estatistica weibull

Mecânica da Fratura Prof. J.D. Bressan

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ESTATÍSTICA DE WEIBULL APLICADA À RESISTÊNCIA MECÂNICA Os resultados experimentais das tensões de ruptura dos ensaios de fratura de vários corpos de prova podem ser analisados por meio da estatística. Pode-se apresentar os resultados por meio de gráficos de distribuição de frequência dos valores obtidos de tensão de ruptura. Define-se a função densidade de probabilidade f(x) para uma tensão de ruptura de valor igual a x, entre a tensão mínima “a” e máxima “b”, a partir do gráfico de distribuição de frequência, como mostrado abaixo. Figura 1. Gráficos Estatísticos da Distribuição de Frequências ni e da correspondente Função Densidade de Probabilidade f(x). Função Densidade de Probabilidade : Seja o intervalo a ≤ x ≤ b todos os valores medidos da variável x ( ou σ = x). A função densidade de probabilidade é definida como sendo uma função continua que passa pelos pontos f(x) = ni/N , onde N é o número total de corpos de prova e ni é o número de corpos de prova que romperam no pequeno intervalo de tensão ∆σ adotado na construção do gráfico de frequência. A função continua f(x) deve satisfazer,

A probabilidade P da variável x estar entre dois valores c ≤ x ≤ d é representada por,

que representa a área debaixo da curva entre os valores c e d.

1dx)x(f:oub

a=∫

∫=≤≤d

c

dx)x(f)dxc(P

1Nn

i

i =∑

frequência

σ ∆σ

ni

x

f(x)

a b a b


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Figura 2. Gráfico da Probabilidade Acumulada de Falha F(σ) e a Função Densidade de Probabilidade f(x). Função Probabilidade Acumulada de Falha e Probabilidade de Sobrevivência :

A Probabilidade Acumulada de Falha F(σ) é a probabilidade da ruptura ocorrer para valores ou nível de tensão inferior a tensão σ . Esta função é dada pela equação,

∫σ

∞−

=σ<<∞−=σ dx)x(f)x(P)(F

∫σ

=σ<<=σ0

dx)x(f)x0(P)(F , quando considera-se que a tensão σ ≥ 0.

Portanto, F = 0,1 representa 10 % de probabilidade de falha. O limite superior de F é 1 que representa a probabilidade de 100% de falha para tensões inferiores a um valor limite máximo. Por sua vez, a Probabilidade de Sobrevivência Ps é o complemento da Probabilidade de Falha F , isto é, Ps(σ) = 1 - F = Probabilidade de Sobrevivência para o nível de tensão σ.

Atualmente, a estatística mais popular para caracterizar a distribuição de falhas de componentes mecânicos e eletrônicos é a estatística de Weibull. Esta teoria é baseada na teoria do “elo mais fraco” que assume a falha irá ocorrer no local mais fraco ou onde há a maior microtrinca no sólido.

A equação geral de Weibull da Probabilidade Acumulada de Falha F para um

volume vo de um sólido sob uma Tensão de Ruptura σ , quando a tensão aplicada não é uniforme no interior do volume, é dada por :

x

0

F(σ)

f(x)

1

0

F(σ)

σ σ


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∫

σσ−σ

−−=V

m

o

u

odv

v1exp1F

Onde : F = probabilidade de falha (ou probabilidade acumulada de falha) de Weibull σ = tensão de ruptura de um único CDP σo = tensão de ruptura de referência ou padrão σu = tensão abaixo da qual não há ruptura m = módulo de Weibull vo = volume padrão de referencia v = volume do especimen sob tensão Se a tensão é constante ou uniforme no volume considerado, então tem-se,

σσ−σ

−−=o

m

m

uvvexp1F

Se adotarmos a tensão mínima de ruptura σu = 0 , então a equação fica simplificada para,

σσ

−−=o

m

m vvexp1F

Onde σm é a tensão média de ruptura. Para ensaios de tração ou de flexão utilizando-se corpos de prova padrão, temos v = vo e portanto,

σσ

−−=m

mexp1F

ou ,

σσ

−=−=m

ms expF1P

Aplicando o logarítmo natural duas vezes temos,

σσ

=

− mlnm

F11lnln

Esta equação representa uma reta no gráfico log versus log cuja inclinação vale m, como mostrado na Fig.3 abaixo.


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Figura 3. Gráfico log-log da Probabilidade de Falha F em função da tensão adimensional de ruptura σ/σm . A tensão média de ruptura é calculada fazendo-se a média dos valores experimentais das tensões de ruptura σ , isto é,

∑σ=σ

N

i

im N

onde N é o número total de corpos de prova rompidos nos ensaios. A reta acima no gráfico de escala logaritmica se transforma em uma curva sigmoidal para F versus σ/σm, conforme visto anteriormente na Fig.2, que depende do parâmetro m.

