Caderno de exercíciosde

Álgebra I

Curso: Matemática

Ano Lectivo 2004/2005

15 de Setembro de 2004

(versão 1.0)

Índice

Notas Prévias ii

Notações e terminologia iii

1 Introdução 11.1 Conjuntos e relações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Aplicações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.3 Números inteiros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2 Estruturas algébricas básicas 82.1 Grupóides, semigrupos e monóides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82.2 Grupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.3 Morfismos entre estruturas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.4 Relações de congruência. Coconjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.5 Estruturas monogénicas e geradas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212.6 Estruturas normais. Estruturas quociente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242.7 Teoremas do homomorfismo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272.8 Estruturas actuando sobre conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292.9 Grupos-p e grupos de Sylow . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

3 Estruturas livres e apresentações 32

Bibliografia 33

i

Notas Prévias

Este caderno de exercícios juntamente com a matéria leccionada nas aulas teóricas for-mam um todo, i.e., são uma parte integrante do programa da disciplina e não meramenteum conjunto de exercícios soltos.Em relação à resolução dos exercícios que constam neste caderno, chama-se a atenção de

que, só tem sentido tentar resolvê-los, após um estudo, cuidadoso, da matéria leccionada nasaulas teóricas, tudo o resto, será uma mera tentativa de resolução mecânica dos exercícios,sem qualquer fundamentação.O material contido neste caderno de exercícios, foi elaborado com base nas referências

[1, 2, 3, 4, 5] e de um conjunto de exercícios elaborados pelo próprio. De salientar, quealguns destes exercícios, foram revistos por alguns dos meus colegas do Departamento deMatemática com quem tenho trabalhado ao longo dos anos. A todos eles, os meus sincerose profundos agradecimentos.

N.B.: Na elaboração deste caderno, e dentro do possível, houve o cuidado de se usar umaescrita matemática rigorosa e uma simbologia o mais actualizada possível, no entanto, estecaderno pode não estar isento de - apesar de involuntárias - omissões e incorrecções1.

1apesar de se encontrar em permanente actualização, aceitam-se e agradecem-se sugestões, comentáriose correcções, de preferência, enviados para psemiao@ualg.pt.

ii

Notações e terminologia

Faremos uso dos seguintes símbolos para representar os conjuntos usuais:

; o conjunto vazioN = f0, 1, 2, 3, ¢ ¢ ¢g o conjunto dos números naturais

Z = f¢ ¢ ¢ ,¡2,¡1, 0, 1, 2, ¢ ¢ ¢g o conjunto dos números inteiros

Q =nxy2 R : x 2 Z ^ y 2 Z n f0g

oo conjunto dos números racionais

R o conjunto dos números reais

C o conjunto dos números complexos

Sendo X 2 fN,Z,Q,Rg, representaremos por X>0,X≥0 e X6=0, respectivamente, osseguintes conjuntos:

X>0 := fx 2 X : x > 0gX≥0 := fx 2 X : x ¸ 0gX6=0 := fx 2 X : x 6= 0g .

Como exemplos, o conjunto

R≥0 := fx 2 R : x ¸ 0g = [0,+1[,

representa o conjunto dos números reais não negativos, enquanto que o conjunto

R6=0 := fx 2 R : x 6= 0g = R n f0g ,

representa o conjunto de todos os números reais, excepto o zero.Faremos também uso do símbolo C6=0, para representar o conjunto C n f0g.De um modo geral, o símbolo K representa um corpo qualquer e o símbolo ‘:=’ quer

designar a igualdade de duas entidades por definição.Iremos representar por card(A) o cardinal do conjunto A. O símbolo ‘v’ representa umasubestrutura de uma dada estrutura algébrica. Por exemplo, sendoM (resp., G) ummonóide(resp., grupo) e A um subconjunto de M (resp., G), para abreviar a expressão ‘A é umsubmonóide (resp., subgrupo) deM (resp., G)’, usamos o simbolismo A vM (resp., A v G).

iii

Tabela de Símbolos

Y X o conjunto de todas as aplicações de X em Y

Inj(X, Y ) o conjunto de todas as aplicações injectivas de X em Y

Surj(X, Y ) o conjunto de todas as aplicações sobrejectivas de X em Y

Bij(X, Y ) o conjunto de todas as aplicações bijectivas de X em Y

Mor(G,G0) (= Hom(G,G0)) o conjunto de todos os morfismos de G em G0

End(G) o conjunto de todos os endomorfismos em G

Mono(G,G0) o conjunto de todos os monomorfismos de G em G0

Epi(G,G0) o conjunto de todos os epimorfismos de G em G0

Bim(G,G0) o conjunto de todos os bimorfismos de G em G0

Sect(G,G0) o conjunto de todas as secções de G em G0

Retr(G,G0) o conjunto de todas as retracções de G em G0

Iso(G,G0) o conjunto de todos os isomorfismos de G em G0

Aut(G) o conjunto de todos os automorfismos em G

Emb(G,G0) o conjunto de todos os mergulhos de G em G0

Ul(G) (resp., UG(G), U(G)) o conjunto de todos as unidades (esq., direitas, bilaterais) de G

H E G H é subgrupo invariante de G

P (Z) o conjunto de todos os elementos primos de ZhAi (resp., hAi) o submonóide (resp., subgrupo) gerado por A

iv

1. Introdução

1.1. Conjuntos e relações

1.1.1) Seja ρ uma relação de equivalência definida num conjunto A. Mostre que a definiçãode relação de equivalência é equivalente a ser formulada, pelas seguintes condições:

i) IA µ ρ.ii) ρ µ ρ−1.iii) ρ ± ρ µ ρ.

a) Mostre ainda que se tem ρ = ρ−1, ou seja, i), ii) e iii) são equivalentes a i), ii’)ρ = ρ−1 e iii).

1.1.2) Sejam A um conjunto qualquer e ρ uma relação de equivalência definida em A.Mostre que:

a) 8a 2 A, a 2 [a].b) 8a, b 2 A : aρb, [a] = [b].

c) As classes de equivalência de elementos de A formam uma partição de A, ou seja,

i) 8a 2 A, [a] 6= ;.ii) 8a, b 2 A : [a] 6= [b] =) [a] \ [b] = ;.iii) 8a 2 A : S

a∈A[a] = A.

1.1.3) Sejam A um conjunto qualquer e C := fAi µ A : i 2 Ig µ P(A) uma partição de A.Então existe uma relação de equivalência em A tal que os elementos de C são as classesde equivalência dos elementos de A.

Sugestão: Considere a seguinte relação, para todo o a, b 2 A

aρb() 9i 2 I : (a 2 Ai ^ b 2 Ai).

1.1.4) Seja n 2 N. Mostre que a relação ´ definida para todo o a, b 2 Z por:

a ´ b (modn)() 9k 2 Z : a+ (¡b) = k ¢ n

é uma relação de equivalência. Esta relação é a relação usual de congruência dosnúmeros inteiros.

1.1.5) Sejam A,B µ X. Mostre que a relação ρ definida para todo o A,B 2 P(X) por:

AρB () A µ B _ B µ A

é uma relação reflexiva, simétrica mas não transitiva.

1

1.1.6) Considere-se a relação » definida para todo o elemento de N2 por:

(a, b) » (c, d)() a+ d = b+ c.

Mostre que é uma relação de equivalência e diga o que é [(a, b)]. Com esta relaçãodefine-se Z := N2

∼ e à classe de equivalência [(a, b)] chama-se número inteiro.

1.1.7) Seja A := fa, b, c, d, eg e consideremos as relações ρi, i = 1, . . . , 8 definidas em A.

a) Das relações seguintes, quais são reflexivas, simétricas, transitivas e equivalências:

1) ρ1 := f(a, b), (b, a), (c, d), (d, c)g.2) ρ2 := f(a, b), (b, c), (a, c)g.3) ρ3 := f(a, a), (b, b), (c, c), (d, d), (e, e), (a, b), (b, c)g.4) ρ4 := f(a, a), (b, b), (c, c), (d, d), (e, e)g (relação identidade).5) ρ5 := f(a, b), (c, e), (d, a), (d, b)g.6) ρ6 := f(a, a), (b, b), (c, c), (d, d), (e, e), (c, d), (d, c)g.7) ρ7 := ; (relação vazia).8) ρ8 := A£ A (relação universal).

b) Determine os seguintes conjuntos quociente A/ρ4, A/ρ6 e A/ρ8.

