1. CURSO ONLINE REGULAR DE ESTATSTICA BSICA PROF. SRGIO CARVALHOAULA 05Ol, amigos!Tudo bem com vocs? E tudo bem com os estudos? Espero que sim!Demos incio aos trabalhos, comentando as questes pendentes do nosso... ... Dever de Casa10. (BANCO CENTRAL-94) Em certa empresa, o salrio mdio era de $90.000,00 e o desvio-padro era de $10.000,00. Todos os salrios receberam um aumento de 10%. O salrio mdio passou a ser de: a) $ 90.000,00 d) $ 99.000,00 b) $ 91.000,00 e) $ 100.000,00 c) $ 95.000,00Sol.: Eis aqui uma questo bastante simples, e que explora uma das propriedades da Mdia!Seno, vejamos: dito pelo enunciado que o salrio mdio era de $90.000,00.J sabemos que o salrio mdio corresponde mdia dos salrios!Aps, fala-se que todos os salrios leia-se: todos os elementos do conjunto receberam um aumento de 10%. Ora, nosso trabalho ser um s: traduzir esta informao!Teremos que traduzi-la, obviamente, para uma operao matemtica! Aumentar um valor em 10% significa uma operao de qu? Soma? Produto? Quem mediz? Ora, se voc na hora da prova ficar na dvida, basta fazer um teste: trabalhe com salriosoriginais de cem, duzentos e trezentos reais, e veja no que resulta um aumento de dez porcento: R$100,00, com aumento de 10% vai para: R$110,00 R$200,00, com aumento de 10% vai para: R$220,00 R$300,00, com aumento de 10% vai para: R$330,00 Ora, qual a mesma operao matemtica que far com que R$100 vire R$110; R$200vire R$220; e R$300 vire R$330? Resposta: multiplicar por 1,10.Assim, podemos convencionar: aumento de x% significa um produto por (1,x).Outras concluses: Se o aumento fosse de 20%: produto por 1,20. Se o aumento fosse de 30%: produto por 1,30. Se o aumento fosse de 5%: produto por 1,05.Por outro lado, se a informao adicional fosse: Reduo de 10%: produto por 0,90. (j que 1-0,10=0,90) Reduo de 20%: produto por 0,80. (j que 1-0,20=0,80) Reduo de 5%: produto por 0,95. (j que 1-0,05=0,95).E assim por diante! Entendido? Voltando nossa questo: se todos os elementos do conjunto sofreram um aumento de10%, ou seja, se todos eles foram multiplicados por 1,10, teremos que, de acordo com apropriedade, a nova Mdia do conjunto ser igual Mdia anterior tambm multiplicada pelamesma constante (1,10).Da: Nova Mdia = 90.000 x 1,10 = 99.000,00Resposta! www.pontodosconcursos.com.br3

2. CURSO ONLINE REGULAR DE ESTATSTICA BSICA PROF. SRGIO CARVALHO(TTN-94) Considere a distribuio de freqncias transcrita a seguir: Xi fi2 | 4 94 | 6126 | 8 68 | 10210| 12111. A mdia da distribuio igual a: a) 5,27b) 5,24 c) 5,21 d) 5,19e) 5,30Sol.: Estamos diante de uma Distribuio de Freqncias! Vamos, por primeiro, investigar se fato que todas as classes tm a mesma amplitude. fato? Sim!Logo, conclumos: podemos usar o Mtodo da Varivel Transformada para calcular aMdia do conjunto!No vamos perder essa oportunidade de treinar o mtodo! Vamos a ele:1) Descobrir o valor do primeiro Ponto Mdio:Xi fiPM 2 | 4 9 3 4 | 6 12. 6 | 8 6 . 8 | 102 . 10| 121 .2) Construir a coluna de transformao da varivel: Xi fiPM (PM 3) = Yi2 2 | 49 30 4 | 612.1 6 | 86 .2 8 | 10 2 .3 10| 12 1 .43) Construir a coluna do fi.Yi e fazer seu somatrio:XiFi PM (PM 3) = Yi fi.Yi22 | 49 3 0 04 | 6 12 . 1126 | 86 . 2128 | 10 2 . 3 610| 12 1 . 4 4n=30 344) Calcular a mdia da varivel transformada: Y34 Y== 1,133305) Fazer o desenho de transformao da varivel, e percorrer as operaes docaminho de volta, para chegarmos resposta! Teremos:www.pontodosconcursos.com.br 4 3. CURSO ONLINE REGULAR DE ESTATSTICA BSICA PROF. SRGIO CARVALHO1)-32)2 XiYi Y = 1,1332)+31)x2 1,133 x 2 = 2,266e2,266 + 3 = 5,266 5,27 Resposta!(AFTN-96) Para efeito das cinco prximas questes, considere os seguintes dados:DISTRIBUIO DE FREQNCIAS DAS IDADES DOS FUNCIONRIOS DA EMPRESA ALFA, EM 1/1/90 Classes de Freqncia PontosXi 37fi.di fi.di2 fi.di3 fi.di4 Idadess Mdios= di (anos)(fi) (Xi)5 19,5 | 24,52 22 -3-618-54 162 24,5 | 29,59 27 -2 -1836-72 144 29,5 | 34,5 23 32 -1 -2323-2323 34,5 | 39,5 29 37 39,5 | 44,5 18 4211818 1818 44,5 | 49,5 12 4722448 96 192 49,5 | 54,57 5232163189 567Total16206154110612. Marque a opo que representa a mdia das idades dos funcionrios em 1/1/90. a) 37,4 anosb) 37,8 anosc) 38,2 anosd) 38,6 anose)39,0anosSol.: Esta questo muito interessante! Uma questo para se aprender bastante! E deresoluo quase imediata, conforme veremos. Primeira coisa: as classes tm mesma amplitude? Sim! Logo, usaremos o mtodo davarivel transformada para encontrar a Mdia. Qual o primeiro passo deste mtodo? Encontrar os Pontos Mdios! A tabela fornecida naprova j fez isso para ns? Sim. Este passo j est cumprido! E depois, o que faramos ns? Construiramos uma coluna de transformao davarivel. A questo j fez isso para ns? Sim! A quarta coluna desta tabela uma coluna detransformao! O detalhe que ele, elaborador, na hora de construir essa coluna detransformao, no adotou aquela sugesto que ns demos na aula passada [(PM-1PM)/h]. Mas no tem problema! Se a questo j nos trouxe pronta uma transformao davarivel, ns simplesmente a aceitaremos! No importa se essa transformao no segue asugesto que aprendemos anteriormente. Essa sugesto voc poder (e dever) usar quandofor voc a construir a coluna de transformao! Entendido? Assim, a coluna de transformao j est pronta, e o Ponto Mdio transformado foichamado de di pela prova. Nosso prximo passo seria construir a coluna fi.Yi. No caso, como a prova chamou avarivel transformada de di, teramos que construir a coluna fi.di e encontrar o seu somatrio! Mas a tabela tambm j fez esse trabalho para ns! Que maravilha! J pegamos obonde andando, e a viagem j est quase toda completa! Vamos apenas complementar nossotrabalho com os passos restantes do mtodo! www.pontodosconcursos.com.br5 4. CURSO ONLINE REGULAR DE ESTATSTICA BSICA PROF. SRGIO CARVALHO Prximo passo: calcular a Mdia da Varivel Transformada ( d ). Considerando quen=100, valor esse obtido pela soma da coluna do fi, teremos:16 di = = 0,16100 Finalmente, faremos o desenho de transformao da varivel e, percorrendo o caminhode volta, descobriremos a resposta:1)-37 2)5 Xidid = 0,16 2)+37 1)x5 0,16 x 5 = 0,8e 0,8 + 37 = 37,8 Resposta! Observem que, acima da tabela, est escrito que essas idades correspondem data de1/janeiro/1990. Ok? Isso precisar ser lembrado na resoluo da prxima questo! Vamos aela.Para efeito da questo seguinte, sabe-se que o quadro de pessoal da empresacontinua o mesmo em 1/1/96.13. Marque a opo que representa a mdia das idades dos funcionrios em 1/1/96. a) 37,4 anosd) 43,8 anos b) 39,0 anose) 44,6 anos c) 43,4 anosSol.: Essa de graa! Ora, se a Mdia das idades no dia 1/janeiro/1990 foi de 37,8 anos(resposta da questo anterior), e se foi dito que as pessoas daquele conjunto anterior soexatamente as mesmas, s que seis anos mais velhas, iremos concluir que os elementos donosso novo conjunto (as novas idades) foram todos adicionados constante seis.Concordam?Assim, aplicando a propriedade da Mdia, teremos que: Nova Mdia = Mdia Anterior + constante Nova Mdia = 37,8 + 6 = 43,8Resposta!