seja (R; +, ¢, 0R, 1R) um anel unitário comutativo. Prove que:

a) Se u 2 U(R), então u não é divisor de zero.b) O produto de um divisor de zero por qualquer outro elemento de R ou é nulo oué um divisor de zero.

c) Se o produto de dois elementos de R é um divisor de zero, então algum dos factoreso é.

2.5.15) Mostre que se n 2 Nn f0, 1g não é primo, então ¡Zn; +, ¢, 0n, 1n¢ não é domínio.

20

2.6. Anéis de divisão. Corpos

2.6.1) Seja R 6= f0Rg um anel unitário e comutativo. Mostre que:

a) Se os únicos ideais de R são (0R) e o próprio R, então R é corpo.

b) Conclua que, se R é um corpo, então os únicos ideais de R são (0R) e R.

2.6.2) Mostre que um anel R é um anel de divisão se, e só se, para todo o a 2 R6=0 as equaçõesax = b e ya = b são solúveis.

2.6.3) Mostre que todo o domínio finito (resp., domínio de integridade finito) é um anel dedivisão finito (resp., corpo finito).

2.6.4) Seja R um anel. Mostre que se para todo o a 2 R6=0, aR = fag, então R é um anel dedivisão.

2.6.5) Mostre que um subconjunto A de um anel de divisão R é um subanel de divisão se, esó se, tem-se que:

i) 0R 2 A;ii) 8a, b 2 R : a, b 2 A) a+ (¡b) 2 A;iii) 8a, b 2 R6=0 : a, b 2 A) ab−1 2 A.

2.6.6) Sejam R um anel de divisão e a 2 U(R). Verifique se a relação f : R! R definida porf(x) := axa−1 é um automorfismo de anéis de divisão.

2.6.7) Mostre que se K é corpo, R é anel e f : K! R é um morfismo de anéis, então ou f éinjectiva ou f = c0R.

2.6.8) Mostre que se p é primo, então Zp é um corpo.

21

2.7. Divisibilidade

2.7.1) Considere o anel (Z; +, ¢, 0). Prove que:

a) O único ideal que contém 2 e 3 é Z.b) Prove, mais geralmente, que se m,n 2 Z e gcd (m,n) = 1, então o único ideal quecontém m e n é Z.

2.7.2) Considere o anel (Z; +, ¢) e a, b 2 Z. Mostre que:a) (a) + (b) = (gcd (a, b)) . b) (a) \ (b) = (lcm (a, b)) .

2.7.3) Sejam R um anel unitário comutativo e a, b 2 R. Mostre que:

a) (a) µ (b) se, e só se, existe um elemento r 2 R tal que a = rb.b) Se R é um domínio de integridade, então (a) = (b) se, e só se, existe u 2 U(R)tal que a = ub.

2.7.4) Sejam R um anel e I E R. Mostre que se n 2 N n f0, 1g, então (n) é ideal primo de Zse, e só se, n é um número primo.

2.7.5) Sejam R um anel unitário comutativo e I E R, onde I 6= R. Mostre que R/I é umdomínio de integridade se, e só se, I é um ideal primo.

2.7.6) Sejam R um anel e I E R. O ideal I diz-se um ideal maximal em R se I 6= R e nãoexiste nenhum ideal J , tal que I 6= J , I 6= R e I µ J µ R. Mostre que se R é um anelunitário comutativo, R/I é um corpo se, e só se, I é um ideal maximal de R.

2.7.7) Sejam R um anel unitário comutativo e I um ideal maximal de A. Mostre que I é umideal primo.

2.7.8) Sejam R um anel, D um domínio e f : A! D um morfismo de anéis não nulo. Proveque Ker(f) é um ideal primo de R.

22

3. Anéis de polinómios

3.1. Polinómios numa indeterminada

3.1.1) Mostre que os polinómios constantes em Z[x] formam um subanel dele que não é ideal.

3.1.2) Mostre que:

a) Se R é um anel (resp., anel unitário), então R [x] é um anel (resp., anel unitário).

b) Se R é um anel (resp., anel unitário) comutativo, então R [x] é um anel (resp.,anel unitário) comutativo.

3.1.3) Simplifique cada uma das seguintes expressões (resp., das expressões correspondentes),no anel Z [x] (resp., no anel Z2 [x], Z3 [x] e Z4 [x]):

a) (1 + 2x) + (2¡ x+ 2x2).b) (2x+ x3) + (x+ 2x4).

c) (1 + 2x) (2¡ x+ 2x2).d) (2x+ x3) (x+ 2x4).

e) (2x+ x2)3.

