ISSNI41 3·3B9X

Resumo

TemasemPsicalogiadaS8P·2ODO. VDIB .' 1. 93·1D9

"Este problema é difícil porque não é de escola!" A compreensão e a solução de problemas aritméticos verbais

por crianças da escola fundamental'

Márcia Itegina f . de Brito Universidade Estadual de Campinas

o presenle eSludo inveSligou como os c~ludanlcs solucionam pmblt'mas verbais não rotineIros, alguns dos proccdlmcnlOS utilizados para a soloção e as principais dificuldad~s enoonlrada;; na, diferentes etapas de solução. Os sujeitos foram 114 eSludantes. matriculados na quarta. quinta. sexta. sétima c oitava séries, que foram ~olicitados a solucionar, usando lápis e p.lpel, dez problemas envolvendo operaçõcs aritméticas com diferentes graus de difkuldade. A análise dos dados moslrou uma dircrcn~a significativa no desempenho dos estudantes, quando foram considerudas as variáveis: escola e série. A análise qualitativa mostrou que os problemas considerados mais dificcis envolviam divisãn; a Iransferência, quando ocorTia. estava atrelada aos procedimentos ensinados pelos profcs.~orcs. Dois problemas eram desconhecidos pela maioria dos estudantes, tendo sido analisados c comparados. A análise dos dados mostrou que o enlendimento dos componenles verbais de wn problema é o primeiro passo para reconhecer o procedimentocorTeto que deverá SCr lL'oado na solução c lambém para entender e reter o signilicado do problema. PilmiH~aYI: solução de problemas. solução de problema~ com enredo, problemas não rotineiros

'lhisisdiHicult hecause it isnot aschool problem!" Comprelenssionandsollltionof oral arithmeticprohlemsbyschoolchildren

Abslract

The presenl 'I"dy ha.~ inycstigaled Ihc way srodents solyc non·roUline pTOhlems, some oflhe procedurcs uscd for that and the main diffieuhics found along the difTcrent solution stages. A hundred and fourteen students, from the 3'" to lhe 8'" gra<:ks in hOlh privalc and public schools l'iere asked to solve 10 arithmetic prob1ems, with difTcrcnt leveis ofdifficuity, usinga peneil anda piecc ofpapcr for lha\. Theanal ysis of data has shown a significant difTerence in lhe srodents' performance relmed 10 the grude and school (private or public ones) variables. Qualitative analysis has shown tllal problems considered lhe most difficult involved division; and Il1ll1sfcr ...... lIen occurnng, was dealt wi th procedures 13Ughl hy lhe tçachers. Tl'io prohlems ,,"eTe unknown to Ihc majority of subjecls and wcrc anal)'7.ed and compared. The analysis nfthc data ha~ ~ hown lha! the flrst step 10 recognize lhe correCI procedurc to bc used lo solve a prnblem as l'iell a, lo lIlldeT>tand and retain ils meaning involves lhe understanding ofit, verbal componenls. h, WDrdl: problcm solying; verbal prob!em solving, non·roUlinc problcms

Os estudos a respeilo da cornpn;=1Silo e solução

de problemas aritméticos verbais sãu importantes pois

possibilitam a compreensão a respeito das representa·

ções cogn it ivas que são fonnadas a partir da leitura e compreensão du texto que envolve a estrutura matemáti · ca de um dado problema. Várias pesquisas têm colh ido

evidência empírica a respeito das di fi culdades encontra·

das por ctiam;as de diferentes idades ao solucionar pr0-

blemas de diversos tipos; quais procedim entos slo

es.:olhiôoo panl solucionar cada um desses lipos e quais

os tipos de erros mais freqüt'Tltcs (Cummins. Kintsch,

Rcusscre Weimcr, 1998; K intsche Grceno, 1985)

l. Trahal ho apresentado nO Simpósio D",'"n""lvimenlo lógico-mmemálico: Compreensão. repre,'c"wçiio e re.mluçiin de problemas ,. operaçô<'" "rirmélicas. na XXIX Reunião Aoual de Psicologia da Sociedade Brasileira de Ps icologia,

Campinas - SP, oulubro dc 1999.

Endereço paT3cOrTespond~ncia: Universidade ESladual de Campinas. Faculdade de Educa~ã".lXpartamenlode P~içologja

Educacional. Cai xa Poslal 6120 - CEI' 13 .084· 100 Campinas - SP e·mail : mbrito@unicamp.hr

.II. I. F. lritt

Os curriculos escolares obrigatórios incluem, Além disso, pode-se diferenciar entre o pro--

dc:sdc as séries iniciais, o ensino da matemática c da blema resoh·üJo. que é o conjunto fOrnlado pelo linguagem e, em sua maioria objetivam a fOrnlaç1lo enunciado do problema mais a resolução, e problemu

integral da criança. Este aspedO globalizador envolve nào resolvido. que se refere apenas ao enunciado os diversos componentes da cultura, do desenvolvi- DecolTCnte desta diferenciação, a Educação Matema-mento pessoal e social e também as necessidade vitais tica faz a seguinte distinção a respeito dos problemas

do individuo. As diferentes experiências pelas quais o (a) Enunciado, que se referc ao problema sem indivíduo passa deve penllitir a ele desenvolver-se em resolver: (b) Solução de problemas, referindo+se ao

tcnnos dc habilidades, de~trezas e atitudes, fundamen- proccsso mental desenvolvido pelo alunodepoisde ler tais para seu desempenho fu1l.lro. Tanto a matemática e interprctar o enunciado c (c) o problema que seria a como a linguagem são consideradas rclc\antcs e soma do enunciadO e da resolução. inter-rclacionadas nesta visão global de curriculo. São Ao ler a estória de um problema, o aluno conteúdos que devem levar os alunos a desen\'olvcr a necessita usar as habilidades verbais requeridas para capacidade de pensamento e a reflexão lógica. a compreensão do enredo e as habilidades mate-

Também, através destas disciplinas, deve-se possibili- máticas ncccssárias para perceber logicamente as

lar aoalunoaaquisiçi'lode um conjuntodeinstnnnentos relações matemáticas que estão contidas na estrutura para cxplorar, explicar a realidade e fazer predições do problcma. A compreensão do problema surge a

sobre ela, criando condiçõcs de aluar nela e sobre ela. partir da leitura da situação proposta, que precisa Na escola, a Matemática e a Linguagem fazem pane apresentar lógica e eoerência para o aprendiz.

dos instrumentos que vão capacitar os individuos a NOrnlalmente, a história dos problemas verbais compreender c se relacionar eom o mundo usados naescola apresenta(a) um sujeito (que éaquele

Dentro dessa estrutura curricular e dada a que vai executaraação);(b)umverbo(que indica uma

importância atribuída à linguagem e à matemática, é "situação" atual ou anterior do sujeito: (c) objeto dire-conveniente também assinalarmos o papel dos to (indica uma colcção de objetos ou "coisas"); (d)

problemas e da solução de problemas dentro das umaaç1io,quemudaasituaçãoanteriorouatualdosu-

matemáticas. Particularnlente no ensino elementar. a jeito para outra: (e) uma pergunta, com o obJctivo de solução de problemas funciona como o elo de ligação verificar logicamente as relações matemáticas dadas entre as situações cotidianas e a matemática que se quer ao problema. Um exemplo seria: "Maria tem uma dú-ensinar. Os problemas aritméticos são os primeiros quc zia de lápis. Deu meia dúzia para José, Com quantos a criança trabalha e, geralmente, estão associados a lápis ficou~", AqUI, é apresentado (a) sUJclto(Maria): situaçõcsque ela conhece. (b) verbo (tem): (c) obJcto (uma dúzia de lápis): (d)

Um problema aritmético pode ser considerado ação (deu) e, (e) a pergunta (Com quantos lápis como uma situação imaginária. possível de ser real, ficou?). Embora apresente a estrutura sem§nlÍca apresentada em fonna de enunciado verbal ou escrito semelhante a outros trechos de histórias. o problema e que': resolvido através de algumas operações verbalaritmeticorequeraconstruçJodeunmouvárias elementares. Um problema é constituído de duas rcpresentaçõcseadisponibllidadedeumOU1TOlipode partes,aestruturaouesque/etoqucrepresentaaquilo estrutura, esta última envolvendo o conhecimento que é esscncial em um problema, as operaçõcs que declarativo e o conhecimento de procedimcnto. De devem ser realizadas, os tipos de transfonnaçõcs acordo com KinlSCh e Grceno (1985, p. III), as necessárias etc. e o em'o/tóriQ, que, como o próprio representações dos problemas nilo são construídas nome diz, é aquilo que reveste o esquelcto e pode ser imediatamente, mas através de várias ctapas do mais ou menos supérfluo: a estória concreta, a lin- processamento da infonnação, as quais não ocorrem, guagem utilizada. a representação através de gráficos necessariamente em uma seqUêneia rígida. A história ou desenhos etc. élidae transfonnadana represcntaçãoconceitualdo

seu significado, sendo construídas proposições, que nOVID' e produtivas. Essa definição dI.' pensamento pennitem à estrutura cognitiva organizar os algo- está rel~cionada não apenas à aquisição de cooheci-ritmos exigidos para a soluç~u. mentos acadêmicos complexos (por exemplo, o

