A Distribuição de Weibull Aplicada à Fiabilidade

Trabalho Prático de Investigação - Tema 1

Unidade Curricular: Gestão da Manutenção

Resumo Pretende-se com este trabalho caracterizar a fiabilidade a partir da distribuição de

Weibull. Para tal, é necessária a introdução de conceitos básicos de fiabilidade assim

como as características da referida distribuição. Esta abordagem da fiabilidade requer a

existência de dados estatísticos ou histórico de falhas.

1. Introdução

Diante de um mercado altamente competitivo, onde os clientes estão-se a tornar cada vez mais

exigentes, e os produtos, por sua vez, cada vez mais complexos, as empresas têm vindo a

sentir a necessidade de modernização das suas linhas de produção. Entretanto mostra-se

necessário que tal modernização venha acompanhada de procedimentos que, baseados em

informações quantitativas, sejam capazes de optimizar a utilização e a manutenção desses

novos meios produtivos.

Nesse sentido, impulsionada pelo aparecimento de softwares, especialmente desenvolvidos

para facilitar a resolução de cálculos e para gerar relatórios instantâneos, a engenharia da

fiabilidade vem ganhando cada vez mais destaque, uma vez que tem como principal objectivo

estabelecer, através de modelos estatísticos, o tempo no qual um sistema estará disponível,

informação fundamental tanto para a proposição do tempo de garantia de um determinado

produto quanto para a gestão da manutenção de um ambiente fabril.

2. A gestão da manutenção como Instrumento de Competitividade

Com as frequentes mudanças ocorridas na economia, têm levado as empresas a procurarem

diferenciadores em seus processos produtivos. Não basta somente produzir a um menor custo,

deve-se agregar ao produto qualidade, preço e prazo de entrega. Neste sentido, as empresas

devem projectar produtos que tenham o máximo de valor agregado com custos reduzidos, a

fim de aumentar a produtividade. A produtividade de um produto pode ser descrita pelo

quociente entre qualidade e custos. Uma vez que os padrões de qualidade são ditados pelos

clientes, que a cada dia estão mais exigentes, para uma empresa tornar-se produtiva, ela deve

minimizar seus custos de produção. Portanto, para se desenvolver e para se tornar mais

eficiente, mostra-se necessário que um grande esforço seja empenhado à gestão da

manutenção.

Desta forma, a manutenção tem evoluído significativamente, deixando em segundo plano o

papel de conservar (consertar ou reparar) dando prioridade ao manter (prevenir, corrigir).

Na busca de uma maior produtividade, a gestão da produção trilhou os seguintes passos

evolutivos:

I - Manutenção Correctiva: Reparar quando falhar;

II - Manutenção Preventiva: Reparar antes que falhe;

III - Manutenção Condicionada: monitorar e reparar somente na eminência de falha;

3. Conceitos básicos

3.1 Definição de falha

O que é uma falha?

Falha é o limite da capacidade de um item em desempenhar a função requerida. Entretanto, o

item pode estar degradado ou ao mesmo tempo avariado e ainda não causar uma falha. A

esse fenómeno é atribuído o nome de defeito, que significa qualquer desvio de uma

característica de um item em relação aos seus requisitos.

As falhas, para objectivos deste trabalho, são classificadas em duas categorias:

Falha funcional: incapacidade de um item de desempenhar uma função específica dentro de

limites desejados. Também é conhecida como estado de falha;

Falha potencial: condição identificável e mensurável que indica uma falha funcional pendente

ou em processo de ocorrência. Muitas vezes se apresenta em forma de defeito.

Prevenir e corrigir falhas constituem os objectivos primários da manutenção. Para isto é

necessário conhecer como os itens falham, caracterizando a forma como as falhas ocorrem.

3.2 Modo de falha

Modo de falha é um evento ou condição física que causa uma falha funcional. Está associado à

causa da transição do estado normal para o estado anormal. Em geral podem ser divididos em

mecânicos, eléctricos, estruturais e humanos.