3.1.4) Determine todos os polinómios de grau 2 nos seguintes anéis:

a) Z2 [x].b) Z3 [x].

3.1.5) Em Zn [x], e considerando m 2 N, determine:a) Quantos polinómios existem de grau ∙ m?b) Quantos polinómios existem de grau m?

c) Quantos polinómios mónicos existem de grau m?

3.1.6) Sejam R e S anéis. Mostre que:

a) Se I E R, então I[x] E R[x].b) Se R »= S, então R[x] »= S[x].c) char(R [x]) = char(R).

d) R é um domínio de integridade se, e só se, R [x] é um domínio de integridade.

3.1.7) Seja (R; +, ¢, 0R, 1R) um anel unitário. Mostre que:

a) a 2 U (R)) p := a+ 0x+ ¢ ¢ ¢ 2 U (R [x]).b) Se R é um domínio, então a 2 U (R), p := a+ 0x+ ¢ ¢ ¢ 2 U (R [x]).c) Se R não é um domínio, a equivalência anterior não necessariamente se verifica.

d) Se R é um domínio, então U (R) »= U (R [x]) (isomorfismo de grupos).

23

3.2. Divisibilidade de polinómios

3.2.1) Sejam a := ¡x4 + 3x2 + 2x + 1 e b := 2x2 + 3x + 2. Efectue, se possível, a divisãodo polinómio (resp., polinómio correspondente) a por b nos anéis Z [x], Q [x] e R [x](resp., no anel Z2 [x], Z3 [x] e Z4 [x]).

3.2.2) Para cada um dos anéis Z [x], R [x] e C [x] (resp., no anel Z2 [x], Z3 [x] e Z8 [x]),determine:

a) as raízes e respectivas multiplicidades dos polinómios (resp., polinómios corre-spondentes) a, b e c:

1) a := x4 ¡ 1.2) b := x4 ¡ 16.3) c := x8 ¡ 256.

b) (apenas no anel Z8 [x]) as raízes dos polinómios a, b e b2 sendo:

1) a := x2 + 2x.2) b := x2 + 6x+ 5.

3.2.3) No anel Z [x], mostre que é possível efectuar a divisão do polinómio a := 4x2 + 2x¡ 1pelo polinómio b := 2x+1. Este facto contradiz o teorema demonstrado sobre a divisãode polinómios?

3.2.4) No anel Z9 [x], considere os polinómios p1 := 3x+ 5 e p2 := 6x+ 3.

a) Determine, caso exista, um polinómio q 2 Z9 [x], tal que deg(q) = 1 e p1q = 1.b) Determine, caso exista, um polinómio q 2 Z9 [x], tal que deg(q) = 1 e p2q = 0.

3.2.5) No anel Z8 [x], considere os polinómios a := x2 + 2x e b := x2 + 6x+ 5. Determine asraízes de a, b e b2.

3.2.6) Mostre que a é divisível por x ¡ 1 em Z2 [x] se, e só se, a tem um número par decoeficientes não nulos.

3.2.7) Determine qual a multiplicidade de¡1, 1 e 0 como raízes do polinómio (resp., polinómiocorrespondente) a := x6 ¡ x2 em:a) Z2 [x] . b) Z3 [x] . c) Z5 [x] .d) Z [x] . e) R [x] . f) C [x] .

3.2.8) Determine o número de raízes reais dos seguintes polinómios:

a) x3 ¡ 3x+ 5.b) x3 ¡ 3x2 + 2x¡ 1.c) x3 + 9x2 ¡ 1.

3.2.9) Determine, se existirem, as raízes racionais de:

a) 2x3 ¡ 3x+ 4.b) 2x4 ¡ 4x+ 3.c) 2x3 + 4x2 + 5x+ 1.

d) 32x3 ¡ 2x2 + x+ 1

2.

24

3.2.10) Determine para que elementos primos o polinómio x4 + x3 + x2 + x 2 Zp [x], com pprimo, admite a raiz 2.

3.2.11) Seja R um anel finito com k elementos. Determine, justificando, quantos polinómiosde grau menor ou igual a n em R [x] admitem a raiz zero.

3.2.12) Sejam R um domínio de integridade e p := x2 + bx+ c 2 R [x].

a) Mostre que, se p tem raízes x1 e x2, então ¡ (x1 + x2) = b e x1x2 = c.b) Encontre um resultado análogo ao da alínea anterior mas para um polinómiomónico de grau 3.