(AFRF-2000) Para efeito da prxima questo faa uso da tabela de freqnciasabaixo. Freqncias Acumuladas de Salrios Anuais, em Milhares de Reais, da Cia. AlfaClasses de Salrio Freqncias Acumuladas ( 3 ; 6]12( 6 ; 9] 30 ( 9; 12]50 (12 ; 15] 60 (15 ; 18] 65 (18 ; 21] 68 www.pontodosconcursos.com.br6 5. CURSO ONLINE REGULAR DE ESTATSTICA BSICA PROF. SRGIO CARVALHO14. Quer-se estimar o salrio mdio anual para os empregados da Cia. Alfa. Assinale a opo que representa a aproximao desta estatstica calculada com base na distribuio de freqncias. a) 9,93d) 10,00 b) 15,00 e) 12,50 c) 13,50Sol.: Aqui temos mais uma questo a ser trabalhada com o Mtodo da Varivel Transformada!Porm, antes, teremos que realizar o trabalho preliminar que aprendemos no incio desteCurso, com o intuito de descobrir os valores da coluna da fi (freqncia absoluta simples). Vemos, facilmente, que no h nenhum sinal indicativo de freqncia relativa nestatabela (nem no enunciado). Assim, a freqncia fornecida absoluta! E ser acumuladaporque o enunciado est dizendo isso expressamente. Ora, para saber se acumuladacrescente ou decrescente, basta verificarmos os valores da coluna, para enfim concluirmos queestamos diante da freqncia absoluta acumulada crescente (fac). O trabalho preliminar necessrio para construirmos a coluna da fi j nosso conhecido,de sorte que, sem mais demoras, teremos:Classes deSalrio fac fi( 3 ;6] 12 12( 6 ; 9]30 18 ( 9 ;12] 50 20 (12 ;15] 60 10 (15 ;18] 655 (18 ;21] 683E agora, sim, aplicaremos o mtodo da varivel transformada. Teremos:1) Descobrir o valor do primeiro Ponto Mdio: Classes de fac fiPMSalrio( 3 ; 6]12124,5( 6 ; 9]3018 . ( 9 ; 12]5020 . (12 ; 15]6010 . (15 ; 18]65 5 . (18 ; 21]68 3 .2) Construir a coluna de transformao da varivel:Classes de facfiPM (PM 4,5) = YiSalrio 3( 3 ;6]12 12 4,5 0( 6 ; 9] 30 18.1 ( 9; 12]50 20.2 (12; 15]60 10.3 (15; 18]655.4 (18; 21]683.5www.pontodosconcursos.com.br 7 6. CURSO ONLINE REGULAR DE ESTATSTICA BSICA PROF. SRGIO CARVALHO3) Construir a coluna do fi.Yi e fazer seu somatrio:Classes de facfi PM(PM 4,5) = Yifi.YiSalrio 3 ( 3 ;6] 12124,5 0 0 ( 6 ; 9]3018 .1 18( 9; 12] 5020 .2 40(12; 15] 6010 .3 30(15; 18] 65 5 .4 20(18; 21] 68 3 .5 15n=681234) Calcular a mdia da varivel transformada: Y 34Y== 1,81 305) Fazer o desenho de transformao da varivel, e percorrer as operaes docaminho de volta, para chegarmos resposta! Teremos: 1)-4,5 2)3Xi YiY = 1,81 2)+4,5 1)x31,81 x 3 = 5,43 e 5,43 + 4,5 = 9,93Resposta!(AFRF-2002) Para a soluo da prxima questo utilize o enunciado que segue.Em um ensaio para o estudo da distribuio de um atributo financeiro (X) foramexaminados 200 itens de natureza contbil do balano de uma empresa. Esseexerccio produziu a tabela de freqncias abaixo. A coluna Classes representaintervalos de valores de X em reais e a coluna P representa a freqnciarelativa acumulada. No existem observaes coincidentes com os extremos dasclasses.Classes P (%)70-905 90-110 15110-130 40130-150 70150-170 85170-190 95190-21010015. Assinale a opo que d o valor mdio amostral de X. a) 140,10d) 140,00 b) 115,50e) 138,00 c) 120,00Sol.: Nova questo para aplicarmos o Mtodo da Varivel Transformada! Aqui, novamente, onico diferencial que precisaremos novamente cumprir o ritual do trabalho preliminar! Jtrabalhamos, inclusive, com esta tabela. Teremos:www.pontodosconcursos.com.br8 7. CURSO ONLINE REGULAR DE ESTATSTICA BSICA PROF. SRGIO CARVALHOClassesFac Fifi 70-90 5%5% 1090-11015%10%20110-130 40%25%50130-150 70%30%60150-170 85%15%30170-190 95%10%20190-210 100%5%10100%n=200 (x2) E somente agora estamos aptos a iniciar a aplicao do mtodo da variveltransformada. Teremos: 1) Descobrir o valor do primeiro Ponto Mdio:Classes FacFi fi PM 70-905% 5%108090-110 15% 10% 20 .110-13040% 25% 50 .130-15070% 30% 60 .150-17085% 15% 30 .170-19095% 10% 20 .190-210100% 5% 10 .100% n=200 2) Construir a coluna de transformao da varivel: ClassesFacFifiPM(PM 80) = Yi2070-90 5%5% 10800 90-11015%10%20 .1 110-130 40%25%50 .2 130-150 70%30%60 .3 150-170 85%15%30 .4 170-190 95%10%20 .5 190-210 100%5%10 .6 n=200 3) Construir a coluna do fi.Yi e fazer seu somatrio: Classes Fac Fi fiPM (PM 80) = Yifi.Yi20 70-90 5% 5% 10 80 0090-11015% 10%20. 120110-130 40% 25%50. 2 100130-150 70% 30%60. 3 180150-170 85% 15%30. 4 120170-190 95% 10%20. 5 100190-210 100% 5%10. 660 n=200 580 www.pontodosconcursos.com.br9 8. CURSO ONLINE REGULAR DE ESTATSTICA BSICA PROF. SRGIO CARVALHO4) Calcular a mdia da varivel transformada: Y580 Y= = 2,92005) Fazer o desenho de transformao da varivel, e percorrer as operaes docaminho de volta, para chegarmos resposta! Teremos: 1)-80 2)20XiYi Y = 2,92)+801)x202,9 x 20 = 58,0e 58,0 + 80 = 138 Resposta!(FTE-PA-2002/ESAF) A tabela de freqncias abaixo deve ser utilizada nas duasprximas questes e apresenta as freqncias acumuladas (F) correspondentes auma amostra da distribuio dos salrios anuais de economistas (Y) em R$1.000,00, do departamento de fiscalizao da Cia. X. No existem realizaes deY coincidentes com as extremidades das classes salariais.Classes F29,5 39,5 239,5 49,5 649,5 59,51359,5 69,52369,5 79,53679,5 89,54589,5 99,55016. Assinale a opo que corresponde ao salrio anual mdio estimado para o departamento de fiscalizao da Cia. X. a) 70,0 d) 74,4 b) 69,5 e) 60,0 c) 68,0Sol.: A coluna de freqncias apresentada nesta Distribuio foi, mais uma vez, a dafreqncia absoluta acumulada crescente fac. Precisamos, assim, realizar o trabalhopreliminar, a fim de construir a coluna da fi freqncia absoluta simples. Teremos: Classes Facfi 29,5 39,522 39,5 49,564 49,5 59,5 13 7 59,5 69,5 2310 69,5 79,5 3613 79,5 89,5 45 9 89,5 99,5 50 5Agora, considerando que todas as classes tm mesma amplitude (h=10), aplicaremos omtodo da Varivel Transformada. Teremos:www.pontodosconcursos.com.br10 9. CURSO ONLINE REGULAR DE ESTATSTICA BSICA PROF. SRGIO CARVALHO1) Descobrir o valor do primeiro Ponto Mdio:ClassesfacfiPM29,5 39,5 22 34,539,5 49,5 64 .49,5 59,5137 .59,5 69,52310.69,5 79,53613.79,5 89,5459 .89,5 99,5505 .2) Construir a coluna de transformao da varivel:Classes FacfiPM(PM 34,5) = Yi10 29,5 39,52234,5 0 39,5 49,564.1 49,5 59,513 7.2 59,5 69,523 10 .3 69,5 79,536 13 .4 79,5 89,545 9.5 89,5 99,550 5.63) Construir a coluna do fi.Yi e fazer seu somatrio:ClassesfacFiPM (PM 34,5) = Yifi.Yi1029,5 39,522 34,5 0039,5 49,5 6 4 .1449,5 59,513 7 .21459,5 69,523 10.33069,5 79,536 13.45279,5 89,545 9 .54589,5 99,550 5 .630 N=501754) Calcular a mdia da varivel transformada:Y175 Y= = 3,5 505) Fazer o desenho de transformao da varivel, e percorrer as operaes docaminho de volta, para chegarmos resposta! Teremos: 1)-34,5 2)10 XiYiY = 3,5 2)+34,51)x10 3,5 x 10 = 35,0e35,0 + 34,5 = 69,5Resposta!www.pontodosconcursos.com.br 11 10. CURSO ONLINE REGULAR DE ESTATSTICA BSICA PROF. SRGIO CARVALHO(Oficial de Justia Avaliador TJ CE 2002 / ESAF) Para a soluo da prximaquesto utilize o enunciado que segue.A tabela abaixo apresenta a distribuio de freqncias do atributo salriomensal medido em quantidade de salrios mnimos para uma amostra de 200funcionrios da empresa X. Note que a coluna Classes refere-se a classessalariais em quantidades de salrios mnimos e que a coluna P refere-se aopercentual da freqncia acumulada relativo ao total da amostra. No existemobservaes coincidentes com os extremos das classes. Classes P4 8 208 1260 12 1680 16 2098 20 24 10017.Assinale a opo que corresponde ao salrio mdio amostral calculado apartir de dados agrupados.a) 11,68 b) 13,00c) 17,21d) 16,00e) 14,00Sol.: Vamos mais essa! O enunciado disse que a coluna de freqncias fornecida nesta tabela a Fac, freqncia relativa acumulada crescente. Descobrimos que uma freqncia relativaporque foi usada a palavra percentual. Sabemos que o tipo de freqncia que expressa valorespercentuais a freqncia relativa. E conclumos que acumulada por dois motivos: a Factermina sempre com 100%; e o enunciado ainda disse isso expressamente! Assim, antes de aplicarmos o mtodo da varivel transformada para clculo da Mdia,teremos que fazer o trabalho preliminar, a fim de chegarmos coluna da freqncia absolutasimples fi. Teremos:Classes FacFi fi 48 20% 20% 408 12 60% 40% 8012 1680% 20% 4016 2098% 18% 3620 24100% 2%4100% n=200Agora, sim, j podemos aplicar o mtodo da varivel transformada. Faamos isso!1) Descobrir o valor do primeiro Ponto Mdio:ClassesFac Fi fiPM 4820%20% 4068 1260%40% 80.12 16 80%20% 40.16 20 98%18% 36.20 24 100%2%4.100% n=2002) Construir a coluna de transformao da varivel:Classes FacFi fi PM(PM 6) = Yi 4 4820% 20%4068 1260% 40%80.12 16 80% 20%40.16 20 98% 18%36.20 24 100% 2% 4. 