ESTRATÉGIAS PARA SUPERAÇÃO DO “ERRO” EM MATEMÁTICA – 5ª SÉRIE

PROFESSOR PDE: SÉRGIO WILSON DOS SANTOS

PROFESSORA ORIENTADORA: MAGNA NATALIA MARIN PIRES

LONDRINA- 2008

SUMÁRIO

1 – O Erro no Ensino da Matemática.......................................02

2 - Pontos para reflexão .......................................................02

3 - Avanços e desafios ......................................................... 03

4 – Objetivos ......................................................................03

5 – Metodologia .................................................................. 04

5.1. Análise dos resultados ............................................. 08

5.2. Níveis de desempenho .............................................17

5.3. Análise das questões ............................................... 18

6- Estratégias para superação de alguns erros em Matemática... 20

7- Considerações.................................................................51

8 – Referências bibliográficas.................................................52

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1 – O ERRO NO ENSINO DA MATEMÁTICA

A Matemática é atualmente a disciplina que mais reprova, causa insucesso e abandono. Diante dessa realidade faz-se necessário lançar novos olhares a respeito das avaliações em Matemática. Em geral, avaliamos as provas pontuando somente as questões corretas, outras vezes pontuamos as parcialmente corretas e os erros passam despercebidos, não levamos em conta as informações que eles podem conter.

Entre professores há pontos de vista controversos a respeito do erro, alguns defendem o ponto de vista de que não se pode permitir que o erro aconteça, pois uma vez fixado dificilmente será eliminado. Outros ainda defendem que o erro deve ser apagado, corrigindo-o o mais rápido possível, pois ele é sentencioso.

Esses pontos de vistas indicam que os erros não têm sido problematizados para poderem ser discutidos e, a partir dele tomar novas direções, o que precisa ficar claro, e não é compreendido, é que, para o aluno chegar ao “errado” ele precisa raciocinar e o entendimento do que foi trabalhado está representado no processo que conduz à resposta errada.

O que se observa é que nossos alunos são colocados num mesmo nível de aprendizagem e são ensinados da mesma forma e o “erro” é desprezado e dificilmente são retomadas as questões incorretas.

2- PONTOS PARA REFLEXÃO:

Os erros podem ter um caráter de investigação, pode nos auxiliar a descobrir por que foi seguido aquele caminho para resolução de um problema e não outro? Quais conceitos foram pré-requisitos? Quais precisam ser revistos? Há alguma lógica no que ele escolheu para a resolução de tal situação? Ou fez uma tentativa mecânica? Os erros tornam-se pistas, passando a ser constitutivo do processo de acerto e da construção da aprendizagem. O que deve ser revisto? Quais as estratégias propostas para a superação do erro?

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3- AVANÇOS E DESAFIOS:

O aluno que corrige seu próprio erro e o entende é capaz de compreender porque errou. Um erro corrigido pelo aluno pode ser mais proveitoso para ele, para o professor e para a sala. Retomando o erro, os alunos podem conscientizar-se do por que cometeram e, a partir daí, observar com mais atenção e direcionar estratégias de superação.

O erro pode ser considerado ponto de partida, fonte de informação, denúncia de percurso e o caminho até chegar a uma resposta. Deve fazer parte da construção do conhecimento e o professor deve estar atento às condições em que o erro acontece e quais as estratégias para superá-lo, desenvolvendo com os alunos a idéia de sua fragilidade.

O erro é objeto de estudos e debates, consideramos que a partir dele pode-se aprender. É assim na vida, é acreditamos que pode ser assim com a Matemática. Quando queremos entender suas causas e conseqüências, o erro pode parecer uma falha no processo, mas é condizente com a construção do saber matemático.

4- OBJETIVOS:

Este material sobre a análise do erro, pretende contribuir para a reflexão sobre as dificuldades que temos enfrentado em nossas escolas, a fim de nos levar a modificar o paradigma vigente.

Pretende ainda discutir e analisar os erros que os alunos cometem em matemática, de forma que os professores tenham elementos para elaborar estratégias de ensino que venham ao encontro das necessidades de seus alunos.

Pretende também, elaborar algumas estratégias a partir da escolha de algumas questões de como trabalhar a partir do erro em sala de aula.

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5 - METODOLOGIA:

O Colégio Estadual Emílio de Menezes de Arapongas conta com aproximadamente 1600 alunos de 5ª a 8ª séries no Ensino Fundamental e Ensino Médio no ano de 2007. Destes, 180 alunos são alunos da 5ª série que são distribuídos em 5 turmas designadas por A, B, C, D e E tendo aproximadamente 36 alunos cada.

A locação dos alunos nas respectivas turmas é sempre feita pela direção do colégio no início de cada ano e segue alguns critérios que objetiva o bom aprendizado de todos e o respeito às idades dos alunos. Sendo assim, alunos que estão ingressando no colégio provenientes de 4ªs séries com idade entre 10 e 11 anos tendem a estudarem em turmas separadas dos alunos que já estão com idade superior ou que repetiram a 5ª série em ano anterior. De certa forma, esta é uma tentativa de evitar constrangimentos para os que já não estão mais na idade ‘certa’ de alunos de 5ª série, que seria por volta de 11 anos.

No início deste ano o governo do estado, através da secretaria de educação, solicitou às escolas que trabalham com 5ª série que aplicassem um teste de português e um teste de matemática aos alunos da referida série, com o objetivo de diagnosticar as dificuldades apresentadas.

No intuito de atender a solicitação do estado e de analisar as dificuldades dos alunos nos conteúdos de matemática através dos erros cometidos por eles, utilizou-se uma prova já elaborada e validada pelo AVA (Programa de Avaliação do Sistema Educacional do Paraná) da secretaria de Estado de Educação que contém 30 questões que avaliaram os alunos concluintes da 4ª série do Ensino Fundamental em matemática em 2000.

A análise dos erros em matemática ocorreu apenas nas 5ªs séries A e B, estas turmas continham apenas alunos provenientes das 4ªs séries e foram escolhidas porque o autor deste trabalho trabalhava, na época, com elas.

O tempo de duração necessário para a aplicação dos instrumentos de avaliação foi de 4 horas, divididas em duas etapas de 2 horas cada, com 15 questões em cada etapa. Dias antes da aplicação da prova os alunos foram informados da avaliação e que receberiam uma nota que seria incorporada a nota do bimestre e que as respostas seriam

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importantes para o diagnóstico das dificuldades e com isso buscar uma forma de melhoria no ensino da matemática para eles e para escola.

De acordo com o AVA a prova foi elaborada a partir de uma matriz de referência medindo as competências, habilidades e conteúdos específicos elaborados a partir do Currículo Básico para a Escola Pública do Paraná e dos PCN’S para o Ensino Fundamental.

As questões abordaram números e operações, medidas e geometria e noções de estatística e podem ser classificadas, de acordo com o AVA (2000 p. 1) em:

questões de reconhecimentos de noções e idéias: as que exigem que o aluno reconheça ou lembre um fato, uma definição ou um algoritmo;

questões de compreensão de procedimentos e algoritmos: as que podem ser resolvidas mediante o uso de um algoritmo ou procedimento passo a passo, sem que necessite estabelecer relações ou se aperceber de suas implicações;

questões de aplicação de conhecimento na resolução de problemas: as que na aplicação do conhecimento para resolver um problema, exigem mudança da linguagem escrita com palavras para uma linguagem matemática adequada, de modo que possam utilizar algoritmos adequados.

Além disso, a avaliação apresentava questões contextualizadas e as rotineiramente presentes em sala de aula ou em livros didáticos, porque o objetivo foi medir a proficiência dos alunos, e isso inclui, medir o que ele está aprendendo nas aulas de matemática que a escola oferece.

No Quadro 1 têm-se as especificações dos objetivos de cada questão da prova e às competências e habilidades envolvidas. Isto permite uma melhor e mais rápida comunicação entre a dimensão dos conteúdos e a dimensão da complexidade cognitiva e, com isso, foi possível estabelecer um equilíbrio entre o conteúdo e o conjunto dos possíveis níveis de complexidade, sendo que, cada objetivo revelava a expressão daquilo que foi esperado do aluno.

Desta forma foi possível avaliar a complexidade cognitiva por meio do reconhecimento de noções e idéias, a compreensão de procedimentos e algoritmos e aplicação de conhecimento na resolução de problemas.

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Quadro 1 – Questões da prova classificadas por especificação de capacidade e conteúdo matemático envolvido.