3.2.13) Seja p := a0 + a1x+ ¢ ¢ ¢+ an−1xn−1 + anxn 2 Z [x]. Mostre que p admite a raiz rs2 Q,

com gcd (r, s) = 1 se, e só se, sx¡ r divide p em Z [x].

3.2.14) Se R é um corpo e a, b 2 R [x], mostre que existe um único máximo divisor mónicoentre a e b.

3.2.15) Em R [x], considere os seguintes polinómios:

p := x4 ¡ 2x3 + 2x2 ¡ 2x+ 1 e q := x6 + 2x5 ¡ 2x4 ¡ 6x3 ¡ 7x2 ¡ 8x¡ 4.

Determine um máximo divisor comum de p e q e escreva-o na forma ap + bq, ondea, b 2 R [x].

3.2.16) Em Z2 [x], considere os polinómios p1 := x5 + 1 e p2 := x2 + 1. Determine o máximodivisor comum de p1 e p2 e escreva-o na forma ap1 + bp2, onde a, b 2 Z2 [x].

3.2.17) Em Z3 [x], considere os polinómios p1 := x2 ¡ x + 1 e p2 := x3 + 2x2 + 2. Determinetodos os máximos divisores comuns de p1 e p2.

25

3.3. Irredutibilidade de polinómios

3.3.1) Sejam R e S anéis tais que R µ S e p 2 R [x]. Diga, justificando, se é verdadeira oufalsa cada uma das afirmações:

a) Se deg (p) > 1 e p admite uma raiz em R, então p é factorizável em R.

b) Se p é factorizável em R, então p admite uma raiz em R.

c) Se deg (p) = 1, então p admite uma raiz em R.

d) Se R é um corpo e deg (p) = 1, então p admite uma raiz em R.

e) Se p é irredutível em R também é irredutível em S.

f) Se p é factorizável em R também é factorizável em S.

g) Se p é factorizável em S também é factorizável em R.

3.3.2) Prove que se deg (p) > 1 e p é irredutível em Z2 [x], então p tem termo independente1 e um número ímpar de coeficientes não nulos.

3.3.3) Dê exemplos, se possível, de:

a) Um polinómio de grau 3, não factorizável, em R [x].b) Um polinómio de grau 1, factorizável, em Z [x].c) Um polinómio em R [x], não mónico, de grau 5, que admita como raízes reaisapenas os números

p5, ¡17 e 20

3.

d) Um polinómio de grau 2, irredutível, em R [x].e) Um polinómio de grau 2, irredutível, em C [x].f) Um polinómio irredutível em R [x], mas redutível em C [x].g) Um polinómio redutível em R [x], mas irredutível em C [x].h) Um polinómio de grau 2 irredutível em Q [x], mas redutível em R [x].

3.3.4) Sejam R um corpo e p 2 R [x]. Mostre que:

a) Se deg (p) = 2, p é factorizável se, e só se, p tem uma raiz em R.

b) Se deg (p) = 3, p é factorizável se, e só se, p tem uma raiz em R.

c) Verifique que se R não é corpo os resultados anteriores não são válidos.

3.3.5) Em Z2 [x], determine:

a) Todos os polinómios irredutíveis de grau 1.

b) Todos os polinómios irredutíveis de grau 2.

c) Todos os polinómios irredutíveis de grau 3.

d) Todos os polinómios irredutíveis de grau 4.

3.3.6) Em Z3 [x], determine:

a) Todos os polinómios irredutíveis de grau 1.

b) Todos os polinómios irredutíveis de grau 2.

26

3.3.7) Para p primo, quantos polinómios mónicos de grau 2, redutíveis, existem em Zp [x]?

3.3.8) Para p primo, quantos polinómios mónicos de grau 2, irredutíveis, existem em Zp [x]?

3.3.9) Determine emR [x] um polinómio p que satisfaça simultaneamente as seguintes condiçõese apresente-o, justificando, na forma do produto de factores irredutíveis em R [x]:

a) O coeficiente director de p é 4.

b) deg (p) = 7.

c) 2¡ ip3 é raiz de p.d) A equação p = 0 admite as raízes 0 e ¡π.

e) p é divisível por x3 ¡ 2x2 + 3x¡ 6.

3.3.10) Em R [x], considere o polinómio p := x7 + 2x5 ¡ 8x3. Decomponha-o em factoresirredutíveis em R, e indique as suas raízes reais e as respectivas multiplicidades.