1.1.8) Considere os conjuntos A := fa, b, cg, B := fd, e, fg e C := fg, hg e as relações:

R := f(a, d), (b, e), (c, d)g e S := f(d, g), (e, h), (f, h)g

definidas, respectivamente, em A£ B e B £ C. Determine S ±R.1.1.9) Sejam S := Z £ Z 6=0 e ρ := f((r, s), (t, u)) 2 S2 : r ¢ u = s ¢ tg. Mostre que ρ é uma

relação de equivalência em S.

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1.2. Aplicações

1.2.1) Sejam A e B conjuntos quaisquer e f : A ! B uma aplicação e considere a relaçãopara todo x, y 2 A

xρfy () f(x) = f(y).

Mostre que ρf é uma relação de equivalência.

1.2.2) Considere uma relação de equivalência qualquer, ρ, definida em A.

a) Mostre que existe uma aplicação h : A! A/ρ sobrejectiva.

b) Considere uma aplicação f : A ! B qualquer, tal que f é compatível com ρ, ouseja,

8x, y 2 A : xρy =) f(x) = f(y).

Defina g ,i.e., a sua lei de transformação, de modo que o diagrama

A Aρ

--h

B?

f g¡

¡¡

¡¡ª

seja comutativo, ou seja, g ± h = f .c) Mostra ainda que, nestas condições, g é sobrejectiva se, e só se, f é sobrejectiva.

d) Mostre também que, f é bicompatível com ρ se, e só se, g é injectiva.

1.2.3) Seja f : A! B uma aplicação que preserva as relações, ou seja,

8a, b 2 A : aρb =) f(a)ρ0f(b).

a) Mostre que existe uma única aplicação f∗ : A/ρ ! B/ρ0 tal que o seguintediagrama

B Bρ0

-νB

A Aρ

-νA

?

f

?

f ∗

é comutativo. Diz-se que f ∗ é a aplicação induzida por f . Reciprocamente, se paraduas quaisquer aplicações f e f ∗ o diagrama é comutativo, então f é a aplicaçãoque preserva a relação e, f ∗ é a aplicação induzida por f .

b) Sejam A = B := Z,

ρ :=©(a, a0) 2 Z2 : a ´ a0 (mod 4)ª , ρ0 :=

©(b, b0) 2 Z2 : a ´ a0 (mod 2)ª

e f : A! B uma aplicação que preserva a relação, definida por f(n) := n.Sendo f∗ : A/ρ ! B/ρ0 mostre que:

1) f ∗([0]4) = f∗([2]4) = [0]2.

2) f ∗([1]4) = f∗([3]4) = [1]2.

1.2.4) Mostre que se f : X ! Y é uma aplicação qualquer, então f induz as seguintesaplicações:

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a) f→ : P(X)! P(Y ).b) f← : P(Y )! P(X).

1.2.5) Sejam f : X ! Y uma aplicação, (Ai)i∈I uma família de subconjuntos de X e (Bi)i∈Iuma família de subconjuntos de Y . Mostre que:

a) f(Si∈IAi) =

Si∈If(Ai).

b) f(Ti∈IAi) µ

Ti∈If(Ai).

c) f−1(Si∈IBi) =

Si∈If−1(Bi).

d) f−1(Ti∈IBi) =

Ti∈If−1(Bi).

1.2.6) Seja f : A! B uma aplicação qualquer.

a) f é injectiva se, e só se, existe uma aplicação g : B ! A tal que g ± f = idA.(A g chama-se a inversa esquerda de f e diz-se que f é uma secção).

b) f é sobrejectiva se, e só se, existe g : B ! A tal que f ± g = idB.(A g chama-se a inversa direita de f e diz-se que f é uma retracção).

c) f é bijectiva se, e só se, existe g : B ! A tal que g ± f = idA ^ f ± g = idB.(A g chama-se função inversa de f e diz-se que f é um isomorfismo).

d) Mostre que a aplicação inversa de f é única e, portanto, faz sentido representá-lapor f−1(f−1 : B ! A).

1.2.7) Seja f : A! B uma aplicação qualquer. Mostre que:

a) f é injectiva se, e só se, para toda a aplicação g, g0 : C ! A as composições f ± ge f ± g0 estão definidas então tem-se que:

f ± g = f ± g0 =) g = g0.

(Uma aplicação que verifique esta condição diz-se um monomorfismo).

b) f é sobrejectiva se, e só se, para toda a aplicação g, g0 : B ! C as composiçõesg ± f e g0 ± f estão definidas então tem-se que:

g ± f = g0 ± f =) g = g0.

(Uma aplicação que verifique esta condição diz-se um epimorfismo).

1.2.8) Sejam f : A! B e g : B ! C aplicações quaisquer:

a) Mostre que a composição de aplicações, g ± f , é uma aplicação.b) Mostre que a composição de aplicações injectivas, g ±f , é uma aplicação injectiva.c) Mostre que a composição de aplicações sobrejectivas, g ± f , é uma aplicação so-brejectiva.

d) Mostre que a composição de aplicações bijectivas, g ±f , é uma aplicação bijectiva.e) Se g ± f é uma aplicação sobrejectiva, então g é uma aplicação sobrejectiva.f) Se g ± f é uma aplicação injectiva, então f é uma aplicação injectiva.

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1.2.9) Considere A e B dois conjuntos quaisquer. O conjunto A diz-se equivalente ou equipo-tente a B e representa-se por A » B se, e só se, existe uma aplicação bijectiva de Aem B. Mostre que a seguinte relação:

A » B () 9f : A! B tal que f é bijectiva

é uma relação de equivalência.

Diz-se que os conjuntos A, B tem a mesma cardinalidade se

card(A) = card(B)() A » B.

1.2.10) Sejam A e B conjuntos quaisquer. Mostre que a relação ∙ definida por:

card(A) ∙ card(B)() 9f : A! B tal que f é injectiva

é uma relação de ordem parcial.

(Sugestão: Use o teorema de Schröder-Bernstein para conjuntos infinitos. Se tivermosaplicações injectivas de A em B e de B em A, então card(A) = card(B)).

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1.3. Números inteiros

1.3.1) Mostre que para qualquer a, b, c 2 Z se tem o seguinte:

a) a j 0.b) §1 j a.c) §a j a.d) a j b, a j (¡b), (¡a) j b, (¡a) j (¡b).e) a j b ^ b j c) a j c.f) a j b ^ a j c) 9x, y 2 Z : a j (bx+ cy).

1.3.2) Considere a, b, k, x 2 Z. Mostre que se verifica o seguinte:

a) gcd(a, b) = gcd(a, b+ ax).

b) gcd(ka, kb) = k gcd(a, b+ ax).

1.3.3) Determine o máximo divisor comum dos seguintes conjuntos e, exprima-o na formagcd(a, b) = ax+ by:

a) f389, 167g.b) f726, 275g.c) f758, 242g.

1.3.4) Determine o menor inteiro x não negativo tal que:

a) x ´ 19 (mod 5).b) x ´ 3312 (mod 4).c) x ´ 26 (mod 13).d) x ´ 177 (mod 8).e) x ´ 111 (mod 109).

1.3.5) Considere a, b 2 Z. Mostre que são equivalentes as seguintes alíneas:

a) a ´ b (modn);b) n j a¡ b;c) a e b dão o mesmo resto, na divisão por n.

1.3.6) Considere a, b, a0, b0, k 2 Z. Mostre que se verifica o seguinte:

a) a ´ b (modn)) ka ´ kb (modn).b) a ´ b (modn) ^ a0 ´ b0 (modn)) a+ a0 ´ b+ b0 (modn).c) a ´ b (modn) ^ a0 ´ b0 (modn)) aa0 ´ bb0 (modn).d) a+ k ´ b+ k (modn)) a ´ b (modn).e) ka ´ kb (mod kn)) a ´ b (modn).f) a ´ b (modn) ^ a0 j n) a ´ b (mod a0).