Capacidade

Conteúdo

Reconhecimento de noções e

idéias

Compreensão de

procedimentos e algoritmos

Aplicação do conheciment

o na resolução de problemas

Total

Números e operações

Sistema de numeração decimal 27, 30 11 16, 13 5

osN Naturais

Adição e multipl. _ 1, 3, 14 2, 15, 22 6

Subtração e divisão _ 9, 10, 12 _ 3

osN Racionai

s

Expressos na forma

fracionária_ 4 17 2

Expressos na forma decimal

_ 28 _ 1

Porcentagem _ _ 20, 21 2

7

Medidas e geometria

Espaço e forma 6 _ 18, 24 3

Medida de tempo _ _ 25 1

Medida de comprimento _ 7 19 2

Medida de área 8 _ 5 2

Sistema monetário _ _ 29 1

Noções de Estatística _ _ 23, 26 2

Total 4 10 16 30

A seguir enumeram-se os objetivos de cada questão de acordo com as especificações do quadro 1.

1) Efetuar adição com três parcelas, de três e quatro dígitos, com reserva.2) Resolver problema expresso por texto envolvendo adição e subtração.3) Efetuar adição com três parcelas, de um, dois, três e quatro dígitos

alternadamente.4) Comparar números fracionários expressos na forma decimal.5) Calcular a área de uma figura plana expressa por medidas.6) Identificar a área de uma figura plana em malha quadriculada.7) Reconhecer que para calcular o perímetro é necessário adicionar as

medidas do contorno da figura dada.8) Identificar figuras de mesma área.9) Efetuar subtração com quatro dígitos, zero intercalado e recurso à

ordem superior.10)Efetuar divisão de quatro por um ou dois dígitos.11)Decompor um número em suas ordens e classes.12)Efetuar subtração com quatro dígitos com reserva em ordem

superiores.13)Resolver problema contextualizado estabelecendo relação de ordem.14)Efetuar multiplicação de quatro por dois dígitos com reserva.15)Resolver problema expresso por texto envolvendo adição e

multiplicação.16)Traduzir para a linguagem matemática, número expresso por palavras.17)Reconhecer fração representada por uma figura dada.

8

18)Calcular a distância através de problema expresso por texto e figura envolvendo localização

19)Transformar medidas (m e cm) para resolução de problemas. 20)Identificar percentual apresentado em figura, relacionando parte /

todo.21)Resolver problema expresso por texto no calculo de porcentagem.22)Resolver problema expresso por texto envolvendo mais de um

raciocínio.23)Retirar dados e informações de gráficos para resolver problema.24)Efetuar cálculos de distância com base em figuras.25)Resolver problema expresso por texto, relacionando dias e horas com

interpretação do resto.26)Retirar dados e informação de gráfico pra resolução de problema.27)Estabelecer relações entre números (> < =). 28)Efetuar operações de adição envolvendo numeração decimal.29)Resolver problema expresso pro texto envolvendo sistema monetário

brasileiro.30)Decompor numerais identificando os valores relativos do mesmo.

5.1. ANÁLISE DOS RESULTADOS:

Obedecendo ao padrão utilizado pela prova do AVA 2000, as questões, discutidas deste trabalho, foram selecionadas e organizadas de acordo com o número de erros apresentados por questão e também pela produção apresentada pelos alunos.

A seguir, apresentamos as questões escolhidas e as descrições das resoluções apresentadas pelos alunos. Cada aluno está identificado por um código formado por quatro dígitos. O primeiro dígito indica a série que ele cursa (5ª série), o segundo dígito indica a turma (turma B) e os dígitos seguintes indicam o número do aluno.

Questão 02: Paulo e Mariana têm juntos 2347 pontos num jogo. Quanto terão juntos se Paulo perder 379 e Mariana ganhar 413?

5B025B035B135B155B265B325B33

Subtrai 379 de 2347 corretamente e adiciona 413 corretamente ao resultado. Responde corretamente.

5B04 Subtrai corretamente 379 de 413 e adiciona corretamente este

9

resultado a 2347. Responde corretamente5B06 Subtrair incorretamente 379 de 2347, encontra 1068 e adiciona

corretamente ao resultado 413, trocando 1068 por 1063 e responde 1476.

5B14 Subtrai incorretamente 379 de 2347, encontra 2021, utilizando incorretamente o recurso a ordem superior ao trocar uma dezena para a ordem das unidades considerando apenas 10. A seguir adiciona corretamente 2021 a 413 e apresenta 2434 como resposta.

5B11 Subtrai incorretamente 379 de 2347, obtendo 2068. A seguir adiciona 413 a 2032 trocando 2068 por 2032, encontrando e respondendo 2445.

5B16 Subtrai corretamente 379 de 2347, porém ao efetuar a operação seguinte de adicionar 413 ao resultado, indica a operação corretamente, mas subtrai ao invés de somar.

5B18 Subtrai corretamente 379 de 2347 e adiciona 413 ao resultado, mas erra a adição (3 + 8 = 13).

5B19 Subtrai corretamente 379 de 2347, porém ao invés de somar ao resultado 413, adiciona a 2347 demonstrando saber fazer as operações corretamente.

5B21 Subtrai 397 de 2347 ao invés de 379 efetuando a operação corretamente, adiciona incorretamente o resultado 1950 com 413 e encontra 2463, apresentando 2463 como resposta.

5B22 Subtrai corretamente 379 de 2347, encontrando 1968, mas erra a adição de 1968 com 413, somando incorretamente a centena 9 com a centena 4 encontrando 2481.

5B23 Inverte a posição do minuendo com o subtraendo na operação de 2347 – 379 encontrando 2032 e adiciona corretamente ao resultado 413, apresentando 2445 como resposta.

5B245B28

Subtrai corretamente 379 de 2347 encontrando 1968 e soma corretamente 419 com 2347 encontrando 2760 e ao final soma corretamente 1968 com 2760 apresentando como resposta 4728.

5B29 Subtrai corretamente 379 de 2347 encontrando 1968, mas subtrai corretamente ao invés de somar 413 de 1968 obtendo 1555 apresentando 1555 como resposta.

5B34 Subtrai incorretamente 379 de 2347 obtendo 2048 e adiciona corretamente 413 a esse valor obtendo e respondendo 2461.

5B17 Divide 2347 por 2 corretamente e ao quociente (1173) subtrai 337 ao invés de 379 em seguida adiciona corretamente 413 a 1174 ao invés de 1173 e ao final soma incorretamente as duas parcelas 1587 e 836 encontrando equivocadamente 2413 pois esquece do 1 da dezena na soma das unidades. Responde incorretamente 2413.

5B015B085B10

Divide corretamente 2347 por 2. Subtrai corretamente 379 de 1173 (resultado da operação anterior), soma corretamente 1173 com 413, soma corretamente 1586 com 794. Multiplica 1173 por 2 corretamente e soma 1. Dá como resposta o resultado da penúltima operação (2380).

10

5B07 Divide corretamente 2347 por 2 encontrando 1173. Adiciona 413 a 1174 (sugerindo ter adicionado o resto da divisão a 1173), obtendo 1587 e adiciona 379 a 1173, obtendo 1552. Em seguida soma 1552 a 1587 encontrando 3139 como resposta.

5B095B12

Soma corretamente três parcelas 2347, 413 e 379 obtendo 3139. Responde 3139.

5B25 Soma incorretamente 2347 com 379 ao invés de subtrair pois esquece de adicionar a dezena encontrando 2626 e a este resultado acrescenta incorretamente 413 obtendo 3038 e não apresenta resposta.

5B30 Soma corretamente 379coma 2347 obtendo 2726, subtrai incorretamente 413 do resultado, encontra e responde 313.

5B205B27

Não apresenta cálculos e responde corretamente.

5B05 Não apresenta cálculos e responde incorretamente. O resultado sugere que o aluno multiplica corretamente 2347 por 2 e acrescenta corretamente a diferença entre 413 e 379 ao resultado.

5B31 Não apresenta cálculos e responde 2380.

O problema requer que o aluno: - Domine as operações de adição e subtração.- Interprete corretamente o problema que contém a idéia de retirare adicionar

De acordo com a tabela, o que os alunos mostram saber?- 59% mostram interpretar corretamente. - 53% mostram saber as operações de adição e subtração.- 12% utilizaram a operação de divisão corretamente para resolver o

problema

De acordo com a tabela o que os alunos mostram não saber?- 41% demonstram não interpretar corretamente o problema.- 47% % mostram não saber as operações de adição e subtração.

Questão 05: Qual é a área de um campo que tem 12 metros de comprimento e 9 metros de largura?

11

5B015B085B095B115B125B235B305B34

Multiplica corretamente 12 por 9, responde sem colocar a unidade de medida.

5B175B29

Multiplica corretamente 12 por 9 e responde 108 m.

5B20Multiplica corretamente 12 por 9, porém apresenta como resposta 108 área e não em metros quadrados.

5B055B075B255B26

Soma 12 com 9, obtendo 21m como resposta.

5B025B32

Não apresenta cálculo. Coloca como resposta: 42. (Pode ter calculado o perímetro).

5B065B165B19

Não apresenta cálculo. Coloca como resposta: 42m. (Pode ter calculado o perímetro).

5B03 Não apresenta cálculos e apresenta como resposta 22 metros.

