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Prof. Luiz Fernando

É necessário construir uma rodovia para ligar as cidades A e B. Há uma 1.

antiga estrada que pode ser melhorada 50 km ao sul da reta que liga as duas

cidades. O custo da modernização é de R$ 300.000 por km, enquanto a

construção de uma nova rodovia custa R$ 500.000 por km. Determine a

combinação da modernização e da nova construção que permite minimizar o

custo da conexão entre as duas cidades. Defina claramente a localização da

estrada proposta.

Uma área retangular em uma fazenda será cercada por um rio e nos outros 2.

três lados por uma cerca elétrica feita por um fio. Com 800 metros de fio à

disposição, qual é a maior área que você poderá cercar e quais são suas

dimensões?

Mostre que, se ( ) xxr 6= e ( ) xxxxc 156

23+−= são suas funções de receita e 3.

custo, então o melhor que você pode obter é receita igual ao custo.

Passaram-se 14 segundos desde que um termômetro de mercúrio foi 4.

retirado do congelador (-19°C) e colocado em água fervente (100°C).

Demonstre que em algum lugar no trajeto a coluna de mercúrio estava

subindo a uma taxa de 8,5 °C/s.

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Uma das fórmulas para gerenciamento de estoque diz que o custo médio 5.

semanal para encomendar, pagar e armazenar um produto é

( )2

hqcm

q

kmqA ++= .

Sendo q o tamanho do lote comprado quando o estoque deste produto está

baixo, k é o custo para fazer o pedido (fixo, ou seja, não importa o tamanho

do pedido), c é o custo de um item, m é o número de itens vendidos numa

semana e h é custo semanal de armazenagem de um item (que leva em conta

espaço utilizado, energia elétrica, seguro, etc.). Determine a quantidade que

minimizará A(q), isto é, a quantidade mais econômica a se pedir. (Esta fórmula

é conhecida como o tamanho do lote de Wilson.)

Custa para uma empresa c reais manufaturar e distribuir cada mochila. Se 6.

as mochilas são vendidas por x reais cada, o número de unidades vendidas é

dado por

( )xbcx

an −+

−= 100

onde a e b são constantes positivas. Qual o preço de venda que trará lucro

máximo?

Você está preparando um pôster retangular para conter 50 cm² de material 7.

impresso, com margens superior e inferior de 4 cm cada e margens à direita e

à esquerda de 2 cm cada. Que dimensões gerais minimizarão a quantidade de

papel a ser utilizada?

Qual é a distância mínima do ponto ( )0,23 a um ponto da curva xy = . 8.

Suponha que o custo de um produto seja 9.

( ) 32

4962000 xxxc ++=

onde x representa milhares de unidades. Há um nível de produção que

minimize o custo médio? Em caso afirmativo, qual é?

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Quando o estanho metálico é mantido abaixo de 13,2°C, lentamente se 10.

torna quebradiço e acaba por esfarelar, tornando-se um pó cinza. Se forem

mantidos durante anos a baixas temperaturas, objetos de estanho esfarelam

espontaneamente. Os europeus, que observaram os tubos de estanho dos

órgãos de igrejas se desintegrarem no passado chamavam essa transformação

de peste do estanho, porque parecia ser contagiosa – e em certo sentido era,

pois o pó cinza catalisa a própria formação.

“Uma reação autocatalítica é aquela em que o produto é o catalisador da

própria formação. Uma reação desse tipo pode decorrer lentamente no início,

quando a quantidade de catalisador é pequena, e também no final, quando a

maioria da substância original já foi consumida. Mas, nesse intervalo, quando

tanto a substância original quanto o produto catalisador são abundantes, a

reação ocorre mais rapidamente.”

Em alguns casos, é razoável admitir que a velocidade de reação dtdxv = é

proporcional tanto à quantidade de substância quanto à quantidade de

produto. Ou seja, v pode ser expressa em função de x apenas e

( ) 2KxKaxxaKxv −=−=

Sendo

� = quantidade de produto, � = quantidade de substância no início, � = constante positiva.

Com que valor de x a velocidade v apresenta um máximo? Qual é o valor

máximo de v?