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1.3.7) Indique, paras as seguintes relações, quais são possíveis e, para essas, determine arespectiva solução:

a) 2x ´ 3 (mod 4).b) 3x ´ 2 (mod 4).c) 6x ´ 2 (mod 4).d) 10x ´ 14 (mod 15).e) 10x ´ 14 (mod 18).f) 10x ´ 14 (mod 21).

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2. Estruturas algébricas básicas

2.1. Grupóides, semigrupos e monóides

2.1.1) Diga se as relações seguintes de Z2 em Z a seguir indicadas são operações binárias emZ.

a) (x, y) 7! x+ y.

b) (x, y) 7! x¡ y.c) (x, y) 7! xy.

d) (x, y) 7! pxy.

e) (x, y) 7! x+ 4y.

f) (x, y) 7! xy.

Em caso afirmativo, diga se a operação é associativa ou comutativa e verifique se existeelemento neutro (direito, esquerdo ou bilateral) e elementos invertíveis no respectivogrupóide.

2.1.2) Dê um exemplo de:

a) Grupóide que não seja associativo.

b) Semigrupo que não seja comutativo.

c) Grupóide que não seja associativo nem comutativo.

d) Semigrupo comutativo sem elemento neutro.

e) Monóide com elementos invertíveis.

f) Grupo.

g) Grupóide não associativo com elemento neutro e os elementos invertíveis.

2.1.3) Seja X um conjunto qualquer. Mostre que (P(X);[, ;) e (P(X);\,X) são monóides.2.1.4) Seja P o conjunto dos pontos do plano e considere a relação que a cada par de pontos

de P associa o ponto médio do segmento por eles definido.Verifique que P com estaoperação constitui um grupóide comutativo não associativo

2.1.5) Estude os seguintes grupóides:

a) O conjunto fa, b, c, dg com a operação definida pela seguinte tabela

* a b c da d b b db c d b ac a c a ad b a d c

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b) (N; ¤) com a ¤ b := a+ 2b.c) (Qn f0g ; θ) com aθb := a ¢ b−1, onde ¢ é o produto usual em Q.

2.1.6) Mostre que se (S; ¢) é um semigrupo então qualquer seu subgrupóide é um semigrupo.

Conclua, analogamente para um semigrupo comutativo.

2.1.7) No conjunto N, considere a operação definida por (x, y) 7! xy. Mostre que N com estaoperação, é um grupóide não associativo nem comutativo e com identidade direita massem identidade esquerda.

2.1.8) Seja A um grupóide. Mostre que se 1A é identidade esquerda e 10A é identidade direita(em A) então 1A = 10A , portanto 1A é identidade única de A.

2.1.9) Construa um grupóide com duas identidades direitas. Verifique se é semigrupo.

2.1.10) Seja (S; ¢) um semigrupo. Mostre que:

a) Quaisquer que sejam os elementos a, b e c de S

ab = ac (ba = bc) =) b = c.

se a é um elemento idempotente de S então a é elemento neutro à esquerda(direita) de S.

b) Mostre que existe um e um só idempotente em S, concretamente o elementoneutro.

2.1.11) Mostre que um subconjunto A µM é um submonóide de um monóide (M ; ¢, 1M) se, esó se, verifica:

i) 8x, y 2M : x, y 2 A =) x ¢ y 2 A;ii) 1M 2 A.

2.1.12) Mostre que se (M ; ¢, 1M) é um monóide e a 2M , tem um inverso à direita e um inversoà esquerda então estes coincidem.

2.1.13) Mostre que se (M ; ¢, 1M) é um monóide e a um seu elemento invertível então:

a) 8b, c 2M : ab = ac =) b = c.

b) Qualquer das equações ax = b e ya = b com b elemento deM , admite uma e umasó solução.

2.1.14) Seja M um monóide e a e b elementos invertíveis de M . Mostre que:

a) ab tem inverso que é b−1a−1.

b) a e b comutam se, e só se, (ab)−1 = a−1b−1.

2.1.15) Seja A um grupóide. Mostre que se verifica sempre uma e uma só, das afirmaçõesseguintes:

a) A não tem identidade esquerda nem direita.

b) A tem uma ou mais identidades direitas mas nenhuma identidade esquerda.

c) A tem uma ou mais identidades esquerdas mas nenhuma identidade direita.

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d) A tem uma identidade e mais nenhuma identidade esquerda ou direita.

2.1.16) Seja S um semigrupo e a um elemento idempotente de S tal que:

8x 2 S, x = xa.

Mostre que:

a) aS é um subsemigrupo de S.

b) a é identidade de aS.

2.1.17) Seja S um semigrupo finito. Mostre que S admite identidade se, e só se, contém umelemento simplificável.

2.1.18) Seja S um semigrupo e a um elemento qualquer de S. Suponha que para esse elementoexiste um elemento b de S tal que ab = a. Prove que se quaisquer que sejam t e v,elementos de S 0, a equação yt = v é solúvel, então b é elemento neutro à direita de S.

2.1.19) Seja S um semigrupo em que se verificam as seguintes condições:

i) Existe um elemento neutro à direita de S, 1r.

ii) Qualquer que seja o elemento a 2 S, existe um elemento a0 2 S tal que aa0 = 1r,ou seja a0 é o inverso direito relativamente a 1r.

Mostre que 8a 2 S, a0a = 1r, ou seja, a0 é o inverso esquerdo relativamente a 1r.2.1.20) Seja Mn×n(K) o conjunto das matrizes de ordem n £ n sobre o corpo K. Mostre que

(Mn×n(K); ¢, In) é um monóide.

2.1.21) Seja M um monóide e A µ M . O centralizador de A em M é definido por

CM(A) := fx 2M : 8a 2 A, xa = axg .

Mostre que CM(A) é um submonóide de M . Quando A := M , chama-se o centro dedo monóide M e representa-se por Z(M).

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2.2. Grupos

2.2.1) Suponha que S := fx, y, z, wg é um grupo com elemento neutro x. Verifique que paracada uma das condições adicionais seguintes se tem uma única tabela de Cayley talque S é um grupo:

a) y2 = z.

b) y2 = w.

c) y2 = x e z2 = x.

d) y2 = x e z2 = y.

2.2.2) Suponha que S := fx, y, zg é um grupo. Só existe uma única maneira possível de

completar a seguinte tabela de Cayley

* a b ca bbc

. Encontre-a.

2.2.3) Mostre que num grupo é válida a lei do corte.

2.2.4) Mostre que um semigrupo S é um grupo se, e só se, verifica as seguintes condições:

i) Existe um elemento neutro à direita de S, 1r.

ii) Qualquer que seja o elemento a 2 S, existe um elemento a0 2 S tal que aa0 = 1r,ou seja, a0 é o inverso direito relativamente a 1r.

(Critério de Dickson)

2.2.5) Mostre que um semigrupo é um grupo se, e só se, as equações para todo o a, b 2 S,ax = b e ya = b são solúveis.

(Critério de Weber-Huntington)

2.2.6) Prove que para qualquer grupo G a equação axb = c tem uma única solução, quaisquerque sejam os elementos a, b, c 2 G.

2.2.7) Mostre que se G é um grupo e a, b 2 G são tais que ab = b, então a é a identidade dogrupo.

2.2.8) Sejam G um grupo e a, b, c 2 G. Mostre que qualquer uma das igualdades seguintesimplica as outras duas:

a) ab = c;

b) a = cb−1;

c) b = a−1c.

Mostre ainda que ab = c não implica a = b−1c.

2.2.9) Mostre que todo o semigrupo finito em que é válida a lei do corte é um grupo (finito).

2.2.10) Mostre que um semigrupo S é um grupo se, e só se, qualquer que seja o elementoa 2 S, aS = Sa = S.

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2.2.11) Mostre que um subconjunto H µ G é um subgrupo de G se, e só se, verifica:

i) H 6= ;;ii) 8x, y 2 G : x, y 2 H =) x ¢ y 2 H;iii) 8x 2 G : x 2 H =) x−1 2 H.

2.2.12) Mostre que um semigrupo S com identidade 1S em que 8x 2 S, x2 = 1S é um grupoabeliano.

2.2.13) Mostre que num grupo se b é o inverso direito (esquerdo) de a então bk é o inversodireito (esquerdo) de ak.