5B04Não apresenta cálculos e responde 24 metros de comprimento e 18 metros de largura.

5B105B135B145B155B185B245B28

Não apresenta cálculos e responde 21.

Não apresenta cálculos e responde 21.

5B31 Não apresenta cálculos e apresenta como resposta 36.

5B33 Não apresenta cálculos e apresenta como resposta 4m. 5B215B225B27

Não resolve a questão.

O problema requer que o aluno:- domine noção de medida de superfície.- domine noção de unidade de área.- domine a operação de multiplicação.

De acordo com a tabela, o que os alunos mostram saber?- 32% mostram conhecer medidas de área.- 33% mostram dominar a operação de multiplicação.

De acordo com a tabela o que os alunos mostram não saber?

12

- 100% mostram não conhecer unidade de medida de área.- 68% mostram não conhecer medidas de área.- 15% mostram não saber a diferença entre área e perímetro.

QUESTÃO 15: O jornal da escola tem 12 páginas de 4 colunas cada uma. Uma coluna contém 55 linhas. Quantas linhas têm o jornal todo?

5B015B215B32

Multiplica corretamente 12 por 4 e o resultado multiplica corretamente por 55. Responde 2640.

5B025B13

Multiplica corretamente 55 por 4 e o resultado multiplica corretamente por 12. Responde 2640.

5B055B075B105B175B195B24

Multiplica corretamente 55 por 12. Responde incorretamente: 660.

5B095B26

Multiplica corretamente 55 por 4. Responde incorretamente: 220.

5B06

Multiplica corretamente 12 por 4 e ao multiplicar 48 por 55

apresenta a seguinte operação

660

00

440

48

55

+. Responde 660.

5B085B155B295B34

Multiplica corretamente 12 por 4 e soma corretamente o resultado a 55. Responde 103.

5B22Multiplica 12 por 4 e o resultado multiplica somente o algarismo da unidade do multiplicador (55) pelo multiplicando (48) obtendo 240. Responde 240.

5B30Soma incorretamente 12 com 55 obtendo 70 e subtrai 70 de 4 obtendo incorretamente 76 como resposta. Responde 76.

5B14Divide corretamente 12 por 4 e soma corretamente 55 ao resultado. Responde 58.

5B23Divide corretamente 12 por 4 e multiplica corretamente 55 ao resultado. Responde 165.

5B115B16

Não apresenta cálculos e responde165.

13

5B18 Não apresenta cálculos e responde 880.

5B20 Não apresenta cálculos e responde 268.

5B12 Não apresenta cálculos e responde 110.

5B25 Não apresenta cálculos e responde 73.

5B28 Não apresenta cálculos e responde 15.

5B035B045B315B33

Não apresenta cálculos. Responde corretamente.

5B27 Não resolve a questão.

O problema requer que o aluno:- interprete o problema que contém a idéia de multiplicar.- domine a operação de multiplicar por um e dois algarismos.

De acordo com a tabela, o que os alunos mostram saber?- 27% interpretam corretamente o problema.- 62% dos alunos multiplicam corretamente.

De acordo com a tabela o que os alunos mostram não saber?- 73% não interpretam corretamente o problema.- 12% não sabem efetuar a operação de multiplicação.

QUESTÃO 19: Cortei 155 centímetros de um barbante de 3 metros, quanto sobrou?

5B03 Subtrai corretamente 1,55 de 3,00 e responde corretamente.5B075B13

Subtrai corretamente 155 de 300 e responde corretamente.

5B045B21

Subtrai corretamente 155 de 300 e responde, sem a unidade de medida.

5B06 Subtrai corretamente 155 de 300 e responde 145m.

5B05Subtrai corretamente 155 de 3000. Subtrai corretamente 3 de 155, e subtrai incorretamente 155 de 300, obtendo 144. Apresenta 2845 como resposta.

5B095B145B30

Subtrai corretamente 3 de 155 e responde 152.

5B28 Subtrai corretamente 3 de 155 e responde 152cm.

5B16Subtrai corretamente 155 de 3000, responde 2445 e risca a resposta.

14

5B17Subtrai corretamente 150 de 300 e apresenta 150 como resposta.

5B32 Subtrai corretamente 1,55 de 3,00 e responde 1,45.

5B15Multiplica corretamente 115 por 3 e apresenta como resposta 345.

5B23 Multiplica corretamente 155 por 3 apresenta 465 como resposta.

5B115B12

Divide corretamente 155 por 3, apresenta como resposta 51

5B29 Divide corretamente 155 por 3, apresenta como resposta 51cm.5B01 Não apresenta cálculos e responde 155 cm5B085B205B19

Não apresenta cálculos e responde 2845.

5B22 Não apresenta cálculos e responde 2845m.5B33 Não apresenta cálculos e responde 2845cm.5B105B24

Não apresenta cálculos e responde 152.

5B265B27

Não apresenta cálculos e responde 145.

5B18 Não apresenta cálculos e responde 2880.5B25 Não apresenta cálculos e responde 2 m5B31 Não apresenta cálculos e responde 2 metros e 850 centímetros.5B34 Não apresenta cálculos e responde 500. 5B02 Não resolve a questão

O problema requer que o aluno:- domine a noção de unidade de comprimento, mais especificamente

transformação de cm em m ou vice-versa. (noção de decimais)- interprete o problema que contém a idéia de retirar da subtração- domine a operação de subtração com e sem recursos à ordem

superior - reconheça a unidade adequada para responder.

De acordo com a tabela, o que os alunos mostram saber?- 27% interpretam corretamente o problema que contém a idéia de

retirar.- 47% subtraem corretamente.- 23% mostram dominar unidades de medidas para efetuar a

operação.- 9% mostram saber responder com a unidade de medida adequada.

De acordo com a tabela o que os alunos mostram não saber?- 62% mostram não saber responder com a unidade de medida

adequada.- 73% não interpretam corretamente o problema.

15

- 53% não dominam a subtração com recurso.

Questão 22: Um ônibus levando 40 passageiros fará uma viagem de 1430 quilômetros. Quantos quilômetros faltam para terminar a viagem se o ônibus já percorreu 385 quilômetros?

5B015B025B035B045B055B065B075B085B095B105B135B155B175B215B245B285B295B325B33

Subtrai corretamente 385 de 1430. Responde corretamente 1045.

5B11 Subtrai incorretamente 385 de 1430. Responde 45 Km.5B14 Subtrai incorretamente 385 de 1430. Responde 1014.

5B23Subtrai 385 de 1430 corretamente, soma corretamente 385 ao resultado. Responde 1430.

5B12Soma corretamente 40 com 1430 e ao resultado adiciona corretamente 385. Responde 1855.

5B30Soma corretamente 1430 a 385 e o resultado divide incorretamente por 40, obtendo 42. Responde 42.

5B18 Não apresenta cálculo. Responde 145.

5B25 Não apresenta cálculo. Responde 1,855.

5B34 Não apresenta cálculo. Responde 1691.5B165B195B205B265B275B31

Não apresenta cálculo. Responde corretamente 1045.

5B22 Não resolve a questão

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O problema requer que o aluno:- interprete o problema que contém a idéia de retirar da subtração- domine a subtração.

De acordo com a tabela, o que os alunos mostram saber?- 74% interpretam corretamente o problema.- 76% subtraem corretamente.

De acordo com a tabela o que os alunos mostram não saber?- 12% não interpretam corretamente o problema.- 15% não subtraem corretamente.

Questão 24: Siga o roteiro do mapa. Quantos metros Pedrinho têm que caminhar para chegar a escola?

Casa do Pedrinho 13,5m

30m

41,3m 15,45m

Escola

5B065B215B285B32

Adiciona corretamente 41,3 com 30 com 15,45, obtendo 86,75 e ao resultado adiciona 13,5 obtendo como resultado 100,25 m. Responde corretamente.

5B01Adiciona corretamente 41,3 com 13,5 com 30,0, obtendo 84,8 e esquece de somar 15,45. Responde 84,8 metros.

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5B025B055B075B115B135B145B155B165B175B235B245B275B295B305B33

Adiciona incorretamente 13,5 com 30 com 41,3 com 15,45, não observando a parte decimal e a parte inteira. Responde 20,23 metros.

5B03Adiciona corretamente 41,03 com 15,45 com 13,05, obtendo 69,53 depois soma corretamente 30,00. Responde 99,53.

5B09Adiciona corretamente 13,5 com 3,0 com 41,3 com 154,5 obtendo 212,3m. Responde 212,3m.

5B045B265B31

Não apresenta cálculo e responde 99,53cm.

5B18 Não apresenta cálculo e responde 1398.5B195B34

Não apresenta cálculo e responde 21,23.

5B20 Não apresenta cálculo e responde 84,8.5B25 Não apresenta cálculo e responde 868.5B12 Não resolve a questão

O problema requer que o aluno:- interprete o problema que contém a idéia de adição.- domine números decimais- domine adição.- domine cálculo de operações com números decimais.- interpretar mapas.