3.3 Tempo até à falha

O tempo até falha pode ser definido como o tempo decorrido desde o instante em que o item é

colocado em funcionamento até à sua primeira falha. Pode assumir valores discretos, como por

exemplo, o número de ciclos até à falha.

3.4 Probabilidade de falha

A densidade de probabilidade de ocorrência de falha é definida pela modelagem da variação

temporal da probabilidade de falha funcional do item por unidade de tempo. É a definição

matemática do valor associada à probabilidade de ocorrência deste valor. É encontrada através

da equação 1.

A distribuição de probabilidade acumulada de ocorrência de falha é definida como a

probabilidade de falha de um item em uma missão de duração menor ou igual a t. É encontrada

através da equação 2.

dt

tdFtf

)()( (1)

t

dttftF )()( (2)

onde f(t) é a função densidade de probabilidade de falha, F(t) é a distribuição de probabilidade

acumulada de falhas e t é o tempo até falha.

3.5 Fiabilidade

Sob o enfoque da manutenção preventiva mostra-se indispensável a utilização de ferramentas

quantitativas capazes de medir o risco de falha de um dado componente. Define-se fiabilidade

como sendo “a probabilidade de um item desempenhar satisfatoriamente a função requerida,

sob condições de operação estabelecidas, por um período de tempo predeterminado”. Uma

vez que a fiabilidade e o tempo de falha de um dado componente são acontecimentos

complementares, fica evidente a relação entre o estudo de fiabilidade e o sucesso da

manutenção preventiva.

Matematicamente, a fiabilidade é descrita segundo as Equações 3 ou 4:

t

dttftR )()( (3)

)(1)( tFtR (4)

Onde:

R(t) é a fiabilidade; f (t) é a função da densidade de probabilidade (f. d. p.) e t é o período de

vida útil.

3.6 Taxa de falha ou função de risco

A taxa de falha, também conhecida como função de risco, é definida pela probabilidade

condicional da ocorrência de falha no intervalo de t a t + dt, dado que não houve falha até o

instante t, divido pelo intervalo dt. A função é representada matematicamente pela equação 5.

)(

)()()(

tR

tftht (5)

3.7 Variáveis aleatórias

Se uma variável aleatória puder assumir valores numa escala contínua é uma variável aleatória

continua. A probabilidade que um valor particular de uma variável aleatória contínua se

verifique é zero, devido à infinidade de valores possíveis. Portanto no caso de variáveis

contínuas, é necessário considerar a probabilidade de que a variável aleatória fique dentro de

um intervalo, mais do que um ponto. A probabilidade de que t fique num valor do intervalo

tx a ty é:

dttftttp

y

x

t

t

yx )( (6)

e f(t) é uma função densidade para a variável aleatória continua.

1)( dttfz

a

t

t

(7)

Podemos, através de um do histograma de frequências relativas, comprová-lo.

Se pensarmos num certo número de máquinas similares sujeitas a varia, não esperaremos que

cada uma delas falhe depois do mesmo número de horas de funcionamento. Anotando o tempo

de funcionamento até a avaria de cada máquina é possível traçar um histograma no qual a

área associada com qualquer intervalo mostre a frequência relativa da avaria ocorrendo nestes

intervalos (ver figura 1).

Figura 1- Histograma

Se agora desejarmos determinar a probabilidade de um avaria ocorrer entre os tempos de

funcionamento tx e ty multiplica-se a ordenada y pelo intervalo (ty - tx).

Assim, a probabilidade de avaria ocorrer entre os tempos ta e tz, em que ta e tz são

respectivamente as horas de funcionamento mais baixas e mais elevadas em que o

equipamento falhou, é a unidade. Isto é, admite-se como certo a ocorrência da avaria no

intervalo (ta, tz) e a área do histograma é igual a 1.

