FACULDADE DE CIÊNCIAS E TECNOLOGIA DA UNIVERSIDADE DE COIMBRA

Relatório de Manutenção

Departamento de Engenharia Mecânica

Filipe Miguel Correia Amaral

Rafael José Gaspar Figueiras

Novembro de 2009

2

Índice A – Introdução ........................................................................................................................ 3

A.1 – Fiabilidade .................................................................................................................. 3

A.2 – Manutenibilidade ...................................................................................................... 3

A.3 – Disponibilidade ......................................................................................................... 4

B – Distribuições utilizadas em Manutenção ....................................................................... 4

D – Aplicação e demonstração de resultados ........................................................................ 5

D.1 – Estimativa a partir da amostra ................................................................................. 6

D.2 – Exponencial negativa ............................................................................................... 8

D.3 – Distribuição Normal ................................................................................................. 9

D.4 – Distribuição LogNormal .......................................................................................... 11

D.5 – Método de Weibull .................................................................................................. 12

E – Comparação dos métodos/Conclusão ............................................................................15

3

A – Introdução

O conjunto de acções que permitem manter ou restabelecer um bem num estado

especificado que lhe permita assegurar um serviço determinado com um custo global

mínimo e/ou segurança máxima é definido como Manutenção. A Manutenção engloba

alguns termos bastante importantes, como fiabilidade, manutenibilidade e

disponibilidade, pelo que se torna imperativo discutir o seu significado.

A.1 – Fiabilidade

A fiabilidade é a probabilidade que um dispositivo tem de cumprir uma função

requerida em condições de utilização e por um período de tempo determinado. Uma

forma de quantificar a fiabilidade é através do tempo entre avarias consecutivas (TBF),

ou do seu valor médio (MTBF).

Esta traduz a frequência com que o sistema irá falhar, sendo dependente de três

factores essenciais; o da concepção e qualidade de fabricação do sistema (características

intrínsecas); o das condições de serviço, que podem ser divididas em condições de carga

e ambientais em que decorrerá a sua operação (características extrínsecas) e o da

eficiência do serviço de manutenção para garantir a função ao longo da vida.

Existem dois tipos de fiabilidade, a operacional e previsional. A fiabilidade

previsional ou intrínseca é a que é preconizada pelo fabricante “à saída da fábrica”, antes

portanto da entrada em serviço do equipamento. Ela resulta directamente da qualidade

do projecto e é determinada experimentalmente através de ensaios normalizados. Pode

também ser estimada teoricamente (bases de dados (OREDA, PDS, EIREDA, etc.),

cálculo da duração de vida). A fiabilidade operacional ou extrínseca é sempre obtida após

uma dada duração de serviço de um equipamento ou de componente. É obtida pelos

utilizadores após uma sequência de falhas potenciais.

Para avaliar a fiabilidade de um equipamento existem limitações, tais como,

constrangimentos de tempo e dinheiro. Assim, são normalmente seleccionados um certo

número de ensaios destinados a conhecer R(t) ou Ln. Estes ensaios são caracterizados

pela duração do ensaio, tamanho da amostra e nível de confiança ou risco, dos quais

dependem os seus custos.

A.2 – Manutenibilidade

A manutenibilidade é a probabilidade de restabelecer a um sistema as suas condições

de funcionamento específicas, em limites de tempo desejadas, quando a manutenção é

realizada nas condições e com os meios prescritos. É portanto um conceito ligado à

facilidade de executar a manutenção, tempos de operação de manutenção, qualidade de

concepção e custos de manutenção. Uma forma de quantificar a manutenibilidade é

através do tempo técnico de reparação (TTR), ou do seu valor médio (MTTR).

Representa assim tudo o que poderá influenciar a aptidão de um sistema para

receber manutenção, tais como a facilidade de acesso a órgãos e seus componentes,

4

condições de segurança, precisão e economia. A manutenibilidade é um parâmetro de

projecto do sistema.

A melhor forma de garanti-la é através da consulta do serviço de manutenção

aquando da selecção de equipamentos novos, em que os critérios devem ter em conta

aspectos dependentes de concepção, exploração do equipamento, informação técnica e

serviço após venda (SAV) do fornecedor.