1 0,1 10

m o

o

o

o

o

o

o

o

oF1

1ln−

σσ

m

1,0

0 1,0

0,63

m = 10

m = 20

F

σ/σm


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Figura 4. Gráfico de escala linear da Probabilidade de Falha. Influência do módulo de Weibull m. Da análise acima conclui-se que o coeficiente m é um parâmetro da qualidade da resistência à ruptura do material. Quanto maior m melhor é sua qualidade : os resultados experimentais estão menos dispersos e mais próximos de seu valor médio. De modo geral, podemos classificar os materiais de acordo com seu módulo de Weibull m. Assim temos, m = 20 → qualidade alta (excelente) m = 10 → qualidade média m = 5 → qualidade ruim (muitos defeitos internos) Em geral, os metais apresentam o módulo m acima de 15, mas os materiais cerâmicos tem valores bastantes distintos variando entre 5 e 10. Isto se deve ao fato de que as cerâmicas, e os materiais frágeis em geral, são sensíveis aos defeitos internos e os metais duteis são insensíveis. Esta análise também pode ser aplicada ao Limite de Escoamento ou ao Coeficiente de Tenacidade à Fratura dos materiais, vida de componentes mecânicos ou eletrônicos dos equipamentos, vida de lâmpadas, etc.. Influência do Volume : A influência do volume da peça sob tensão obedece a equação geral visto acima. No caso da resistência a flexão, a razão de tensão de ruptura é,

m1

1

2

2v

1vVV

=

σσ

ensaios de tração, compressão ou flexão

Isto é, um volume maior tem uma resistência menor que um volume menor. Ensaio de Resistência à Flexão de Cerâmica : O ensaio de resistência à flexão de cerâmica é feito em pequenas barras de seção retangular, e pode ser de dois tipos: flexão em 3 pontos e flexão em 4 pontos.

a) Flexão em 3 pontos :

2bh2PL3

=σ

F

F/2 F/2

L

bh


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b) Flexão em 4 pontos :

O ensaio em 4 pontos é melhor na pesquisa científica, pois o volume de material testado é maior e portanto, é mais reproduzível. O efeito do volume na resistência à flexão é dado por,

Na tabela abaixo apresentamos os valores médios de resistência à flexão de várias cerâmicas.

Tabela 1 – Resistência à Flexão de Cerâmica

Cerâmica σ Mpa

1- Cerâmica vermelha ~ 10 2- Vasos cerâmicos ~ 20 3- Porcelana 40 - 80 4- Porcelana envidraçada 60 - 100 5- Cerâmica óxida, Al2O3 250 - 10006- Cerâmica óxida reforçada 800 - 15007- Cerâmica não-óxida, Si3N4, SiC 300 - 10008- Carbetos cementados 500 - 3000

2hb2)aL(P3 −

=σ

F/2 F/2

L

F/2 F/2 a b

h

m/1

p4

p3

22m

+

=σ

σ


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Procedimento para Calcular a Probabilidade Acumulada de Falha : Após a obtenção dos resultados experimentais das cargas de ruptura, deve-se ordenar as tensões de ruptura em ordem crescente para se calcular as probabilidades de falha, assim por exemplo : Tabela 1 : valores diretos Tabela 2 : valores ordenados e cálculo de F 8.2 Resultados do Ensaio de Flexão em 4 pontos em barras de cerâmica alumina:

L=27cm

a =9cm P/2 P/2

CDP i

Carga Kgf

Tensão rup. Kgf/mm2

1 46 28 2 24 29 3 27 32 4 27 39 5 36 25 - 37 25 - 42 29 - 38 34 - 40 33 - 45 32

N=11 42 31

i

Tensão rup. Kgf/mm2

1NiF+

= F11ln−

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

Ordenando ordem crescente


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1.1. Tabela de Resultados Diretos

Corpo de Prova b (mm) h (mm) Prup (Kgf) MPa 1 4,20 3,2 46 280 2 4,10 2,3 24 293 3 4,30 2,3 27 322 4 4,20 2,4 27 391 5 4,20 3,0 36 253 6 4,20 3,0 37 256 7 4,20 3,0 42 294 8 4,20 3,0 49 341 9 4,20 3,0 47 332

10 4.20 3,0 37 262 11 4,20 3,0 38 264 12 4,20 3,0 40 281 13 4,20 3,0 49 341 14 4,20 3,0 44 309 15 4,20 2,9 39 392 16 4,30 2,5 34 332 17 4,25 2,5 29 293 18 4,20 2,3 26 311 19 4,20 2,3 27 317 20 4,10 2,5 32 335 21 4,20 2,4 29 313 22 4,20 2,4 33 356 23 4,20 2,4 28 301 24 4,20 2,4 17 186 25 4,10 2,4 28 314 26 4,20 2,8 36 290 27 4,20 2,4 28 306 28 4,20 2,2 20 260 29 4,20 2,2 20 260 30 4,20 2,6 25 233

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