Em estudos de manutenção opta-se em vez dos histogramas de frequência relativa, as funções

de densidade de probabilidade. Estas são semelhantes àqueles excepto que é usada uma

curva contínua, como indicado na figura 2. A equação da curva função de densidade é

designada por f(t).

Figura 2 - Gráfico função de densidade de probabilidade

Tal como com a área sob o histograma de frequência relativa, a área sob a curva de densidade

de probabilidade é igual à unidade.

4. Distribuição de Weibull

Nomeada pelo seu criador Waloddi Weibull, a distribuição Weibull é a mais utilizada em

estudos de fiabilidade, de entre as funções de densidade de probabilidade existentes, análise

de sobrevivência e em outras áreas devido a sua versatilidade.

Ernst Hjalmar Waloddi Weibull (18 de Junho de 1887-Annecy, 12 de Outubro de 1979) foi um

engenheiro e matemático sueco. É reconhecido pelo seu trabalho na área da fadiga de

materiais e na estatística pelos seus estudos sobre a distribuição de Weibull.

Uma distribuição é definida matematicamente pela sua equação de função de densidade de

probabilidade (f. d. p.). Existem outras formas de parametrizar a distribuição Weibull, mas a

expressão mais geral da f. d. p. da distribuição weibull de 3 parâmetros, é dada pela equação

8.

t

et

tf

1

)( (8)

onde: t>0; β>0 e η >0

t é a variável que define o período de vida útil podendo ser expresso em distância percorrida

(km), em número de ciclos (n) ou em tempo de funcionamento (h);

β é o parâmetro de forma;

η é o parâmetro de escala;

γ é o parâmetro de posição;

A figura 3 realça o parâmetro de posição γ.

Figure 3 - Distribuição de Weibull Tri-Paramétrica

Nos estudos de fiabilidade, o parâmetro γ caracteriza a vida inicial do item sendo, na maioria

das aplicações, desprezado, γ=0. Nesses casos, onde se assume γ=0, a equação 8 pode ser

simplificada e a distribuição Weibull fica representada na sua forma biparamétrica (equação 9).

t

et

tf

1

)( (9)

Substituindo-se a equação 9 na equação 2 temos a equação 10:

dtet

tF

t t

0

1

1)(

(10)

Calculando-se o integral proposto na equação 10 temos a seguinte função para o calculo da

fiabilidade:

t

etF )( (11)

Outra medida importante na fiabilidade está associada à taxa de falhas λ(t). De um modo geral,

a taxa de falhas pode ser descrita como a razão entre o número de falhas num determinado

tempo de vida e o número de componentes sujeitos à falha. Matematicamente, levando-se em

conta a distribuição Weibull biparamétrica, a taxa de falhas é descrita segundo a Equação (12).

1

)(

)()(

t

tR

tft (12)

4.2 Relações entre os parâmetros da distribuição Weibull e o planeamento da Manutenção

No que segue, são apresentados os parâmetros característicos da distribuição Weibull a fim de

se caracterizar seus efeitos no comportamento da função de densidade de probabilidade, das

curvas de fiabilidade e de taxa de falhas e, consequentemente, nas estratégias da gestão da

manutenção.

4.3 O parâmetro de forma (β)

O parâmetro β é um número puro, isto é, adimensional e como o próprio nome sugere, tal

parâmetro interfere no formato da função de densidade de probabilidade como veremos a

seguir:

Quando β < 1 a função densidade de probabilidade (f. d. p.) de falhas apresenta frequências

elevadas na parte inicial da vida, tais falhas são comumente denominadas de falhas

prematuras e, de maneira geral, estão associadas a defeitos originados no projeto, na

produção ou na operação. Nestes casos, do ponto de vista da gestão da de manutenção, não

há como se antever tais defeitos e para itens nesta condição mostra-se mais indicado optar-se

pela manutenção corretiva ou preventiva.

Para ilustração, na Figura 4 são apresentadas a FDP, a curva de fiabilidade e a curva da taxa

de falhas para um componente fictício cuja probabilidade de falha segue uma distribuição

Weibull biparamétrica com β= 0,8 e η=30.