De acordo com a tabela, o que os alunos mostram saber?- 62% mostram interpretar corretamente o problema.- 21% mostram saber somar números decimais.

De acordo com a tabela o que os alunos mostram não saber?- 6% não interpretam corretamente- 8% não demonstram ter noção de números decimais.- 47% mostram não saber somar números decimais.

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5.2. NÍVEIS DE DESEMPENHO

As questões abaixo terão como referência o padrão utilizado na prova do AVA 2000:

Não aprendido (percentual de acertos inferior a 50%)Aprendizagem em fase inicial (percentual de acertos entre 50 e 64,9%)Aprendizagem em fase mais adiantada (percentual de acertos entre 65% e

79,9%)Aprendido (percentual de acertos igual ou superior a 80%)

QUESTÃO 02: Os alunos demonstraram que estão em fase inicial de aprendizagem de problemas envolvendo mais de um raciocínio e de operações de subtração com recurso. Estão em fase mais adiantada nas operações de adição de números naturais com e sem recursos reconhecendo o valor posicional dos algarismos.

QUESTÃO 05: Os alunos não aprenderam medidas de área e não conhecem suas unidades. Estão em fase mais adiantada no domínio da multiplicação e demonstram não ter aprendido o conceito de área e perímetro.

QUESTÃO 15: Os alunos demonstram que não interpretam problemas envolvendo duas operações de multiplicação e estão em fase inicial de aprendizagem para efetuar multiplicações com dois algarismos no multiplicador.

QUESTÃO 19: Os alunos mostraram que estão em fase inicial da subtração com recurso na ordem das unidades e dezenas ao mesmo tempo. Não sabem a unidade de medida e a concepção de medida expressa em metro com medidas expressas em centímetros e não interpretam corretamente o problema.

QUESTÃO 22: Os alunos aprenderam a resolver problemas simples envolvendo subtração e efetuam com recurso em qualquer das ordens.

QUESTÃO 24: Os alunos estão em fase inicial da adição de números decimais, aprenderam a resolver problemas simples e a interpretar distâncias contidas em mapas.

5.3. ANÁLISE DAS QUESTÕES:

QUESTÃO 02: A solução do problema estaria em subtrair 379 de 2347 e em seguida, adicionar 413. Outra possibilidade seria dividir 2347 por 2 e subtrair 379 de uma parcela e adicionar 413 na outra e ao resultado adicionar 1 que seria o resto da divisão, processo esse que demonstra um raciocínio bem complexo (tivemos um caso).

19

Os alunos que não chegaram à solução correta tiveram seus erros centrados na resolução das operações (quase 50%) demonstrando que ainda não dominam conceitos como os de agrupamentos e trocas na formação de ordens e classes. Para superar essa dificuldade, um recurso poderia ser o uso do Material Dourado, que favorece a compreensão do S.N.D. e a compreensão dos agrupamentos e trocas (na base 10).

QUESTÃO 05: Para a solução desse problema o aluno deve ter

conhecimento de como calcular a área de um retângulo (multiplicar as medidas dos lados). Os alunos que erraram não colocaram a unidade de medida (100%). Demonstram que ainda não dominam o conceito e área e 15% não sabem a diferença entre área e perímetro.

Para superar tal defasagem a geometria deve ser aplicada em situações reais da vida e concretas da escola, construir o metro, medir a sala, o quadro e outros envolvendo os dois conceitos área e perímetro para que possam desenvolver a percepção espacial e sua aplicabilidade no cotidiano. Pode-se também, utilizar-se da História da Matemática.

QUESTÃO 15: Esse problema pode ser resolvido de três maneiras: multiplicar 12 por 4 e depois multiplicar o resultado por 55; multiplicar 12 por 55 e depois o resultado por 4 e, como última opção multiplicar 55 por 4 e depois multiplicar o resultado por 12 (não houve nenhum caso).

Para os alunos o problema apresentou um raciocínio complexo (73% não conseguiu interpretá-lo) e alguns (12%) não conseguiram efetuar a operação por dois algarismos corretamente.

Como proposta de superação podemos apresentar diferentes tipos de problema e não “problemas tipo” que chamem a atenção para o enunciado, seja por sua lógica, contextualidade ou aproximação com a realidade para que possa ter sentido e ser aplicado em novas situações.

Podem ser utilizados problemas com excesso de dados (assemelha-se à realidade), problemas “desafio”, problemas com mais de uma solução, problemas não convencionais com textos mais elaborados, entre outros. Pode-se modificar o enunciado do problema e também fornecer a operação e o aluno elaborar o enunciado. O aluno deve ser estimulado a levantar hipóteses, buscar suposições, analisar e classificar dados, encontrar a conexão entre os dados e a incógnita e propor uma forma para resolvê-lo. A discussão de vários tipos de resoluções ajuda a ampliar a visão do aluno. Deve ser levada em conta a importância da leitura para a compreensão do problema. Com relação à multiplicação por dois algarismos ele precisa entender o SND e a partir do seu próprio erro.

20

QUESTÃO 19: Para que o aluno resolva essa questão ele precisa fazer a conversão de centímetros em metros ou vice-versa para que as medidas se tornem da mesma natureza. Depois efetuará a subtração.

Dos alunos que erraram 73% não interpretaram o problema corretamente, outros 62%, não indicaram a unidade de medida e há os que dominam a conversão de medidas, 23%.

Uma retomada do conteúdo sobre equivalência e relação das unidades de medida com o sistema de numeração decimal seria apropriado para que o aluno estabeleça analogias.

Além disso, é importante desenvolver a capacidade de ouvir, refletir e interpretar dados apara que ele construa sua capacidade de abstração.

QUESTÃO 22: A solução deste problema está na subtração dos 385 percorridos dos 1430 quilômetros totais. Os 40 passageiros citados não é um dado relevante na resolução desse problema, portanto é desprezado.

76% dos alunos solucionaram corretamente e menos de 12% utilizaram-se do dado inútil e outros erraram na subtração.

É importante que o aluno compreenda situações em que determinados dados não influenciam na solução do problema podendo ser evidenciado outros exemplos.

A subtração tem três idéias diferentes: a idéia de retirar, completar e comparar. Esses conceitos devem ser trabalhados sem detrimento um do outro em resolução de problemas.

QUESTÃO 24: Para que o aluno resolva essa questão ele deverá interpretar o mapa e adicionar as medidas sem, necessariamente fazer conversões. O índice elevado de erros (89%) deve-se a alguns fatores: os alunos não compreenderam o SND. O erro freqüente foi o de alinhar os números pela direita, desprezando as vírgulas, demonstrando não compreender os números decimais.

“Para ajudar o aluno a superar essas dificuldades o professor pode trabalhar os números decimais junto com o sistema de medidas. Pode construir o metro e relacioná-lo com a unidade, os múltiplos (dam, hm e km) com dezena, centena e unidade de milhar e os submúltiplos (dm, cm e mm) com os décimos, centésimos e milésimos, mostrando que os princípios que regem o sistema de numeração são os mesmos que regem o sistema de medidas”. (AVA 2000, p.29)

“... de modo geral os erros devem ser vistos como um indicativo de que o aluno sabe alguma coisa, porém não totalmente ou corretamente e que, portanto, é preciso trabalhar com esses erros e não apenas ignorá-los, lembrando que, dependendo da natureza do erro e que se determina qual conduta pedagógica deve ser adotada na busca de sua superação. Essa é uma das contribuições pessoais que o professor pode fazer na busca de diminuir o fracasso escolar.” (AVA 2000, p.55).

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6 - ESTRATÉGIAS PARA SUPERAÇÃO DOS ERROS:

1- MATERIAL DOURADO: (Para trabalhar Números Naturais) O Material Dourado organiza as quantidades de acordo com a base

dez e, por isso, favorece a compreensão do Sistema de Numeração Decimal e das operações nele realizadas.

As figuras a seguir ilustram a composição das peças:

1 milhar 1 centena 1 dezena 1 unidade

O primeiro passo consiste em entregar o material aos alunos para que possam manipulá-los e estabelecer relações. Apresenta-se o nome das peças e, se as relações levantadas pelos alunos não forem satisfatórias pode-se questionar:

Quantas placas cabem em um cubo?Quantas barras cabem em uma placa?Quantas barras cabem em um cubo?Quantos cubinhos cabem em uma barra?Quantos cubinhos cabem em uma placa?Quantos cubinhos cabem em um cubo?

O segundo passo se processa em representar quantidades usando as peças do Material Dourado. Por exemplo: 15

O aluno poderá representar este numeral de duas maneiras:

ou

É importante que o aluno perceba a substituição de dez unidades

por uma dezena.

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Utilizando a nomenclatura apropriada (unidade, dezena, centena e milhar), o professor poderá recorrer a outros exemplos com quantidades maiores até o aluno associar as trocas.