100%n=200www.pontodosconcursos.com.br 12 11. CURSO ONLINE REGULAR DE ESTATSTICA BSICA PROF. SRGIO CARVALHO3) Construir a coluna do fi.Yi e fazer seu somatrio:Classes FacFi fi PM(PM 6) = Yi fi.Yi4 4820% 20%4060 08 1260% 40%80.1 8012 16 80% 20%40.2 8016 20 98% 18%36.310820 24 100% 2% 4.4 16 100%n=200 2844) Calcular a mdia da varivel transformada: Y284 Y= = 1,422005) Fazer o desenho de transformao da varivel, e percorrer as operaes docaminho de volta, para chegarmos resposta! Teremos: 1)-6 2)4Xi Yi Y = 1,422)+6 1)x4 1,42 x 4 = 5,68 e 5,68 + 6 = 11,68 Resposta!A prxima questo diz respeito distribuio de freqncias seguinte associadaao atributo de interesse . X No existem observaes coincidentes com osextremos das classes. ClassesFreqnciasSimples 0-10 12010-209020-307030-404040-502018. (ANEEL 2004 ESAF) Assinale a opoque d,aproximadamente, a mdia amostral de Xa) 25,00 b) 17,48c) 18,00 d) 17,65 e) 19,00Sol.: Essa tabela nos traz uma lio importante! Olhem para os valores da coluna defreqncias que foi trazida na tabela. Os valores esto todos decrescentes, no verdade? Eainda assim, estamos diante de uma coluna de freqncia simples (fi). Ou seja, no pelo mero fato de as freqncias estarem sempre diminuindo, queestaremos diante de uma freqncia acumulada decrescente; assim como no ser acumuladacrescente pelo mero fato de as freqncias estarem aumentando!Se no for dito que a freqncia acumulada, resta que ser freqncia simples!www.pontodosconcursos.com.br 13 12. CURSO ONLINE REGULAR DE ESTATSTICA BSICA PROF. SRGIO CARVALHO Pois bem! Se j estamos diante da freqncia absoluta simples e se fato que todas asclasses tm a mesma amplitude, estamos aptos a aplicar o mtodo da varivel transformadapara descobrir o valor da Mdia do conjunto. Fazendo isso, teremos:1) Descobrir o valor do primeiro Ponto Mdio: Classes fi PM0-10 120 510-20 90 .20-30 70 .30-40 40 .40-50 20 .2) Construir a coluna de transformao da varivel:Classesfi PM(PM 5) = Yi100-10 1205010-20 90.120-30 70.230-40 40.340-50 20.43) Construir a coluna do fi.Yi e fazer seu somatrio: Classesfi PM (PM 5) = Yifi.Yi 10 0-10120 500 10-2090 .190 20-3070 .2 140 30-4040 .3 120 40-5020 .480n=340 4304) Calcular a mdia da varivel transformada:Y430 Y= = 1,2653405) Fazer o desenho de transformao da varivel, e percorrer as operaes docaminho de volta, para chegarmos resposta! Teremos:1)-5 2)10 Xi Yi Y = 1,265 2)+5 1)x10 1,265 x 10 = 12,65e 12,65 + 5 = 17,65 Resposta! www.pontodosconcursos.com.br14 13. CURSO ONLINE REGULAR DE ESTATSTICA BSICA PROF. SRGIO CARVALHO Passemos agora a mais teoria! Ainda no terminamos o estudo das propriedades daMdia. Vamos fazer isso agora!# Outras Propriedades da Mdia:Vejamos logo duas propriedades irms:A soma dos desvios dos elementos do conjunto em torno da Mdia igual azero!Como isso? Vamos considerar o seguinte conjunto: {1, 2, 3, 4, 5}Qual a Mdia desse conjunto? Faremos (1+2+3+4+5)/5=15/5X =3. Pois bem! O que construiremos agora o conjunto dos desvios! Desvio sinnimo dediferena. Da, vamos construir o conjunto formado pela diferena entre cada elemento Xi doconjunto original e a Mdia. Teremos:(Xi- X ) = {(1-3), (2-3), (3-3), (4-3), (5-3)}(Xi- X ) = {-2, -1, 0, 1, 2}Fazendo o somatrio dos desvios em torno da mdia, teremos:(Xi- X ) = {(-2)+(-1)+(0)+(1)+(2)}=0Enfim, esse o resumo da propriedade: (Xi- X ) = 0De uma forma resumida, memorizaremos: A soma dos desvios zero!S isso! Esta propriedade poder ser objeto de uma questo terica, como j foi, emprovas mais antigas.A soma dos quadrados dos desvios dos elementos do conjunto em torno daMdia um valor mnimo!Essa de compreenso menos imediata. Mas igualmente fcil.Tomemos novamente o conjunto: {1, 2, 3, 4, 5}. J sabemos que a Mdia 3. Assim, tomando a mdia 3 como referncia, e construindo o conjunto dos desvios emtorno da mdia, teremos:(Xi- X ) = {-2, -1, 0, 1, 2}Agora, se elevarmos cada um desses valores ao quadrado, teremos:(Xi- X )2 = {-22, -12, 02, 12, 22} = {4, 1, 0, 1, 4}Fazendo o somatrio dos quadrados dos desvios, teremos:(Xi- X ) 2= {4+1+0+1+4}=10 Este um valor mnimo!Mnimo por qu? Porque encontraramos um valor maior que 10, caso percorrssemostodo esse mesmo trajeto, tendo partido do conjunto dos desvios em torno de uma origemqualquer diferente da Mdia.Entenderam? Ainda no? Ento, escolham um valor qualquer diferente da Mdia (3) doconjunto. Qualquer valor serve! Pode ser o 2, ento? Ok! Lembrem-se que 2 no a Mdia doconjunto! Comecemos. Vamos construir o conjunto dos desvios, em torno dessa origem 2.Teremos:(Xi-2) = {(1-2),(2-2), (3-2), (4-2), (5-2)} = {-1, 0, 1, 2, 3}Construindo os quadrados desses desvios, teremos: www.pontodosconcursos.com.br15 14. CURSO ONLINE REGULAR DE ESTATSTICA BSICA PROF. SRGIO CARVALHO (Xi-2)2 = {-12, 02, 12, 22, 32} = {1, 0, 1, 4, 9}Fazendo o somatrio dos quadrados desses desvios, teremos: (Xi-2) 2 = {1+0+1+4+9}=15E 15 maior que 10.Por qu? Porque 10 um valor mnimo!Ficou compreendido?Professor, como que essas duas propriedades podem ser cobradas numa prova?Basicamente, numa questo terica. Nas provas mais antigas, nos idos dos anos noventa, eramuito comum a presena de questes mais conceituais. Hoje, so questes mais raras,embora nada impea de voc se deparar com uma delas!Ento, resumindo essas duas propriedades irms, teremos: A soma dos desvios igual a zero! A soma dos quadrados dos desvios um valor mnimo! isso! H ainda outra propriedade importante da Mdia que precisamos conhecer: A Mdia das Mdias: Essa propriedade tratar de uma situao em que haver alguns conjuntos menores.Para cada um desses conjuntos menores, a questo fornecer o valor do seu nmero deelementos, e o valor da sua Mdia. Assim, supondo que estejamos trabalhando com apenasdois conjuntos menores (A e B), teremos, como dados da questo, os seguintes: conjunto A:nmero de elementos do conjunto A (nA)Mdia dos elementos do conjunto A ( X A ) conjunto B:nmero de elementos do conjunto B (nB)Mdia dos elementos do conjunto B ( X B ) O que nos ir perguntar a questo da prova? Ir nos perguntar o seguinte: sejuntarmos todos os elementos do conjunto A com todos os elementos do conjunto B, e osunirmos em um s conjunto maior, qual ser a Mdia desse conjunto global?Responderemos a esta pergunta usando a seguinte frmula:X GLOBAL = [(n .X ) + (n .X )] A ABB (n A + nB ) Trata-se de uma das questes mais fceis da prova, pois se resume a aplicar a frmulaacima. Faz-se o copiar-colar e chega-se resposta! Ok?Viro duas questes que exploram o conhecimento desta propriedade no dever de casaque deixarei nesta aula de hoje.Existe ainda uma informao acerca da Mdia, e que s vezes, inclusive, tratada comouma propriedade, que diz o seguinte: A Mdia influenciada por valores extremos!O que quer dizer isso? Vejamos o conjunto abaixo: {1, 2, 3, 4, 5}A mdia desse conjunto, j fizemos esse clculo hoje, igual a 3. www.pontodosconcursos.com.br 16 15. CURSO ONLINE REGULAR DE ESTATSTICA BSICA PROF. SRGIO CARVALHO E se trocarmos o valor extremo 5 por, digamos, 500? Teremos:{1, 2, 3, 4, 500} A mdia desse novo conjunto ser, feitos os clculos, igual 102. Houve um grande salto, no verdade? Sim! E por qu? Porque a mdia influenciadapelos valores extremos!Essa propriedade costumava ser mais exigida para efeitos comparativos com outrasmedidas estatsticas, como Moda e Mediana. Assim, mais adiante, voltaremos a falar sobre ela.Ok? Pois bem! Acho que agora j podemos passar a falar na segunda medida de tendnciacentral: a Moda!