2.2.14) Sejam G um grupo, A,B,C µ G e considere-se os seguintes subconjuntos:

A−1 :=©a−1 2 G : a 2 Aª (Em notação aditiva¡ A := f¡a 2 G : a 2 Ag)

e

B−1 :=©b−1 2 G : b 2 Bª (Em notação aditiva¡ B := f¡b 2 G : b 2 Bg).

Mostre que:

a) (A ¢B) ¢ C = A ¢ (B ¢ C) (Em notação aditiva (A+B) + C = A+ (B + C)).

b) f1Gg ¢ A = A (Em notação aditiva f0Gg+A = A).c) (A ¢B)−1 = B−1 ¢ A−1 (Em notação aditiva ¡(A+B) = (¡B) + (¡A)).d) 8x 2 G, A µ B ) x ¢A µ x ¢B (Em notação aditiva 8x 2 G, A µ B ) fxg+A µ

fxg+B).1) Mostre que 8x 2 G (fxg ¢A = A ¢ fxg () fxg ¢A ¢ fxg−1 = A) (Em notaçãoaditiva fxg+A = A+ fxg () fxg+A+ (¡fxg) = A).

e) A ¢G = G ¢ A = G (Em notação aditiva A+G = G+A = G).

f) A µ B ) A−1 µ B−1 (Em notação aditiva A µ B ) ¡A µ ¡B).Se A é um subgrupo de G, então:

g) A−1 = A (Em notação aditiva ¡A = A).h) 8x 2 G, (fxg ¢ A)−1 = A ¢ fxg−1 (Em notação aditiva 8x 2 G, ¡(fxg + A) =A+ (¡fxg)).

i) A ¢A = A (Em notação aditiva A+A = A). Em particular, 8x 2 A, fxg ¢A = A(Em notação aditiva 8x 2 A , fxg+A = A).

2.2.15) Considere o grupóide (N; ¢), onde ¢ é a multiplicação usual e os seguintes subconjuntosde N:A := f2g , B := fx 2 N : x é divisor de 6g e C := fx 2 N : x é múltiplo de 6g.

a) Determine O ¢ B e B ¢ A, sendo O := f0g.b) Dos conjuntos A,B,O ¢ B e B ¢ A quais são partes estáveis de N para a mesmaoperação.

c) Mostre que (C; ¢) é subgrupóide de (N; ¢) e escreva-o como produto de dois sub-grupóides de (N; ¢).

12

2.2.16) Sejam (M ; ¢, 1M) um monóide e U(M) := fx 2M : x é elemento invertívelg. Mostreque U(M) é um subgrupo do monóide M . A U(M) chama-se o grupo das unidades ouo grupo dos elementos invertíveis.

2.2.17) Mostre que um grupo G é abeliano se, e só se, 8a, b 2 G, (ab)−1 = a−1b−1.2.2.18) Sejam G1 e G2 grupos, prove que:

a) (G1 £G2; ¢, (1G1, 1G2)) é grupo.b) (G1 £G2; +, (0G1 , 0G2)) é grupo.c) Generalize para G1 £G2 £ ¢ ¢ ¢ £Gn.

2.2.19) Sejam H1 e H2 subgrupos do grupo G. Prove que:

a) H1 £H2 é subgrupo de G.b) H1 \H2 é subgrupo de G.c) H1 [H2 é subgrupo de G se, e só se, H1 µ H2 _ H2 µ H1.d) H1H2 (Em notação aditiva H1 +H2) é subgrupo de G se, e só se, H1H2 = H2H1(Em notação aditiva H1 +H2 = H2 +H1).No caso particular de G ser abeliano então H1H2 (Em notação aditiva H1 +H2)é subgrupo.

2.2.20) Seja X um conjunto qualquer. Mostre que (P (X);M, ;) é um grupo abeliano em queA M B := (AnB) [ (BnA) = fx 2 X : x 2 A [ B ^ x /2 A \ Bg.

2.2.21) Considere uma parte A de um grupo G e o conjunto

gA := gAg−1 :=©gag−1 2 G : a 2 Aª

a que se chama conjugado de A em G. Mostre que gAg−1 é um subgrupo de G se, esó se, A v G.

2.2.22) Sejam G um grupo e A µ G. Chama-se normalizador de A em G ao conjunto

NG(A) :=©x 2 G : xAx−1 = Aª .

Mostre que NG(A) é um subgrupo de G.

2.2.23) Sejam H v K v G. Mostre que:

a) NK(H) = NG(H) \K.b) NG(xHx−1) = xNG(H)x−1.

2.2.24) Seja GLn(K) µ Mn(K), onde GLn(K) := fA 2 Mn(K) : A é invertívelg é um grupo.

a) Mostre que GLn(K) é um grupo.

b) Determine todos os subsemigrupos próprios de GL2(R).

c) Verifique que o conjunto½∙

a 00 0

¸2 M2(R) : a 2 R

¾é um subsemigrupo de

GL2(R). Será um submonóide de GL2(R)? Justifique.

13

d) Mostre que SLn(K) µ GLn(K), onde SLn(K) := fA 2 GLn(K) : det(A) = 1g éum subgrupo de GLn(K).

e) Determine o centro do grupo GLn(K), i.e., Z(GLn(K)).

2.2.25) Determine os subgrupos de:

a) Z6.b) S3.

2.2.26) Simplifique cada uma das seguintes expressões em Z5:

a) [8] + [4].

b) [2] + [7].

c) [17] + [76].

d) [3] ¢ [4].e) [2] ¢ [¡7].f) [17] ¢ [76].g) ([3] ¢ [2]) + ([3] ¢ [4]).h) [3] ¢ ([2] + [4]).

Resolva o mesmo exercício considerando as expressões em Z6.

2.2.27) Construa as tabelas de Cayley de (Z3; +), (Z3; ¢), (Z4; +) e (Z4; ¢). Diga quais dosgrupóides em questão são grupos.

2.2.28) Mostre que cada grupo Zn é abeliano.

2.2.29) Verifique se (Z3 n f[0]g ; ¢, [1]) e (Z4 n f[0]g ; ¢, [1]) são grupos.2.2.30) Mostre que (Zn n f[0]g ; ¢, [1]) é grupo se, e só se, n é primo.2.2.31) Considerem-se o par (a, b) 2 R6=0 £ R e a aplicação fa,b : R! R definida da seguinte

forma fa,b (x) = ax+ b. Seja A :=©fa,b 2 RR : (a, b) 2 R6=0 £ R

ª.

a) Mostre que (A; ±) é um grupóide e verifique se é comutativo.

b) Verifique se existe elemento neutro em (A; ±).c) Determine em (A; ±) os inversos dos elementos invertíveis.d) Diga, justificando, se (A; ±, idR) é um grupo.

14

2.3. Morfismos entre estruturas

2.3.1) Indique, quais das seguintes aplicações são morfismos e, em cada caso afirmativo, de-termine o respectivo núcleo e classifique o respectivo morfismo:

a) f : (Z; +)! (R; +) definida por f(x) := 3x.b) f : (Z; +)! (R; ¢) definida por f(x) := 3x.c) f : (R; +)! (Z; +) definida por f(x) := 3x.d) f : (Z; ¢)! (Z; ¢) definida por f(x) := 3x.e) f : (Z; ¢)! (N; ¢) definida por f(x) := x2.f) f : (R; ¢)! (R≥0; ¢) definida por f(x) := x2.g) f : (R6=0; +)! (R6=0; +) definida por f(x) := jxj.h) f : (C6=0; +)! (R6=0; ¢) definida por f(z) := jzj2.i) f : (R6=0; +)! (R6=0; +) definida por f(x) := ¡x.j) f : (Z; ¢)! (Z; ¢) definida por f(x) := 2x+ 1.k) f : (Z; +)! (Z; ¤), onde x ¤ y := x+ y ¡ 1 e f é definida por f(x) := 2x+ 1.l) f : (R;α)! (R; +), onde xαy := 2xy + x+ y e f é definida por f(x) := 2x+ 1.m) f : Z8 ! Z2 definida por f(a8) = a2.n) f : Z12 ! Z12 definida por f([a]12) = [a+ 1]12.o) f : (R; +) ! (R6=0; ¢) definida por f(x) := ax, sendo a 2 R6=0 um elementoqualquer fixo.

p) f : (R>0; ¢)! (R; +) definida por f(x) := ln(x).

q) f : (R6=0; ¢)! (f¡1, 1g ; ¢) definida por f(x) :=½

1 se x > 0¡1 se x < 0

.