3.3.11) Considere o polinómio p := x8 ¡ 256. Decomponha-o, justificando, em factores irre-dutíveis em:

a) C [x].b) R [x].

3.3.12) Diga, justificando, se é verdadeira ou falsa cada uma das seguintes afirmações:

a) A divisão de polinómios é sempre possível em Z23 [x] .b) O polinómio x2 + x+ 1 divide x6 ¡ 1.c) (x2 + 1) (x2 + 2) é irredutível em R.d) O produto dos polinómios x4 e x6 em Z7 [x] é x3.e) x3 ¡ 12x¡ 6 tem apenas uma raiz real.

3.3.13) Se possível, dê exemplos de:

a) Um polinómio sem raízes em R, factorizável em Z.b) Dois polinómios p e q em R [x] distintos, irredutíveis, tais que pjq.c) Um elemento m 2 N para o qual o polinómio x4 + x3 + x2 + x 2 Zm [x] admitacomo divisores x¡ 2 e x¡ 1.

d) Um polinómio mónico associado de 2x5 ¡ 3x2 + 1 em Z7 [x].e) Dois polinómios distintos, associados em Z8 [x].

3.3.14) Diga quais dos seguintes polinómios são primitivos:

a) p1 := x5 ¡ 10x4 + 40x3 ¡ 80x2 + 80x¡ 32.b) p2 := 14x24 ¡ 10x23 + 40x21 ¡ 80x18 + 80x16 ¡ 32x10 + 40x8 ¡ 80x7 + 80x¡ 32.c) p3 := 14

23x24 ¡ 10

7x23 + 32

5x21 ¡ 80x18 + 80x16 ¡ 32x10 + 40x8 ¡ 80x7 + 80x¡ 32.

d) p4 := 48x10 ¡ 45x8 + 81x6 ¡ 63x4 + 213x2 ¡ 51.

3.3.15) Em Z [x], se possível dê exemplos de:

27

a) Um polinómio primitivo e redutível.

b) de um polinómio mónico, que admita como raízes os números 2, ¡13e 0.

c) Um polinómio de grau 6 que admita a raiz ¡1 com multiplicidade 3, a raiz 4 commultiplicidade 2 e que seja múltiplo de x2 + 3x+ 2.

3.3.16) Em Q [x], se possível dê exemplos de:

a) Um polinómio de grau 2, irredutível e com coeficiente director 1.

b) Um polinómio de grau 5, irredutível e com coeficiente director 7.

3.3.17) Em R [x], se possível dê exemplos de:

a) Um polinómio de grau 3 redutível, que admita só duas raízes reais.

b) Um polinómio de grau 5 redutível, que admita só duas raízes reais.

3.3.18) Seja p := 72x3 + 7

3x2 + 14

3x+ 7 2 Q [x].

a) Determine um polinómio primitivo q em Z [x] associado a p.b) Mostre que q é irredutível em Z [x] e em Q [x].

3.3.19) Considere o polinómio p := 4x3 + 4x¡ x¡ 2.

a) Diga, justificando, se é verdadeira ou falsa cada uma das seguintes afirmações:

1) p é primitivo.2) p é redutível em Q [x].3) p é irredutível em Z [x].

b) Decomponha p em factores irredutíveis em R [x].

3.3.20) Mostre que são irredutíveis em Z [x]:

a) x4 + x+ 1.

b) x4 + 3x+ 5.

c) 3x4 + 2x3 + 4x2 + 5x+ 1.

d) x5 + 5x2 + 4x+ 7.

e) 15x5 ¡ 2x4 + 15x2 ¡ 2x+ 15.

3.3.21) Diga, justificando, se é verdadeira ou falsa cada uma das afirmações:

a) Um polinómio primitivo em Z [x] é irredutível em Q [x].b) Qualquer polinómio em Z [x] de grau positivo, que seja irredutível, é primitivo.c) Um polinómio em Z [x] que não admita raízes racionais é irredutível em Q [x].d) Um polinómio em Z [x] que admita raízes racionais é redutível em Q [x].e) Um polinómio em Z [x] que admita raízes complexas é redutível em Q [x].f) Um polinómio em Z [x] que admita uma raiz complexa a + bi 2 Q [i] é redutívelem Q [x].