# MODA: MoEsse um dos assuntos prediletos das alunas! Qualquer concurseira de respeito sabeque Moda aquilo que est em evidncia. isso mesmo? Assim na vida, assim na Estatstica. Moda, em sentido estatstico, ser aquele elemento que mais aparece no conjunto! S isso! Nada mais fcil! Vamos aprender a reconhecer a moda de um rol, de dadostabulados e de uma distribuio de freqncias. Vamos l.Moda do Rol: Analise o conjunto abaixo, e me diga qual o elemento que se sobressai aos demais: {1, 1, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 5, 5, 7, 7, 10}Facilmente se v que o elemento de maior freqncia, aquele que mais aparece noconjunto, o elemento Xi=3,0. Est terminado! A Moda desse conjunto 3. Diremos: Mo=3.E no se fala mais nisso! Vocs acham, sinceramente, que a Esaf iria colocar umaquesto como essa em prova? Quem pensou que no errou! Confira a questo abaixo, extrada do AFRF-1998:(AFTN-98) Os dados seguintes, ordenados do menor para o maior, foram obtidos de umaamostra aleatria, de 50 preos (Xi) de aes, tomada numa bolsa de valores internacional. Aunidade monetria o dlar americano.4, 5, 5, 6, 6, 6, 6, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 10, 10, 10,10, 10, 10, 10, 10, 11, 11, 12, 12, 13, 13,14, 15, 15, 15, 16, 16, 18, 23Com base nestes dados, assinale a opo que corresponde ao preo modal.a) 7b) 23c) 10 d) 8e) 9 Sol.: Vejam que o conjunto foi apresentado na forma de um rol. E seus elementosrepresentam preos. Da, a questo pede que se calcule o preo modal. Se os elementos representassem salrios, a questo pediria o salrio modal. Se os elementos representassem pesos, a questo pediria o peso modal. Se representassem idades, a idade modal. E assim por diante!Pois bem! Aqui, usaremos a tcnica milenar do dedo. Basta colocar o dedo em cima doselementos do conjunto, e contar, para descobrir aquele que aparece mais vezes que osdemais!Concluso: o elemento Xi=8 o que mais aparece. aquele de maior freqncia. Logo, a Moda desse conjunto e a resposta da questo! E acreditem: isso valeu um ponto numa prova de Auditor-Fiscal da Receita Federal. www.pontodosconcursos.com.br 17 16. CURSO ONLINE REGULAR DE ESTATSTICA BSICA PROF. SRGIO CARVALHOIsso corrobora a minha tese de que nem s de questes difceis se faz uma prova!Tambm existem as fceis, as muito fceis, as faclimas, e as estupidamente bestas!E essas ns no podemos errar, nem em pesadelo.Pois bem. Mais algumas informaes: Se o conjunto apresenta uma s moda, ser dito conjunto modal.Mas, considere o rol abaixo:{1, 2, 2, 2, 3, 3, 5, 7, 7, 7, 9, 10}Quem a moda desse conjunto? No apenas uma, mas so duas: o elemento 2 e oelemento 7. Estamos, pois, diante de um conjunto dito bimodal.E se houver trs ou mais modas em um conjunto? Ento estaremos diante de umconjunto multimodal.Atente agora para o seguinte conjunto:{1, 2, 3, 4, 5} Quem arrisca dizer qual a Moda dele? Existe algum elemento que se destaca emrelao aos demais? Um elemento que aparece mais que os outros? No! Nenhum elemento sedestaca. Da, conclumos que no h moda neste rol, de sorte que estamos diante de umconjunto amodal.Concluso: diferentemente da Mdia Aritmtica, que sempre existe e nica, a Modapode existir, pode no existir e, no primeiro caso, pode haver uma, ou duas, ou vrias Modasem um mesmo conjunto!Alguma dvida para a Moda de um rol? Creio que no! Adiante.Moda de Dados Tabulados:Aqui estamos diante do que h de mais fcil neste Curso! Ora, sabemos que a Moda o elemento de maior freqncia. Assim, diante do conjuntoseguinte, tente dizer qual o elemento modal:Xi fi1223374551Neste caso, de o conjunto estar apresentado na forma de Dados Tabulados, sequerprecisamos aplicar a tcnica do dedo. Basta deslizar pela coluna da freqncia absolutasimples (fi), procurando pela maior fi. Ao encontrarmos, saberemos que o elemento Xi a queela se refere ser a Moda do conjunto!Assim:Xi fi1223374551A Moda do conjunto 3.S e somente s!Viram como fcil? Essa a nunca caiu em prova, at agora! www.pontodosconcursos.com.br 18 17. CURSO ONLINE REGULAR DE ESTATSTICA BSICA PROF. SRGIO CARVALHOModa para Distribuio de Freqncias: Aqui estamos diante de uma questo de prova em potencial.H dois mtodos distintos para calcularmos a Moda de uma Distribuio: A Moda deCzuber e a Moda de King. Precisamos saber que a regra trabalharmos com o mtodo de Czuber.Dito de outra forma: s calcularemos a Moda de uma distribuio de freqncias pelomtodo de King se a questo expressamente o determinar! Ok? Consideremos o seguinte conjunto, supondo que represente os pesos de um grupo decrianas:Classesfi 0-102 10-20 4 20-30 7 30-40 5 40-50 2 Comecemos aprendendo o clculo da Moda de Czuber. So dois passos: 1) Identificar a classe modal. Ora, classe modal aquela de maior freqncia absoluta simples (maior fi). S isso!Neste caso, a maior fi 7, de sorte que a terceira classe ser a classe modal. Teremos:Classesfi 0-102 10-20 4 20-30 7 30-40 5 40-50 2 At aqui, tudo tranqilo? Tranqilssimo! Pois bem. O segundo passo consiste em: 2) Aplicar a Equao da Moda de Czuber. a seguinte: a Mo = l inf + .h a + p Observem que os elementos desta frmula sero extrados daquela Classe Modal queacabamos de identificar no primeiro passo. Ok? Assim, o limite inferior (linf) a que se refere aequao o limite inferior da classe modal; a amplitude (h) a que se refere a equao aamplitude da classe modal. E esses deltas da frmula, significam o qu? Delta significa diferena.Quando falamos em a estamos nos referindo diferena anterior. E quando falamosem p estamos nos referindo diferena posterior. Tanto a quanto p sero calculados com base em um mesmo referencial: a freqnciaabsoluta simples da classe modal. Assim: a a diferena entre a fi da classe modal e a fi da classe anterior; e p a diferena entre a fi da classe modal e a fi da classe posterior. No caso do nosso exemplo teremos:www.pontodosconcursos.com.br 19 18. CURSO ONLINE REGULAR DE ESTATSTICA BSICA PROF. SRGIO CARVALHO Classes fi0-10 210-204a=320-30730-405p=240-502 Finalmente, resta-nos aplicar a frmula de Czuber. E teremos que: a 3 Mo = l inf + .h Mo = 20 + .10 Mo=26Resposta! a + p 3 + 2 Pode haver questo mais fcil do que esta? No pode! E cai na prova, exatamentedesse jeito! Um ponto garantido a mais para ns. Aprendamos agora o clculo da Moda de King. Em dois passos: 1) Identificar a Classe Modal. J sabemos fazer isso: a classe modal sempre aquela de maior freqncia absolutasimples! 