Uma outra atividade a ser desenvolvida é a composição de numerais. Por exemplo:

O aluno formará o numeral 257, ou seja, 2 centenas, 5 dezenas e 7 unidades.

O professor poderá explorar as quantidades aproveitando os agrupamentos visualizados nas peças:

257 = 200 + 50 + 72 centenas = 2005 dezenas = 507 unidades = 7

Outros exemplos devem ser trabalhados, de modo que o aluno perceba a ausência de alguma das classes e a importância de representá-la pelo algarismo 0 (zero) na formação dos numerais. Pode-se fazer também o processo inverso de decomposição de numerais.

Aqui também deverão ser incluídos exercícios de trocas: mais de dez unidades por uma dezena ou mais de dez dezenas por uma centena e assim sucessivamente até que o aluno compreenda o sistema de numeração na base 10.

Uma próxima atividade constaria em que o aluno inicie os processos de adições e subtrações com o material dourado e o “ábaco de papel” simultaneamente. O ábaco serviria para auxiliar as representar as operações de soma e subtração com as peças do Material Dourado.

Exemplo: 124 + 53

Representando as duas quantidades no ábaco de papel, teremos:

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A seguir juntam-se as quantidades de mesma ordem iniciando pelas unidades:

Simultaneamente, o professor deve acompanhar as representações no ábaco de papel e transpor cada passo no algoritmo convencional.

Então o aluno terá a noção de agrupamentos e que juntamos as unidades com as unidades, dezenas com dezenas e assim sucessivamente.

É importante o trabalho de adições com reserva, por exemplo:

1 - Mário tinha 267 figurinhas e perdeu 235. Com quantas figurinhas Mário ficou?

Deixar os alunos representarem e realizarem a operação que resolve o problema utilizando as peças do Material Dourado e o ábaco de papel.

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Neste caso, se juntarmos as quantidades, teremos na ordem das unidades a possibilidade de se efetuar uma troca: 10 unidades devem ser trocadas por uma dezena:

Agora, teremos dez dezenas que podem ser trocada por uma

centena:

Conclui-se a adição com numerais no ábaco de papel e o aluno entenderá o porquê do “vai 1” e o processo da adição.

Depois de construídos estes conceitos, passamos à subtração. Utilizando a idéia de retirar, representamos o minuendo e retiramos o subtraendo:

2- Mário possuía 345 figurinhas. Perdeu 233 no jogo de abafo. Com quantas figurinhas Mário ficou?

25

Obtendo:

Paralelamente a representação da operação com as peças do Material Dourado no ábaco de papel é recomendável que se faça a representação na forma:

Para as subtrações com reserva é necessário que o aluno compreenda o processo de troca.

3- Mário tinha 327 figurinhas. Perdeu 173 num jogo de abafo.

Com quantas figurinhas Mário ficou?

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Neste caso retiramos 3 unidades de 7 unidades ficando com 4 unidades.

Mas como retirar 7 dezenas de onde só existem 2? Para isso, devemos trocar 1 centena por 10 dezenas. Representamos esta troca assim:

Agora já podemos retirar as 7 dezenas de 12 dezenas e 1 centena

de 2 centenas. Remeter ao enunciado do problema e formular a resposta:

27

O material manipulável é um grande aliado na formação de conceitos matemáticos, pois, permite que os alunos estabeleçam conexões entre os diversos conceitos intrínsecos à manipulação do material, proporcionando uma personificação do conceito ou das idéias a serem exploradas. É importante ressaltar que especificamente na adição e na subtração o algoritmo é muito bem representado quando se utiliza essa forma de desenvolvimento.

Para a multiplicação segue-se o exemplo:

4- Mário tinha 2 álbuns com 26 figurinhas em cada um. Quantas figurinhas ele possuía?

Temos 12 unidades soltas que podem ser trocadas por 1 dezena:

Então teremos:

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Remeter ao problema e trabalhar a resposta. Embora não seja objeto de estudo deste trabalho, é importante

ressaltar que o material dourado se apresenta como um recurso significativo na compreensão da divisão.

2- MATERIAL DOURADO: (Para trabalhar Números Decimais) O Material Dourado também pode ser utilizado para a

compreensão dos números decimais sendo que deve haver um espaço razoável entre o trabalho do Material Dourado com números naturais e com números decimais.

As atividades que se seguem têm a mesma seqüência utilizada

para números naturais.O primeiro passo consiste em entregar o material aos alunos para

que possam manipulá-los e estabelecer relações. Apresenta-se o nome das peças e podemos fazer os mesmo questionamentos quando do trabalho com números naturais:

Quantas placas cabem em um cubo?Quantas barras cabem em uma placa?Quantas barras cabem em um cubo?Quantos cubinhos cabem em uma barra?Quantos cubinhos cabem em uma placa?Quantos cubinhos cabem em um cubo?É importante que eles vejam que qualquer uma das peças do

Material Dourado tem uma relação de múltiplo de uma potência de 10 em relação a qualquer outra, pode-se questionar:

Se no cubo cabem 10 placas, então cada placa representa a décima parte do cubo?

O que podemos dizer entre a barra e o cubo e vice-versa? E entre o cubinho e a barra?E entre o cubo e o cubinho?E entre o cubinho e a placa?

Utilizar a nomenclatura apropriada para os numerais decimais (décimo para a placa, centésimo para a barra e milésimo para o cubinho) e estabelecer as relações:

29

Isto posto, fica mais significativo para o aluno representar quantidades. Como por exemplo: um inteiro e doze centésimos:

Pede-se então ao aluno se existe outra forma de representação. Ele

deve perceber a troca que pode ser efetuada: 10 barras por 1 placa. Assim:

No final há a necessidade do registro: 1,12. Também é apropriado treinar as duas formas de leitura: a direta (um inteiro e doze centésimos) e a decomposta: (1 inteiro, 1 décimo e um centésimo).

O próximo passo é inverter a atividade. Dá-se a quantidade de peças do material dourado e os alunos escrevem o numeral. Este processo poderá ser repetido e quando estiverem seguros, pode-se lançar um problema envolvendo comparação de números decimais. Por exemplo:

5 - Mário perdeu um centésimo de seu salário e sua irmã perdeu um décimo do mesmo salário. Quem perdeu mais? Represente e compare.

Também podem ser trabalhados exercícios do tipo: Qual é maior?

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2,350 ou 2,305 →__________ 0,11 ou 0,100 →__________ 0,35 ou 0,350 →__________ 2,09 ou 2,7 →__________ 1,101 ou 1,11 →__________ 3,40 ou 3,300 →__________

Esses exercícios têm por objetivo reforçar os conceitos de valor posicional e também que zeros colocados à direita de um número significativo na parte decimal não alteram o valor do número.

As quatro operações deverão ser trabalhadas da mesma forma como se procede com os naturais, alterando apenas a nomenclatura das classes. Exemplo:

6 - Ao abastecer seu carro na quinta-feira Mário percebeu que o preço do litro de gasolina havia aumentado em R$ 0,152 do preço pago na última abastecida que era de R$ 1,24. Quanto Mário pagou pelo litro de gasolina?

Representam-se as duas quantidades com o Material Dourado e o ábaco de papel atentando para a colocação das classes. Neste caso não se efetua nenhuma troca.

Assim temos:

Remete-se ao enunciado do problema e formula-se a resposta.

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Assim, de acordo com o entendimento dos alunos vai apresentamos problemas com reserva para que eles possam compreender a trocas realizadas e associem com os procedimentos utilizados nos algoritmos.

Quanto à subtração cita-se como exemplo:

7- O carro de Mário necessita de um litro de óleo para funcionar. Devido a um vazamento, seu carro estava apenas com 0,732 do litro. Quanto vazou de óleo o carro de Mário?

Para retirarmos 0,732 de um número inteiro vamos trocar 1 inteiro por 10 décimos:

Agora, trocamos 1 décimo por 10 centésimos:

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Finalmente, trocamos 1 dos dez centésimos por 10 milésimos:

Restando:

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Remeter à pergunta do problema e formular a resposta.

Os questionamentos do professor durante o processo de utilização do Material Dourado são muito importantes. Ele deve instigar o aluno com perguntas tipo: “e se houvesse mais 1 centésimo?”; “e se no lugar de 9 centésimos tivessem 10?”; “por que vai 1?”., etc. Atividades de resolução de problemas são sempre bem-vindas em todos os momentos. Desta forma os alunos poderão compreender os conceitos necessários importantes da operação de adição com Números Decimais, bem como os da subtração, multiplicação e da divisão.

3- GEOPLANO (Perímetro e área)

"Nossas primeiras sensações geométricas se dão em três dimensões, não em duas", ressalta Ubiratan D’Ambrósio (1999). "Por isso, as aulas devem partir do tri, para depois abstrair até o bidimensional", defende.

Uma aula sobre perímetro pode começar com um problema do tipo: "Precisamos ladrilhar a sala de aula. Quanto vamos precisar de piso?”