28

3.3.22) Diga, justificando, se é verdadeira ou falsa cada uma das afirmações:

a) Seja R um anel unitário comutativo. Então:

1) Se p é um polinómio irredutível em R [x], então para todo o q 2 R [x], pqtambém é irredutível em R [x].

2) Se p é um polinómio redutível em R [x], então para todo o q 2 R [x], pqtambém é redutível em R [x].

3) Se p é um polinómio irredutível em R [x], então existe um polinómio q 2 R [x]tal que pq ainda é irredutível em R [x].

b) Sejam q := anxn + an−1xn−1+ ¢ ¢ ¢+ a1x+ a0 2 Z [x] e p um primo que não dividean. Então:

1) Se q é redutível em Q [x], então f(p) é redutível em Zp [x].2) Se q(p) é redutível em Zp [x], então q é redutível em Q [x].3) Se q é irredutível em Q [x], então q(p) é irredutível em Zp [x].

c) Um polinómio p 2 Z [x], no qual o coeficiente director é ímpar e para o qual, emZ2 [x], p(2) = x2 + x+ 1, é irredutível em Q.

3.3.23) Em Q [x], verifique se os seguintes polinómios são irredutíveis:a) 3x5 ¡ 4x4 + 2x3 + x2 + 18x+ 31. b) x5 + 4x4 + 2x3 + 3x2 ¡ x+ 5.c) x3 + 2x+ 10. d) x3 ¡ 2x2 + x+ 15.e) x5 ¡ 21x3 + 49x2 + 7x¡ 14. f) 1

6x3 ¡ 2

3x2 + x+ 1

2.

g) 43x4 ¡ 10x3 + 5

9x2 + 15

2x+ 1

2. h) x4 + 2x3 ¡ 6x+ 2.

3.3.24) No anel Z [x], considere o polinómio p := x7 + 2x5 ¡ 8x3.

a) Decomponha-o em factores irredutíveis como elemento de R [x] e, indique, as suasraízes reais e as respectivas multiplicidades.

b) Determine gcd (p, x5 + 4x3).

3.3.25) Se possível, dê exemplos de:

a) Um polinómio redutível, em Z2 [x], que seja máximo divisor comum de doispolinómios de graus 4 e 5.

b) Um polinómio p, de grau 5, mónico, irredutível em Z [x] e tal que p(3) que redutívelem Z3 [x].

c) Um inteiro m para o qual o polinómio x4 + x3 + x2 + x 2 Zm [x] admita comodivisores x¡ 2 e x¡ 1.

d) Em Z [x], um polinómio mónico que admita como raízes os números ¡1, 15e 3.

e) Dois polinómios distintos, de grau 2 e irredutíveis em Z2 [x].

3.3.26) Seja p := x7 + 2x6 ¡ 2x5 ¡ 4x4 + 6x3 ¡ 9x2 + 9x¡ 3.

a) Mostre que p é divisível por x¡ 1 em Q [x] e por x¡ i em C [x].b) Decomponha-o, justificando, em factores irredutíveis em Q [x] e diga se essa de-composição em factores irredutíveis é também válida em R [x].

3.3.27) Considere o polinómio p := (x8 ¡ 9) (x4 ¡ 8x2 + 16).

29

a) Decomponha-o, justificando, em factores irredutíveis em:

1) Z [x].2) R [x].

b) Indique as suas raízes racionais, indicando as respectivas multiplicidades.

c) Em Z [x], determine gcd (p, x¡ 7).

30

4. Módulos

4.1. Módulos e submódulos

4.1.1) Mostre que R é um anel unitário se, e só se, tem-se que:

a) RR é um R-módulo.

b) RR é um módulo-R.

c) RRR é um R-bimódulo-R.

4.1.2) Mostre que se R é um anel unitário comutativo, então todo o R-módulo (resp., módulo-R) é um módulo-R (resp., R-módulo).

4.1.3) Sejam R,S anéis unitários, S v R e RM um R-módulo. Mostre que SM é um S-módulo.

4.1.4) Sejam K um corpo (fixo) e V um espaço vectorial sobre K. Mostre que:

a) Todo o espaço vectorial V sobre o corpo K é um K-módulo.Conclua que é um K-bimódulo-K.

b) Qualquer corpo K é um K-módulo.Conclua que Q, R e C são módulos sobre, respectivamente, Q, R e C.

