Versão On-line ISBN 978-85-8015-076-6Cadernos PDE

OS DESAFIOS DA ESCOLA PÚBLICA PARANAENSENA PERSPECTIVA DO PROFESSOR PDE

Artigos

AS DIFERENTES REPRESENTAÇÕES DE UM NÚMERO RACIONAL POR MEIO DA INVESTIGAÇÃO MATEMÁTICA

COM ESTUDANTES DO 6º ANO

Celina Maria Negro1

Profa. Dra. Magna Natalia Marin Pires2

RESUMO

Este artigo traz o relato da implementação da Produção Didático-pedagógica proposta pela primeira autora junto ao Programa de Desenvolvimento Educacional (PDE), mantido pela Secretaria Estadual de Educação do Paraná (SEED-PR), em parceria com a Universidade Estadual de Londrina (UEL), no primeiro semestre de 2014. A experiência foi desenvolvida com 35 alunos do 6º Ano do Ensino Fundamental, no período vespertino, do Colégio Estadual Marcelino Champagnat – Ensino Fundamental e Médio, em Londrina, utilizando a estratégia de Investigação Matemática. Essa estratégia, de ensino e de aprendizagem, possibilita ao estudante a construção do conhecimento percorrendo diferentes caminhos na formação do pensamento matemático. A intenção foi contribuir para que os estudantes enfrentassem o desafio de compreender as diferentes representações do número racional, oportunizando a atribuição de sentido e a construção de significado, mobilizando os recursos já apreendidos. O resultado é que a experiência envolveu os estudantes que se mostraram interessados e participaram ativamente do processo de aprender matemática.

Palavras-chave: Investigação Matemática; Número Racional; Educação Matemática.

1 INTRODUÇÃO

Minha experiência como professora de Matemática dos anos finais do Ensino

Fundamental mostra que os estudantes chegam apresentando algum conhecimento

sobre fração (parte-todo) e sua representação na forma racional,

___________________________________________________________

1 Curso de Especialização em Educação Matemática – FAFI, graduada em Matemática com

habilitação em Matemática e Física na Universidade Estadual de Londrina - UEL. 2 Doutora em Ensino de Ciências e Educação Matemática – UEL, Mestre em Educação – UFPR,

Especialista em Educação Matemática – UEL, Licenciada em Matemática – UEL. Professora do Departamento de Matemática da Universidade Estadual de Londrina – UEL.

embora apresentem dificuldades em associar o significado do numerador e do

denominador e, consequentemente, na forma de número decimal e de porcentagem.

No dia a dia vemos essas diferentes representações nos mais diversos meios

de comunicação, isto é, na vivência do estudante fora do ambiente escolar,

entretanto ao lidar no contexto da escola, ficamos angustiados com tal situação,

embora sejam assuntos que despertam o interesse dos estudantes, pois estão

inseridos em contextos significativos da sua vida diária.

De acordo com as Diretrizes Curriculares da Educação Básica (DCE) para o

Ensino da Matemática (2008), estamos vivenciando um momento no qual buscamos,

por meio das tendências metodológicas da Educação Matemática, melhorar as

expectativas quanto ao ensino e a aprendizagem; proporcionando “um ensino que

possibilite aos estudantes análises, discussões, conjecturas, apropriação de

conceitos e formulação de idéias” (p.48). E esta perspectiva “implica em pensar na

transposição didática que regula a ligação entre a Matemática como campo de

conhecimento e disciplina escolar” (p.49). Indo ao encontro das expectativas citadas,

o Programa de Desenvolvimento Educacional (PDE) proporcionou um tempo de

estudos e reflexões para o desenvolvimento de práticas pedagógicas que incentivam

e envolvem os estudantes no processo de ensino e de aprendizagem. O objeto de

estudo foi usar a estratégia de Investigação Matemática, pois ela “envolve o estudo

de processos que investigam como o estudante compreende e se apropria da

própria Matemática” (PARANÁ, 2008, p.48-49).

Foram selecionadas e aplicadas cinco tarefas, as quais oportunizaram aos

estudantes estabelecer as relações fração – número decimal – porcentagem. Nesse

artigo apresentamos o relato da primeira tarefa.