Figura 4 - Distribuição da probabilidade de falhas, fiabilidade e taxa de falhas baseadas na

distribuição Weibull biparamétrica ( β= 0,8 e η=30).

Analisando-se a Figura 4, podemos verificar o formato assumido pela distribuição Weibull.

Verifica-se que a freqüência de falhas é elevada na vida inicial do componente fazendo que a

fiabilidade do mesmo decresça de forma acelerada neste mesmo período.O comportamento da

taxa de falhas é uma combinação da probabilidade de falha e da fiabilidade (Equação 5) e

evidencia que a ocorrência de falhas é mais elevada na vida inicial do componente, diminuindo

drasticamente com o tempo de vida e, a partir de um dado momento, aproxima-se de um valor

constante. Em outras palavras, o comportamento da taxa de falhas evidencia que em boa parte

dos componentes avaliados, apresentaram falhas prematuras, defeitos, e os componentes que

não falharam, até um determinado tempo de vida, tendem a funcionar segundo as suas

características de projeto.

Quando β=1, a função densidade de probabilidade equivale à função distribuição exponencial.

Nesse caso, a taxa de falhas é constante e as falhas ocorrem de forma aleatória. Esse

comportamento está associado, sobretudo, às características de projeto do componente

avaliado e também denominado vida útil. Nesse caso, a manutenção corretiva e a manutenção

preventiva são as mais indicadas (Figura 5).

Figura 5 - Distribuição da probabilidade de falhas, fiabilidade e taxa de falhas baseadas na

distribuição Weibull biparamétrica ( β= 1 e η=30).

Quando β > 1 existem modos de falhas predominantes e, nesses casos, após efetuar-se

estudos sobre os tempos médios entre falha (MTBF) e se analisar o efeito e o modo da falha

(FMEA), é possível a manutenção preventiva dos itens que estão sendo analisados. Na Figura

6, são apresentados à densidade de probabilidade, a confiança e a taxa de falhas

considerando-se uma distribuição Weibull biparamétrica (β=4 e η=30). Analisando-se essa a

densidade de probabilidade, percebe-se que grande parte da densidade de falhas concentra-se

ao redor de um determinado tempo de vida. Nesse caso, T=30, e é justamente esse

comportamento que caracteriza as falhas predominantes. De maneira geral, ele está ligado ao

desgaste natural de um determinado componente. Nesse sentido, a manutenção preditiva tem

como preceito básico o reparo na eminência da falha. Assim, as curvas de fiabilidade e da taxa

de falha trazem informações importantes que devem subsidiar a tomada de decisão sobre “o

momento de se reparar”.

Figura 6 - Distribuição da probabilidade de falhas, fiabilidade e taxa de falhas baseadas na

distribuição Weibull biparamétrica ( β= 4 e η=30).

4.4 Parâmetro de Escala (η)

O parâmetro de escala (η) está associado à vida característica de um determinado

componente. Ele descreve e representa uma distância, tempo ou ciclos transcorridos desde o

início da atividade até o momento da falha. Nesse sentido, caso não apresente defeitos, falhas

prematuras, as falhas predominantes de um determinado componente, que, como abordado

anteriormente, estão associadas ao desgaste do mesmo, tendem a ocorrer nas proximidades

de sua vida característica; ou seja, nos casos em que ocorrem falhas predominantes, as

mesmas tendem a concentra-se nas proximidades do parâmetro de escala.

De maneira geral, podemos afirmar que:

Se η é aumentado, enquanto β é mantido constante, a distribuição, ou seja, a "curva" começa a

se estender, esticar para direita e sua altura diminui, ao manter sua forma e posição.

Se η é diminuído, enquanto β é mantido constante, a distribuição começa a se estreitar para

dentro, para esquerda (isto é para sua origem ou para 0 ou γ), e aumenta a sua altura.