4.1.5) Sejam RM um R-módulo e A um conjunto qualquer. Mostre que:

a) MA é um R-módulo para a operação de adição de funções e operação bináriaexterna definidas, para todo o x 2 A e α 2 R, por:

(f + g)(x) := f(x) + g(x) e (αf)(x) := α(f(x)).

b) Se A :=M , então MM é um R-módulo.

c) End(M) é um R-submódulo do módulo MM .

d) Em particular, o conjunto de todas as funções reais de variável real, i.e., RR é umR-módulo. Estude ainda como caso particular o conjunto R[a,b].

4.1.6) SejamM1,M2, . . . ,Mn, R-módulos. Considere o produto cartesianoM1£M2£¢ ¢ ¢£Mn

munido das seguintes operações para todo o (x1, x2, . . . , xn), (y1, y2, . . . , yn) elementosde M1 £M2 £ ¢ ¢ ¢ £Mn e α 2 R:

(x1, x2, . . . , xn) + (y1, y2, . . . , yn) := (x1 + y1, x2 + y2, . . . , xn + yn)

α(x1, x2, . . . , xn) := (αx1,αx2, . . . ,αxn).

a) Prove que estas operações conferem ao conjuntoM1£M2£¢ ¢ ¢£Mn uma estruturade R-módulo.

31

b) Utilize a alínea anterior, para provar que Mn :=

nz }| {M £M £ ¢ ¢ ¢ £M é um R-

módulo.

4.1.7) Verifique se cada um dos seguintes conjuntos de polinómios numa indeterminada ecom coeficientes reais é um R-módulo em relação às operações ordinárias de adição depolinómios e multiplicação de um polinómio por um elemento de R:

a) Conjunto dos polinómios de grau menor ou igual a n, i.e., Rn[x].

b) Conjunto dos polinómios de grau n (n fixo).

4.1.8) Seja R um anel unitário. Mostre que:

a) Mm×n(R) é um R-módulo, se considerarmos a soma e a operação binária externadefinidas por:

[aij ] + [bij] := [aij + bij ] e α [aij ] := [αaij ] .

b) Mm×n(R) é um módulo-R, se considerarmos a soma e a operação binária externadefinidas por:

[aij ] + [bij ] := [aij + bij] e [aij ]α := [aijα] .

Conclua que, Mm×n(R) é um R-bimódulo-R, para as operações acima introduzi-das.

c) Mm×n(Rop) é um R-módulo, onde Rop é o anel oposto do anel R.

4.1.9) Em Rn, defina-se as operações:

a+ b := a¡ b e α ¢ a := ¡αa

com a, b 2 Rn e α 2 R.Quais dos axiomas da definição de R-módulo são satisfeitos por RRn para a operaçãobinária + e a operação binária externa ¢ sobre Rn?

4.1.10) Considere o conjunto R>0 dos números reais positivos e as operações:

¢ : R>0 £ R>0 ! R>0 e ¡ : R£ R>0 ! R>0

definidas, respectivamente, por:

(a, b) 7! a¢ b := a ¢ b (produto usual) e (α, a) 7! α¡ a := aα (potência usual).

a) Mostre que R>0 para as operações ¢ e ¡ é um R-módulo.b) Verifique se R com as operações ¢0 e ¡0 (operações análogas às anteriores mas dedomínio R£ R e codomínio R), é R-módulo? Justifique.

4.1.11) Considere os R-módulos RM , RM 0 e as operações binária e binária externa definidasem M £M 0 por:

(a, b) + (c, d) := (a+ c, b+ d) e α (a, b) := (αa, 0M 0) .

Verifique quais dos axiomas da definição de R-módulo são satisfeitos.

32

4.1.12) Sejam RM um R-módulo, x, y, z 2 RM e α, β 2 R. Prove que:a) 0Rx = 0M . b) α0M = 0M .c) (¡α)x = α(¡x) = ¡αx. d) (α¡ β)x = αx¡ βx.e) α(x¡ y) = αx¡ αy. f) ¡(¡x) = x.g) se α 2 U(R) e αx = 0M ) x = 0M . h) x+ y = z + y ) x = z.

4.1.13) Sejam RM um R-módulo e A µ M . Mostre que RA é um R-submódulo se, e só se,verifica o seguinte:

i) 0M 2 A;ii) 8x, y 2M : x, y 2 A) x+ y 2 A;iii) 8α 2 R 8x 2M : x 2 A) αx 2 A.

4.1.14) Sejam RM um R-módulo e A µ M . Mostre que RA é um R-submódulo se, e só se,verifica o seguinte:

i) 0M 2 A;ii) 8α,β 2 R 8x, y 2M : x, y 2 A) αx+ βy 2 A.