2.3.2) Considere os grupos (R; +, 0) e (C6=0; ¢, 1). Mostre que a relação f : (R; +, 0) !(C6=0; ¢, 1) definida f(x) := eix é um morfismo de grupos.

2.3.3) Considere a relação f : R! R definida por f(x) := x2 ¡ 1.

a) Mostre que é uma aplicação.

b) Defina duas operações α e β de modo que f seja um morfismo de (R;α) para(R; β).

c) Determine dois grupóides de modo que f seja um isomorfismo entre eles.

2.3.4) Considere a aplicação f : C6=0 ! R6=0, definida por f (z) = jzj.

a) Mostre que f é um morfismo do grupo (C6=0; ¢, 1) no grupo (R6=0; ¢, 1).b) Determine explicitamente os elementos de Ker(f) e de Im(f).

c) Represente geometricamente os elementos de f−1(f2g).

2.3.5) Sejam G um grupo e a relação f : G! G definida nas seguintes alíneas por:

i) f (x) = x−1. ii) f (x) = x2.

a) Verifique que f não é, em geral, um morfismo de grupos.

15

b) Estabeleça uma condição necessária e suficiente para que f seja um morfismo degrupos.

2.3.6) Seja S1 := fz 2 C : jzj = 1g.

a) Mostre que S1 é subgrupo de (C6=0; ¢, 1).b) Verifique se a aplicação f : (R; +, 0) ! (S1; ¢, 1) , definida por f (x) = cisx é ummorfismo de grupos.

c) Determine f−1(f1g).

2.3.7) Considere o morfismo f :¡Z6; +, 0

¢ ! (S3; ±, id), tal que f¡16¢=

¡1 2 3

¢.

a) Determine Ker (f).

b) Determine Im(f).

c) Será possível determinar um isomorfismo entre¡Z6; +, 0

¢e (S3; ±, id)?

2.3.8) Considere os conjuntos A := f1, 2, 3g e B := fa, b, cg e as operações θ e θ0 dadas pelastabelas seguintes:

θ 1 2 31 1 2 32 2 3 13 3 1 2

,

θ0 a b ca b c ab c a bc a b c

.

Mostre que existe um isomorfismo entre os grupóides (A; θ) e (B; θ0).

2.3.9) Sejam (G, ¤), (G0, ¢), (G00, θ) grupos e, f : G! G0 e g : G0 ! G00 morfismos de grupos.

a) Mostre que g ± f é um morfismo de grupos.

b) Mostre que, se f e g são isomorfismos, então g ± f é um isomorfismo.

2.3.10) Sejam (M ; d) e (M 0; d0) dois espaços métricos, onde d :M£M ! R e d0 :M 0£M 0 ! R. Uma isometria é uma aplicação bijectiva f :M !M 0 tal que d0(f(x), f(y)) = d(x, y).

a) Mostre que o conjunto de todas as isometrias em M , i.e.,

Isom(M) :=©f 2MM : f é uma isometria

ªé um grupo.

b) Sejam agora X 6= ; e X µ M . Mostre que o conjunto de todas as isometriasque deixam o conjunto X fixo, ou seja, SM(X) := ff 2 Isom(M) : f(X) = Xg éum subgrupo de Isom(M). A este grupo, chama-se o grupo da simetria de X emrelação ao espaço métrico M .

2.3.11) Seja X 6= ; um conjunto qualquer e considere o conjunto XX .

a) Considere-se o conjunto SX := Sym(X) :=©f 2 XX : f 2 Bij(X,X)ª. Mostre

que Sym(X) é um grupo. Quando X := f1, 2, . . . , ng µ N representa-se Sym(X)por Sn.

b) Mostre que (XX ; ±, id) é um monóide.

2.3.12) Sejam X um conjunto qualquer e M (resp., G) um monóide (resp., um grupo).

16

a) Mostre que (MX ; ¢, c1M ) é um monóide.

b) Mostre que (GX ; ¢, c1G) é um grupo.

2.3.13) Seja G um grupo. Prove que:

a) O conjunto dos endomorfismos de G, End(G), algebrizado com a operação decomposição constitui um monóide.

b) O conjunto dos automorfismos de G, Aut(G), algebrizado com a operação decomposição constitui um grupo.

2.3.14) Considere a aplicação f : N6=0 ! f0, 1g definida por:µ1 2 3 4 ¢ ¢ ¢ 2k ¡ 1 2k ¢ ¢ ¢1 0 1 0 ¢ ¢ ¢ 1 0 ¢ ¢ ¢

¶, onde k 2 N6=0.

a) Mostre que 8a, b 2 N6=0, f(ab) = f(a)f(b).b) Será f um isomorfismo entre os grupóides (N6=0; ¢) e (f0, 1g ; ¢)?

2.3.15) Sejam A e B grupóides (grupos) e f um morfismo de A para B. Mostre que:

a) Se a é um idempotente em A, então f(a) é um idempotente em B.

b) Se A0 é um subgrupóide (subgrupo) de A, então f(A0) é um subgrupóide (sub-grupo) de B.

c) Se B0 é um subgrupóide (subgrupo) de B, então f−1(B0) é um subgrupóide (sub-grupo) de A. Em particular, Ker(f) v A.

d) Se 1A for o elemento neutro deA, indique condições para que f(1A) seja o elementoneutro de B.

2.3.16) Sejam (G; ¢, 1G), (G0; ¢0, 1G0) grupos e f : G! G0 um morfismo de grupos. Prove que:

a) f (1G) = 1G0.

b) 8a 2 G, f (a−1) = (f (a))−1.c) 8n 2 Z 8a 2 G, f (an) = (f (a))n. Em particular, f(a−1) = (f(a))−1.

d) Ker(f) v G.e) Im(f) v G0.f) Se H v G, então f (H) v G0.g) Se H 0 v G0, então f−1 (H 0) v G.

2.3.17) Classifique as seguintes aplicações entre grupos:

a) f : (R+; ¢)! (R+; ¢) definida por f(x) := x2.b) f : (Z; +)! (Z; +) definida por f(x) := x2.c) f : (Q; +)! (Q; +) definida por f(x) := x+ 2.

2.3.18) Sejam (Z; ¢, 1) o monóide dos inteiros e f : (Z; ¢, 1) ! (Z; ¢, 1) uma aplicação definidapor 8x 2 Z, f(x) = 0. Mostre que 8x, y 2 Z, f(xy) = f(x)f(y) mas que f não é ummorfismo de monóides.

17

2.3.19) Dado um grupo G, considere para cada elemento g de G, σg : G ! G definida porσg(x) := gxg

−1.Prove que 8g 2 G, σg é um automorfismo (automorfismo interno) de G. O grupo detodos os automorfismos internos representa-se por Inn(G) (subgrupo de Aut(G)).

a) Verifique que a aplicação f : G! Aut(G) definida por f(g) := σg é um morfismoe tal que Ker(f) = Z(G) e Im(f) = Inn(G).

2.3.20) Sejam G,G0, G00 grupo abelianos e f0, f1, f2, f3 morfismos tais que:

f0g f0¡! Gf1¡! G0

f2¡! G00f3¡! f0g

e Im(fi) = Ker(fi+1), i = 0, 1, 2.

a) Mostre que f1 é um morfismo injectivo.

b) Mostre que f2 é um morfismo sobrejectivo.

2.3.21) Seja G um grupo e Z(G) o seu centro. Dado um automorfismo f definido emG, mostreque f(Z(G)) µ G.

2.3.22) Sejam f : G! G0 um morfismo, H v G e H 0 v G0. Mostre que:

a) Se f(H) = H 0, então f−1(H 0) = H Ker(f).

b) Se f−1(H 0) = H, então f(H) = H 0 \ Im(f).

2.3.23) (Teorema de Cayley) Seja S 6= ; um conjunto qualquer.

a) Mostre que todo o monóide é isomorfo a um submonóide de SS.

b) Mostre que todo o grupo é isomorfo a um subgrupo de Sym(S).

c) Conclua que, todo o grupo finito de ordem n é isomorfo a um subgrupo do grupoSn.