2 O NÚMERO RACIONAL

Segundo os Parâmetros Curriculares Nacionais (PCN) de Matemática do

Ensino Fundamental, os estudantes das séries finais do Ensino Fundamental, 3º

ciclo, 6º e 7º anos, chegam sem entender as diferentes relações existentes entre os

números racionais como também os processos para resolver operações com eles

(BRASIL, 1998).

Os egípcios já utilizavam a fração por volta de 2000 a.C, para trabalhar com

os sistemas de pesos e medidas e relatar resultados, foi por meio de problemas

históricos que envolviam medidas que surgiram os números racionais, já que os

números naturais não davam conta de resolver alguns problemas envolvendo esses

conteúdos.

Entende-se que a construção do número racional é uma extensão do número

natural e, por isso, a necessidade de compreender o sistema de numeração decimal.

Os PCN (1998) enfatizam que:

ao longo do ensino fundamental o conhecimento sobre os números é construído e assimilado pelo aluno num processo em que tais números aparecem como instrumento eficaz para resolver determinados problemas, e também como objeto de estudo em si mesmos, considerando-se, nesta dimensão, suas propriedades, suas inter-relações e o modo como historicamente foram constituídos.(BRASIL, 1998, p.50)

Neste contexto, o estudante na busca da compreensão dos números

racionais em questões contextualizadas do cotidiano chega à conclusão de que a

forma decimal é a mais usada em relação à forma fracionária.

Quando o estudante compreende os diversos significados associados aos

números racionais, tem maior clareza para selecionar qual delas é a mais viável

para resolver determinada situação que lhe é apresentada. Exemplificando, temos

“um aumento de salário foi de 12% ao invés de 𝟏𝟐

𝟏𝟎𝟎 ou

𝟑

𝟐𝟓” (PCN, 1998, p.103).

Para que o estudante compreenda as relações entre essas diferentes

representações, faz-se necessária a construção do conceito de equivalência, bem

como os processos para se obter as relações existentes entre os números racionais,

pois no desenvolvimento do processo as conexões são apreendidas.

De acordo com Moss (2005), o estudo das porcentagens pode anteceder o

das frações e dos números decimais devido às frações terem denominador 100 e,

portanto, poderia ter um melhor entendimento para os estudantes. Assim, ficaria

mais fácil estabelecer as relações entre porcentagem, número decimal e fração;

fazendo “uma correspondência de equivalência” como também as diferentes

representações “de uma forma direta e intuitiva” levando ao desenvolvimento da

compreensão de como elas se associam (apud VENTURA; OLIVEIRA, 2006, p.369).

Segundo os autores citados, não é aconselhável trabalhar de forma isolada as

diversas representações, pois é uma das dificuldades que os estudantes enfrentam,

e a utilização de materiais manipuláveis pode ajudar neste trabalho auxiliando a

visualização e, consequentemente, a compreensão.

De acordo com os PCN (1998), os números racionais devem ser abordados

nos seus diferentes significados como: relação parte/todo, divisão (quociente),

razão.

A relação parte/todo se apresenta quando um todo (unidade) se divide em partes equivalentes. A fração, por exemplo, indica a relação que existe entre um número de partes e o total de partes. Como quociente de um inteiro por outro (a:b = a/b ; b ≠ 0). Para o aluno, ela se diferencia da interpretação anterior, pois dividir uma unidade em 3 partes e tomar 2 dessas partes é uma situação diferente daquela em que é preciso dividir 2 unidades em 3 partes iguais. No entanto, nos dois casos o resultado é dado pelo mesmo número: 2/3. Como razão, quando o número racional é usado como um índice comparativo entre duas quantidades. Por exemplo: 2 de cada 3 habitantes de uma cidade são imigrantes e se conclui que 2/3 da população da cidade é de imigrantes. Envolvendo probabilidades: a chance de sortear uma bola verde de uma caixa em que há 2 bolas verdes e 8 bolas de outras cores é de 2/10. Na abordagem de escalas em plantas e mapas (escala de 1 cm para 100 m; representada por 1:10000 ou 1/10000. Exploração da porcentagem: 70 em cada 100 alunos da escola gostam de futebol: 70/100, 0,70 ou 70% ou ainda 7/10 e 0,7. (BRASIL, 1998, p.102-103)

2.1 INVESTIGAÇÃO MATEMÁTICA

“Investigar significa procurar conhecer o que não se sabe”.3

A investigação matemática é uma prática pedagógica indicada por muitos

educadores por acreditarem que ela possibilita ao estudante compreender melhor os

conteúdos a serem estudados.