Inicialmente haverá a medição e o cálculo da área da sala de aula. Para ajudar os alunos na tarefa, uma alternativa interessante é recorrer aos chamados materiais manipuláveis. Nesse caso, uma boa opção para que eles possam visualizar a área da sala seria o Geoplano

O Geoplano consiste numa placa de madeira e pregos dispostos de modo a formar uma malha, que pode ter vários aspectos estruturais. Ele é acompanhado de um conjunto de elásticos que permitem a representação de figuras geométricas.

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http://espanol.geocities.com/tecnomonzon/Tec1eso_geo001.jpg

O Geoplano é um modelo matemático que permite traduzir ou sugerir idéias matemáticas, num sentido mais exato, constitui um suporte concreto de representação mental, um recurso que leva a realizar idéias abstratas.

Este instrumento é um recurso didático que se pode classificar como múltiplo e dinâmico porque permite a representação de inúmeras situações que possibilitam o movimento da imagem das figuras no plano e no espaço.

Algumas atividades explorando “interior”, “exterior”, “direita”, “esquerda”, “fronteira”, podem ser desenvolvidas inicialmente.

Ele conhece o material manipulando-o e construindo formas variadas. Depois sugira que monte figuras com 3 lados, pequenas e grandes; figuras com 4 lados, pequenos, grandes, compridas e estreitas, curtas e largas, parecidas com o quadrado, diferentes do quadrado, fazer figuras que não se tocam, que se tocam e que se cruzam e explorar caminhos por onde passam as linhas, etc. Neste trabalho explorando figuras geométricas planas pode-se fazer análise dos componentes das figuras: os lados, os vértices, os ângulos e as diagonais.

As atividades seguintes são sugestões e têm por objetivo a exploração dos conceitos citados anteriormente.

a) Desenhe polígonos no Geoplano.

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b) A partir das construções do aluno, o professor pode montar com ele uma tabela do tipo:

36

Fonte: : PIRES, M.N.M. et.al. Prática Educativa do Pensamento Matemático, IESDE, Curitiba, 2004.

É importante que o professor defina polígonos (são figuras fechadas simples formadas apenas por segmento de reta), figuras simples, segmento de reta e outros.

Utilizando as construções, o professor pode trabalhar com as classificações dos triângulos.

Como sugestão pode-se pedir ao aluno que construa triângulos no Geoplano e encontre uma forma de agrupá-los. O professor poderá conduzir o aluno a agrupá-los quantos aos lados e quanto aos ângulos, construindo com ele as seguintes tabelas:

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Fonte: : PIRES, M.N.M. et.al. Prática Educativa do Pensamento Matemático, IESDE, Curitiba, 2004.

Da mesma forma, pode-se trabalhar com a classificação dos quadriláteros pedindo ao aluno que desenhe polígonos de quatro lados no Geoplano; construir quadriláteros com o menor e o maior lado possível ou até mesmo construir um quadrilátero que tenha pelo menos dois lados paralelos e dois perpendiculares.

Partindo das figuras construídas pode-se montar uma tabela para a classificação dos quadriláteros:

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Fonte: PIRES, M.N.M. et.al. Prática Educativa do Pensamento Matemático, IESDE, Curitiba, 2004.

Para o estudo de área e perímetro o Geoplano favorece a compreensão da diferença entre esses dois conceitos.

A princípio, pode-se tomar como unidade linear a distância entre dois pregos e a região limitada por quatros pregos como a unidade de área.

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Seguem-se algumas sugestões de atividades:

a) Pede-se ao aluno que monte uma figura e verifique quantas unidades lineares foram suficientes para contornar a figura (noção de perímetro)

b) A seguir pede-se que verifique quantas unidades de área estão contidas na sua figura. (noção de área).

c) Após as atividades acima, o aluno poderá então fazer comparações e estabelecer a diferença entre perímetro e área.

d) Pode-se agora solicitar que ele construa alguns quadrados no Geoplano e verifique o perímetro e a área de cada figura.

e) Pede-se que ele desenhe três figuras diferentes de área igual a 6 e calcule o perímetro de cada figura.

f) Pode-se também pedir que desenhe no Geoplano figuras de perímetro 10 e calcule a área de cada uma.

g) No Geoplano, pedir que desenhe figuras com os seguintes perímetros e áreas:

Perímetro Área12 910 412 88 412 614 1010 5

h) Questiona-se: figuras de áreas iguais possuem

necessariamente perímetros iguais? E figuras de perímetros iguais possuem necessariamente áreas iguais?

Estas são apenas sugestões de atividades desenvolvidas no Geoplano. É importante que as mesmas sejam confrontadas para que o aluno perceba a particularidade de cada uma delas.

4- RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS:

Inicialmente para trabalharmos com a Resolução de Problemas é necessário que o aluno quebre alguns tabus.

Passe para eles a seguinte questão:

“Um fazendeiro possui 30 ovelhas e 45 cabeças de gado. Qual a idade do fazendeiro?”

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O enunciado é evidente, não tem solução. Os alunos têm a idéia fixa de que problemas matemáticos servem apenas para a aplicação e memorização de regras e técnicas de cálculo. Isto implica em derrubar alguns tabus, segundo FALZETTA (2003):

A - A resposta de um problema sempre existe, é numérica e única e chega-se a ela por um só caminho. (Colocar problemas que tem mais de uma solução).

B - A resolução deve ser rápida e todos devem chegar lá.(Utiliza-se o mesmo problema para acompanhar qual processo é

mais rápido).

C - No caminho do erro encontra-se o acerto.Algumas atividades podem ser corrigidas pelos próprios alunos

trocando exercícios entre si com a devida explicação ao colega ou mesmo a avaliação em dois tempos: uma vez entregue a prova já corrigida ao aluno ele escolhe uma questão errada e a refaz em folha separada de modo que as duas questões resolvidas, certa e errada, fiquem numa mesma folha para serem comparadas. Cada auto-correção tem de vir justificada. Desta forma o aluno se sente ajudado e adquire confiança. O objetivo é que o aluno compare os caminhos que seguiu e encontre a origem do erro.

D - Esforço sim, decoreba não!O aluno precisa de problemas reais do seu cotidiano para que ele

perceba que a matemática não é exercício de decoreba, mas a de aplicação aos fatos de sua vida.

E - O benefício da dúvida.A dúvida gera alunos críticos, que propõe idéias e tira as próprias

conclusões propondo ao aluno a melhor estratégia de resolução.

Algumas sugestões de problemas que podem enriquecer nossa prática:

- Modificação da pergunta:

O problema original foi dado aos alunos da seguinte forma:

No caso, basta subtrair 13 de 19 para chegar à resposta.Modificação na pergunta

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Roberto coleciona figurinhas e já conseguiu 13 para o álbum. Daniel, seu irmão, faz a mesma coleção e tem 19 figurinhas. Só para provocar, Daniel disse que já tem o dobro de Roberto. Quantas figuras Daniel têm a mais que Roberto?

É verdade a afirmação de Daniel? Quantas figurinhas faltam para que Daniel fique com o dobro da quantidade de seu irmão?

Com o novo enfoque da pergunta o aluno é desafiado a justificar por que Daniel está mentindo. Para isso terá de recorrer ao conceito de dobro e explicar que, para a afirmação de Daniel ser verdadeira, ele precisaria ter 26 figurinhas. E que, portanto, faltam sete.

Saiba identificar problemas convencionais e transformá-los em desafios mais interessantes e úteis.

- Problemas convencionais são apresentados em frases curtas. Os dados para resolução sempre aparecem no texto e, em geral, na ordem em que serão utilizados. Algumas palavras-chave identificam a operação solicitada. A resposta é única e numérica.

Exemplo: O perímetro de um quadrado é 34 metros. Quanto mede cada

lado? A resposta é 8,5 metros.

- Problemas não convencionais são apresentados em textos mais elaborados, contendo personagens, provocando a imaginação do aluno e sugerindo situações inusitadas. Convidam ao raciocínio, motivam e causam encantamento. Uma boa fonte para encontrá-los são os almanaques e os gibis. Eles podem ser resolvidos por diversas estratégias e muitas vezes têm mais de uma solução.

Exemplo: Vovô disse que cresceu numa casa onde havia 12 pés e um rabo.

Quem poderia ter vivido com vovô?

Observe como é preciso mobilizar vários conhecimentos para a resolução. Se havia um rabo, supõe-se que havia um animal. Um cachorro, por exemplo, que tem quatro pés. Os oito restantes poderiam pertencer a quatro pessoas, uma delas o próprio vovô. Mas e se o rabo fosse de um peixe no aquário?

- Problemas sem solução desenvolvem a habilidade de duvidar. Peça aos alunos que modifiquem o enunciado de problemas desse tipo, para que passem a ter solução.

- Problemas com mais de uma solução valorizam o processo de resolução, que pode não ser único. O aluno se sente mais encorajado e autônomo, pois encontra o próprio caminho. Ao observar as estratégias dos colegas, adquire a capacidade de analisar a eficiência da própria solução.