2.3.24) Sejam G,G0, G00 grupos, f : G! G0 e g : G0 ! G00morfismos.

a) Então Ker(g ± f) = f−1(Ker(g)) e Im(g ± f) = g(Im(f))b) Sejam A,B,C e D grupos e considere o seguinte diagrama

C D-j

A B-f

?

h

?

g

comutativo, ou seja, g ± f = j ± h. Mostre que se h é um morfismo sobrejectivo eg é um morfismo injectivo, então Im(f) = g−1(Im(j)) e Ker(j) = h(Ker(f)).

18

2.4. Relações de congruência. Coconjuntos

2.4.1) Mostre que a relação ρ definida no conjunto de todos os subgrupóides do grupóide A,por

A0ρB0 () A0 e B0 são isomorfos

é uma relação de equivalência.

2.4.2) Prove que se H é subgrupo de G são equivalentes as seguintes afirmações:

i) a−1b 2 H,ii) aH = bH.

2.4.3) Seja G um grupo e H um seu subgrupo. Mostre que qualquer que seja a 2 G, jHj =jHaj = jaHj.

2.4.4) Defina-se uma relação de equivalência no conjunto dos inteiros do seguinte modo:

a » b() a e b são ambos negativos ou ambos não negativos.

Verifique que ficam determinadas duas classes de equivalência [¡1] e [0]. Do conjuntof[¡1] , [0]g2 para f[¡1] , [0]g defina uma operação binária + tal que

[a] + [b] := [a+ b]

por analogia com a definição de + em Zn. Mostre que + assim definida não é umaoperação em Z/ ».

2.4.5) Seja S um semigrupo em que é válida a lei do corte e com elemento identidade. SejaS1 uma parte de S e ρ uma relação em S definida por

aρb() b 2 aS1.

Mostre que ρ é uma relação de congruência se, e só se, S1 fôr um subgrupo tal que

8x 2 S, S1x µ xS1.

2.4.6) Seja S um semigrupo e E uma relação de equivalência em S. Defina-se

Ec := f(a, b) 2 S £ S : 8x, y 2 S, (xay, xby) 2 Eg .

Mostre que:

a) Ec µ E.b) Ec é uma relação de equivalência.

c) Ec é uma relação de congruência.

d) Se µ é uma relação de congruência tal que µ µ E então µ µ Ec.

2.4.7) Determine as classes associadas direitas de:

a) h[4]i em Z8.b) h[3]i em Z12.

19

2.4.8) Prove que se H é subgrupo de G a relação definida em G por

a » b() b−1a 2 H

é uma relação de equivalência em G.

2.4.9) Seja G := S3 e H := h( 1 3 )i.

a) Determine as classes associadas direitas de H em G.

b) Determine as classes associadas esquerdas de H em G.

c) Verifique que a colecção das classes associadas direitas é diferente da das esquer-das.

2.4.10) Em S3 calcule:

a) As classes associadas direitas e esquerdas de h( 1 2 3 )i.b) Verifique que para cada elemento π de S3 a classe associada direita à qual πpertence é a mesma que a classe associada esquerda à qual π pertence.

2.4.11) Determine:

a) [Z10 : h[2]i].b)

£S3 : h( 1 2 )i¤.

c)£S4 : h( 1 2 3 )i¤.

d) [Z40 : h[12] , [20]i].

2.4.12) Prove que se H é um subgrupo de G tal que [G : H] = 2 e a e b são elementos de Gmas não de H então ab 2 H.

2.4.13) Prove que se A e B são subgrupos finitos de um grupo G e jAj e jBj não tem factorescomuns além de um, então A \ B = f1Gg.

2.4.14) Determine os elementos do subgrupo H = h( 1 2 3 ), ( 1 2 )( 3 4 )i de S4 e veri-fique que jHj = 12 e que H não tem subgrupos de ordem 6.

2.4.15) Seja G um grupo finito e H um seu subgrupo. Mostre que a ordem de H divide aordem de G.

20

2.5. Estruturas monogénicas e geradas

2.5.1) Seja G um grupo e X µ G. Mostre quehXi = ©

1G, x±11 x

±12 ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ x±1n : xi 2 X _ x−1i 2 X , i = 1, . . . , n , n 2 N6=0

ªé um subgrupo de G.

Mostre ainda que hXi verifica o seguinte:1) X µ hXi.2) 8H v G : X µ H =) hXi µ H.

2.5.2) Sejam A e B subconjuntos de um grupo G. Mostre que:

a) A µ B =) hAi µ hBi.b) h;i = f1Gg em que 1G é o elemento neutro de G.

c) Se A é subgrupo de G, hAi = A. Em particular hf1Ggi = f1Gg e hGi = G.d) Se A µ B µ hAi =) hAi = hBi.

2.5.3) Seja C := f1, 2, 3g. Construa o grupo simétrico, G, sobre C (escreva a tabela deCayley). Determine todos os subgrupos de G e diga qual a cardinalidade mínima dosconjuntos de geradores de G.

2.5.4) Sejam G um grupo, X µ G e (Hi)i∈I uma família de subgrupos de G tais que 8i 2 I,Hi µ X. O interior de X em G é definido por

CorG(X) := h[i∈IHii.

a) Mostre que CorG(X) é um subgrupo de G.

b) Mostre que se H v G tal que 8i 2 I, Hi µ H, então CorG(H) é dado porTg∈G

g−1Hg, ou seja, hSi∈IHii =

Tg∈G

g−1Hg.

2.5.5) Sejam A e B subgrupos de G. Mostre que:

hA [Bi = fa1b1a2b2 ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ anbn : ai 2 A, bj 2 B, i, j 2 Ng .

Se A e B fossem partes quaisquer de G poder-se-ia dizer o mesmo? Justifique.

2.5.6) Sejam A e B subgrupos de um grupo G tais que AB = BA, prove que hA[Bi = AB.2.5.7) Sejam f : G! G0 um morfismo de grupos e G = hXi.

a) Mostre que f(hXi) = hf(X)i.b) Se f é morfismo sobrejectivo então f(hXi) = G0.

2.5.8) Sejam G um grupo e a 2 G.

a) Mostre que se existem r, s 2 Z com r 6= s tais que ar = as, então existe o menorinteiro positivo, n, tal que an = e. A esse elemento (se existe) chama-se a ordemde a, e representa-se por ord(a). Se tal elemento não existe então diz-se que aordem de a é infinita.

21

b) Seja t 2 Z, e ord(a) = n então tem-se que, at = e() n j t.

2.5.9) Determine a ordem de cada elemento de:

a) (S3; ±, id).b) (S4; ±, id).c) (Z3; +, 0).d) (Z6; +, 0).e) (Z4; ¢, 1).

2.5.10) Seja G um grupo abeliano. Prove que o subconjunto F , dos seus elementos de ordemfinita é um subgrupo de G. Se G não fosse abeliano F seria subgrupo de G? Justifique.

2.5.11) Sejam G um grupo e a um seu elemento de ordem finita. Mostre que a ord(a) =ord(a−1).

2.5.12) Seja G um grupo abeliano. Mostre que:

a) Se a e b são elementos de G tais que ord(a) = n e ord(b) = m, então (ab)mn = 1G.

b) Se G não é abeliano o resultado anterior pode não se verificar.

Sugestão: Considere em S3, a :=µ1 2 32 1 3

¶e b :=

µ1 2 33 2 1

¶.

2.5.13) Construa a tabela de Cayley para um grupo G := hai com a 6= 1G e a5 = 1G.2.5.14) Considere o subconjunto A := f1,¡1,¡i, ig de C.

a) Mostre que (A; ¢) é um grupo abeliano.

b) Verifique se (A; ¢) é cíclico e em caso afirmativo indique os geradores.

c) Indique os subgrupos de (A; ¢).

2.5.15) Prove que um elemento diferente da identidade de um grupo tem ordem 2 se, e só se,é igual ao inverso de si próprio.

2.5.16) Dado um grupo cíclico G = hai de ordem 10, indique todos os subgrupos de G.

2.5.17) Seja G := hai tal que a56 = a73.

a) Supondo a 6= 1G, qual é a ordem de G.

b) Se fosse a76 = a72 qual seria a ordem de G.