A manutenção, por seu lado, constitui um conjunto de acções empreendidas com

o objectivo de repor o sistema em falha nas condições operacionais de novo. Esta é o

resultado do projecto do sistema.

A.3 – Disponibilidade

A disponibilidade de um equipamento é a probabilidade deste desempenhar a sua

função durante um tempo requerido. A disponibilidade será pois função da fiabilidade e

da manutenibilidade. A disponibilidade média pode ser calculada através da seguinte

expressão:

De notar que no nosso relatório não vamos estudar os últimos dois conceitos,

pois não dispomos de dados suficientes.

B – Distribuições utilizadas em Manutenção

As distribuições mais utilizadas em Manutenção são as seguintes:

Distribuição exponencial negativa, que tem como parâmetro λ (taxa de

falhas)

Distribuição normal e log-normal, com média e desvio-padrão como

parâmetros.

Distribuição de Weibull, que tem como parâmetros β, η, γ.

A lei exponencial negativa é muito utilizada pelo facto de ser bastante simples,

mas só é aplicável em casos onde se considera uma taxa de falhas constante. No caso de

componentes mecânicos a lei apenas se pode aplicar razoavelmente no período de

maturidade da máquina, pois nos períodos de juventude e degradação a taxa de falhas

não é constante. A lei é calculada através da seguinte expressão: tetR .)(

A lei de Weibull é aplicável quando a taxa de falhas é variável. Este modelo é

muito versátil pelo facto da sua lei englobar três parâmetros, permitindo assim

ajustamento correcto de todos os tipos de resultados experimentais. Tais parâmetros são:

η: Factor de escala (η > 0)

β: Factor de forma (β > 0)

γ: Factor de posição (-∞ < γ < +∞)

5

Contrariamente ao modelo exponencial a lei de Weibull cobre todos os casos

onde a taxa de falhas é variável, ajustando-se assim aos períodos de juventude e

degradação das máquinas, dai o facto de ser um modelo probabilístico bastante

utilizado.

Após a entrada em funcionamento de um equipamento ele apresentará uma

probabilidade de avaria não nula. Assim, o número de falhas acumuladas em serviço

aumentará com o aumento da vida. Todavia, a variação do número de avarias ao longo

do tempo não é uniforme. A generalidade dos componentes mecânicos tende a

apresentar uma evolução de avarias em três fases:

Período de infância (mortalidade infantil, falhas precoces) – os

componentes apresentam uma percentagem de falhas elevada, que tende

a reduzir-se. Causas: erros de projecto, de fabricação, rodagem, má

utilização.

Período de vida útil (falhas aleatórias) – durante a maior parte da vida a

taxa de falhas é aproximadamente constante. Período de rendimento

óptimo do equipamento. Causas: concepção, falhas de manutenção,

utilização em condições adversas, etc.

Período de envelhecimento – a taxa de falhas aumenta. Causas:

desgaste, fadiga, corrosão, etc.

D – Aplicação e demonstração de resultados

O exposto na primeira parte é a base para o desenvolvimento do estudo do qual

este relatório se debruça. Assim será feita uma abordagem pelas diversas leis a um

conjunto de valores de TBF fornecidos relativos a um componente mecânico e serão

relacionados os métodos de análise entre si. O conjunto de valores de TBF fornecidos é

exprimido em horas e são:

TBF [horas]

5945

6496

7450

8302

8605

6

9211

9802

10117

10501

11296

11545

12564

12991

14159

15133

17277

Tabela 1 - Valores de TBF em horas.

Estes valores caracterizam o tempo que passou entre duas avarias consecutivas,

não significa que estejam pela ordem que na realidade ocorreram esses intervalos de

tempo, significa apenas que entre duas avarias consecutivas que ocorreram passou um

tempo TBF de horas. Para que o estudo do componente referido fosse feito de forma

completa teria que se estudar valores de TTR, que são valores de tempo durante o qual se

procede à manutenção/reparação do componente/sistema, sendo por isso tempo em que

a máquina não trabalha ao passo que TBF são valores de trabalho (tempo de bom

funcionamento).