Para Ponte, Brocardo e Oliveira (2005):

investigar não significa necessariamente lidar com problemas muito sofisticados na fronteira do conhecimento. Significa, tão só, que formulamos questões que nos interessam, para as quais não temos resposta pronta, e procuramos essa resposta de modo tanto quanto possível fundamentado e rigoroso (p.09).

Fazer uso desta prática é propor uma estratégia heurística, pois não temos

um método que possibilite a resolução de forma imediata.

____________________________________________________________ 3 PONTE; BROCARDO; OLIVEIRA, 2005, p.13.

Muitos estudos em educação mostram “que investigar constitui uma poderosa

forma de construir conhecimento” (PONTE; BROCARDO; OLIVEIRA, 2005, p.10).

Segundo Ponte, Brocardo e Oliveira (2005), experiências realizadas

envolvendo trabalho com investigação relatam que os estudantes apresentam um

nível maior de aprendizagem e desenvolvem gosto pela matemática, visto que

“mobiliza os seus recursos cognitivos e afetivos com vista a atingir um objetivo”

(p.23). E se referindo como atividade de ensino e de aprendizagem, os autores

afirmam que o aluno é chamado a agir como um matemático, não só na formulação

de questões e conjecturas e na realização de provas e refutações, mas também na

apresentação de resultados e na discussão e argumentação com os seus colegas e

o professor.

De acordo com Paraná (2008):

uma investigação é um problema em aberto e, por isso, as coisas acontecem de forma diferente do que na resolução de problemas e exercícios. O objeto a ser investigado não é explicitado pelo professor, porém o método de investigação deverá ser indicado através, por exemplo, de uma introdução oral, de maneira que o aluno compreenda o significado de investigar. Assim, uma mesma situação apresentada poderá ter objetos de investigação distintos por diferentes grupos de alunos. E mais, se os grupos partirem de pontos de investigação diferentes, com certeza obterão resultados também diferentes (p.67).

Em uma atividade de investigação Ponte, Brocardo e Oliveira (2005, p.25)

propõem três etapas:

(i). introdução da tarefa, em que o professor faz a proposta à turma, oralmente ou por escrito; (ii). realização da investigação, individualmente, aos pares, em pequenos grupos ou com toda a turma; (iii). discussão dos resultados, em que os alunos relatam aos colegas o trabalho realizado.

Para Ponte et al (1998), o papel do professor nesta abordagem é: “desafiar os

alunos, avaliar o seu progresso, raciocinar matematicamente e apoiar o trabalho

deles” (apud PONTE; BROCARDO; OLIVEIRA, 2005, p.47).

É importante ressaltar que o professor valorize os diferentes caminhos

percorridos pelo estudante até o produto final da investigação, verificando as

descobertas e a aprendizagem assim como a formação do pensamento matemático,

pois as diferentes maneiras de pensar contribuem para o enriquecimento do saber

matemático.

Nesta perspectiva, concordamos com os autores que, aprender Matemática

não é simplesmente compreender a Matemática já feita, mas ser capaz de fazer investigação de natureza matemática (ao nível adequado a cada grau de ensino). Só assim se pode verdadeiramente perceber o que é a Matemática e a sua utilidade na compreensão do mundo e na intervenção sobre o mundo. Só assim se pode realmente dominar os conhecimentos adquiridos. Só assim se pode ser inundado pela paixão “detetivesca” indispensável à verdadeira fruição da Matemática. Aprender Matemática sem forte intervenção da sua faceta investigativa é como tentar aprender a andar de bicicleta vendo os outros andar e recebendo informação sobre como o conseguem. Isso não chega. Para verdadeiramente aprender é preciso montar a bicicleta e andar, fazendo erros e aprendendo com eles. (BRAUMANN, 2002, apud PONTE; BROCARDO; OLIVEIRA, 2005, p.19)

3 O RELATO

O projeto foi apresentado para os alunos que se mostraram interessados em

participar. Após esclarecer alguns detalhes disse aos alunos que queria grupos de

quatro alunos. Foram fazendo cálculos com o número de alunos presentes,

discutiram e eu registrando no quadro, até que chegaram a conclusão que deveriam

ser oito grupos de quatro e um grupo de três. No entanto antes de introduzir a

primeira tarefa, pedi para que fizessem três quadrados de 10 x 10 na malha

quadriculada e em cada um foi representado o conceito do décimo, centésimo,

milésimo, para que o aluno pudesse consultar durante a realização das tarefas.