O fato de se trabalhar apenas com problemas raciocínio matemático altamente abstrato). mas rotineiros pode produzir alteraçõcs nas caracteris- também às situ~Ij'õcS cotidianas (por exemplo, o tieas da percepção mental dos alunos a respeito do eákulo aritmético). Assim, é importantt: que a

problema matemático. Muitos deles passam a P<'~quisa sobre pensamento c solução de problemas perceber o problema matemático apenas como uma não tique centrada apenas em tarefas nas quais o eoleyão de fatos sem relação, ao invés de urna pensamento é motivado a atingir um determinado complexa cadeia de qu~ntidades imer-relaeionadas objetivo, mas também em tarefas que pcnnitam ao

A solução de problemas requer a utilização da indivíduo busear soluções originais a panir de capacidade de predizer e formular hipóteses. Assim, problemas relacionados a situalj'ões do dia a dia. os professores deveriam incluir, nos obJetivos do Um outro objetivo que também é de grande ensino da disciplina Matcmática, o uso dessa meto- importância, refere-se à aplicalj'ão da Matemática em dologia como situações de desafio que levem o aluno situações cotidianas, quer dizer, capacitar o estudante a a predizer, criar hipóteses e considerar situações usar os conhecimentos de aritmética, álgebra e hipotéticas, bU.' .. cando soluçõcs plausív.:!s para os geometria nas siruações cotidianas. O aluno precisa ser problemas formulados capaz de transferir aquilo que aprende em sala de aula e

Dentre os objetivos cognitivos que levam ao oprof=r, ao ensinar wn conteúdo, precisa rclacionar desenvolvimento das habilidades básicas, a .>Ololj'ão de o conhecimento escolar ii Matemática presente nas

problemas tem destaque especial. O uso desta met()- diversas situações que os indivíduos enfrentam no dologia deve habilitar o aluno a solucionar problemas dia-a-dia. Os trabalhos de Acioly c Schilicmann(1987)

em situações novas, cum as quais não tenha expc- e Carraher, Carraher e Schieliman (1995) mostramm riência. levando-os a compreender os significados dos como os sujeítos podiam resolver oorrctamcnte proole-cooccitos e princípios envolvidos e não apenas memo- mas da vida diária, usando cstratégias que nilo haviam rizando "modelos de problemas" e estratégias de sido aprendida.'S na esrula sem, contudo, conseb'llir solução. Quando o aluno é, constantemente. submetido solucioná-los, quando apresentados no contexto escolar.

aos mesmos exercícios e problemas rotineiros, ele Por outro lado, Lindquist e cols. (1981) verifi-aprende os "passos" que levam à solução, menlOril.ll caram, usando dados da avalialj'ão nacional do esses procedimentos e passa a solucionar com facili- progresso educacional realizado com estudantes dade apenas aqueles problemas que são iguais ou muito nune-americanos, que o desempenho melhorava

semelhantes ao moddo. Skemp (1971) sintetizou essa quando o problema era apresentado de forma situação, quando afinnOll que o que é imposto:i grande semelhante aos livros didáticos c lista de exercícios maioria das crianças c estudantes mais velhos é a usados pela escola; por exemplo, quando "a conta simples manipulação de símbolos com pouco ou vinha aImada na forma tradiciunalmente apresentada nenhum significado e ligados de aeordo com wn ceno às crianças". Possivelmente por e-:sta razão, apenas número de regras memorizadas mecanicamente. Procc- 17% das crianças de nove anos que paniciparam deste dimentos repetidos de estratégias de solução levam o estudo responderam COTTCtamente:i questão "Subtraia estudante a desenvolver o pensamento n:produtivo, 298 de 313", pois, como se tratava de um problema muÍlas vezes ineapaeitando-o para encontrar soluções não rotineiro, os sujeitos apresentavam maior difi-originais para os problemas com os quais se defronta culdad.: para encontrar a solução do mesmo.

De acordo com Ericsson e Hastie (1994), o VerschafTel, De Cone e Vierstracte (1999) pensamento seria lima seqüência de afividades analisaram as dificuldadt:s encontradas por estu-simbólicas intemasque condu= a idéias e conclusões dantes, quando solucionavam problemas verbais com

IU.I.BrilI

história, niio rotineiros, en .... ol .... endo a suhtração de maneira diferente da proposta por esse autor, e será

dois números, A grande maioria dos sujeitos encon- tratada como um mêtudo de ensino. Quando se trou dificuldades na solução desses problemas e os defronta com uma detenninada situação e necessita autorcs atribuíram os erros e dificuldades à maneira buscar alternati .... as para atingir uma meta, o sujeitosc estereotipada e rotineira com a qual os sujcitos encontra frente a uma situação-prubh:ma. A solução analisaram e fonnularam as possíveis allemati .... as de dc problemas e entendida como gcradora de um solução, além de erros conceituais ao lidar com us proccsso através do qual oaprendi7 vai combinar, na números e as operaçõcs estrutura cognlli .... a, osconceitos, princípios, proccdi-

Estudos como estes são fundamentais para a mentos, técnicas, habilidades e conhecimentos

compre",nsão da maneira como a criança é capaz de previamente adquiridos que são necessários para pensar intuitivamente a matemática e como a mate- encontrar a solução para a nu .... a situação. Não se pode

miÍlÍea escolar pode estar distante da realidade dos considerar a ocurrência de uma aprendizagem de sujeitos. Porém, o ensino da matemática nãopod", ser solução de problemas, pois não se trata de um "tipo·'

reduzido a apenas estes aspectos, pois, embora as exclusivo de aprendi7.agem, mas sim de uma refor-

crianças mostrem uma grande capacidade para traba- mulação e ampliaçfto dos conceitos c principios mili-Ihar alguns problemas fora da escola, essas situaçõcs zados para solucionar determinados tipos li",

são bastante especificas e envolvem conceitos ariti- problemas. Porém, pode ser categorizada como um

méticos relati .... amente simples. Além disso, a tipo de aprendizagem, se for considerado que ocorre transferênciaocorredasaladeaulaparaoeotidianoe a aprendi7.agem dos procedimentos de solução do

nilo do cotidiano para a sala de aula. O professorde .... e prohlema. usar as situações do dia-a-dia para motivar os alunos A solução de problemas é um processo cugni-

e mostrar a utilidade da matemática, mas a transfe- tivo que visa transfornJar uma dada situação cm urna rêneia é uma operação cognitiva que depende situação dirigida a um ohjetivo, qU<'lIldo um método grandemente das habilidades matcmáticas que o óbvio de solução não está disponiv",1 para o sujeito sujeito desenvolveu. A aplicação da matemátic •• ",m que vai solucionar o problema, apresentando quatro

situações cotidianas não é tarda fácil, mas O características básicas: é cognitiva, é um processo, é professor deve desenvolver atividades que visem dirigida a um objetivo e é pessoal, pois depende do capacitar o estudante a usar a matemática, ao lidar conhecimento prévio do indivíduo,

com situações do dia-a-dia, em um mundo em Os livros escolares de matem3tica estão repletos constante mudança. Como apontado anteriormente de problemas, e c-abe aos professores tomá-los desafia-(Brito. 1993), relacionar o ensino ao conhecimento dores para os estudantes. Atualmente existe uma anterior do aluno e possibilitar a transferência para accntuadaênfasenomelododecnsinosegundooqualo situações cotidianas e um objetivo de mão-dupla, estudante deve propor os problemas c, muitas vezes, só

pois o aluno precisa ser capaz de transferir aquilo que são considerados "problemas" aqueles propostos pelos aprende ",m sala de aula e o professor precisa rela- alunos. Possivelmente, este tipo de método gem urna

clonar o conhecimento matemático à matemática maiormotivaçãonosalunose estcs podcm até se sentir presente nas di .... ersas situaçõcs que os indi .... iduos mais predispostos a executar a tarefa; porém, os enmntam no dia-a-dia, problemas realmente desafiadores para os alunos são.