2) Aplicar a equao de King, que a seguinte: fp Mo = l inf + .h fp + fa Os dados da equao da Moda de King sero tambm extrados da Classe Modal. Assim: linf se referir ao limite inferior da classe modal; h a amplitude da classemodal. E estas fp e fa, o que so? So, respectivamente: fp: freqncia absoluta simples da classe posterior da classe modal; e fa: freqncia absoluta simples da classe anterior da classe modal. Nesta frmula no calcularemos deltas, ou seja, no faremos diferenas. Tomaremos asprprias freqncias simples, a anterior e a posterior fi da classe modal. Assim, para o nosso exemplo, teremos que: Classes fi0-10 210-204fa20-30730-405fp40-502 Da: fp 5 Mo = l inf + .h Mo = 20 + .10 Mo=25,56 Resposta! fp + fa 4 + 5 Quero chamar ateno para um detalhe: na Moda de Czuber (que a regra!), onumerador do colchete o a, enquanto o numerador da Moda de King a fp. Perceberamisso? No pode errar a frmula, seno a questo est perdida! www.pontodosconcursos.com.br 20 19. CURSO ONLINE REGULAR DE ESTATSTICA BSICA PROF. SRGIO CARVALHO Vou frisar novamente: s usaremos o clculo da Moda de King se a questo mandarexpressamente. Se ela no o fizer, trabalharemos com a Moda de Czuber, que a moda dosdeltas, que a regra! Ok?Vamos dar uma olhadinha no rol abaixo: {1, 2, 2, 3}Quem a Moda deste rol? 2. Concordam? E se tomarmos cada elemento desteconjunto original e os somarmos constante 10, por exemplo, o que ocorrer? Passaremos ater um novo conjunto. O seguinte: {11, 12, 12, 13} Quem a nova Moda? 12. E nem precisvamos ter feito este clculo, uma vez queexiste uma propriedade que afirma que: somando todos os elementos do conjunto a umamesma constante, a nova moda ser a anterior tambm somada quela constante!E se serve para soma, serve tambm para subtrao!Tomemos novamente o conjunto original. E se multiplicarmos cada elemento daqueleconjunto pela constante 10, o que ocorreria? Chegaramos ao seguinte conjunto: {10, 20, 20, 30}E a nova Moda 20, como j poderamos prever. Sim! Pois h uma propriedade,segundo a qual: multiplicando todos os elementos de um conjunto original por uma mesmaconstante, a nova moda ser a anterior tambm multiplicada pela mesma constante!E se serve para multiplicao, serve tambm para diviso! Resumo da histria: a Moda, a exemplo da Mdia Aritmtica, tambm influenciadapelas quatro operaes!Agora voltemos ao nosso conjunto primeiro: {1, 2, 2, 3}Se trocarmos o elemento 3 por 300, o que ocorrer? Teremos um novo conjunto: {1, 2, 2, 300} A Moda deste conjunto mudou, em relao a que era antes? No, permaneceu amesma (Mo=2). Concluso: a Moda no influenciada por valores extremos! E nesteparticular, a Moda diferencia-se da Mdia, conforme j vimos anteriormente! J podemos passar ao estudo da terceira medida de tendncia central: a Mediana!Vamos a ela.# Mediana: Md Como o prprio nome pode sugerir, a Mediana aquele elemento que estrigorosamente no meio do conjunto, dividindo-o em duas partes iguais, ou seja, em duasmetades!O clculo da Mediana quase sempre uma questo certa na prova! Uma questo queno podemos e no iremos errar de jeito nenhum!Mediana para o Rol:Consideremos o seguinte conjunto: {10, 20, 30, 40, 50} S olhando, seremos capazes de dizer qual o elemento que est no meio desteconjunto? Claro! o elemento 30. Concordam? Ficaram dois elementos sua direita, e dois sua esquerda. Ele est, portanto, no meio do conjunto. E sendo assim, a Mediana! {10, 20, 30, 40, 50}Md=30www.pontodosconcursos.com.br 21 20. CURSO ONLINE REGULAR DE ESTATSTICA BSICA PROF. SRGIO CARVALHOVocs perceberam que o conjunto acima tem um nmero mpar de elementos. Para ele,temos que n=5.Sempre que isso ocorrer, ou seja, sempre que o conjunto tiver um nmero mpar deelementos, significa que s haver uma posio central.E o elemento que ocupar esta posio central ser a prpria Mediana do conjunto!H um clculo que podemos fazer para descobrir qual a posio central, no caso de oconjunto apresentar um nmero mpar de elementos. Este clculo o seguinte: Posio Central = (n+1)/2Isto para quando n for um nmero mpar! Reparem bem que o resultado desta conta no a Mediana do conjunto, e sim a suaposio central. O elemento que ocupar esta posio central ser, este sim, a Mediana.No nosso exemplo, tnhamos n=5. (Um nmero mpar, o que indica a existncia deuma nica posio central)! Assim, faremos: (n+1)/2=(5+1)/2=3 Posio! Esta a posio central do conjunto! Da, usando novamente a tcnica milenar dodedo, voc vai contar as posies do conjunto, at chegar terceira. O elemento que a ocuparser a Mediana que estamos procurando! Teremos: {10, 20, 30, 40, 50}3 Posio Md=30 E se o conjunto tiver um nmero par de elementos? A a histria outra. Vejamos. Senosso conjunto for o seguinte: {10, 20, 30, 40, 50, 60}Quantos elementos h? Seis elementos. Temos, pois: n=6. Um nmero par deelementos! Sempre que isso ocorrer, ou seja, sempre que houver um nmero par deelementos no conjunto, significa que haver duas posies centrais!Estas posies centrais podero ser encontradas da seguinte forma: 1 Posio Central: (n/2) 2 Posio Central: a vizinha posterior.Neste caso, em que n=6, teremos: 1 Posio Central: (n/2)=6/2= 3 Posio! 2 Posio Central: a vizinha posterior = 4 Posio! As duas posies centrais esto, portanto, identificadas. Resta descobrir quais so osdois elementos que as ocupam. E vejam o que ser feito para calcularmos a Mediana.Teremos: {10, 20, 30, 40, 50, 60} 4 Posio 30Md=(30+40)/2Md=35, 3 Posio 40 Ou seja, se n um nmero par, descobriremos quais so os dois elementos queocupam as duas posies centrais, somaremos esses elementos e dividiremos o resultadodesta soma por dois. Assim, chegaremos Mediana do conjunto! Ficou evidenciado neste exemplo que a Mediana no necessariamente ter que ser umdos elementos do conjunto! Viram? Esse valor 35 no um dos elementos! E no entanto aMediana! www.pontodosconcursos.com.br22 21. CURSO ONLINE REGULAR DE ESTATSTICA BSICA PROF. SRGIO CARVALHOA prova do Fiscal da Receita de 1998 cobrou uma questo para se determinar aMediana de um rol. Fazendo uma pequena e irrelevante adaptao, foi o seguinte:(AFTN-98) Os dados seguintes, ordenados do menor para o maior, foram obtidos deuma amostra aleatria, de 50 preos (Xi) de aes, tomada numa bolsa de valoresinternacional. A unidade monetria o dlar americano.4, 5, 5, 6, 6, 6, 6, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 9, 9, 9,9, 9, 9, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 11, 11, 12, 12, 13, 13,14, 15,15, 15, 16, 16, 18, 23Assinale a opo que corresponde mediana:a) 9,0b) 9,5 c) 8,0 d) 8,5e) 10Sol.: Estamos diante de um rol de 50 elementos. Portanto, n=50, que um nmero par! Se n um nmero par, teremos duas posies centrais, que sero, respectivamente:1 Posio Central: (n/2)=50/2= 25 Posio 2 Posio Central: a vizinha posterior = 26 Posio Sabendo disso, e usando a milenar tcnica do dedo, contaremos os elementos, parasaber quais deles ocupam estas duas posies centrais. Vamos l:4, 5, 5, 6, 6, 6, 6, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 9, 9, 9,9, 9, 9, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 11, 11, 12, 12, 13, 13,14, 15,15, 15, 16, 16, 18, 23 Os dois elementos que ocupam as duas posies centrais so, ambos, iguais a 9. Nemprecisaremos perder tempo somando-os e dividindo o resultado por dois. Concordam?Basta dizer que a Mediana igual a 9 e pronto! Da: Md=9 Resposta!Acreditem-me: isto valeu um ponto numa prova de Fiscal da Receita! Vou dar um pequeno salto, e ensinar logo o clculo da Mediana para uma Distribuiode Freqncias. Ok? Numa outra ocasio eu retorno e ensino a mediana para dados tabulados.Pode ser? (Vamos ganhar um pouquinho de tempo!).