4.1.15) Dos seguintes subconjuntos, determine quais são submódulos do respectivo módulo:

a) A :=©f 2 R[a,b] : f(x) = c, c 2 R (fixo)ª.

b) B :=©p 2 R[a,b] : p(x) = a0 + a1x+ ¢ ¢ ¢+ anxn, com ai 2 R (fixos)

ª.

c) C :=©f 2 R[0,1] : f(x) = f(1¡ x)ª.

d) D :=©f 2 R[0,1] : f(0) = f(1) = 0ª.

e) E :=©f 2 R[0,1] : f(0) + f(1) = 0ª.

f) F :=©f 2 RR : f(¡x) = ¡f(x)ª.

g) G :=©f 2 RR : f(¡x) = f(x)ª.

h) H :=©f 2 RR : f(x) ¸ 0ª.

i) I :=©f 2 RR : f é limitada em R

ª.

j) J :=©f 2 R[a,b] : f é integrável à Riemann em [a, b]

ª.

k) K :=©f 2 R[a,b] : f é contínua em [a, b]

ª.

4.1.16) Sejam RM um R-módulo e A,B,C vM . Se C µ A, então tem-se que:

A \ (B + C) = (A \ B) + C.

Obteria o mesmo resultado se C " A?

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4.2. Submódulo gerado por um conjunto. Módulos livres

4.2.1) Sejam RM um R-módulo, A,B µ RM , F,G v RM e α 2 Z(R). Então, tem-se que:

a) F \G v RM .

b) F [G v RM , F µ G _G µ F .c) F +G v RM .

d) αF v RM .

e) R hAi+ R hBi = R hA [ Bi.

4.2.2) Sejam RM um R-módulo e A µM . Mostre que:

R hAi =(

nXi=1

αixi 2M : αi 2 R ^ xi 2M ^ n 2 N6=0).

4.2.3) Sejam RM um R-módulo e A,B µM . Mostre que:

a) Se A µ B, então hAi µ hBi.b) hhAii = hAi.

4.2.4) Seja M um R-módulo. Mostre que se (xi)i∈J é uma subfamília de (xi)i∈I, então

hfxi 2M : i 2 Jgi µ hfxi 2 M : i 2 Igi .

4.2.5) Mostre que todo o anel unitário R é um módulo RR com base.

4.2.6) Mostre que IR é um IR-módulo com base.

4.2.7) Sejam R e R0 anéis unitários. Mostre que:

a) R £R0 é um R×R0R£R0 módulo com base.

b) R £ f0R0g é um R×R0R£ f0R0g submódulo do módulo R×R0R£ R0.c) o submódulo R £ f0R0g não tem base.

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4.3. Morfismos de módulos

4.3.1) Sejam RM e RM 0 módulos.

a) Indique qual(is) dos axiomas da definição de R-módulo não é (são) satisfeito(s)de modo que Mor(RM, RM 0) seja um R-módulo.

b) Indique condições que o anel unitário R deve satisfazer, para que Mor(RM,RM 0)seja um R-módulo.

4.3.2) Sejam R, S e T anéis unitários (fixos). Mostre que:

a) Mor(MS,RNS)S é um R-módulo.

b) Mor(RM,RNS) é um módulo-S.

c) Mor(RMS, RN) é um S-módulo, se definirmos (βf)(x) := f(xβ).

d) Mor(RMS, NS)S é um módulo-R, se definirmos (fα)(x) := f(αx).

e) Mor(RMS, RNT ) é um S-bimódulo-T .

f) Mor(RMS, TNS)S é um T -bimódulo-R.

4.3.3) Sejam RM , RN e RP módulos. Mostre que:

a) se f 2 Mor(M,N) e g 2 Mor(N,P ), então g ± f 2 Mor(M,P ).b) para todo f, g 2 Mor(M,N), todo o h, k 2 Mor(N,P ) e todo o α 2 R tem-se que:

1) h ± (f + g) = (h ± f) + (h ± g).2) (h+ k) ± f = (h ± f) + (k ± f).3) α(h ± f) = (αh) ± f = h ± (αf).

4.3.4) Seja MR é um módulo-R. Mostre que:

a) Se f é um anti-automorfismo, então MR é um R-módulo, se para todo o α 2 R,αx := xf(α).

b) Se f 2 Mor(R) será que se pode concluir que MR é um R-módulo? Indiquecondições que R deva satisfazer para que MR seja um R-módulo.