- Problemas com excesso de dados assemelham-se às situações que o aluno vai enfrentar na vida. Geralmente são apresentados de forma

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pouco objetiva, que evidenciam a importância da leitura para a compreensão.

- Problemas de lógica necessitam de raciocínio dedutivo. Para resolvê-los o aluno deve se mostrar hábil em prever e checar situações, levantarem hipóteses, buscar suposições, analisar e classificar dados. (FALZETTA, 2003).

5- RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS (envolvendo idéias de subtração).

Vimos que a adição está associada às idéias intuitivas de juntar, reunir, acrescentar. Neste sentido, podemos dizer que a adição é uma operação bastante natural. De um modo geral, não há dificuldades para identificar as situações que envolvem a adição. Entretanto, o mesmo não se passa com a subtração. Em geral, é mais difícil as crianças identificarem a presença da subtração nos problemas.

Qual será a razão dessa dificuldade? A razão está no fato de que, geralmente, associamos a subtração apenas ao ato de retirar, mas há outras duas situações que também estão relacionadas com a subtração: os atos de comparar e de completar.

Vamos exemplificar cada uma das três situações:

I - Problema que envolve o ato de retirar Quando Oswaldo abriu a papelaria, pela manhã, havia 56 cadernos

na prateleira. Durante o dia vendeu 13. Ao fechar a loja, quantos cadernos havia na prateleira?

Ao resolver este problema pensamos assim: dos 56 cadernos tiramos 13. Para saber quantos ficaram fazemos uma subtração: 56 - 13 = 43

No final havia 43 cadernos na prateleira

II - Problema que envolve comparação João pesa 36 quilos e Luís, 70 quilos. Quantos quilos Luís têm a

mais que João?Esta pergunta envolve uma comparação: ao constatar que Luís é

mais pesado que João queremos saber quantos quilos a mais ele tem. Respondemos a pergunta efetuando uma subtração: 70 - 36 = 34

Luís tem 34 quilos a mais que João.

III - Problema que envolve a idéia de completar O álbum completo terá 60 figurinhas. Já possuo 43. Quantas

faltam?

43

Para descobrir quantas figurinhas faltam para completar o álbum, pensamos numa subtração: 60 - 43 = 17

Faltam 17 figurinhas.

Pode ser difícil estabelecer distinção entre estas três situações. De certo modo, elas se confundem, na medida em que todas podem se resolvidas com base na mesma operação: a subtração. Entretanto, há uma diferença entre elas.

Consideremos o primeiro problema. É um caso em que é possível pensar no ato de empilhar 56 cadernos, retirar 13 e contar quantos sobraram. Em problemas deste tipo não há dificuldade para identificar a subtração.

Entretanto, no segundo problema, que significado há em tirar os 36 quilos de João dos 70 quilos de Luís? Concretamente esta operação não pode ser realizada. Podemos apenas efetuar uma comparação dos pesos, verificando quantos quilos "a mais" tem João.

Vamos agora ao problema do álbum de figurinhas. Nos problemas desse tipo é comum raciocinar pensando em quanto falta para completar certa quantidade: se já possuo 43 figurinhas, quantas faltam para completar 60? Note que a idéia envolvida é a de juntar, acrescentar.

O cálculo pode até ser feito por etapas, para ficar mais fácil: tenho 43; junto mais 7, fico com 50; tenho 50; junto mais 10; completo as 60 figurinhas. Ah! Preciso de 10 + 7 = 17 figurinhas!

A idéia de completar ou de "quanto falta para" leva naturalmente à adição.

Isto é o que fazem, em geral, os caixas de lojas e os comerciantes, quando dão o troco. Por exemplo, numa compra de 2,70 reais em que o freguês paga com uma nota de 5,00 reais, o caixa dá 10 centavos e diz 2,80; dá mais 10, e diz 2,90; dá mais 10 e diz 3,00; dá mais 1,00, diz 4,00 e, finalmente, dá mais 1,00 e diz 5,00 reais.

Observe os três problemas que seguem, responda e associe cada um dos problemas com as três idéias que se relacionam com a subtração:

(idéias de subtração: retirar, completar ou comparar)

a) Mário possuía 64 balas. Chupou 8 balas. Quantas balas lhe restaram?

Restaram-lhe _____ balas. Idéia de _______________.

b) Mário possui 64 balas e Carlos, 57 balas. Quantas balas Mário têm a mais que Carlos?

Mário têm _____ balas a mais que Carlos. Idéia de __________.

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c) Mário gostaria de ter 90 balas. Quantas balas deverá adquirir?

Mário deverá adquirir _____ balas.Idéia de __________. (ICMC/USP, 1999)

6- RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS (envolvendo idéias de porcentagem).

Ainda dentro da resolução de problemas devem-se incluir os problemas de porcentagem pelas dificuldades apresentadas.

As situações devem sempre fazer parte do cotidiano dos alunos, o termo “por cento” não lhes é desconhecido.

Um exemplo pode ser visto em manchetes do tipo:

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As quantidades acima são acompanhadas do símbolo % (por cento) que significa “por cem”.

38% quer dizer que 38 em cada cem pessoas são fumantes.

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Destes, 50% desenvolvem algum tipo de doença, ou seja, 50 de cada cem pessoas desenvolvem algum tipo de doença.

20% das mulheres brasileiras fumam durante a gravidez. O que significa isto?

A princípio o aluno precisa compreender que “por cento” está associado a uma parte “do cem”. Pode-se relacionar que 10% indicam a décima parte de cem ou que 10% representa 10 de cada cem.

Algebricamente podemos escrever 10% = 10010

= 0,10.

E se 10% é a décima parte de 100, concluímos que 1% é a centésima parte de cem.

A partir destas igualdades pode-se explorar, através de exemplos próximos aluno, a idéia de porcentagem: “Quanto representa 10% dos alunos da sala? E 20%? Quantos minutos são 30% de uma hora? E 35%?”

Após esta etapa pode-se trabalhar a situação apresentada no alerta aos fumantes. É importante ressaltar que este exemplo pode ser explorado de maneira a chamar a atenção do aluno para uma realidade preocupante e com isso conscientizá-los de que o fumo é prejudicial à saúde.

A pesquisa mostra que 60 milhões dos brasileiros são fumantes, o que representa 38% da população.

Uma sugestão é mostrar qual a população no momento da pesquisa e partir deste dado encontrar os 60 milhões.

A partir da resolução de problemas usar os números decimais para resolver problemas que envolvem porcentagem.

Acompanhe:

Um rolo de barbante tem 150 metros de comprimento. Usamos

62% desse rolo na montagem de um varal para exposição dos trabalhos de Geometria. Quantos metros de barbante foram usados?

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Como 62% =10062

= 0,62, devemos calcular 0,62 de 150:

0,62 x 150 = 93

Usamos 93 metros de barbante.

Deve-se trabalhar também a representação decimal das porcentagens: 3% = 0,03; 16%= 0,16; 150% = 1,50 e vice-versa, bem como cálculos de porcentagens associados ao seu cotidiano envolvendo a resolução de problemas, como por exemplo:

Numa escola havia 650 alunos. Desses, 65% eram meninas.

Quantas meninas havia na escola? E meninos?

Uma pizza foi dividida em 8 partes iguais. Mário comeu 2/8 e Carlos comeu 4/8. Que porcentagem da pizza comeu cada um? Que fração sobrou? Qual porcentagem sobrou da pizza?

No ano passado um MP3 custava R$ 250,00. Este ano ele teve uma redução de preço de 9%. Quanto custa este MP3 hoje?

Para finalizar faz-se necessário mostrar que a porcentagem não pode ser vista somente como parte do todo mas, que pode ser usada para representar quantias maiores que 100% como no exemplo abaixo: O número de acidentes em estradas federais brasileiras equivale a 800% do número de acidentes em estradas federais americana.

7 – HISTÓRIA DA MATEMÁTICA

A História da Matemática constitui o importante recurso pois pode esclarecer idéias que estão sendo construídas pelo aluno. Mostra necessidades e preocupações de diferentes culturas em diferentes momentos históricos, criando condições para que o aluno compare conceitos e processos matemáticos do passado e do presente.

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O HOMEM COMO MEDIDA DAS COISAS

Antigamente, para medir comprimentos, o homem tomava a si próprio como referência. Usava como padrões determinadas partes de seu carpo. Foi assim que surgiram:

a polegada o palmo o pé

a braçao passo

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a jardaAlguns desses padrões continuam sendo empregados até hoje.

Veja os seus correspondentes em centímetros:

1 polegada = 2,54 cm 1 pé = 30,48 cm 1 jarda = 91,44 cm

A NECESSIDADE DE PADRONIZAR OS PADRÕES

Quando Paulo encontrou Ricardo seu colega de série no primeiro dia de aula disse que estava feliz com sua escola e que, enfim tinha uma sala espaçosa e parecia ser maior que as outras. Ricardo não concordou e resolveram conferir. Na falta de um instrumento que lhes permitissem calcular com precisão decidiram usar os pés como unidade de medida.