D.1 – Estimativa a partir da amostra

Tendo-se valores de TBF pode-se logo fazer uma análise desses valores partindo

apenas desses valores. Esse processo é feito organizando os valores de TBF por ordem

crescente e associando um índice de falha (i) a cada TBF começando no mais baixo.

Seguidamente terá de se analisar a dimensão da amostra, pois o método de análise varia

se esta tiver mais que 50 valores, entre 20 e 50 valores e menos de 20 valores. Por este

método estará a calcular-se a frequência acumulada de falha o que originará a função de

repartição F(t) que é feita assim:

Já que a dimensão da amostra é menor que 20, utilizar-se-á a ultima aproximação

a fim de aproximar F(t) e com os valores de F(t) obter a fiabilidade R(t) já que são valores

inversos; posteriormente a isso faz-se uma interpolação entre os valores de fiabilidade

que se quer entender (para este caso 85%) e estima-se o tempo de bom funcionamento

com 85% de probabilidade de não ocorrer falha. As tabelas e o gráfico que caracteriza o

nosso caso são:

7

Dados fornecidos TBF (recolhidos) número da falha (i) 1 F R F [%] R [%]

5945 1 0,042682927 0,957317073 1 4,27% 95,73%

6496 2 0,103658537 0,896341463 10,37% 89,63%

7450 3 0,164634146 0,835365854 16,46% 83,54%

8302 4 0,225609756 0,774390244 22,56% 77,44%

8605 5 0,286585366 0,713414634 28,66% 71,34%

9211 6 0,347560976 0,652439024 34,76% 65,24%

9802 7 0,408536585 0,591463415 40,85% 59,15%

10117 8 0,469512195 0,530487805 46,95% 53,05%

10501 9 0,530487805 0,469512195 53,05% 46,95%

11296 10 0,591463415 0,408536585 59,15% 40,85%

11545 11 0,652439024 0,347560976 65,24% 34,76%

12564 12 0,713414634 0,286585366 71,34% 28,66%

12991 13 0,774390244 0,225609756 77,44% 22,56%

14159 14 0,835365854 0,164634146 83,54% 16,46%

15133 15 0,896341463 0,103658537 89,63% 10,37%

17277 16 0,957317073 0,042682927 95,73% 4,27%

Tabela 2 - Tabela com valores de análise de falha e fiabilidade. Os valores de fiabilidade a vermelho são aqueles entre os quais se vai fazer a referida interpolação.

Gráfico 1- Gráfico com os valores da tabela 2 e com a equação de linha de tendência que servirá para interpolar o valor de tempo para R=85%.

Interpolando vem:

y = -6E-05x + 1.3115 R² = 1

0.00%

10.00%

20.00%

30.00%

40.00%

50.00%

60.00%

70.00%

80.00%

90.00%

100.00%

0 5000 10000 15000 20000

F(t

) &

R(t

)

t [horas]

R(t)

F(t)

R(t); [89,63% ; 83,54%]

Linear (R(t); [89,63% ; 83,54%])

8

Significa então que o componente referido pode trabalhar 7691,67 horas sem

ocorrerem falhas com uma certeza de 85%, ou por outras palavras, com 85% de

fiabilidade.

D.2 – Exponencial negativa

Esta análise tem como base a admissão de que a taxa de falhas, λ, é constante

donde se obtém, pela expressão global da fiabilidade:

λ

Que com λ vem:

λ

Definindo λ, consegue saber-se R(t) para um tempo desejado ou o contrário

(saber-se t para um R(t) desejado). A definição de λ é feita fazendo a regressão linear de

um conjunto de pontos definidos à custa da análise anterior e que são pontos do tipo

(TBF, LN(1/R)), o declive da recta que melhor ajuste esses pontos será a taxa de falhas.