1ª TAREFA (OBMEP 2006, 2ª Fase, Nível 1, Questão 5)

Diadorim, Mimita e Riobaldo dividiram todo o conteúdo de uma garrafa de

suco em três copos iguais, enchendo metade do copo de Diadorim, um terço

do copo de Mimita e um quarto do copo de Riobaldo.

Os alunos receberam o problema impresso e começaram a discussão nos grupos. Professora ─ Resolvam a parte (a).

Foi dado um tempo para que cada grupo discutisse e resolvesse o item a.

Os alunos estavam interessados e discutiram como iriam resolver, entretanto

encontraram dificuldades na interpretação.

Aluno ─ Não tem a medida de cada copo.

Aluno ─ Os copos são do mesmo tamanho?

Aluno ─ Você não leu? Os copos são iguais.

Aluno ─ A medida de cada copo é a mesma?

Aluno ─ Não! Metade, um terço, um quarto.

Percebe-se que o aluno lê e não interpreta o que está escrito.

Professora ─ Leiam novamente sublinhando as palavras com significado

matemático e as represente por meio de frações.

Aluno ─ Agora ficou mais fácil de entender.

(a) Como cada um queria um copo cheio de suco, eles abriram outras garrafas

iguais à primeira até encher completamente os copos. Quantas garrafas a

mais eles tiveram que abrir?

(b) Se o suco de uma garrafa tivesse sido dividido igualmente entre eles, que

fração de cada copo conteria suco?

Neste momento foi ressaltado como é importante destacar os dados que a tarefa

apresenta e estabelecer relação da palavra com a representação matemática para

que consigam interpretar o texto escrito.

Aluno ─ É para fazer o desenho?

Professora ─ Se você entender melhor com esta resolução, faça.

Aluno ─ Preciso fazer um desenho para cada pessoa?

Aluno ─ Eu vou fazer um desenho só.

Observa-se que para alguns alunos é necessário as representações geométricas

separadamente, enquanto, outros, as visualizam em apenas uma representação.

Isso nos mostra que o grau de abstração do pensamento matemático varia de aluno

para aluno.

Passando pelos grupos e observando como resolviam, constatei que alguns ainda

encontravam dificuldades em realizá-la.

Assim, foi preciso fazer alguns questionamentos:

Professora ─ Quantas vezes preciso colocar suco em cada copo? Por quê?

─ Quantas garrafas preciso abrir para encher todos os copos?

─ Existe alguma relação com a distribuição do suco de Diadorim e de

Riobaldo? Justifique.

─ Depois do 3º momento de colocar suco nos copos, qual a

porcentagem de Riobaldo?

─ Descubra o que precisa ser feito para que Riobaldo tenha seu copo

cheio.

Alguns alunos conseguiram representar geometricamente em um inteiro, porém não

chegaram à resposta correta e, outros, mesmo com os questionamentos,

continuavam com dificuldades.

Aluno ─ Vamos desenhar a distribuição do suco uma de cada vez.

Quando decidiram fazer a distribuição do suco garrafa por garrafa, na malha

quadriculada, e ir registrando etapa por etapa, não só no geométrico como no

algébrico, todos conseguiram compreender. Fizeram cada momento da distribuição

do suco nos copos estabelecendo relação entre as diferentes medidas e chegaram

ao resultado esperado e também estabeleceram as relações fração – número

decimal – porcentagem.

Os alunos chegaram a conclusão que são necessárias três garrafas, no mínimo,

para encher os três copos e sobra um quarto de copo na terceira garrafa, logo é

preciso abrir mais duas garrafas.

Aluno ─ Diadorim = 𝟏

𝟐 = 50%

Mimita = 𝟏

𝟑 = menos de 50% =

𝟏

𝟑 < 50%

Riobaldo = 𝟏

𝟒 = metade de 50% =

𝟏

𝟒 = 25%

Aluno ─ No copo de Riobaldo tem metade do copo de Diadorim.