Paulo ficou muito feliz porque sua sala era o maior: media 17 pés de comprimento, enquanto a de Ricardo media apenas 16 pés. O professor de Paulo que acompanhava à distância percebeu que tinha em mãos uma ótima oportunidade para introduzir a aula sobre medidas. Combinou então que a medição das salas seria feita apenas com um dos meninos, constatando assim, que as salas tinham o mesmo tamanho. Vocês saberiam explicar o motivo da diferença nas medições que eles fizeram? Vamos recorrer à história...

Há cerca de 4.000 anos, os egípcios usavam, como padrão de medida de comprimento, o cúbito: distância do cotovelo á ponto do dedo médio.

cúbito ou côvado Cúbito é o nome de um dos ossos do antebraço

Como as pessoas têm tamanhos diferentes, o cúbito variava de uma pessoa para outra, ocasionando as maiores confusões nos resultados das medidas. Para serem úteis, seria necessário que os padrões fossem iguais para todos. Daí os egípcios resolveram fixar um padrão único: em lugar do próprio corpo, eles passaram a usar em suas medições barras de pedra com o mesmo comprimento. Foi assim que surgiu o cúbito-padrão.

Entretanto, cada povo tinha seus próprios padrões e algumas dificuldades ainda persistiam, já que havia cúbitos de vários tamanhos.

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O cúbito padronizado pelos sumérios, por exemplo, era diferente do cúbito egípcio. E ambos diferiam do cúbito assírio.

Apesar da padronização quase completa que temos hoje, é curioso notar que ainda há diversidade de padrões em determinados países. Aqui no Brasil, por exemplo, temos um padrão muito usado para medir grandes extensões de terra, como sítios, granjas e fazendas: o alqueire. O problema é que existem diversos alqueires:

- um alqueire paulista é igual a 24.200 metros quadrados;- um alqueire mineiro equivale a 48.400 metros quadrados, - um alqueire do Norte vale 27.225 metros quadrados.

Embora o uso de cada um desses alqueires esteja restrito a determinadas regiões do Brasil, essa variedade causa muitos transtornos, principalmente em transações de compra e venda. Vamos pensar na seguinte situação:

Um fazendeiro mineiro pesquisou na internet e descobriu que um fazendeiro paulista estava vendendo um sitio ao preço de R$20000,00 o alqueire. O mineiro achou que o preço estava acessível e resolveu comprar. O que poderá acontecer na hora de concretizar o negócio?

UM POUCO MAIS DE HISTÓRIA

Nos séculos XV e XVI, os padrões mais usados na Inglaterra para medir comprimentos eram: a polegada, o pé, a jarda e a milha terrestre.

A propósito, a milha tem uma origem curiosa. Conta-se que, há cerca de 2.000 anos, quando marchavam através dos países conquistados, os saldados de Roma iam contando os passos duplos que davam.

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Mil passos duplos perfaziam uma milha terrestre. Esse padrão ainda é utilizado hoje, como algumas modificações, equivale a 1.609 metros.

A jarda também tem sua história. Esse termo vem da palavra inglesa yard, que significa “vara”, em referência ao uso de varas nas medições. Esse padrão foi criado por alfaiates ingleses, e se baseou na medida do tecido necessário para confeccionar uma vestimenta. No século XII, em conseqüência de sua grande utilização, esse padrão foi oficializado pelo rei Henrique I. A jarda teria sido definida, então, como a distância entre a ponta do nariz do rei e a de seu dedo polegar, com o braço esticado.

COMO JUNTAR JARDA, POLEGADA E PÉ, SEM METER OS PÉS PELAS MÃOS?

Para comparar duas medidas obtidas com padrões diferentes, precisamos saber que relação existe entre eles.

Através de leis, os reis da Inglaterra fixaram estas relações entre padrões:

1 pé = 12 polegadas 1 jarda = 3 pés 1 milha terrestre = 1.760 jardas

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Tais relações deveriam ser respeitadas por todas as pessoas que, naquele reino, fizessem medições usando mais de um padrão.

VIEIRA, José Francisco Duran.

Porém, era necessário que se adotasse um padrão de medida único para cada grandeza a nível universal.

Foi assim que, em 1791, época da Revolução francesa, um grupo de representantes de vários países reuniu-se para discutir a adoção de um sistema único de medidas. Surgia o sistema métrico decimal.

Metro

A palavra metro vem do gegro métron e significa "o que mede". Foi estabelecido inicialmente que a medida do metro seria a décima milionésima parte da distância do Pólo Norte ao Equador, no meridiano que passa por Paris. No Brasil o metro foi adotado oficialmente em 1928.

Múltiplos e Submúltiplos do Metro

Além da unidade fundamental de comprimento, o metro, existem ainda os seus múltiplos e submúltiplos, cujos nomes são formados com o uso dos prefixos: quilo, hecto, deca, deci, centi e mili. Observe o quadro:

MúltiplosUnidade

FundamentalSubmúltiplos

Quilômetro hectômetro decâmetro metro decímetro centímetro milímetroKm hm dam m dm cm mm

1.000m 100m 10m 1m 0,1m 0,01m 0,001m

Leitura das Medidas de Comprimento

A leitura das medidas de comprimentos pode ser efetuada com o auxílio do quadro de unidades. Exemplos: Leia a seguinte medida: 15,048 m.

Seqüência prática

1º) Escrever o quadro de unidades:

km hm dam m dm cm mm

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2º) Colocar o número no quadro de unidades, localizando o último algarismo da parte inteira sob a sua respectiva.

km hm dam m dm cm mm

1 5, 0 4 8

3º) Ler a parte inteira acompanhada da unidade de medida do seu último algarismo e a parte decimal acompanhada da unidade de medida do último algarismo da mesma.

15 metros e 48 milímetros

Outros exemplos:

6,07 km lê-se "seis quilômetros e sete decâmetros"

82,107 damlê-se "oitenta e dois decâmetros e cento e sete centímetros".

0,003 m lê-se "três milímetros".

Transformação de Unidades

Observe as seguintes transformações:

Transforme 16,584 hm em m.

Km hm dam m dm cm mm

Para transformar hm em m (duas posições à direita) devemos multiplicar por 100 (10 x 10).

16,584 x 100 = 1.658,4

Ou seja:

16,584 hm = 1.658,4 m

(SÓ MATEMÁTICA, 2007)

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Todos estes conceitos devem ser trabalhados tendo a resolução de problemas como eixo organizador do processo de ensino da Matemática.

7- CONSIDERAÇÕES:

Estudos realizados neste trabalho apontam para uma necessidade de adequar a matemática a uma nova realidade.

A análise dos resultados apresentados mediante a prova do AVA 2000 realizado nas quintas séries do “Colégio Estadual Emílio de Menezes” no ano de 2007, mostram que os alunos, ao final das séries iniciais, apresentam dificuldades nas quatro operações, no sistema de numeração decimal, cálculos de porcentagens, noções de medidas de comprimento e área e interpretação de problemas entre outras.

Todas estas dificuldades foram estudadas e neste material pedagógico estão descritas algumas estratégias de superação de erros cometidos na referida avaliação.

É importante salientar a dimensão que o “erro” assume nesta proposta e que, como instrumento relevante pela qualidade de informações que ele traz, potencialize discussões entre os professores mediante as dificuldades do aluno e superação dos obstáculos.

É consensual a idéia de que não existe um caminho pronto e acabado que possa ser colocado. No entanto, a análise dos erros constitui-se em uma possibilidade para que o professor possa desenvolver e renovar sua prática educativa.

Este caderno pedagógico não tem a pretensão de solucionar todas as dificuldades encontradas na análise dos erros dos alunos. Serve apenas como um encaminhamento metodológico de suporte para futuras intervenções e aberto a novas propostas.

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8 – REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS:

CADERNO AVA 2000 Matemática: uma análise pedagógica. Secretaria de Estado da Educação. Curitiba 2001.

FALZETTA, Ricardo. Quebre cinco tabus de resolução de problemas Disponível em http://novaescola.abril.com.br/ed/160_mar03/html/matematica. Acesso em 27.01.2008.

ICMC/USP. Disponível em http://educar.sc.usp.br/matematica/index.html. Acesso em 27.01.2008.

PIRES, M.N.M. et.al. Prática Educativa do Pensamento Matemático, IESDE, Curitiba, 2004.

SÓ MATEMÁTICA. Disponível em http://www.somatematica.com.br/fundam/comprimento/comprimento2.php. Acesso em 27.01.2008.

VIEIRA, José Francisco Duran. Disponível em http://ube-164.pop.com.br/repositorio/22030/meusite/teoria.html Acesso em 27.02.2008.

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