# Mediana para Distribuio de Freqncias:Esta, sim, questo quase certa na sua prova!Consideremos o seguinte conjunto: Classes fi0-10 210-20420-30730-40540-502 Se ele representa, suponhamos, os pesos de um grupo de crianas, ento a questo lhepedir que encontre o peso mediano; se fossem idades, a questo pediria a idade mediana; sefossem salrios, o salrio mediano. E assim por diante!O primeiro passo identificar a Classe Mediana!Para isso, trilharemos o seguinte caminho: Calcular a frao da Mediana: (n/2).www.pontodosconcursos.com.br 23 22. CURSO ONLINE REGULAR DE ESTATSTICA BSICA PROF. SRGIO CARVALHO No clculo da mediana de uma distribuio de freqncias, no faz nenhuma diferenase n par ou mpar. Seja como for, o nosso clculo ser sempre esse mesmo: (n/2). Construirmos a coluna da fac (freqncia absoluta acumulada crescente).Compararemos os valores da fac com o resultado da frao da mediana (n/2),fazendo a seguinte pergunta: Esta fac maior ou igual a (n/2)? Comearemos a fazer esta pergunta desde a fac da primeira classe (l em cima) e arepetiremos, descendo fac por fac, at que a resposta seja SIM. Quando a resposta for sim, pararemos, procuraremos a classe correspondente, e estaser a nossa Classe Mediana.Vamos fazer isso? Teremos: Classes fi0-10 210-20420-30730-40540-502 n=20 n/2 = 10Agora, construindo a fac, teremos: Classes fi fac0-10 2 210-204 620-3071330-4051840-50220 n=20Fazendo a pergunta, teremos:Classes fi fac 0-10 2 2 2 maior ou igual a 10? No! (Adiante!) 10-204 6 6 maior ou igual a 10? No! (Adiante!)20-30 713 13 maior ou igual a 10? SIM! (PARAMOS AQUI!) 30-40518 40-50220n=20E a terceira classe a nossa classe mediana!Uma vez conhecedores da Classe Mediana, faremos com ela um desenho!Vejamos novamente nosso conjunto: Classes fi fac0-102210-20 4620-30 7 13 Classe Mediana!30-40 5 1840-50 2 20 n=20www.pontodosconcursos.com.br24 23. CURSO ONLINE REGULAR DE ESTATSTICA BSICA PROF. SRGIO CARVALHO Traremos essa classe mediana aqui para fora, e nosso desenho ser construdo daseguinte maneira: Na parte de cima do desenho, colocaremos os limites da classe. Teremos:Limites da Classe:20 30At aqui, tudo bem? Na parte de baixo do desenho, colocaremos as freqncias absolutas acumuladascrescentes (fac) associadas a esses dois limites!Como assim? Vejamos: se eu perguntar quantos elementos j foram acumulados at olimite inferior 20, o que voc responder? Veja o conjunto novamente:Classes Fi Fac 0-10 2 210-20 4 620-30 713 30-40518 40-50220 n=20Teremos acumulado 6 elementos, concordam?E se eu perguntar quantos elementos j foram acumulados at o limite superior 30, oque voc dir? Vejamos no conjunto:ClassesFiFac 0-1022 10-20 4620-307 13 30-40 5 18 40-50 2 20Teremos acumulado 13 elementos! Concluso: na hora de identificar as freqncias acumuladas associadas aos dois limitesda classe mediana, estas fac sero, sempre e respectivamente, a fac da classe anterior, e afac da prpria classe mediana!Assim, complementando nosso desenho, teremos:Limites da Classe:20 30fac associadas: 613Faltando quase nada para terminarmos o desenho!Agora perguntaremos: qual a posio da Mediana? o resultado da frao (n/2).Quanto? 10. Pois bem! Esse 10 corresponde posio, e posio corresponde freqnciaacumulada. Assim, localizaremos a dcima posio do conjunto na parte de baixo do desenho.Teremos: www.pontodosconcursos.com.br 25 24. CURSO ONLINE REGULAR DE ESTATSTICA BSICA PROF. SRGIO CARVALHOLimites da Classe: 2030fac associadas: 6 10 13Ora, a esta dcima posio corresponde qual elemento dentro da classe? Corresponde Mediana. Assim, concluiremos o desenho, fazendo:Limites da Classe: 20 Md 30fac associadas: 6 10 13 preciso agora que voc releia com calma os passos necessrios feitura destedesenho acima. primeira vista, parece ser complicado. Mas no ! Quando nos habituarmosa trabalhar com ele, estejam certos de que se tornar faclimo!Uma vez diante deste desenho, marcaremos o pedao da classe que vai do limiteinferior at a Mediana, e procuraremos por quatro valores. Os seguintes:Limites da Classe: 20 Md 30fac associadas: 6 10 13Encontrando estes quatro valores, teremos:www.pontodosconcursos.com.br26 25. CURSO ONLINE REGULAR DE ESTATSTICA BSICA PROF. SRGIO CARVALHO 10XLimites da Classe:20Md30fac associadas:610 134 7 Os quatro valores encontrados preenchero os quatro espaos de uma igualdade entreduas fraes. Uma dessas fraes ser composta pelos valores referentes classe inteira. E asegunda delas, pelos valores referentes classe quebrada! Teremos: 10 x74Multiplica-se cruzando, e teremos: X=(4x10)/7 X=5,71Agora, resta-nos olhar para o desenho, e constataremos que para chegar Mediana,teremos que somar o limite inferior ao X que acabamos de calcular.Teremos: Md=20+X Md=20+5,71 Md=25,71Resposta!Faamos mais um exemplo: uma questo recente de AFRF.(AFRF-2002.2) Para a soluo das duas prximas questes utilize o enunciado quesegue. O atributo do tipo contnuo X, observado como um inteiro, numa amostra detamanho 100 obtida de uma populao de 1000 indivduos, produziu a tabela defreqncias seguinte: ClassesFreqncia (f)29,5-39,5439,5-49,5849,5-59,5 1459,5-69,5 2069,5-79,5 2679,5-89,5 1889,5-99,5 10www.pontodosconcursos.com.br 27 26. CURSO ONLINE REGULAR DE ESTATSTICA BSICA PROF. SRGIO CARVALHOAssinale a opo que corresponde estimativa da mediana amostral do atributo X. a) 71,04d) 68,08 b) 65,02e) 70,02 c) 75,03Sol.: A questo pediu o clculo da Mediana da Distribuio de Freqncias. Vamos fazer issoapenas seguindo os passos que aprendemos acima, como se estivssemos seguindo umareceita de bolo. No tem errada! Vamos:1) Encontrar o valor do n (somando a coluna da fi) e calcular a frao da Mediana(n/2). Teremos: Classes fi29,5-39,5439,5-49,5849,5-59,5 1459,5-69,5 2069,5-79,5 2679,5-89,5 1889,5-99,5 10n=100 (n/2)=502) Construir a coluna da fac (freqncia absoluta acumulada crescente):Classes fi fac 29,5-39,54 4 39,5-49,5812 49,5-59,5 1426 59,5-69,5 2046 69,5-79,5 2672 79,5-89,5 1890 89,5-99,5 10100 n=100 3) Comparar os valores da fac com o valor da frao da Mediana (n/2), fazendo avelha pergunta: esta fac maior ou igual a (n/2)? at que a resposta seja sim! Classesfifac29,5-39,5 444 maior ou igual a 50? No! (Adiante!)39,5-49,5 8 1212 maior ou igual a 50? No! (Adiante!)49,5-59,514 2626 maior ou igual a 50? No! (Adiante!)59,5-69,520 4646 maior ou igual a 50? No! (Adiante!)69,5-79,526 7272 maior ou igual a 50? SIM! (PARAMOS AQUI!)79,5-89,518 9089,5-99,510 100 n=100Com esses passos iniciais, conseguimos identificar qual a Classe Mediana (69,5-79,5).Resta-nos preparar o desenho, para clculo da Mediana!Comecemos com a parte de cima do desenho, onde colocaremos os limites da ClasseMediana. Teremos:Limites da Classe:69,5 79,5www.pontodosconcursos.com.br 28 27. CURSO ONLINE REGULAR DE ESTATSTICA BSICA PROF. SRGIO CARVALHO Na parte de baixo do desenho, colocaremos as freqncias absolutas acumuladascrescentes associadas queles dois limites. J sabemos: sero sempre a fac da classeanterior