Alguns autores, corno Gagné (1983), trataram JXlr eles mesmos, moti .... adores. Isso significa que um

a solução de problemas como um tipo diferente de problema, pam ser desaliador, não p!"CCisa, neces.'i3ria-aprendizagem, o mais complexo dc todos os tipos, mente, partir do aluno; o estudante pode se sentir desa-que viria no topo da hierarquia de aprendizagem. fiado a buscar a solução de llIl1 problema encontrado Aqui, a solução de problemas é entendida de uma em um livro-texto ou em uma revista de variedades

Um outro aspecto a ser considerado é que existe solução reahnente funciona. Esses quatro estágios são

diferença entre os problemas verbais com história, os os mesmos propostos posteriormente por J. Hadamard,

problemas verbais eos exercícios. Um problema verbal em 1949, quando descreveu as etapas do pensamento

com história seria aquele que possui um enredo, onde criativo. De maneira gcral, essas etapas permanecem

apareçe um sujcito, quepodeSl."ropróprio aluno,como praticamente as mesmas, com um ou outro deta-

nos problemas personalizados; uma a,lio, que promove Ihamcnlo.

uma mudança na situação; e uma questão que busca a Krutctskii (1976), na conclusão de seu estudo

resposta ou finalização do problema. Os prohlcmas longitudinal a respeito das habilidades matemáticas,

verbaissãoaquelesqueniiopossuemeruedo,eapropo- 1:oncluiu pela existência de três estágios básicos na

siçiio solicita ou determina ao sujcito que execute uma atividade mental, durante a solução de prohlemas

açllo (por exemplo: "Arme e efetue"'). Os exerclcios matematicos. Estes estagios seriam os seguintcs: (a)

seriam as classieas listas que os estudantcs são obtenção da infonnação matematica; (b) proces-

freqüentemente soliciudos a solucionar. sarnento matemático da informaçãu e, (c)retenção da

Asetapasdopensamentoduranteasoluçãodeproblemas

As etapas do pensamento dur,tnte a solu,<ão de problemas tf:m sido tratadas por vários autores, cofo­

cando difcrcntes aspectos (Dominowski e Boume,

1994; Echevmia e Pozo, 1988; Malloy e 10nes, 1998;

Mayer, 1992; Stemberg, 1992).

John Dewey, cm 19\0, publicou o livro "'How

we Ihink" e 11ele apresentou uma descrição das etapas

da solução de problemas, a saber: (a) reconhecimento

de um problema ou "sentir dificuldade" frente a uma

situação; (b) análise, que compreenderia a percepção,

a delimitação do problema e o '"isolamento" das

principais características do problema (daquilo que é

necessário pard a sulu~ão); (c) hipótese, formulação

das possíveis alternativas de solução; (d) dedução,

significando "'remoer" ou raciocinar sobre as várias

possibilidades, buscando chegar às soluções mais

prováveis; (e) verificação ou "'testagem"' das possibili­

dadesde solução. Mais tarde, em 1926, Graham \Valias escreveu

sobre quatro estágios do pensamento criativo, que são

semelhantes aos propostos por Dewey. S~o eles: (a)

preparação, refere-se ao ato de compilar e agrupar as

infonnações relevantes do problema; (b) incubação,

que é um período no qual as idéias são ·"remoidas"; (c)

iluminação ou insight, que seria a concepção da

solução; c (d) verificação, que seria a tesugem para

comprovação da eficácia da solução, i~to ~, se a

infonnação matematica. A cada um destes estagios

corresponderia uma ou várias habilidades matema­

ticas. A partir destes estágios esse autor estabeleceu

um modelo estrutural hierárquico, onde cada fator

corresponde a um dos estágios básicos da atividade

mental durantc a solução de problemas matemáticos,

além de um elemento geral que é identifiçado como o

componente sintético. Gagné (1983) salientou que

durante a solução de problemas, pode ser percebida a

existência de três fases: (a) traduzir de uma proposi­

ção verbal do problema para uma expressão malemá­

tiça; (b) executar uma operação que modifique a

expressão e, (c) validar a solução Mayer (1992), nest~ mesma linha, apontou

quatro tipos de conhecimento necessários para a

solução de problemas: (a) fatores fingüísticos:

compreensão do enunciado; (b) conhecimento de

e~'quema: conhecimento da relação entre proble­

mas-tipo; (c) cunhecimenlo alJl.oritmico: como se

realizam os procedimentos de cálculo; (d) conheci­

mento esrratégico: como se enfocam os problemas. Com base nestes quatro tipos de conhecimento

necessários à solução de problemas, pode-se dizer

que existem as seguintes fases na solu911.0 de um

problema: (a) leiturae compreensão do problema; (b)

fonnulação de um plano de solução, que inclui a

tradução do cnundado para a linguagem matematica,

a escolha de uma eslr~tégia, a resolução propria­

mente dita e a obtenção de um resultado concreto e,

(c) comprovação do resultado.

[);: maneira geral, pode-se di7.er, usando tenni­

nologia mais aNal, que o processo de solução de um

problema passa pela~ seguintes etapas: (a) repre­

sentação; (b) planejamenlo: (c) execução e (d)

monitoramento. A análise da literatura mOSlrou que

OS diferentes alltores cOllcordam que a primeira etapa

do processo seria a u-aduçãoou o ato de converter as

infonnações contidas no problema em wna repre­

sentação mental interna, nela inc1uindoos diversos

componentes do problcma: cmmciado, objetivos e

operadores necessários ã solução. Assim, a leitura e a

compreensão da história do proble~a aritmetico é

fundamental, pois pennile ao individuo elaborar urna

representação do problema e, em seguida, formular

wnplanodccxccução.

São vários e de diferente natureza os fatores

que influenciam na solução dos problemas mate­

máticos. Dentre esses fatores destacam-se as

habilidades matemática e verbal. Brito, Fini c

Newnann(1994) verificaram que o radocínio verbal

apresenta alguma relação com o fator matemático

geral,destacando que é provável que a compreensão

verbal do enunciado do problema seja anterior à ~ompreensão da natureza matemática do problema

Na primeira elapa da solução de problemas mate­

máticos, é requisitada a compreensão verbal da

proposição, pois, como os problemas são apresen­

tados por escrito (enunciados verbais que encerram

problemas matemálÍcos), o estudante neccssita da

habilidade verbal (que pennite a ele lere compre­

ender o problema) para compreender a natun:za

matcrnáticadomcsmo.

Stillman (1998), em uma pesquisa com

estudantes do último ano do ensino médio, verificou

que a maioria deles era capaz de identificar os

elementos essenciais do problema matemático

apresentado, bem como de \cmbraros procedimentos

e a fónnula necessária para a solução, mas tinha

grande dificuldade para eSlabclccer rclações entre os

dados,quandorcprescntava graficamcnte os procedi­

mentos de solução. A autora verificou que os faton:s

M.I.F.8ritI

compreensão dos conceitos .:nvolvidos, embora os

sujeitos fossem capazes de lemhrara fÓl"mula que cra

exigida para a solução.

A escola, muitas vezes, ocupa-se mais com o

ensino de fórmulas e modelos de problemas,

valori7..ando pouco ou quase nada a aprendizag.:m

significativa de conceitos c principios. O ideal seria o

desenvolvimento efetivo do conhecimento decla­

rativoe o ensino de procedimentos adequados para a

solução dos problemas relacionados. Muitosproble­

mas matemáticos são resolvidos por métodos

especiais e não envolvem algoritmos, sendo que o

aluno que consegue encontrar uma maneira de

solucionar um problema usando procedimentos

distintos dos padrões convencionais evidencia um

dos aspectos essenciais do pensamento matcmátieo.