No caso chegou-se aos seguintes valores:

Dados fornecidos TBF (recolhidos) número da falha (i) F R LN(1/R)

5945 1 0,0426829268 0,9573170732 0,0436206225

6496 2 0,1036585366 0,8963414634 0,1094338410

7450 3 0,1646341463 0,8353658537 0,1798855020

8302 4 0,2256097561 0,7743902439 0,2556793414

8605 5 0,2865853659 0,7134146341 0,3376924930

9211 6 0,3475609756 0,6524390244 0,4270375934

9802 7 0,4085365854 0,5914634146 0,5251554493

10117 8 0,4695121951 0,5304878049 0,6339583092

10501 9 0,5304878049 0,4695121951 0,7560610060

11296 10 0,5914634146 0,4085365854 0,8951738084

11545 11 0,6524390244 0,3475609756 1,0568151600

12564 12 0,7134146341 0,2865853659 1,2497188261

12991 13 0,7743902439 0,2256097561 1,4889485152

14159 14 0,8353658537 0,1646341463 1,8040295618

15133 15 0,8963414634 0,1036585366 2,2666530838

17277 16 0,9573170732 0,0426829268 3,1539562788

Tabela 3 - Tabela com valores relativos à distribuição exponencial negativa.

9

Gráfico 2 - Gráfico ilustrativo da distribuição exponencial negativa e comparado com os dados da amostra.

De onde se concluiu que:

De onde:

Pode também evoluir-se para outro método que tem em conta que

e que

o que não é mais que a manipulação matemática do processo

apresentado. Se se definir uma base de tempo (com incrementos iguais ao menor valor

das diferenças consecutivas de TBF1) e produzir para cada um desses tempos o valor de

fiabilidade pode obter-se o gráfico da evolução de R(t) obtido pela exponencial negativa.

(estes gráficos serão fornecidos no final a fim de se puderem comparar evoluções).

D.3 – Distribuição Normal

A distribuição normal é um método que leva em conta dois parâmetros, a média

dos valores e o desvio padrão dos valores, que para o caso vem:

1 - Poderia simplesmente assumir-se como incremento um valor de tempo qualquer (p.e. 100 horas) contudo aqui foi admitido o valor de MIN(TBF(i+1)-TBF(i)), para se ter uma base de tempo relacionada com os dados fornecidos e não introduzir um incremento qualquer que poderia ser muito grande (o que suprimiria valores importantes) ou muito pequeno (o que forneceria valores com a mesma importância, logo valores exagerados)

y = 0.0003x - 1.9124 R² = 0.9425

-0.5

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

3.5

5000 10000 15000 20000

LN

(1/R

)

TBF [horas]

pontos (tempo;LN(1/R))

pontos (tempo;LN(1/R))

Linear (pontos (tempo;LN(1/R)))

10

Dados fornecidos TBF (recolhidos)

5945

6496

7450

8302

8605

9211

9802

10117

10501

11296

11545

12564

12991

14159

15133

17277

Média = 10712,125

Desv.Padrão = 3152,266378

Tabela 4 - Tabela com valores relativos à distribuição normal (média e desvio padrão)

Com estes valores pode construir-se a curva normal de Gauss e partindo de

tabelas que caracterizem o valor de probabilidade requerido (R(t)=85%) obter um valor

de tempo. Esse valor de probabilidade requerido corresponde a uma determinada área

abaixo da curva de Gauss. Tal pode ser feito utilizando o Excel e a função inv.norm que

pede a probabilidade, a média e o desvio padrão. Terá que se ter em conta que ao usar a

função inv.norm terá que se fornecer ao Excel a probabilidade de falha já que os valores

tabelados que o programa usa assim o exigem. Se se tiver um acontecimento que evolua

de forma normal e se se pretender a probabilidade de esse acontecimento acontecer com

85% de certeza terá que se fornecer ao Excel um valor de probabilidade de 15%. Assim

para este caso vem:

Significa então que de acordo com este método o componente pode trabalhar

7445,01 horas com 15% de probabilidade de falha.

Do mesmo modo que no método anterior, usando uma base temporal pode

obter-se o gráfico que caracteriza a evolução normal, de novo, do mesmo modo apenas

11

serão fornecidos esses gráficos no final para se poder fazer uma comparação entre

métodos.