Professora – Justifique.

Aluno ─ 𝟏

𝟒 +

𝟏

𝟒 =

𝟏

𝟐

Aluno ─ Metade da metade é um quarto

Professora ─ Escreva isso matematicamente no quadro.

Aluno ─ 𝟏

𝟐 da

𝟏

𝟐 =

𝟏

𝟒 ou

𝟏

𝟐 x

𝟏

𝟐 =

𝟏

𝟒

Professora ─ Agora, escreva as frações na forma de número decimal e

porcentagem.

Aluno ─ 𝟏

𝟐 = 0,50 = 50%

Aluno ─ Como?

Aluno ─ É a mesma coisa que a metade de um real. Troca um real por duas

moedas de cinquenta centavos.

Aluno ─ Então, posso trocar cinquenta centavos por duas moedas de vinte e cinco

centavos.

Aluno ─ 𝟏

𝟒 = 0,25 = 25 %

Aluno ─ Fazendo duas trocas de duas moedas é o mesmo que dividir por quatro.

Aluno ─ E, 𝟏

𝟑?

Aluno ─ É muito simples, transforma um real em moedas de dez centavos e distribui

trinta centavos para cada um. Os dez centavos que restaram transforma em moedas

de um centavo e distribui três centavos para cada um e sobra um centavo.

Professora – O que acontece com esta distribuição?

Aluno ─ Eu distribuo três partes e sempre vai sobrar uma parte, não tem fim

(infinito).

Aluno ─ 𝟏

𝟑 = 0,333... = 33,3... %

Assim, surge a noção de dízima periódica, a divisão não dá exata, o algarismo três

repete infinitamente na parte decimal formando o período.

Vimos que ao relacionar as frações com significado de quociente com o Sistema

Monetário o aluno apresenta um raciocínio de compreensão. O mesmo foi

vivenciado quando trabalharam com a Medida de Capacidade e ao resolver na

malha quadriculada tiveram uma noção clara da situação.

Destaca-se aqui como a Matemática está inserida no dia a dia estabelecendo elos

entre a Matemática como “campo de conhecimento e disciplina escolar”.

Ao determinar que a capacidade do copo de Riobaldo tem 250 ml que significa ter

0,25l ou 𝟏

𝟒l, resolveram as perguntas abaixo sem maiores dificuldades e, os que

tinham dúvidas, utilizavam a malha quadriculada para uma melhor compreensão a

fim de estabelecer as relações fração – número decimal – porcentagem.

a) Quantos copos preciso para ter 1 l?

b) Quantos ml tem 1 l?

c) Qual é o significado de ml?

Alunos ─ 4 copos, porque o inteiro está dividido em 4 partes; 1000 ml; milésima

parte do litro (mililitro).

E, se o copo tiver a capacidade de:

a)100 ml? b) 1

5l? c) 0,5 l? d)

1

3l?

Ao resolver esta parte da tarefa diziam: 10 copos, 5 copos, 2 copos, 3 copos, pois a

construção fora apreendida e estabelecer a relação com número decimal foi intuitivo

porque sabiam que só tinham partes de um inteiro.

Aluno ─ Dois copos? Como?

Aluno ─ Se você dividir um inteiro por dois dá cinco décimos, só temos a parte

decimal.

𝟏

𝟐 = 0,5

É importante que o aluno além de escrever com palavras traduza para a linguagem

simbólica e vice-versa. Assim é possível que ele compreenda o que está resolvendo

para chegar ao resultado esperado.

No estudo das frações equivalentes utilizaram a malha quadriculada para constatar

que se pega a mesma parte do inteiro. E chegaram a conclusão que ao construir a

classe de equivalência de uma fração multiplica-se a fração (numerador e

denominador) pelo conjunto dos números naturais, com exceção do zero, e, também

que o numerador é divisor do denominador, ou, o denominador é múltiplo do

numerador.

Aluno ─ Na fração 𝟏

𝟐, o numerador é a metade do denominador, ou, o denominador

é o dobro do numerador.

Na fração 𝟏

𝟒, o numerador é a quarta parte do denominador, ou, o denominador é o

quádruplo do numerador.