Aparentemente, o que ocorre na maior parte

do ensino de matcmática é um ensino centrado nos

algoritmos prontos c acabados, em situações onde o

professor elabora previamente o plano de solução

adequado a cada tipo de problema e apresenta os

"passos" da solução, deixando pouco espaço para os

alunos buscarem formas criativas de solução. Isso é

evidenciado por Cai, Moyer e Laughlin (1998), ao

tratarem da importância c do uso de algoritmos na

solução de problemas nilo rotineiros ou incomuns:

"Os algoritmos matemáticos silo ferramentas poderosas que contribuem para uma solução eficiente dos problemas. São r.:gras que garantem a soluçilo quando corretamentc aplicadas. Entretanto, existe uma grande quantidade de evidencia cmpirica mostrando que embora alguns estudantes pareçam eonheccrum algoritmo, eles não conseguem aplicar corretamente o algoritmo para resolver um problema. Entender conceitualmenle um algoritmo implica em conhecer os procedimentos especificados pclo algoritmo c como esses procedimentos podem ser aplicados". (Cai c eols.,1998,p.218).

que contribuíram para o insueesso na solução foram a Krutetskii (1976, p.87) considerou que uma das

baixa habilidade de compreensão, a falta de treino caractcrísticasdamatemáticaéaqualidadealgorítrnica

para inibir respostas não ponderadas e falta dc da solução de muitos de seus problemas. Paraesseautor,

"algoritmo é uma indicação precisa e

delimitada sobre quais operações realizare

em qual seqilência resolver qualquer

problema de um determinado tipo. Um

algoritmo é uma generalização, desde que

seja aplicãve1 a todos os problemas de um

determinado tipo."

A aquisição dos algoritmos essenciais para a

solução de problemas de aritmética ocupa boa parte

das aulas de matemática nas séries escolares iniciais.

Embora os alunos se empenhem em aprendê-los e

aplicá-los, muitos falham no reçonhecimento e uso

dos algoritmos adequados.

Dentre os conteúdos trabalhados nas séries

iniciais do primeiro grau, adivisãoéo queaprcscnta

maior dificuldade para os estudantes. Estes reprodu­

zemosprocedimentosensinadospeloprofessorsem

umrealentcndimentodosconceitosnecessáriosparaa

execução destas operações. Muitas crianças wnsi­

deram a divisão dificil, porque elas não conseguem,

efetivamente, entender o que é a divisão. Outras

consideram a subtração dificil, porque não conseguem

entender o conceito de valor posicional c as relações

entre o valor posicional ea subtração, apresentando

difieuldades na subtração de três dígitos, com ousem

reserva. De acordo com Re)"es, Su)"dam, Lindquist e

Smith (1998, p. 209), existem quatro razõcs principais

que levam os estudantes a ter dificuldade para

dominar o algoritmo da divisão e os problemas que

envolvem divisão. Em primeiro lugar, o cálculo ê

efetuado na dlreção contrária das demais operações, poistodassãoefetuadasdadireitaparaacsquerdaea

divisão é da esquerda para a direIta: segundo, o algoritmo da divisão envolve não apenas os fatos

básicos da divisão mas também a subtração e multi­

plicação: terceiro, existe inleração entre os algoritmos,

mas o padrão (o curso da ação em direção a um

resultado) muda de um de um foco para outro e, cm

quarto lugar, a divisão envolve estimativa, pemlilindo

ao estudante, alTavés de tentativa e erro, chegar ao

quoeiellte, embora possa não obter sucesso nas

primeiras tentativas.

MÉTODO

Sujeitos

Foram sujeitos 114 alunos, sendo 22 estu­

dantes da quarta série de uma escola particular e 62

estudantesmatrieulados na quinta,sexta, sétima c

oitavasériesdeduasescolaspúblieas,earacterizando

uma amostra de conveniência. Com relaç~o ao

gênero, 60 penenam ao gênero masculino e 54 ao

feminino, e as idades variavam conforme a tabela a

seguir:

Tl.htlaI. Distribuiçâodo:ssujçito:sdeacordocomaidade

l6IIIt I II n 12 13 .. 15 15 11 II , ..

• 1 .. 21 II IJ 21 15 IJ 13 11 114

o instrumento

o instrwnento usado no prese-llIe estudo foi um

teste de aritmética, tipo lápis c papel. elaborado com a

finahdadcdeatcnderosobjetivospreviamenteestabe­

lecidos. O teste erol composto por nove problemas

verbais com hist6riae a décima questão referia-se ao

conceito de di\ isão. Os problemas ql.le compuseram o

teste foram selecionados por quatro professores de

matcmática, quc buscaram incluir problemas rotineiros

(iguais aos usados nas apostilas c livros-tcxto) c proble­

mas não rotineiros (isto é, problemas com proposições

não usuais). Após solucionar os problemas propostos c

responder às duas questões sobre o conceito de divisão,

os sujeitos eram solicitados a infonnar sobre a

pert:epçilo que haviam tido sobre osproblemas,indi­

eando qual eonsideravam mais dificil e qual a razão da

dificuldadc. Também foram qucstionadossobre o uso

dos conteúdos matemáticos, aprendidos em sal~ de

aula, em situações do dia-a-dia. Os problemas que

compunham O teste aritmético eram os seguintes:

I. No annazém da Dona Conceição, um pote de Margarina CUSla RS 4,00. O pote de margarina no amlaum do Nino custa R$O,SO menos que no armaLém da Dona Conceição. Quanto você

"' gastará, se precisar comprar três potes de marga­rina no annazém do Nino?

2. Eu tenho trinta e nove figurinhas cm um monte e quero ficar só com dezenovc. Quantas figurinhas preciso tirar?

3. Um homem comprou um par de sapatos por R$60,OO c vendeu nu mesmo dia por R.$70,OO. No dia seguinte comprou o par de sapatos de volta por RS80,OO e vendeu novamente por R$90,OO. Quanto ele ganhou neste negócio?

4. Dona Lucila conou um bolo em 16 pedaços Marquinho já comeu ~ deles, quantos pedaços sobraram?

5. Uma criança tem 3 bennudas c4 camisetas_ Oe quantas maneiras ela p.odc combinar essas peças para sair com uma roupa diferente de cada vez?

6. Quanto precisamos tirar de 39 para ficannos com 19?

7. Divida os quadradinhos abaixo entre três pessoas, de modo que cada uma delas receba o mesmo numero de quadradinhos Quantos quadradinhos receberá cada uma')

11111111

8. O padeiro coloca os pães no fomo em assadeiras com 24 pães cada uma. Hoje foram assados 293 pães. Quantas assadeiras serão necessárias para colocartodosos piles, ao mesmo tempo, no fomo?

9. Um fio de 8,70 m de comprimento Coi cortado cm 6pedaços com o mesmo comprimento. Quanto mede cada pedaço?

10. Como você faria se tivesse que explicar para o seu vizinho o que é: "Fazer uma divisão" e "Fazer umasubtraçãoT'.

Procedimento

o instrumento foi aplicado co l eti v3m~nte,

durante o período nonnal de aulas, em cada uma das

c1as.~es seledonadas, com o auxilio das respectivas

r.I,l,f.lrill

professoras de matemática. O tempo gasto para a

rea\i?..ação da atividade foi, aproximadamente, uma

hora-aula (50 minutos). lniciahnente, foi informado

aos alunos o objetivo da tarefa. tendo sido enfatizado

que se tratava de uma atividade de pesquisa á qual não

seria atribuída nota, que era sigilosa, pois os nomes

dos alunos e o nome da escola seriam omitidos. Os

sujeitos também foram informados que se tl1lta\"a de

um teste de solução de problemas, tipo lápis e papel,

onde nilo poderiam utilizar calculadoras ou qualquer

outro tipo de material. Não houve nenhum tipo de

ajuda da professora ou dos aplicadores.

Análiudos dados

Em um primeiro momento, a prova foi

corrigida considerando apenas procedimentos e

respostas corretas e a cada questão foi atribuído I

(um) ponto para a questão certa e zero para a resposta

incorrcta, ou para a resposta em branco, ou quando o

sujeito escrevia ''não sei". Foi somada a pontuação e

atribuida uma nota a cada prova.