D.4 – Distribuição LogNormal

Este método é em tudo igual ao anterior, apenas difere no sentido em que usa os valores de TBF fornecidos logaritmizados e reproduz o calculo com base neles calculando a média e o desvio padrão dos TBF logaritmizados, quando esses dois parâmetros estão definidos e calculados os F(t) e os R(t) pode “deslogaritmizar” a base temporal a fim de poder expressar os valores de fiabilidade e probabilidade de falha (calculados pela distribuição lognormal) numa base de tempo “vulgar”. Essa “deslogaritmização” é importante pois permite que se possa comparar métodos de análise para além de se poder ter uma percepção de tempo rápida sem se ter que recorrer a cálculos para transformar um valor logaritmizado de tempo em tempo em horas. Para o caso em estudo vem:

Dados fornecidos TBF (recolhidos)

log(TBF)

5945

3,774151859

6496

3,812646016

7450

3,872156273

8302

3,919182729

8605

3,934750875

9211

3,964306782

9802

3,991314698

10117

4,00505175

10501

4,021230658

11296

4,052924684

11545

4,062393937

12564

4,099127928

12991

4,113642583

14159

4,151032582

15133

4,179925032

17277

4,237468333

Média = 4,01195667

Desv. Padrão = 0,130074384

Tabela 5 - Tabela com valores relativos à distribuição normal (log(TBF), média e desvio padrão)

Utilizando a função inv.norm para a média e o desvio padrão apresentados, para

uma fiabilidade de 15% vem:

12

Conclui-se assim que por este método o tempo de funcionamento com fiabilidade

de 85% é de 7536,04 horas, o que é próximo do valor obtido na distribuição normal.

Construindo uma base temporal logaritmizada (o que foi feito logaritmizando a base de

tempo já referida em cima) pode calcular-se o F(t) e o R(t) por este método,

posteriormente pode apresentar-se R(t) e F(t) em base de tempo normal e sob a forma de

gráfico para se poder fazer comparações. (mais uma vez isso será apresentado no final)

D.5 – Método de Weibull

O método de Weibull usa três parâmetros para caracterizar uma distribuição; γ, β

e η; β e η são valores retirados do papel de Allan Plait. Nesse gráfico entra-se com os

pontos (tempo, F(t)) e se ajustam por uma recta (D1) que fornecerá o valor de η ao

intersectar a probabilidade F(t)=63,2%; para saber β, traça-se uma recta paralela a D1 que

passe pelo ponto de referência do gráfico que é o eixo das coordenadas (X,Y), recta D2.

No ponto em que a recta D2 intersecta o eixo dos β, teremos o valor de β. Para saber γ, o

que foi feito foi é simular a recta que será introduzida no papel de Allan Plait para

diferentes valores de gama (processo tentativa e erro). Para não se trabalhar com valores

de tempo muito elevados logaritmizou-se tanto a probabilidade de falha como o tempo

(em que este tempo será afectado do parâmetro gama). Por outras palavras, pela

demonstração da recta de Weibull, X é função do tempo e de , podem então produzir-

se tantos pontos (X,Y) quantos os TBF dados para uma gama de ’s; regredir esses pontos

a uma recta e escolher o , que será o que conduz a uma regressão com melhor factor de

correlação. Em suma o que foi feito foi:

1-Determinar TBF’=TBF- para uma gama de , no caso essa gama foi,

, com incrementos de 100 unidades (obtiveram-se 16*11 pontos TBF’).

2- Logaritmizar os TBF’.

3-Calcular usando os F(t) que provêm desde a estimativa pela amostra.

4- Produzir os gráficos de pontos (TBF’, ) e adicionar-lhes uma linha de

tendência e averiguar o factor de correlação ( .

5 – Produzir um gráfico com pontos ( e estimar qual o melhor , que será

aquele que mais aproximar da unidade.

Como se poderá perceber transcrever 11 gráficos para este relatório não traria

grandes benefícios, pelo que apenas se mostrará o gráfico do melhor e o gráfico

( , que são:

13

Gráfico 3 - Gráfico com o melhor gama (que conduziu a um melhor factor de correlação)

Gráfico 4 - Gráfico com a evolução do factor de correlação em função do parâmetro gama.

Poderia derivar-se a linha de tendência deste gráfico e ao achar a raiz dessa

função estaria a encontrar-se o máximo valor de , contudo como é visto a diferença de

factores de correlação entre 5300 e 5700 é da ordem de0,002 pelo que se assume com

bastante rigor .