2.5.18) Mostre que se G é um grupo finito de ordem n, se tem an = 1G qualquer que seja oelemento a de G.

2.5.19) Verifique que Z12 tem um subgrupo de ordem k para cada divisor, k, de 12.

2.5.20) Seja G um grupo cíclico gerado por a tal que a21 = a6.

a) Que pode concluir quanto à ordem de G?

b) Qual a ordem do subgrupo gerado por a7?

22

2.5.21) Seja n = pr11 pr22 ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ prss a ordem dum grupo cíclico, em que, p1, p2, ..., ps são números

primos diferentes. Verificar que a é sempre o produto de s elementos do grupo cíclico,cujas ordens são pr11 , p

r22 , . . . , p

rss , respectivamente.

2.5.22) SejamM,M 0 monóides, X um conjunto de geradores deM e f, g :M !M 0 morfismos.Mostre que se 8x 2 X, f(x) = g(x) então f = g.

2.5.23) Mostre que um grupo cíclico infinito tem exactamente dois geradores.

2.5.24) Seja G um grupo cíclico finito de ordem n, gerado por x. Mostre que hxki = G se, esó se, k é primo com n.

2.5.25) Seja M um monóide gerado pelo subconjunto X e suponha-se que todo o elemento deX é invertível (em G). Mostre que:

a) M é um grupo.

b) Se separar-mos os elementos inversos num conjunto X 0 disjunto de X então M =

hX•SX 0i.

2.5.26) Sejam G um grupo cíclico, G0 um grupóide e g : G ! G0 um morfismo sobrejectivo.Mostre que:

a) G0 também é um grupo cíclico.

b) Se G é finito a ordem de G0 divide a ordem de G.

2.5.27) Seja G um grupo cíclico de ordem n. Mostre que existe uma aplicação bijectiva entreos subgrupos de G e os divisores positivos de n.

2.5.28) Mostre que:

a) Cada grupo cíclico de ordem finita n é isomorfo ao grupo multiplicativo das nraízes de 1, em C.

b) Cada grupo cíclico infinito é isomorfo a Z.

2.5.29) Seja G um grupo cíclico. Prove que qualquer que seja o subgrupo HvG, e qualquerque seja o endomorfismo f definido em G, tem-se que f(H) µ H.

2.5.30) Seja G = hai um grupo cíclico. Mostre que um endomorfismo f definido em G é umautomorfismo se, e só se, hf(a)i = G.

2.5.31) Dois grupos cíclicos são isomorfos se, e só se, tiverem a mesma ordem.

2.5.32) Seja G um grupo cíclico de ordem 15. Qual o número de geradores de G. Quantosautomorfismos há de G em G?

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2.6. Estruturas normais. Estruturas quociente

2.6.1) Mostre que para um subgrupo H de G são equivalentes as seguintes afirmações:

a) H £G.

b) 8x 2 G, x ¢H = H ¢ x.c) 8x, y 2 G, x ¢H ¢ y ¢H = x ¢ y ¢H.d) 8x, y 2 G, x ¢H ¢ y ¢H µ x ¢ y ¢H.e) 8x 2 G, x ¢H ¢ x−1 = H.

2.6.2) Seja f : G! G0 um morfismo. Mostre que:

a) Ker(f)£G.

b) Se f é um morfismo sobrejectivo então Im(f) é um subgrupo invariante de G0.

c) Se H £G então f(H)£ Im(f).

d) Se f é um morfismo sobrejectivo e H £G então f(H)£G0.

e) Se H 0 £G0 então f−1(H 0)£G.

2.6.3) Seja G um grupo e Z(G) o seu centro. Mostre que Z(G)£G.

2.6.4) Mostre que SLn(K)£GLn(K). Como Z(GLn(K))£GLn(K) e Z(SLn(K))£ SLn(K)define-se o grupo linear projectivo por:

PGLn(K) :=GLn(K)Z(GLn(K))

,

e o grupo linear projectivo especial por:

PSLn(K) :=SLn(K)Z(SLn(K))

.

2.6.5) Dado um grupo G finito, mostre que todo o seu subgrupo H de G de índice 2, é umsubgrupo invariante de G.

2.6.6) Sejam G um grupo qualquer, H,H 0 subgrupos invariantes de G. Mostre que osseguintes subconjuntos são subgrupos invariantes de G:

a) H \H 0. Generalize para um número infinito de subgrupos invariantes.

b) HH 0.

c) hH [H 0i.d) Mostre que o fecho normal de X em G é um subgrupo normal que contêm X eque é igual a hgXg−1i.

e) Mostre que o interior normal de X em G é um subgrupo normal que está contidoem X. Mostre ainda que, sendo H v G, então CorG(H) =

Tg∈G

gHg−1.

f) Considere-se S, T µ G.1) Mostre que se 8g 2 G, gSg−1 µ S (note-se que S 5 G) então hSi é umsubgrupo normal que contêm S.

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2) Mostre que

* Sg∈G

gTg−1+é um subgrupo normal e que

*[g∈G

gTg−1+= hT i .

2.6.7) Mostre que se a identidade é o único elemento comum a dois subgrupos invariantes, H eH 0 de um grupo G os elementos de cada um dos subgrupos invariantes são permutáveiscom os elementos do outro.

2.6.8) Mostre que se H é subgrupo de G e K £G, então H \K £H.2.6.9) Sejam G um grupo e H,H 0 v G tais que K£H£G. Mostre que 8g 2 G, gKg−1£H.2.6.10) Sejam H e H 0 subgrupos dum grupo G tais que H 0 £H. Mostre que:

a) Para todo o subgrupo K de G, H 0 \K £H \K.b) Para todo o N £G, H 0N £HN .

2.6.11) Sejam G um grupo e a um elemento de G. Um elemento b de G diz-se conjugado dea, se existe um elemento x de G tal que b = xax−1. Verifique que:

a) A relação conjugado de, assim definida, é uma relação de equivalência.

b) Um subgrupoH deG é saturado para esta relação se, e só se,H£G. (Nota: Seja Cum conjunto e ρ uma relação de equivalência definida em C e C/ρ := f[a] , [b] , ...go respectivo conjunto quociente. Diz-se que uma parte A de C é saturada para arelação ρ se, e só se, sempre que x 2 A, [x] µ A.)

2.6.12) Sejam G um grupo e H v G. Mostre que:

a) H £NG(H).

b) Mostre que NG(H) é o maior subgrupo de G no qual H é normal.

2.6.13) Diz-se que um subgrupo H £ G é maximal em G se H 6= G e não existe H 0 £ G, talque H ( H 0 ( G. Mostre que:

a) Um subgrupo H £G é maximal em G se, e só se, G/H é um grupo simples.

b) Se H1 e H2 são subgrupos invariantes maximais distintos, então H1H2 = G eH1 \H2 é invariante maximal em H1 e em H2.

2.6.14) Prove que V :=©id, ( 1 2 )( 3 4 ), ( 1 3 )( 2 4 ), ( 1 4 )( 2 3 )

ªé um sub-

grupo invariante de S4. Indique um grupo isomorfo a S4/V .

2.6.15) Mostre que dado um grupo quociente G/H os subgrupos de G/H são exactamente osgrupos A/H em que A é subgrupo de G e contém H.

2.6.16) Mostre que para qualquer grupo quociente G/H os seus subgrupos invariantes sãoexactamente os grupos quociente H 0/H em que H 0 £G e que contém H.

2.6.17) Prove que G/N é abeliano se, e só se, 8a, b 2 G, aba−1b−1 2 N .2.6.18) Prove que se f é um morfismo de G sobre H, B£H e A := fg 2 G : f(g) 2 Bg, então

A£G.

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2.6.19) Sejam G um grupo e σg um automorfismo interno. Então, tem-se que:

a) para todo o f 2 Aut(G), f ± σg ± f−1 = σf(g).

b) Inn(G)£ Aut(G).

2.6.20) Seja f :M !M 0 um morfismo entre grupos abelianos.

a) Mostre que Coker(f) :=M 0/ Im(f) é um grupo abeliano.

b) Mostre que Coim(f) :=M/Ker(f) é um grupo abeliano.

