modulo 2 - 8ªaula - fiabilidade

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Estatística

Noção FiabilidadeNoção Fiabilidade

FIABILIDADEFIABILIDADE

� Aquele em que podemos confiar;

Esta caraterística desejável para um sistema pode serdefinido, como :

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� Está livre de erros catastróficos ;

� Os resultados são previsíveis

� è um sistema robusto


� Determinismo de eventos;

Para sistemas em tempo real, a fiabilidade pode ser :


� Determinismo temporal;

� Carga temporal “razoável”;

� Carga de memória “razoável”


Define-se fiabilidade como sendo a probabilidade de umsistema (ou componente) desempenhar a função para aqual foi concebido, nas condições previstas e nosintervalos de tempo em que tal é exigido.


A fiabilidade de um componente pode ser obtida a partir da sua taxa de avarias.


Como o estudo da fiabilidade é extremamenteimportante, pois por vezes envolve vidas humanas, énecessário um estudo de probabilidade relativo aofuncionamento adequado de um sistema oucomponente.


componente.


f(t) – função densidade de probabilidades de avarias

F(t) – função de probabilidade acumulada de avarias

R(t) – função de fiabilidade


A fiabilidade é a função complementar de F(t)

R(t) + F(t) = 1

f(t)

0 t



F(t)

0 t

R(t)

0 t

Fiabilidade e Qualidade

A qualidade de conformidade corresponde àsatisfação de especificações após fabrico (t=0) efiabilidade à capacidade para mantê-la durante avida:

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vida:

- Não há boa fiabilidade sem qualidade inicial;

- A fiabilidade é uma extensão da qualidade no tempo.

Padrões de distribuiçãoEstatística das falhas


1. Distribuição normalA distribuição das falhas é centrada emtorno do valormédio.

2. Distribuição exponencial


A taxa de falhas é constante e as falhas surgemsegundo omodelo de Poisson.

R(t) = e ^ (- λt)

3. Modelo de WeibullA taxa de falhas assume valores variáveis ao longo da vidado elemento.

Função normalFunção normal

A sua função densidade:

A função fiabilidade:

( ) ( ) ∞<<∞−

−−= tt

2

1exp

2

1tf

2

2

σµ

πσ


A função fiabilidade:

( ) ( )∫∞

−−=t

2

2

dtt

t

2

1exp

2

1tR

µπσ

Função normal


Resolução do IntegralComeçamos por fazer a seguinte transformação

A função densidade de z fica:σ

µ−= Tz

Função normal


E a função distribuição acumulada fica:

( ) 2

Z2

e2

1z

−=

πφ

( ) ( )∫∞−

=z

'dz'zz φΦ

A partir daqui, temos uma tabela estatística que nos dá ovalor da função distribuição acumulada, só temos desaber normalizar a nossa v. a.

( ) { }

−=

−≤=

−≤−=≤=

σµΦ

σµ

σµ

σµ

γγγtt

zPtT

PtTPtF

Função normal


A fiabilidade fica:

( ) { }

=

≤=

≤=≤=

σΦ

σσσ γγγ zPPtTPtF

( )

−−=σ

µΦ t1tR

Exercício:Um equipamento industrial, tem as suas avarias, com umcomportamento aproximado á distribuição normal, com um desviopadrão de 14 horas e uma média de 120h. Sabendo que oequipamento trabalha 12 horas por dia. Quantos dias trabalharápara uma fiabilidade de 95%.Solução:

{ } 95.0=≥ donormalizantTP

Função normal


Usando a tabela da normal:

{ }95,0

14

1201

14

120

95.0

95,095,0

95,0

=

−Φ−=

−

≥

=≥

TttP

donormalizantTP

r

r

dias8~h97,96T645,114

120T95,0

95,0 −=⇔−=

−

Função Exponencial

Taxa de falha constante:com t ≥ 0 e λ > 0

A fiabilidade será:

λλ(t) =

tt

edtttR λλ −∫ =−=0

))(exp()(


0

E a função distribuição acumulada:

A Função densidade:

tetF λ−−=1)(

tedt

)t(dR)t(f λλ −=−=


Função exponencial

60

80

100

f(T)


0

20

40

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29

Tempo

f(T)


A Função exponencial é uma das distribuições da fiabilidade maisimportantes: é simples e pode ser aplicada em muitos casos.

É dominante no período de vida útil ou de uso do equipamento.

É uma das funções mais simples para análise estatística. CFR(Constant Failure Rate). Quanto maior o MTBF, maior é a dispersão.

i. é, a probabilidade de chegar ao tempo 368.0ee)MTTF(R 1

1

=== −

−λ

λ


i. é, a probabilidade de chegar ao tempo

de MTBF e de quase 1/3 ou ≤ 50%

A fiabilidade de 50% terá um tmed:

368.0ee)MTTF(R 1 === −λ

MTTF693.069315.0

5.0ln1

tmed ==−=λλ


Exercício :Calcule os vários parâmetros da fiabilidade dotransmissor de ondas que exibe a seguinte taxa deavarias: λ(t)=0.0003 avaria/hora

Calcule a Fiabilidade para um tempo de funcionamentocorrespondente a 30 dias em trabalho contínuo.


correspondente a 30 dias em trabalho contínuo.

Calcule o tempo de vida para uma Fiabilidade de 95%.

Função de Weibull

A sua taxa de avaria é caracterizada por: λ(t) = at b,em que a e b podem tomar os valores:

para λ(t) crescente: a>0 e b>0;para λ(t) decrescente: a>0 e b<0.

Por conveniência matemática escreve-se da seguinte forma:


forma:

com θ>0, β>0 e t≥0

1t

)t(−

=β

θθβλ

β – Parâmetro ou fator de formaθ- Parâmetro ou fator de escala

Função de Weibull

A fiabilidade será:

E a função densidade:

ββ

θθθβ

−

−

=∫

=

−tdt

t

ee)t(R

t

0

1


E a função densidade:

β

θβ

θθβ

−−

=t1

et

)t(f

Função de Weibull

Variação do fator de forma


Função de Weibull

Variação do fator de escala


FIABILIDADE

Equipamentos em série

R1 R2


λt = λ1 + λ2 + λn

R(t) = R1(t) x R2(t) ... x Rn(t)

FIABILIDADE

Equipamentos em paralelo (redundante)

R1

R2


F(t) = F1(t) x F2(t) ... x Fn(t)

1- R(t) = (1- R1(t)) x (1- R2(t)) ... x (1-Rn(t))

FIABILIDADE

Exercício 1:Calcule a fiabilidade do seguinte sistema:

0,416


0,416

Solução: R3(t) = 0.66

FIABILIDADE

Exercício 2:Calcule a fiabilidade do seguinte sistema:

0,95

0,90


0,80

0,80

0,85

0,85

0,85

0,95

0,85

Solução: R3(t) = 0.98

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FIM

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