4.3.5) Seja R um anel unitário (fixo). Mostre que:

a) o dual de um módulo-R, i.e., M∗R := Mor(MR,RRR)R é um R-módulo.

b) o dual de um R-módulo, i.e., RM∗ := Mor(RM, RRR) é um módulo-R.

c) Conclua que, se R é um anel unitário comutativo, então M∗R e RM

∗ são R-bimódulos-R.

4.3.6) Seja MR um módulo-R, então mostre que End(M)M é um End(M)-módulo.

4.3.7) Sejam R um anel unitário e M um grupo comutativo. Mostre que o morfismoρ : R! End(M) define uma estrutura de R-módulo em M se definirmos αx := ρα(x)e vice-versa, ou seja, se RM é um R-módulo, então ρ : R! End(RM) é uma represen-tação, i.e., um morfismo de anéis.

4.3.8) Seja RM um módulo, então mostre queMor(RR,RM) »=Z-Mod RM através da aplicaçãof : Mor(RR,RM)! RM definida por f(g) := g(1R).

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4.3.9) Sejam R um anel unitário comutativo, RM um módulo e A µ End(RM) um subanelunitário. Mostre que M é um A-módulo, se definirmos a operação binária externa por(f, x) 7! f(x).

4.3.10) Sejam RM um módulo e f 2 End(M). Mostre que:

a) g : R[t] ! End(M) é um morfismo de módulos, dado por pt 7! pf , onde pt :=a0 + a1t+ ¢ ¢ ¢+ antn 2 R[t] e pf := a0 idM +a1f + ¢ ¢ ¢+ anfn.

b) R[f ] é um R-submódulo de End(M).

c) g : R[t]! R[f ], definido por pt 7! pf é um morfismo de módulos.

d) M é um R[f ]-módulo, se definirmos a operação binária externa por:

(pf , x) 7! pfx := pf(x).

e) M é um R[t]-módulo se definirmos a operação binária externa para todo o x 2M ,por ptx 7! pfx.

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4.4. Módulos quociente. Teoremas de isomorfismos

4.4.1) Sejam RM um módulo cíclico gerado por x (i.e., RM = Rhxi = Rx) e a relaçãoρx : R! Rx definida por ρx(α) := αx. Mostre que:

a) ρx é um morfismo sobrejectivo.

b) s : R! RKer(ρx)

é um morfismo sobrejectivo.

c) RKer(ρx)

»= Rx.d) Define-se o anulador do elemento x de RM por Ann(x) := Ker(ρx) e tem-se oisomorfismo Rx »= R

Ann(x). Mais geralmente, define-se

Ann(RM) := Ker(ρ) = fα 2 R : αM = OMg ,

sendo ρ : R! RM definido por ρ(x) := αx.

e) Se F é um corpo e M um F-módulo cíclico não-nulo, então FM »= F.

4.4.2) Sejam RM,RM0,RN,RN 0 módulos, f : RM ! RM

0, g : RN ! RN0 e f £ g : RM £

RN ! RM0 £ RN

0 morfismos. Mostre que:

a) f £ g é um morfismo.

b) Ker(f £ g) = Ker(f)£Ker(g).c) Im(f £ g) = Im(f)£ Im(g).d) f £ g é um morfismo injectivo se, e só se, f e g são morfismos injectivos.

e) f £ g é um morfismo sobrejectivo se, e só se, f e g são morfismos sobrejectivos.

f) f £ g é um bimorfismo se, e só se, f e g são bimorfismos.

g) f £ g é um isomorfismos se, e só se, f e g são isomorfismos.

h) RM×RNKer(f×g)

»= RMKer(f)

£ RNKer(g)

.

4.4.3) Sejam R um domínio e x 2 R6=0. Mostre que:

a) existe uma cadeia descendente

¢ ¢ ¢ µ Rxn+1 µ Rxn µ ¢ ¢ ¢ µ Rx2 µ Rx µ R

de submódulos do módulo RR.

b) para cada n 2 N se temR

Rx»= Rxn

Rxn+1.

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Bibliografia

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[4] S. Lang. Undergraduate Algebra. Springer-Verlag, 1990.

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[10] A. Kostrikin. Exercises in Algebra: A collection of exercises in Algebra, Linear Algebraand Geometry. Gordon and Breach Publishers, 1996.

[11] F. Ayres. Álgebra Moderna (Colecção Schaum). McGraw-Hill, 1965.

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