A recta y = 1,0027x - 2,0281 irá agora ser usada para definir dois pontos para

entrar no papel de Allan Plait tendo em conta pontos de referência desse gráfico, que são

F=63,2% e outro ponto qualquer de tempo que seja fácil de localizar, usou-se t=2500

[horas] obtendo-se os pontos P1 e P2:

y = 1.0027x - 2.0281 R² = 0.9891

0

0.5

1

1.5

2

2.5

0 1 2 3 4 5

gama=5500

gama=5500

Linear (gama=5500)

y = -6E-14x4 + 1E-09x3 - 9E-06x2 + 0.0317x - 38.868 R² = 0.9993

0.972

0.974

0.976

0.978

0.98

0.982

0.984

0.986

0.988

0.99

4500 5000 5500 6000

variação do gama

variação do gama

Polinomial (variação do gama)

14

TBF F

6584,262078 63,2

2500 23,93395371

Tabela 6 - Pontos P1 e P2 de entrada no papel de Allan Plait.

Tem-se então P1(63,2;6584,262078) e P2(23,9339;2500) donde se obterá a recta D1

e posteriormente D2 como se mostra:

Gráfico 5 - Papel de Allan Plait com os pontos P1 e P2 e as rectas D1 e D2.

Obtém-se então os restantes parâmetros de Weibull:

γ η β

5500 6584,26208 0,7

Tabela 7 - Tabela com os valores finais do método de Weibull.

Usando agora a equação geral da fiabilidade para o método de Weibull vem:

15

γη

β

Que resolvendo para t com, R(t) = 85% = 0,85 dará o tempo que o componente

pode trabalhar com uma fiabilidade de 85% pelo método de Weibull; virá então:

η

β

γ

Conclui-se então que pelo método de Weibull o componente pode trabalhar

5991,165 horas com uma fiabilidade de 85 %.

E – Comparação dos métodos/Conclusão

Como foi dito na descrição de cada método, será agora apresentado um gráfico

que reúne na mesma base de tempo a evolução dos métodos no que respeita á

fiabilidade, poderá então saber-se qual o método que melhor aproxima a evolução da

amostra sobrepondo às curvas, os pontos resultantes da estimativa partindo da amostra.

Assim tem-se:

Gráfico 6 - Gráfico com os resultados das distribuições e com os valores da amostra.

Da visualização do gráfico é notório que os métodos que melhor aproximam a

evolução da amostra são os métodos normais (distribuição normal e distribuição

lognormal) ficando como piores resultados os restantes (método exponencial negativo e

distribuição de Weibull). Pode-mos ainda comparar os valores que resultaram dos

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

4000 9000 14000 19000

R(t

)

Tempo [horas]

Dados

R (exp.neg.)

R (dist.norm.)

R (dist.log.normal)

R (Weibull)

16

métodos para o tempo de funcionamento com Fiabilidade de 85% o que resulta na

seguinte tabela:

MTBF (R=85%)

Normal 7691,666667 [horas de bom funcionamento]

Exp.Negativa 14808,83752 [horas de bom funcionamento]

Dist.Normal 7445,010873 [horas de bom funcionamento]

Dist.log.Normal 7536,040694 [horas de bom funcionamento]

Weibull 5991,164582 [horas de bom funcionamento]

Tabela 8 - Tabela com os resultados obtidos pelas distribuições usadas e pela amostra.

Conclui-se que os métodos que melhor aproximam a evolução/frequência de

falhas/avarias ao longo do tempo são as distribuições normais e log.normal (notar que

são as que mais próximas estão da interpolação a partir da amostra aqui denominada

como "Normal") seguidas da distribuição de Weibull e por fim com uma aproximação

francamente má a distribuição exponencial negativa.

Assim sendo, do estudo produzido para a amostra de horas de bom

funcionamento disponíveis conclui-se que o componente pode estar a serviço durante

7445,01 a 7536,04 horas com uma fiabilidade de 85%. Tal não significa que esse

componente não possa suportar mais horas (ou num caso indesejado suportar menos

horas) quer sim dizer que pela analise levada a cabo são estes os valores de horas de bom

funcionamento médias para uma fiabilidade de 85%.

F – Bibliografia

- Acetatos e apontamentos da aula fornecidos pelo professor Amílcar Ramalho