2.6.21) Seja f : M ! M 0 um morfismo. Considere a relação c : M ! Coker(f) definida porc(x) := [x].

a) Mostre que c é um morfismo entre grupos abelianos.

b) Se f é um morfismo sobrejectivo, então c é um morfismo sobrejectivo.

2.6.22) Seja f : M ! M 0 um morfismo. Considere a relação k : Ker(f) ! M 0 definida pork(x) := f(x).

a) Mostre que k é um morfismo entre grupos abelianos.

b) Se f é um morfismo injectivo, então k é um morfismo injectivo.

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2.7. Teoremas do homomorfismo

2.7.1) Seja g : G ! G0 um morfismo sobrejectivo de grupos. Suponhamos que N £ G eKer(g) µ N . Prove que:

a) g(N) := N 0 £G0.

b) g−1(N 0) = N .

Considere a aplicação f : G! G0/N 0 tal que f(x) := g(x)N 0 para cada x 2 G.Verifique que:

1) f é um morfismo sobrejectivo de G em G0/N 0.2) G/N »= G0/N 0 (1.o Teorema do isomorfismo).

2.7.2) Sejam G um grupo e H,N subgrupos invariantes de G tais que H µ N .

a) Sendo νH e νN os morfismo sobrejectivos canónicos associados aH e aN , respecti-vamente. Mostre que existe um morfismo sobrejectivo de grupos h : G/H ! G/Ntal que hoνH = νN .

b) Verifique que Ker(h) = N/H e conclua que G/N »= G/HN/H

(Corolário do 1.o teoremado isomorfismo).

2.7.3) Suponhamos que H e K são subgrupos de um grupo G e que K £G.

a) Mostre que HK é subgrupo de G e que K£HK. Considere a aplicação f : H !(HK)/K tal que f(h) := hK, para cada h 2 H.Verifique que:

1) f é um morfismo sobrejectivo de H em HKK.

2) HH∩K

»= H·KK(2.o teorema do isomorfismo).

2.7.4) Sejam G1,G2 grupos, N1 £G1 e N2 £G2.

a) Se N1 »= N2, ter-se-á que G1/N1 »= G2/N2? E nas mesmas condições, mas sendoG = G1 = G2, será que se tem G/N1 »= G/N2?

b) Se N1 £G1, N2 £G2, N1 »= N2 e G1/N1 »= G2/N2 ter-se-á que G1 »= G2?c) Se N1 £ G1, N2 £ G2, G1 »= G2 e G1/N1 »= G2/N2 ter-se-á que N1 »= N2? E nasmesmas condições, mas sendo G = G1 = G2, será que se tem N1 »= N2?

2.7.5) Use o teorema do homomorfismo para mostrar que se G é um grupo qualquer comelemento neutro 1G, então G/ f1Gg »= G.

2.7.6) Mostre que se G1, G2 são grupos e G1 £ f1G2g£G1 £G2, então G1×G2G1×f1G2g

»= G2.

2.7.7) Mostre que Z18/h[3]i »= Z3.2.7.8) Se H é um subgrupo de G e N £ G e se H \ N = f1Gg e H [ N = G, mostre que

G/N »= H.2.7.9) Mostre que Inn(G) »= G/Z(G).2.7.10) Sejam G um grupo, H1,H2,K1,K2 v G tais que, K1 £H1 e K2 £H2. Mostre que:

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a) (H1 \K2)K1 £ (H1 \H2)K1 (Lema da borboleta).

b) (K1 \H2)K2 £ (H1 \H2)K2.

c) (K1 \H2)(H1 \K2)£H1 \H2.d) Conclua que (H1∩H2)·K1

(H1∩K2)K1»= (H1∩H2)K2

(K1∩H2)K2.

Este resultado usa-se no teorema do refinamento de Otto Schreier (1901-1929)

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2.8. Estruturas actuando sobre conjuntos

2.8.1) Considere o morfismo f : G ! Sym(S) sendo S 6= ; um conjunto qualquer, definidopor f(a) := fa. Mostre que cada aplicação fa : S ! S é bijectiva se, e só se, se tem acondição f(1G) = idS.

2.8.2) Considere S := G sendo G um grupo.

a) Mostre que deste modo G actua à esquerda em G se definirmos, 8g 2 G, 8x 2 Sfg(x) := g ¢ x, esta acção chama-se acção de G em si próprio por multiplicaçõesesquerdas.

b) Analogamente, mostre que G actua à direita em G, considerando fg(x) := x ¢ g−1.c) Mostre que G actua à esquerda em G por conjugação, i.e., a acção esquerda de Gem G é definida por 8g 2 G 8x 2 S, fg(x) := gxg−1.1) Mostre que o núcleo desta acção é o centro do grupo.

2.8.3) Sejam S o conjunto de todos os subgrupos de um grupo finito G, a 2 G, H 2 S edefina-se fa(H) := aHa−1. Mostre que com esta definição que G actua em S. (Cadasubgrupo aHa−1 é chamado o conjugado de H em G).

2.8.4) Sejam S um G-conjunto e s 2 S. Considere o conjuntoStab(s) := fg 2 G : gs = sg .

a) Mostre que Stab(s) é um subgrupo de G. A este subgrupo de G chama-se estabi-lizador de s.

b) Mostre que se S := G, e f actua por conjugação então Stab(s) = CG(s).

2.8.5) Sejam G um grupo finito actuando num conjunto S e s 2 S. Mostre que:

jOrb(s)j = [G : Stab(s)] = jGjjStab(s)j .

2.8.6) Sejam S um G-conjunto e considere a seguinte relação para todo o elemento s, s0 2 S:s »G s

0 () 9g 2 G : gs = s0.

a) Mostre que »G é uma relação de equivalência em S.

b) Mostre que a classe de equivalência de um elemnto s 2 S é igual à Orb(s).

2.8.7) Se G actua em S e H é um subgrupo de G então mostre que H actua em S. Verifiqueque s »H t =) s »G t.

2.8.8) Assumindo que H actua em S e que f : G! H é um morfismo sobrejectivo.

a) Verifique que G actua em S se ga é definida por gf(a) para cada a 2 G.b) Verifique que se s, t 2 S, então s »H t() s »G t.

2.8.9) Sejam G um grupo, H um subgrupo de G e S o conjunto dos coconjuntos esquerdosde H em G. Para a 2 G seja fa : S ! S definida por fa(xH) := (ax)H.

a) Verifique que deste modo G actua em S.

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b) Mostre que Ker(f) =Tx∈G

xHx−1.

c) Mostre que Ker(f) é o maior subgrupo normal de G que está contido em H.

d) Mostre que a acção de G sobre S é efectiva se, e só se, H só contêm como subgruponormal de G, f1Gg.

2.8.10) Resolva o exercício anterior por uma acção esquerda de G em B := fHx : x 2 Ggdefinida por g(Hx) := (Hx)g−1.

2.8.11) Seja S um G-conjunto e s, t 2 S e s e t estão na mesma órbita. Mostre que

j Stab(s)j = j Stab(t)j.

2.8.12) Sejam S, S0 dois G-conjuntos. Mostre que S £ S 0 é um (S £ S0)-conjunto definindo aacção esquerda do seguinte modo: 8(x, y) 2 S £ S 0, ϕg(x, y) := (fg(x), f 0g(y)).

2.8.13) Sejam S, S 0 dois G-conjuntos e se definirmos a seguinte relação de equivalência paratodo o elemento de S £ S0 por:

(x, y)ρ(x0, y0)() 9g 2 G : gx = x0 ^ gy = y0.

Mostre que S×S0ρé um

³S×S0ρ

´-conjunto.

2.8.14) Mostre que se G actua à esquerda num conjunto S, então esta acção induz uma acçãoesquerda no conjunto potência P(S) definindo-se para um elemento A 6= ;, gA :=fgx : x 2 Ag e para ;, g; := ;.

2.8.15) Sejam S, T conjuntos e TS o conjunto de todas as aplicações de S em T . Seja G umgrupo finito actuando em S. Mostre que G actua em T S se definir-mos para cadaaplicação f 2 T S e g 2 G a aplicação 8s 2 S, ϕg(f) := f(g−1s).

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2.9. Grupos-p e grupos de Sylow

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3. Estruturas livres e apresentações

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Bibliografia

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