Professora ─ Justifica, porque isso acontece?

Aluno ─ Na fração 𝟏

𝟐, dividimos a metade em duas partes, a outra metade também.

Quando dividimos a metade em três partes, a outra metade também é dividida em

três partes, pois as partes tem que ser iguais, logo as partes se multiplicam e o

denominador fica múltiplo do numerador e o numerador divisor do denominador.

Aluno ─ Então, vamos ter infinitas frações que resultam na mesma porcentagem e

no mesmo número decimal.

Assim, os alunos compreenderam a construção da classe de equivalência de uma

fração e generalizaram para outras frações estabelecendo relações com o número

decimal e a porcentagem.

Aluno ─ Se eu multiplico para obter uma fração, posso fazer a divisão (inversa) que

terei o mesmo resultado (simplificação de fração).

𝟏

𝟐 vezes sete é igual a

𝟕

𝟏𝟒 e

𝟕

𝟏𝟒 dividido por sete é igual a

𝟏

𝟐

Algumas resoluções

Desse modo, ao estabelecerem as relações, fração – porcentagem – número

decimal, perceberam que enquanto a porcentagem (%) e o número decimal

reduzem-se pela metade, o denominador da fração aumenta duas vezes,

consequentemente a parte fica cada vez menor na representação geométrica.

Aproveitando este momento de interação surgiram outros conceitos, como:

Professora ─ Resolvam a parte (b).

Na parte (b), encontraram dificuldades em entender que para se ter a capacidade de

uma garrafa é preciso somar o que foi colocado em cada copo, um meio mais um

terço mais um quarto, e foi preciso recorrer a representação geométrica.

Aluno ─ Os denominadores tem que ser iguais para somarmos os numeradores.

Aluno ─ Frações equivalentes!

Professora ─ O que significa 𝟏𝟑

𝟏𝟐 ?

Aluno ─ Vamos fazer dois inteiros iguais, cada um dividido em doze partes iguais,

na malha quadriculada, e dividir entre os três (Diadorim, Mimita e Riobaldo).

4 CONSIDERAÇÕES FINAIS

Este estudo possibilitou a compreensão e a construção do conhecimento das

diferentes representações de um número racional em uma abordagem investigativa.

Proporcionou reflexões, análises e discussões no decorrer do processo de

realização com o intuito de promover a aprendizagem atribuindo sentido e

construindo significado no “fazer matemático”.

Constatou-se a importância da leitura, interpretação, produção escrita, bem

como a representação geométrica para um melhor entendimento dos conceitos de

fração.

Em todos os momentos houve interação entre os estudantes e a professora.

E, o envolvimento na realização da tarefa propiciou um ambiente agradável e

prazeroso para o desenvolvimento da construção do pensamento matemático.

Nesse processo de construção percebeu-se a mudança de atitudes ao longo

do trabalho, pois “o envolvimento ativo do aluno é uma condição fundamental da

aprendizagem” (PONTE; BROCARDO; OLIVEIRA, 2005, p.23), visto que recorre a

conhecimentos já construídos para argumentar, fazer conjecturas apropriando-se do

“sentido da tarefa” e para atingir o resultado esperado.

As discussões geradas nos grupos tiveram um papel relevante para o

desenvolvimento da comunicação matemática, reflexões e argumentações.

Nesse contexto foi fundamental o acompanhamento da professora avaliando

e valorizando o progresso dos estudantes incentivando-os a raciocinar

matematicamente (estabelecer conexões) e fazendo intervenções, quando

necessárias. Ao final desse estudo, os resultados positivos comprovaram que a

estratégia utilizada oportuniza a aprendizagem.

É importante ressaltar que devido a complexidade que envolve os números

racionais e suas relações o estudo demanda tempo no desenvolvimento do

processo construtivo e que deve ser trabalhado em diferentes níveis de ensino.

E, percebe-se como é relevante estabelecer a relação da matemática

vivenciada na escola com a matemática do senso comum, pois esse contexto (fora

da escola) é rico em situações para a aplicabilidade dessas relações.

Segundo Stein e Smith (1996, p.2), “tarefas que exigem que os alunos

pensem conceptualmente e que os estimulem a fazer conexões representam um tipo

de oportunidade para os alunos pensarem”.

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