Em um segundo momento, (;ada questão foi

pontuada considerando os seguintes aspectos: (a) pro­

cedimento utilizado para soluçilo; (b)utilização OO/TCta

de conceitos e princípios (escolha do operador) e (c)

re:sposta final dada ao problema (acerto, erro ou não

saJx,r a solução). Considerando que o aluno responder

''não sei" é uma situaçilo distinta de quando o aluno erra

ou deixa a questão em branco, foram atribuldos valores

diferentes para cada uma destas situações e calculada a

freqUência e porcentagL"1T1 em cada grupo. Quando O

sujeito começava a solucionar o problema usando uma

estmtégia correta, mas errava o cálculo, fornecendo

uma resposta incorreta, era pontuado como errado, pois

o sujeito não havia chegado à solução correta, enlbora a

estratégia inicial fosse adequada

RESULTADOS

A análise e5ta ti~ti ca dos dados obtidos apontou

diferenças significativas entre as médias, quando as

notas dos sujeitos foram agrupadas de acordo com a

StllÇl,.,,...bll~llrilMtitn"lhil 111

série à qual pertencem e também de acordo com a daquintaescxtasérit:s.Esscresultadoapontouparaas escola. As tabelas a seguir referem-se à série, mas diferenças existentes entre o ensino público e o pennilem visualizar também o resultado por escola, A particular. Tendocm vista esse resultado, a professora quana série e proveniente de uma escola panicular, a da escola particular foi solicitada a emitir opinião quinta série, de uma escola pública e as outras três sobre o descmpenho de seus estudantes. Ela informou séries (6' , 7' e 8' ), de uma outra escola públi~a. Nilo dispor de ampla variedade de material de apoio para foram encontradas diferenças significativas nas ensinar matemàtka, usar a abordagem da solução de

médias, quando os sujeitos foram agrupados de problemas como principal método de ensino dessa acordo com o gênero, a idade, capacidade detramferir disciplina, huscando dar aos alunos oponunidade de para situações do cotidiano e questão considerada trabalhar com variados tipos de problemas verbais

mais dificil. com história. tentando apresentar problemas desafia-Esses TCsultados indicaram diferenças signifi- dores que retratem situaçõcs próximas da realidade

cativas entre as médias, quando os sujeitos foram desse grupo. Esse pode ser um indicador da influEncia agrupados de acordo com a serie. Também foram do profes;;or e do método do ensino sobre o desem-encontradas diferenças significativas entre as médias penho c as atitudes em relação à matemática, porem,

(p < 0,05), quando os resultados foram agrupados de um estudo delineado para essa finalidade precisaria acordo com a escola, sendo a média das notas da ser elaborado. escola particular superior às das duas escolas O problema considerado mais difícil foi a públicas (p = 0,001; P #- 0,05). questão 10(apontadapor 24sujeitus);em seguida foi

O resultado da análise de variância apontou a apontado o problema sobre produto cartesiano existência de diferenças significativas entre as ~éries. (problema 5) c, depois, o problema dt divisão dos Foiconstatadoqueamédiadaquartasérie(provenien- quadradinhos (problema 7). Os problemas 7 e 10 te de uma escola particular) é inferior apenas à obtida referem-se à divisão, Além disso, os problemas de

pela sétima scrie, ligeiramente superior ;i média da divisão foram aqueles que aprestntaram a maior oitava série e significativamente superior (p #- 0,05) à incidência de erro

Selie Média Oenilpadlãl

4'Jtrit um 1.511&

5'slril 4.3115 2.1111

5'"", um 1.1111

I'un- 5.5151 um fltrÍl '.me um , .. , 5.4254 2.1111

Tabeh3. AJlálise dc variãncia (média x série)

Sala dos • Mé4iad'l _udrld.s qual!ri;IS.

Ellrl lfl," l1.m 11,166 l.m .8~g

Ilk1Ifl'" m.i!l "' 3.m hui 513.111 "'

Aanãlisedosproblemaseasrespectimsoluções

A seguir, cada problema foi analisado individualmente e bu.'cou-se explicitar os diferentes tipos de proct:dimentos usados e quando o sujeito errava ou acertava, quando o problema tra conside­

rado dificil e a razão pela qual havia sido considerado dilicil. Para ilustrar. são transcritas algumas das razões aprestntadas pelos sujeitos, tendo sido reproduzida a forma original, tal como foi escrita,

Prohlemo I No armazém da nona Conceição, um pote de

Margarina custa R$ 4,00. O pott dt: margarina no armazém do Nino cust~ R$0,50 menos que no annazém da Dona Conceição. Quanto você gastará, se precisar comprar três pOles de margarina no armazém do Nino?

IUf.Bntl

Trata-se de um problema simples e rotineiro efetuando uma adição com três parcelas, ou multipli-de subtração e mulliplicação de valor monetário. cavam3,50portres.Nestas~gundaetapadasolução,

Esse primeiro problema. cuja estrutura matemática apenas alguns alunos da 5ctima e oitava séries

envolve as operações de subtraçãn e soma ou usaram cálculo menlal. multiplicação, é uma sirnação onde o sujeito precisa Apenas um sujeito (5' série) con5iderou diflçil

pensar sobre a possibilidade de compra em dois luga- essa questão, mas não justificou ou explicitou a difi-res com preços diferentes. Trata-se de um problema culdadc. Quando se considerou o desempenho no "personalizado", isto é, pertenee;i categoria de item, verificou-seque 61,4% acertaram essa questão e

problemas em que o suj~ito que está solucionando o 38,6% erraram ou não responderam, sendo a incidênc probl~ma é ~nvulvidu na história do problema, cia maior de acertos na 4' ~crie, onde apenas 2 aluno;;

aparecendo como per50nag~m. erraram a questão. O filtO de a questão apresentar wn O estudo desenvolvido por Wright e Wright altoindicedeaeertoenãotetsidoapontadacomodifi-

(1986) mostrou que o fato de usar problemas perso- cil pode serou porque é uma questão personalizada ou

naliLados levou a um melhor desempenho na escolha porque é um problcrna muito próximo du cotidianu dos procedimentos de solução. embora não lenha dos alunos, mas apenas um esrndo controlado poderá

re5ultado em uma melhoria na aplicação e efctivação evidenciar cSle falO dos operadores, pois não houve aumento no número de respostas corretas. Já Stern (1993) verificou queo Problemu 2 e Problemu 6

uso de problemas personalizados não era a fonte de São dois problemas rotineiros que envolvem dificuldades dos sujeitos. subtr~çàu, pudt:ndu incluir prova.

Ddibt:r~damt:nle, u pronum~ "você" fui colo- 2. Eu lenho trinta e nove figurinhas em um cado na pergunta do problcma. tendo eln vista que no monlee quero fícarsó com dezenove. Quantas figuri-

estudo de d'AilIy, Simpson e MacKinnon (1997) foi [maS preciso tirar? verificado quc o uso de auto-referência em proble- 6. Quanto precisamos tirar de 39 para fícannos mas verbais afetava tanto a maneira como o estu- com 191

dante processava a infonnação quanto o tempo gasto rx,issujeitos apontaram dificl.lldadena questão 2. para soluciooaros problemas propostos. Além destes sendo queosujeito 52 (5'série) apontou as qucstões2 e 6 aspectos, os estudantes apresentavam soluções como as mais dificeis 'porque são conta~ que a gente

melhor claboradas 1100 deve esquecer". Esse cstudanlc acertou a 6 e errou a Aper.sonalização, atrnvesda inclusão do "você'" 2, pois rumou a operação 39- 12 = 27 (provavelmet1te

no problema 1 c no problema 10, foi fcita com o obje- confllildiuonlÍlm:ro), cescrcveucomo resposta "eu tcria [ivodt:l~vaT(leSludanleaseidentificaresesemirpartc que {irar 27 figurinhas". o que indica, possi\elmenle, da siruaç~o, pois, confonne os autores acima citados, o que ele não conferiu os resultados e não voltou aleI' com uso d~ auto-refcrência nos problemas personalizados atenção o enunciado do problema. Essa questão teve toma mais próximas as cxpcriêneias cotidianas e a ma- 92,1% de acerto e 7/1"/0 de erros, sendo que na 8'" série temática infonnal que o sujeito retém. O uso do "você" teve 1!lO% de acerto. Já a ql.lcstão6 teve %,5% de acerto leva o sujeito aativar, com maior facilidade. amemória e 3,5% erraram ou nào a fi7,cmm

referente a este conhecimento. ajudando, também, na construçoo da representação mental do problema, que é Problema 3 um passo essencial para a soluç~o. Um homem comprou um par de sapatos por

Todos os sujeitos solucionaram o problcma R$óO,OOevendeunomesmodiaporR$70,OO, Nodia

usando a aritmética, efetuando a sublração R$4,OO _ seguinte comprou o par de sapatos de volta por 0,50 (usando eálculo mental ou cfctuando no papel). R$80,00 e vendeu novamente por H.$90,OO. Quanto Em seguida, ou sornavam o resultado da ~ubtra~~u, ele ganhou neste negócio?