e a fac da prpria classe mediana. Teremos:Limites da Classe: 69,5 79,5fac associadas: 4672 Quase l! Qual a posio da Mediana neste conjunto? o resultado da frao: 50.Assim, associada posio 50 teremos a Mediana. Nosso desenho completo o seguinte:Limites da Classe: 69,5Md 79,5fac associadas: 46 5072Uma vez que o desenho j est completo, iremos procura de quatro valores.Faremos: 10 XLimites da Classe: 69,5Md 79,5fac associadas: 46 5072 4 26Com esses quatro valores, formamos uma igualdade entre duas fraes. A seguinte: 10 x 26 4Multiplica-se cruzando, e teremos:X=(4x10)/26 X=1,54 Finalmente, o que falta ser feito apenas somar o limite inferior da classe mediana aovalor do X que acabamos de calcular. Teremos: Md=69,5+1,54Md=71,04Resposta! www.pontodosconcursos.com.br 29 28. CURSO ONLINE REGULAR DE ESTATSTICA BSICA PROF. SRGIO CARVALHOE a? Fcil, no? Faclimo! E vai ficar ainda mais quando voc praticar, resolvendo vriasquestes de provas recentes! Convm que voc repita as resolues at que esses passos fiquem todosautomatizados em sua mente. Na hora da prova, s ligar o piloto automtico e sairresolvendo a questo sem dificuldade alguma!Mais algumas informaes. Considere o seguinte conjunto:{1, 2, 3}A Mediana, todos concordam, Md=2.Se somarmos os elementos deste conjunto com a constante 10, teremos:{11, 12, 13}E a nova mediana 12. Ou seja, valeu aqui tambm para a Mediana a propriedade dasoma (e da subtrao)!Se multiplicarmos todos os elementos do conjunto original por 10, teremos:{10, 20, 30} A nova mediana 20. Vale tambm para a Mediana a propriedade do produto (e dadiviso)!Em suma: a Mediana tambm influenciada pelas quatro operaes!Se voc trocar 3 por 300, nosso conjunto original agora ser:{1, 2, 300} E a Mediana continuar a ser 2. Ou seja, a Mediana, assim como a Moda (ediferentemente da Mdia), no influenciada por valores extremos!Certo? timo! H ainda mais a se falar acerca das trs medidas de tendncia central. Mas eucreio que por hoje j temos um considervel nmero de informaes para assimilar.Concordam?Fiquem ento com o nosso...... Dever de Casa:01. (AFPS-2002/ESAF) Assinale a opo que d o valor de a para o qual a i =1 ( xi a) = 0n equao sempre verdadeira. a) A mdia dos valores x. b) A mediana dos valores x. c) A moda dos valores x. d) O desvio padro dos valores x. e) O coeficiente de assimetria dos valores x.02. (TCDF-95) Em uma empresa, o salrio mdio dos empregados de R$500,00. Os salrios mdios pagos aos empregados dos sexos masculino e feminino so de R$520,00 e R$420,00, respectivamente. Ento, nessa empresa: a) o nmero de homens o dobro do nmero de mulheres. b) O nmero de homens o triplo do nmero de mulheres. c) O nmero de homens o qudruplo do nmero de mulheres. d) O nmero de mulheres o triplo do nmero de homens. e) O nmero de mulheres o qudruplo do nmero de homens. www.pontodosconcursos.com.br30 29. CURSO ONLINE REGULAR DE ESTATSTICA BSICA PROF. SRGIO CARVALHO03.(Auditor do Tesouro Municipal - Recife 2003/ ESAF) Em uma amostra,realizada para se obter informao sobre a distribuio salarial de homens emulheres, encontrou-se que o salrio mdio vale R$ 1.200,00. O salrio mdioobservado para os homens foi de R$ 1.300,00 e para as mulheres foi de R$1.100,00. Assinale a opo correta.a) O nmero de homens na amostra igual ao de mulheres.b) O nmero de homens na amostra o dobro do de mulheres.c) O nmero de homens na amostra o triplo do de mulheres.d) O nmero de mulheres o dobro do nmero de homens.e) O nmero de mulheres o qudruplo do nmero de homens.04. (AFTN-98) Os dados seguintes, ordenados do menor para o maior, foram obtidos de uma amostra aleatria, de 50 preos (Xi) de aes, tomada numa bolsa de valores internacional. A unidade monetria o dlar americano.4, 5, 5, 6, 6, 6, 6, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 9, 9, 9,9, 9, 9, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 11, 11, 12, 12, 13, 13,14, 15,15, 15, 16, 16, 18, 23Com base nestes dados, assinale a opo que corresponde ao preo modal.a) 7 b) 23 c) 10 d) 8e) 905. (FISCAL DE TRIBUTOS DE MG-96) Dados os conjuntos de valores:A = {1, 1, 2, 3, 4, 5, 8, 8, 8, 8, 9, 10}B = {6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}C = {1, 2, 4, 4, 4, 4, 5, 6, 9, 9, 9, 9, 10}Em relao moda, afirmamos que:I A unimodal e a moda 8II B unimodal e a moda 9III C bimodal e as modas so 4 e 9Ento, em relao s afirmativas, correto dizer que: a) Todas so verdadeiras b) Todas so falsas c) Somente I e II so verdadeiras d) Somente I e III so verdadeiras e) Somente II e III so verdadeiras06.(Controlador de arrecadao RJ 2004 FJG )Em uma fila, oito pessoas esperaram, em minutos, os seguintes tempos paraserem atendidas: 8, 11, 5, 14, 16, 11, 8 e 11. O tempo mediano de espera, emminutos, :A) 11 B) 13C) 15D) 1707.(ANAL. FIN. E CONT. GDF-94) Os valores (em 1000 URVs) de 15 imveis situados em uma determinada quadra so apresentados a seguir, em ordem crescente: 30, 32, 35, 38, 50, 58, 64, 78, 80, 80, 90, 112, 180, 240 e 333. Ento, a mediana dos valores destes imveis : a) 78c) 80 b) 79d) 10008. (ESAF/TTN) Assinale a opo correta. a) A moda uma medida de posio que permite dividir a distribuio em duaspartes de igual freqncia. b) A mdia harmnica a mdia geomtrica dos inversos das determinaes davarivel. c) A mdia aritmtica no influenciada pelos valores extremos dadistribuio. d) A moda e a mediana so influenciadas pelos valores extremos dadistribuio. e) A moda, a mediana e a mdia aritmtica so expressas na mesma unidade demedida da varivel a que se referem. www.pontodosconcursos.com.br 31 30. CURSO ONLINE REGULAR DE ESTATSTICA BSICA PROF. SRGIO CARVALHO(AFC-94 ESAF) Para a soluo da questo seguinte, utilize a srie estatsticaabaixo: 25 713 36 913 361113 461113 47121509. Os valores da mediana e da moda da srie so, respectivamente: a) 4 e 15b) 7 e 12 c) 6 e 13d) 7 e 13 e) 9 e 1310. (TTN-94) Marque a alternativa correta: a) O intervalo de classe que contm a moda o de maior freqncia relativaacumulada (crescentemente). b) A freqncia acumulada denominada abaixo de resulta da soma dasfreqncias simples em ordem decrescente. c) Em uma distribuio de freqncias existe uma freqncia relativaacumulada unitria, ou no primeiro, ou no ltimo intervalo de classe. d) O intervalo de classe que contm a mediana o de maior freqnciaabsoluta simples. e) Os intervalos de classe de uma distribuio de freqncia tm o pontomdio eqidistante dos limites inferior e superior de cada classe e suaamplitude ou constante ou guarda uma relao de multiplicidade com afreqncia absoluta simples da mesma classe.11. (ESAF/TTN) Dado o grfico abaixo, onde fi a freqncia simples ou absoluta da i-sima classe, ento: fi1210 8 6 4 2 2 4 6 8 10 12 14 16idades a) a moda se encontra na 4o classe e igual a 9; b) o nmero de observaes 42; c) como a distribuo assimtrica, moda=mdia=mediana; d) a freqncia acumulada crescente da 3 classe 20; 7 e) fi = 48 .i =112. (FISCAL DO TRABALHO-94) O levantamento de dados sobre os salrios de 100 funcionrios de uma determinada empresa forneceu os seguintes resultados:Quantidade de Quantidade desalrios mnimos funcionrios 2 | 4 25 4 | 6 35 6 | 8 20 8 | 1015 10| 12 5Total100www.pontodosconcursos.com.br32 31. CURSO ONLINE REGULAR DE ESTATSTICA BSICA PROF. SRGIO CARVALHO correto afirmar que: a) 20% dos funcionrios recebem acima de 6 salrios mnimos b) a mediana 7 