Os comportamentos descritos acima, podem ser visualizados na Figura 7, onde são

apresentados a densidade de probabilidade, a confiança e a taxa de falhas considerando-se

uma distribuição Weibull biparamétrica mantendo-se fixo o parâmetro de forma (β=4) e o

parâmetro de escala η assumiu os valores 10, 20 e 30.

Figura 7 - Distribuição da probabilidade de falhas, fiabilidade e taxa de falhas baseadas na

distribuição Weibull biparamétrica (β= 4 e η = 10, 20 e 30).

4.5 Métodos gráficos – Papel de Weibull

De modo a calcular a fiabilidade de um item podemos recorrer ao papel de Weibull.

Existem 4 folhas com 4 escalas do tempo diferentes, todas elas utilizam escalas logarítmicas.

A figura 8 apresenta uma dessas folhas.

Figure 8 - Papel de Weibull

É um método aproximado mas poderá dar informações útil sobre o período em que o referido

equipamento se encontra, através do valor determinado para o parâmetro β.

Na posse dos valores correspondestes aos parâmetros da distribuição, pode-se então calcular

a fiabilidade para um qualquer tempo “t”.

Existem também outras ferramentas de cálculo para a distribuição de Weibull, como o caso de

seguida, o Microsoft Office Excel.

Figure 9 – Exemplo de uma folha de cálculo para a distribuição de Weibull

Existe também o software Weibull++, que é o padrão para análise de dados de vida utilizado

por milhares de companhias no mundo inteiro. Desenvolvido por uma equipe de especialistas

da ReliaSoft, esse software realiza a análise de dados de vida utilizando mais de 13

distribuições estatísticas, com ênfase para todas as formas da distribuição Weibull.

Figure 10 – Exemplo de uma folha de cálculo do software Weibull ++

5. Conclusões

Com o passar dos anos, as empresas estão cada vez mais utilizando as abordagens realizadas

pela engenharia da fiabilidade para melhorarem os seus desempenhos no ambiente industrial,

na performance de seus produtos, na optimização de seus recursos, na redução dos custos por

paragens inesperadas, na garantia da disponibilidade de um recurso. Para melhorarem, assim,

a qualidade frente aos concorrentes.

A engenharia da fiabilidade, a partir dos registros dos tempos de vida e de outros resultados,

esta intimamente baseada no ajuste de diferentes modelos estatísticos, resultando, por sua

vez, em informações que servem como auxílios para tomada de decisão. Nesse sentido, a

compreensão e a utilização dos conceitos descritos neste trabalho mostram-se indispensáveis

e são condição básica de conhecimento a todos os profissionais que desejem actuar na gestão

da engenharia da fiabilidade, na manutenção e nas áreas relacionadas.

Referências

- Manuel Cabral Morais, Fiabilidade e Controlo de Qualidade - Notas de apoio Fiabilidade,

Caps. 1-6, Secção de Estatística e Aplicações - IST

- Maria Prudência G. Martins, Armando L. F. Leitão, Predição de Falhas no Apoio à Decisão na

Gestão da Manutenção, Departamento de Gestão Industrial – ESTiG, IPB

- Handbook of Reliability Engineering, Hoang Pham, Editor

- Reliability Engineering Handbook, vol. 1, Dimitri Kececioglu

- ISEL - DEM - Gestão da Manutenção (Apontamentos), ROCHA J. (AEISEL)

- ISEL - DEM - Apresentações das Aulas, GESTÃO DA MANUTENÇÃO 2009/2010, José

Sobral

- ReliaSoft Corporation, http://www.reliasoft.com/pubs/paper_weibull.pdf, Acedido em 25 de

Abril 2011

- Rui Assis Homepage, http://www.rassis.com/manutencao.html, Acedido em 23 de Abril 2011

- Quality Digest, http://www.qualitydigest.com/jan99/html/body_weibull.html, Acedido em 23 de

Abril 2011