Trata·se de um problema não rotineiro que problema dificulta a representação do mesmo, isto é,

envolve soma e subtraçllo e é uma adaptação do todas as operações de compra c vcnda referem·se aum problema usado no experimento realizado por Maicrc mesmo objeto, o que pode ter dificultado a "visuali-Burke em 1967 (conforme citado por Mayer, 1992). zação" da seqUência de passos do problema. Em um primeiro estudo deSSC.'l autores, aparecia um

úni.co objeto na história do problema (no prescnte Problema 4

caso, é sempre o mcsmo par de sapatos) e foi Dona Lucila cortou um bolo em 16 pedaços vcrificado que apenas 40"10 dos sujeitos acertaram II Marquinho já comeu Y. deles, quantos pedaços resposta. I'osterionnente, o problema foi dado a um sobraram? Trata-se de um problema rotineiro sobre grupo diferente de sujeitos, Sl.'ndo que, nessa nova fraçõcs, envolvendo divisão c subtração. Váriosestu-situação, os autores incluíram dois objetos distintos de dantes deixaram no papel apenas a conta 16 - 4 = 12,

compra e todos os sujeitos desse grupo acertaram a sem terem anteriormente efetuado a divisão. Não qucstilo. Os autores concluíram que, quando a transa· pode ser verificado se esscs alunos usaram o cálculo ção sc referia a um único ubjeto, os esrudantes mental ou outra estratégia que, embora inadequada, apresentavam wn grau maior de dificuldade para a levou ao resultado correto. solução; quando os objetos cram distintos, parecia Essa questão foi considerada a mais dificil por ocorrcr uma maior discriminação, facilitando os dez sujeitos e foi respondida corretamcnte por 44,7% procedimentos de solução. dos estudantes, cnquanto 55,2% erraram o resultado.

A questilo uts foi indicada como a mais dificil Nenhum estudante da quarta série considerou esta

{XlI" oito alunos, sendo que 41.2% deles acertaram, questão dificil e treze deles acertaram a questão cnquanto 58,8% erraram. O maior número de erros fOI Apenas seis sujeitos da 6' série accnaram a questilo,

na 5' série (nove acertaram e 23 erraram) e n~ 7' série enquanto tre:t:e e!Tanlm. Aparentemente, por envolver (seis acertaram e 14 erraram). Quando perguntados por frações, foi comidcrada de dificil solução. As razõcs

que consideravam a questão dificil fonlm encontradas que os IC'varam a considerar C-'iSlI questão como a mais as seguintes justificativas: "não en/endi" e 'porquefaz dificil foram: "é muito complicada" (S.26, 5' série);

confosão e li complicada". "A 5 e j porque são de "porque não enrendt·(S.28, 5' série); "an. 04. porque

pegadinho" (92, 7' sáie)."Eu achei mab' dificil a li meio dificil o achar o resultado sem saber fo::er a

queslão 3, pois não consegui fceer lima COII/a qlle conla" (S.34, 5' série); "o 4, porquê eu não entendi

I'u<ks.sc dcmomtraro queeupel1.fei.~{I02, 8' série); "A dereito" (S.4O, 5' slirie); "a quata por que eu nào lava

n" 3 pob' exigiu muilo e muitaJ' <-.::cs as pessoas lião cOl/Seguido fu;er" (S.4I, 5' série). l!!em oproblema o que difiroltaa operaçiio". (104, 8' Os esrudantes das séries mais avançadas, parti-série)"; ''foi a número 3 !)()is não conseguia monlar a culannente us da oitHva série, que apontaram o proole-con/d' (SI08, S' série). Este último sujeito, embora ma quatro como scndoo mais dificil,atribuíram a difi-tenha considerado o problema dificiL usou as estralé· culdade ao fato de nào possuírem o conceito de fmção. gias ad«}uadas e acertou a resposta 1"'<;0 foi mostrado cm respostas como: "A questdo n° 4

De mn modo geral, os resultados obtidos no (dificuldades em fração)" (%, 8" série); "A IIIÍmero 4.

problema 3 p'l.xkm seratribufdosao fato de o csrudantc Não sei direita mecheI' comfraçâa" (III, 8' série).

usar a estratégia de buscar palavras-chave que estão Exemplos como esse indicam aexistênçia dc uma cena relacionadas aos procedimentos matemáticos ne.::es- dependência entre o conhecimento declarativo (o sários:l. solução, sendo que este problema presta,se a conhecimentodoconccito)eoconhecimentodcproce-este tipo de cstratégia. As razões apresentadas pelos dimentos, pois esses estudantes sequer tentaram solu-alunos que consideraram esse problema dificil cviden· eionar o prubkma, apenas escreveram "ndo ser no ciaram que uma má compreensão do enunciado do espaço reSl:rvado para solução

'M

Problema 5

Uma criança tem 3 bcmludas e 4 camisetas

De quantas maneiras diferentes ela pode combinar

essas peças para sair com uma roupa difercnte de

cada vez?

Trata-se de um problema sobre produto

cartesiano,quecnvolve a construção de urn conjunto

de pares ordenados, onde cada elemt:nto do primeiro conjunto é combinado çom cada elemento do

segundo conjunto. Nesse tipo de problt:ma, o estudante precisa representar, mentalmente, que o

produto é um par de coisas, sendo que cada membro

do par é rctirado de cada um de dois conjunlOs dados.

Em um outro estudo usando esse mesmo problema

(Brito e Taxa, 1999), foram comparados os procedi­

mentos de solução, utilizados por dois grupos de sujeitos de quarta serie. usando material concreto

para um grupo e prova tipo lápis e papel para outro.

Foi verificado que 15% dos sujeitos que Ulilizaram

material concreto foram capazes de resolver o

problema e dar a resposta correta, enquanto, no

segundo grupo, 68,3% chegaram à solução e, destes,

50% representaram graficarnente o problema.

A análise dos procedimentos usados pelos

sujeitos do presente estudo também mostrou uma

tendência à utilização de alguma fonna de repre­

senlação gráfica para a solução. Alguns sujeitos nllo

realizaram as opemções e também não efetuaram o

eálçulo mental, escrevendo respostas como: "De modo cada dia ela fue 1 bermllda e J camiseta mm'

.wlJrani I camiseta es/o sera usada com J o bermuda

que usou.'" (S. 70, 6' série). Essa aluna considerou

difieil o problema 5 e a ruJo apontada foi que "não tem como fazer conta'"; "a 5. Porque eu nào

conseguiria arrumar" (S.54, 5' série); "a 5 porque

nüo tem o mesmo tunto de bermuda paro colocar

com ocamise/a" (5.65, 6' série); "a 5 pq euja lemei 3

vezes e não L'onsigo resolver" (S.70,6· série);

Prohlema7

Divida os quadradinhos entre três pessoas, de

modo que cada uma delas receba o mesmonÚfiero de

quadradinhos. Quantos quadradinhos recebcrá cada

uma?

M .•. F.JritI

11111111

Esse problema tmla da divisão, usando uma

figura que permite ao estudante representar grafica­

menle a soll.lçllo. A ql.leslão foi considerada correta

quando os 2R quadrados foram divididos por três

resultando 9,mesmo sem referência ao quadradinho

restante, sendo que a resposta completa 9D foi pouco

cncontrada. Esse problema foi considerado dificil

porql.linzc sujeitos c, paraalgl.lns deles, a dificuldade

estava relacionada direlamente ao tipo de problema

(divisão) e ao fato de ser uma divisão com resto

(sobra um quadradinho) que, cm um segundo

momcnto, necessita ser dividido novamente. O

Indiee de solução desse problema foi o mais baixo:

47,4% dos estudantes acertaram e 52,7% erraram,

sendo ql.le a quinta e a sexta série foram as que

apresentaramopiordcscmpenho

Na quarta série, doze alunos acertaram a

questão c dez erraram. Apenas um sujeiloaprcscntou

a resposta que incluía 9[" ou a representação da

divisão na própria figura; os demais responderam

"cada um recebeni 9 quadrados e sobrará J".

Quando pergl.lntados por ql.le consideravam

esscproblemaomaisdificil,várioscstudantesesere­

veram: "porque ti complicado", "porque ti dificif ',

"jXJr causa dus qlladradinhos que não dl!u (~'ic)

certo", cnquanto outros deram respostas como:

"poNjUe meche (sic) L'um divisão" (SI06, 8' série);

"não entendi o prohfemo "($45, 5' série); "porque os

números nã%ram exalOs" (S76, 7' série).

ProblemaS O padeiro coloca os pães no fomo em assadei­

rascom 24 pães cada uma. Hoje foram assados 293

pães. Quantas assadeiras serão necessárias para colo­

çar todos os pãcs, ao mcsmo tempo, no fomo?