salrios mnimos c) 60% dos funcionrios recebem menos que 6 salrios mnimos d) o salrio mdio de 7 salrios mnimos e) 80% dos funcionrios recebem de 6 a 8 salrios mnimos(TTN-94) Considere a distribuio de freqncias transcrita a seguir:Xi fi 2 | 4 9 4 | 612 6 | 8 6 8 | 102 10| 12113. A mediana da distribuio igual a: a) 5,30kg b) 5,00kg c) um valor inferior a 5kg d) 5,10kg e) 5,20kg14. (FISCAL DE TRIBUTOS DE MG-96) As distncias, em milhares de quilmetros, percorridas em um ano pelos 20 txis de uma empresa, esto representadas no quadro seguinte:Distncias Nmero de Txis 45 | 55 3 55 | 65 7 65 | 75 4 75 | 85 585 | 951 TotalNestas condies, corretoafirmarque amediana dessadistribuio, emmilhares de quilmetros : a) 57b) 61c) 65 d) 69 e) 7315. (AFTN/1994) Com relao distribuio de freqnciasabaixo, podemos dizer que a mediana e a moda:classes fi2 | 4 74 | 6 96 | 8188 |1010 10 | 126 Total a) Tm valor superior ao da mdia aritmtica b) Tm valor inferior ao da mdia aritmtica c) Tm o mesmo valor d) Diferem por um valor igual a 10% da mdia aritmtica e) Diferem por um valor superior a 10% da mdia aritmtica. www.pontodosconcursos.com.br 33 32. CURSO ONLINE REGULAR DE ESTATSTICA BSICA PROF. SRGIO CARVALHO(AFTN-96) Para efeito das cinco prximas questes, considere os seguintes dados: DISTRIBUIO DE FREQNCIAS DAS IDADES DOSFUNCIONRIOS DA EMPRESA ALFA, EM 1/1/90 Classes deFreqncia PontosXi 37fi.di fi.di2 Fi.di3 fi.di4 Idades s Mdios= di (anos) (fi) (Xi)5 19,5 | 24,5 2 22 -3-618-54162 24,5 | 29,5 9 27 -2 -1836-72144 29,5 | 34,523 32 -1 -2323-23 23 34,5 | 39,529 37 39,5 | 44,518 4211818 18 18 44,5 | 49,512 4722448 96192 49,5 | 54,5 7 5232163189567Total 16206154 110616. Marque a opo que representa a mediana das idades dos funcionrios em 1/1/90. a) 35,49 anos b)35,73 anos c) 35,91 anos d)37,26 anose)38,01 anos17. Marque a opo que representa a moda dasidades dos funcionrios em 1/1/90. a) 35,97 anos d) 37,03 anos b) 36,26 anos e) 37,31 anos c) 36,76 anosPara efeito das duas questes seguintes, sabe-se que o quadro de pessoal daempresa continua o mesmo em 1/1/96.18. Marque a opo que representa a mediana das idades dos funcionrios em 1/1/96. a) 35,49 anos c) 41,49 anose) 43,26 anos b) 36,44 anos d) 41,91 anos(AFRF-2000) Para efeito das duas prximas questes faa uso da tabela defreqncias abaixo. Freqncias Acumuladas de Salrios Anuais, em Milhares de Reais, da Cia. AlfaClasses de Salrio Freqncias Acumuladas ( 3 ; 6]12( 6 ; 9] 30 ( 9; 12]50 (12 ; 15] 60 (15 ; 18] 65 (18 ; 21] 6819. Quer-se estimar o salrio mediano anual da Cia. Alfa. Assinale a opo que corresponde ao valor aproximado desta estatstica, com base na distribuio de freqncias. a) 12,50d) 12,00 b)9,60e) 12,10 c)9,00 www.pontodosconcursos.com.br34 33. CURSO ONLINE REGULAR DE ESTATSTICA BSICA PROF. SRGIO CARVALHO(AFRF-2002) Para a soluo da prxima questo utilize o enunciado que segue.Em um ensaio para o estudo da distribuio de um atributo financeiro (X) foramexaminados 200 itens de natureza contbil do balano de uma empresa. Esseexerccio produziu a tabela de freqncias abaixo. A coluna Classes representaintervalos de valores de X em reais e a coluna P representa a freqnciarelativa acumulada. No existem observaes coincidentes com os extremos dasclasses. ClassesP (%) 70-90 590-11015 110-13040 130-15070 150-17085 170-19095 190-210 10020. Assinale a opo que corresponde estimativa do quinto decil (= Mediana) da distribuio de X. a) 138,00 d) 139,01 b) 140,00 e) 140,66 c) 136,67(AFRF-2002.2) Para a soluo das duas prximas questes utilize o enunciado quesegue. O atributo do tipo contnuo X, observado como um inteiro, numa amostra detamanho 100 obtida de uma populao de 1000 indivduos, produziu a tabela defreqncias seguinte: ClassesFreqncia (f)29,5-39,5439,5-49,5849,5-59,5 1459,5-69,5 2069,5-79,5 2679,5-89,5 1889,5-99,5 1021. Assinale a opo que corresponde estimativa da mediana amostral do atributo X. d) 71,04d) 68,08 e) 65,02e) 70,02 f) 75,0322. Assinale a opo que corresponde ao valor modal do atributo X no conceito de Czuber. a) 69,50 b) 73,70 c) 71,20 d) 74,53e) 80,10(FTE-PA-2002/ESAF) A tabela de freqncias abaixo deve ser utilizada nas duasprximas questes e apresenta as freqncias acumuladas (F) correspondentes auma amostra da distribuio dos salrios anuais de economistas (Y) em R$1.000,00, do departamento de fiscalizao da Cia. X. No existem realizaes deY coincidentes com as extremidades das classes salariais.Classes F29,5 - 39,5 239,5 - 49,5 649,5 - 59,51359,5 - 69,52369,5 - 79,53679,5 - 89,54589,5 - 99,550 www.pontodosconcursos.com.br35 34. CURSO ONLINE REGULAR DE ESTATSTICA BSICA PROF. SRGIO CARVALHO23. Assinale a opo que corresponde ao salrio modal anual estimado para o departamento de fiscalizao da Cia. X, no conceito de Czuber. a) 94,5 d) 69,7 b) 74,5 e) 73,8 c) 71,024. (ACE-MICT-1998/ESAF) Num estudo sobre a distribuio do preo de venda de um produto obteve-se, a partir de uma amostra aleatria de 25 revendedores, a tabela de freqncias seguinte:Classe demifiPreos [ 5 9) 73[ 9 13)115[13 17)157[17 21)196[21 25)233[25 29)271Deseja-se obter informao sobre o preo mediano praticado na amostra. Assinalea opo que melhor aproxima este valor.a) 16 b) 19c) 17d) 11 e) 14,225. (Fiscal-Campinas-2002) Dada a distribuio de freqncia abaixo, indique o valor da Moda e Mediana, respectivamenteClasses Fi 4|6 12 6|8 368|10 18 10|124 a) 7,14 7,28 d) 5,84 7,5 b) 6,54 5,78 e) 6,24 6,78 c) 7,24 6,3826. (FTE-Piau-2001/ESAF) A Tabela abaixo mostra a distribuio de freqncia obtida de uma amostra aleatria dos salrios anuais em reais de uma firma. As freqncias so acumuladas. Classes de Salrio Freqncias (5.000-6.500) 12 (6.500-8.000) 28 (8.000-9.500) 52(9.500-11.000) 74 (11.000-12.500) 89 (12.500-14.000) 97 (14.000-15.500)100Assinale a opo que corresponde ao salrio mediano a) R$ 10.250, b)R$ 8.000, c) R$ 8.700, d)R$ 9.375, e) R$ 9.500,(Oficial de Justia Avaliador TJ CE 2002 / ESAF) Para a soluo das trsprximas questes utilize o enunciado que segue.A tabela abaixo apresenta a distribuio de freqncias do atributo salriomensal medido em quantidade de salrios mnimos para uma amostra de 200funcionrios da empresa X. Note que a coluna Classes refere-se a classessalariais em quantidades de salrios mnimos e que a coluna P refere-se aopercentual da freqncia acumulada relativo ao total da amostra. No existemobservaes coincidentes com os extremos das classes. www.pontodosconcursos.com.br 36 35. CURSO ONLINE REGULAR DE ESTATSTICA BSICA PROF. SRGIO CARVALHOClasses P 4 8 20 8 126012 168016 209820 24 10027.Assinale a opo que corresponde ao salrio modal no conceito de Czuber.a) 6 b) 8c) 10d) 12 e) 1628.Assinale a opo que corresponde ao salrio mediano calculado a partir dedados agrupados por interpolao da ogiva.a) 12d) 10b) 9 e) 11c) 8As duas prximas questes dizem respeito distribuio de freqncias seguinteassociada ao atributo de interesse . X No existem observaes coincidentes comos extremos das classes.ClassesFreqncias Simples0-10 120 10-2090 20-3070 30-4040 40-502029.(ANEEL 2004 ESAF) Assinale a opo que d a moda no conceito de Czuber.a) 5 b) 4c) 8 d) 10 e) 1530. (ANEEL 2004 ESAF) Assinale a opo que d o valor aproximado da mediana amostral das observaes de . Xa) 20,0 b) 5,0 c) 12,0 d) 15,8e) 15,6Bons estudos! Um forte abrao a todos e fiquem com Deus! www.pontodosconcursos.com.br 37