Estet ipo dc problcma enfatiza uma silUação real,

cotidiana c o sujeito ncccssita não apcnas cncontrar a

soluçilo, ma~ também forneccr uma rcsrosta plausível,

pois o resultado da operação 293 + 24 - 12,208333

precisa ser considerado de acordo com a história do série, alem de escolher a estratégia algorítmica incor-

problema, Quando o estudante executa a ação efe- reta, também errou ao efetuar as operações. Alguns tuando o cálculo, obtém um resultado quc, em si, não sujeitos apontaram essa questão como a mais dificil fornece aresposta correta, sendo requerida aelaboração pelo fato de não terem cntcndido o enunciado.

de uma estratégia adicional que forneça wna resposta Um dos sujeitos da 6' série não solucionou adequada (VerschalTel e cols. 1999). esse problema no papel e escreveu a seguinte justifi-

O problema foi solucionado corretamente por cativa "não sei, eu acho diflcil a divisão". Esse apenas vintc e cinco sujeitos (21,9%), enquanto mesmo estudanh: também considerou esse problema setenta (61 ,5%) apresentaram algum tipo de erro que como o mais dificil, afirmando: "O oito porque ele

não pennitiu atingir algum resultado aceitável; doze sobra resto na divisão" (S.55, 6" serie). O fato de ser estudantes (10,5%) deixaram a questão em branco e wna operação com resto foi apontada como causa da sete deles (6, 10/.) escreveram "'não sei", Muitos dificuldade,emafinnaçõescomo"aoilopoiselanão sujeitos executaram 3 estratégia correta de solução. da exala" (5,66, 6' série); "o oilo pois não dá para

efctuaram corretamente os cálculos, mas não utiliza- dividir 293 por 24" (5. 99, 8' série) ram a estratégia adicional necessâria para chegar a A análise das respostas dadas pelos sujeitos da um resultado adequado. quarta série (n=22) ao problema 8, mostrou que Sele

Um procedimento usado foi tentar, por ensaio deles responderam que serão necessárias 12 assadei-e erro, chegar a uma solução aproximada, por cxcm- raso isto é, estes sujdtos efctuaram a divisão e ignora-

pIo, multiplicando 24 por 11= 264 e, em seguida, ramos5pi1csrestantes;doissujeitosresponderamque subtraindo esse resultado de 293, obtendo 29 (5.66, seriam necessárias 12 assadeiras e restariam 5 piles; 6' série) e dando a resposta "serão nece.uário II cinco sujeitos deixaram a questão em branco; um tahuleiros e sobraram 29 pães". Aparentemente, por deles respondeu 12.2 e outro, 122. Como a história do

não ler atentamente o problema, o sujeito foi incapaz problema continha a palavra assadeira e depois de perceber que seria possível completar mais urna tabuleiro, seis deles nilo reso~vefllm o problema e bandeja e sobrariam cinco p~es para os quais seria escreveram respostas corno "'niJo usou labuleiro e sim

utiliwda mais uma assadeira, perfazendo 13. Esse assadeiras", "ele nào usou nenhum tabuleiro",

mesmo sujeito apontou o problema 8 como o mais "nenhum, porque II:m de ~'erassadeira", "ele nao flSOU

dificil de todos "pois ele nào e de escola". nenhum tabuleiro IH)rque não são IObuleiros, ~'ão

O procedimento utilizado pelo sujeito 77 da 7' assadi!ira:/'. Nenhum aluno da quarta série respondeu série mostrou urna maneira original de solução, pois que seriam necessárias treze assadeiras. escreveu 24 (correspondente ao numero de pães em A maioria dos estudantes que efctuou a cada assadeira) 12 vezes. annando uma adição. divisão e infonnou como resposta serem necessârios Sornou as doze parcelas de 24, obtendo 264 e, a esse doze assadeiras escolheu a estratégia correta de resultado adicionou mais 24, obtendo 288, tendo solução, mas apresentou uma ação incompleta, respondido que "usaria /3 assadeiras sendo uma provavelmente por não terem retido todos os proce-incompleta"'. dimentos necessários para se chegar a um resultado

Alguns estudantes apresentaram soluções final satisfatório. Para esses sujeitos, o procedimento algorítmieas que apontam para a ausência de uma foi interrompido quando, para execução da açilo

leitura cuidadosa do enunciado do problema. por seguinte, era necessário o emprego da virgula. exemplo,5.62,6' série,quemultiplicou293por24e obteve 7022, tendo colocado corno resposta: "Serão

necesmrios 7022". Outros sujeitos somaram 293 e 24, enquanto outros subtraíram 24 de 293. Um grande número de sujeitos, particularmente na 6'

Prob/ema9

Um fio de 8,70 m de comprimento foi cortado em 6 pedaços com o mesmo comprimento, Quanto mede cada pcdaço?

'" II. I. r. lritt

Esse é um problema rotineiro de divisão que "É subtrair, ou ainda a simples indicação da opera-

foi solucionado pela maioria dos 114 sujeitos, sendo ção. 76,3% dos sUjeitos não deram uma resposta satis-que setenta e três ddes (64%) acenaram; vinte e oito faloria e apenas 17,5% dt:1es conseguiram explicar de

alunos (25,4%) erraram e treze (I 0,5%) deixaram de maneira adequada, sendo que 3,5% afinnaram não responder à questão. Dentre aqueles que deixaram a saber responder c 2.6% deixaram em branco. Quando questão cm branco, a maioria escreveu quc nào sabia foram comparadas as médias das notas obtidas pelos solucionar o problema, ou então que não havia enten- sujeitos que acertaram esta questão e a daqueles que dido. Esse problema foi apontado como dificil por nãoacenaram,foramobservadasdifcrcnçassignifica-apenas quatro sujeitos, todos eles da quinta série. tivas entre os dois gropos (p;(l,0002).

Também foram os sujeitos dessa série que apontaram Várias respostas apontardJll pant a dificuldade as maiorcs dificuldades na divisão, tendo sido vcrifi- que aparece quando se é solicitado a explicar lUl1

cados erros na escolha das cstratégias de solução e de procedimento para outra pessoa. Esta questilofoi a que cálculu. O sujeito 45 da 5' série, que deixou essa apresentou o maior número de sujeitos indicando-a questão cm branco, nilo esboçou. no papel, nenhum como a mais dificil. Algumas razões apontadas foram: procedimento de solução, afirmou "achei difici/ a "A 10 porque eu sei (XJI'a mim agora para explicar

quesfão 9 porque não entendi o problema" paraosowrosédificif'.(S.9S,S'série); '"Ofazerllma

confirmando que, quando n1l0 entende a história do divisão. Porque a divúàa ti mais complicada." (S. IS,

problema, o sujeito não consegue buscar a cstrutura 4' série); "DiI'ÍJâo porque SI! vuçê não souber a matemática subjacente. Um dos estudantes (S. 51 da tabuada nào se consegue resoll'cr" (S. 57, 6' série); "a 5' série) subtraiu 6 de 8,70 e forneceu corno resposta: di~isãa porque é mai~' comp{jcada" (S.72, 5' série);

"Cada pedaço mede 2,7(T', evidencümdo u exposto Com o objetivo de verificar \:omo os sujeitos acima. Um outro aluno da mesma série (S. 47) armou deste grupo transferem a matemática aprendid3 na corrctamente a operação, obteve 145 como resultado, sala de aula para sitU3ÇÕCS do cotidiano, foi feita a ignorando a virgula, e na resposta escreveu "Foi seguinte pergunta "Quando você está fora da escola, cortado em 1.45 pedaços", mostrando que não você usa o que você aprende na aula de mate-

ocorreu uma leitura cuidadosa do enunciado, pois o máticaT'. E, logo em seguida "Se você usa. dê um número dc pedaços já constava no mesmo. 4:l!mplo". O resultado obtido foi que 68 estudantes

Alguns resultados mOSlraram qut: us sujeitos (59,6%) afirmaram usar o que aprende na aula em não conseguiam empregar a virgula na divisão, sendo situações práticas, enquanto 34 (29,8%) afirmaram esSl;: erro mais comum na quarta c quinta séries. que não usam e 12 (10,5%) disseram que apenas Alguns sujeitos efetuanun apenas o cálculo mental, algumas vezes usam a Matemática fora da escola. sendo que os da oitava série que utilizaram essa estra- Os resultados obtidos com os sujeitos que légia acertaram o cálculo, enquanto que os da quaJta afirmaram usar a Matemática fora da escola série erraram o resultado. Dois sujcitosda quarta série, mustraram que estes conseguiam perceber o uso das que erraram esse problema, consideraram as questões operações c destacavam quase sempre situações de que envolviam divisão as mais diliceis. compra evenda e contagem, sendo poueososque índi-

caram a uti1izaç~u de Oi.ltras conct:itos. Um outro

Problema 10 aspecto evidenciado foi que a maiona das slluaçõcs Naquestllodez,oscstudantesforamsolicitados fornecidas como exemplo do uso que estes sujeitos

aescrevercomofariamsetivessemqueeJlplicarparao fazem da matemática envolvia apenas a aritmética vizinho o que seria: "Fazer uma divisão" e "Fazer uma São mostrados, a seguir, alguns cxcmplos (copiados subtração" conforme o original) com os quais os estudantes

A correção dessa questão foi feita considerando buscaram retratar como a matemática é usada cm

que não seriam aceitas respostas como "t dividir" ou situações do dia-a-dla:

Slllçli" "MIr&lllri!JI6tictl ftrUis IIJ

"Vw. Uso a porcentagem, a tabuada a divisão O exemplo mostrado a seguir ilustra como o

multiplicação adição, .whrração. fração numeras sujeito 92 (7' série), transforma 3 situação em um

decimais etc." (5. 38, 5' série); problema tal como é apresentado na escola, tentando

"Usosim.ljuando rou ao mercado compar (.~ic) aplicar os procedimentos aprendidos:

alguma coLm precisa .mmar quanto que da sim uso ··Sim. Quando rou comprar alguma coisa, uso

bastantea.roma2+2 =4 2· 2 + r(S.51. S'série); vária.!' operações matemáticos, inc/"sive juro' "Sim. Quanto eu mujUnlOlJo meupaiabarlecero Comprei um obje/o por 200,00, coloquei 20% de

carro e vejo que a garoIina subia (sic) por exemplo subi! Juros, arrependi e Tirei 20%, quanto fique!?"

(.~ic) 1,3" (5.52, 5' série);

"Sim, uso a porcentagem, o meu pai fála, ga­nhei 10"/ade um negócio de 20.000,00". (5,60, série);

"Sim, quando vou ao mercado comprar

alguma coisa e levo 5,00 reai~' e o !(uaranú é 1,00 (5,00 - 1,00) ela tem que me devolH'r 4,00 reais"

(S. 61, 6série);

"Só oque eu aprendi de '"a 4aserie, Noexem­

pio armou a operação 12 dividido por 2 6." (S.R3,

7'série); "As \lCZes, ensinando minha irmã, porque eu

quero ser professoradoprimtirio." (S.75, 7' série);

"Sim. se eu Tenho uma certa quantia no banco

e eu quero sober quantos porcento meu dinheiro vai

ler vou ter que aplicar a regra dus porcentm." ($.88, 7'série);

"Usei com meu pai. o saldo dele no banco ti x. e ele gastou y: ele queria ~,(Jber quanto sobrava para comprar mura coisa, então eujiz as contas." (S,l 01,

8'série);

"Sim, quando ajudo meu pai /10 !"er,iço, por exemplo qualldo qjudu ele a cubrir um telhado, remos

que ler a medida certa paro. não dar infiltração 110 CaslL "

(S.lll,R'série);

"Sim, Por exemplo no Cem"a qual!dn enCn,\'IO um caminhiio de tomale eu mul/iplico a al/ura pela buse de umafiada econta, ore~'lIltadoell somo com o restante dasjhJdas." (S.113, 8' série)

OuU"OS sujeitos, como o do exemplo abaixo,

incluíram 3 conta no ext:Illplo:

"Sim, Vou comprar lima calça de R$25,OO e tenho R$JO,OO parapo.ga" (S.5S, 6' série)

R$50,OO -25,00

25,00

200 40,00 240 192 240

~ ~ ~ 4000 48,00 192

DlSCUSSAO

Os resultados apomaram diferenças significa­

tivas na média das notas obtidas no teste de matemá­

tica, quando são consideradas as variáveis serie c

escola. Não foram eneontnldas diferenças signifi­

cativas que pudessem ser atribuídas ao gêneru. A

análise qU31itativa mostrou que os sujeitos encon­

traram mais dificuldades n .. primeira etapa da

solução dos problemas, quando necessitavam ler o

problema e extrair a informação matemática para a

construção ue uma representação do problema.

Aparentemente, isso ocorreria porque o estudante

não consegue entender a história do problema, ou

porque n~o prestava atenção na seqüêneia das

operações qlJe estavam sendo solicitadas. De

maneira geral, os sujeitos que conseguiram entender

a historia do problema, elaborar uma representação

do mesmo e disponibilizar, na estrl.llura cognitiva, os

algoritmos corretos para a solução, chegaram a uma resposta adequada e matematicamente correta.

Embora o tempo gasto em cada etapa do

processo de solução dos problemas propostos não

tenha sido previamente selecionado como variável,

pode ser notado que os alunos despenderam muito

tempo em cada etapa da tarefa. Apesar disso, as

respostas não evidenciamm uma leitura cuidadosa

dos problemas. De uma maneira gemi, parece existir

uma expectativa de que os estudantes aprenuam

como solucionar problemas pela mera atividade de

lU IU.F.1ritt

solucioná· los, sem, contudo, serem ensinados a Com relação ao uso de problemas não rOli· como proçeder para cncomraruma solução. O ensino neiros no presente estudo, pode ser verificado que os cuidadoso dos algoritmos é um passo importante estudantes não estão familiariudos com esse tipo de paraodesenvolvimento das habilidades matemáticas atividade. Além disso, quando solicitados a descrever nos estudantes. Devem ser ensinados não apc:nas os como ensinariam a subtração e a divi~o, afirmaram conceitos e princípios inerentes a um problema, mas ter grande dificuldade, particulanneme nesta última também os vários procedimentos que podem levar à Os protocolos dos sujeitos evidenciaram que a divis~o solução. Alêm disso, os estudantes devem ser ensina· c um dos tópicos nos quais encontraram as maiores dos e incentivados a ler cuidadosamente as histórias dificuldades. Também pode ser verificado que, dos problemas, buscando procedimentos originais de embora os problemas envolvessem quantidades solução. pequenas, os estudantes apresentaram dificuldades

Muitos dos problemas ensinados pelos para efetuar os cáleulos necessários. Poucos sujeitos professores silo simples e podem ser solucionados (tudos da oitava scrie) efetuaram cálculos mentais e rapidamente (isso pode ser obselVado nos problemas chegaram aos resultados corretos, sendo que a maioria 1,2 c 6), scndo que os estudantes reeonheeem·nos tratou de representar graficamente o problema. como problemas fáceis. Quando o aluno se defronta Nos exemplus dados pelos sujeitos, a respeito com um prublema cuja solução não está evidente, da aplicação cm situaçõcs do dia~a-dia, sempre são impossibilitando a rápida escolha de uma estratégia le:mbradas situações extremamente simples envol· de: solução, esse problema passa a ser visto como vendoasoperaçõeseosistemamooetário,tendosido impossivel de ser solucionado. Muitas vezes, o aluno encontrado apenas um sujeito que se referiu ao uso da não tem nenhuma persistência, desistindo após a álgebra; quatro deles fizeram referência ã geometria leitura do enunciado. A compreensão do enunciado e e uns poucos ao sistema métrico. Isso parece a representação do problema constituíram fatores eonfinnar a idéia segundo a qual a transferência das importantes na escolha dos procedimentos de solu· situações escolares para a \'ida fica limitada apenas ção. A comparação entre as representações gr.ificas àquelas mais simples e que as siruações cotidianas elaboradas pelos sujeitos mostrou que o entendi· nilo silo ge:nt:raliz~veis às situações de sala de aula. mento da história do problema afetava a escolha das Seria adequado que os problemas fossem bem ações e, conseqüentemente, o resultado. Isso ficou contextualizados para os alunos, relacionando evidenciado no problema nove, no caso do estudante situações práticas com os conteúdos que estão sendo que afirmou que não havia entendido o enredo do aprendidos, mas particular atenção deve ~er dada à problema e, efetivamente, somou os dois números. fonnulação de objetivos de ensino voltados para o

Ocorreram muitos erros ou porque os sujeitos desenvolvimento da habilidade de transferir de uma c){eeutar.tm erroneamente as operações, ou porque situação para outra c para o desenvolvimento dos escolheram a estratégia incorreta de solução. A algoritmos de soluç~o. escolha ineorreta da estratégia de solução pode ter ocorrido porque os sujeitos não consideraram se a escolha era ou não apropriada ao espaço do problema. Os protocolos mostraram que os problemas sobre divisão ou aqueles que, de alguma maneira, envolviam esse algoritmo, foram conside­rados mais difíceis e tiveram grande incidência de erros, apontando para as razões pelas quais a divisão é considerada difícil (Reyes e cols., 1998)

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Recebido cm: 30110/99 AceilOem: 04/07/01