Mathusso Jucuiana

Exercícios resolvidos de Estatística

Agosto de 2017

1

1. Defina

1.1.Estatística Descritiva:

Estatística Descritiva - visa descrever o real de forma a permitir entende –lo

melhor ou trata da recolha, organização e tratamento de dados, com vista a

descrever e interpretar a realidade actual dos factos passados ao conjunto

observado. O seu objectivo é informar, prevenir e esclarecer. (Fazenda:2006)

1.2. Inferência Estatística ou Estatística Descritiva:

Trata de estabelecer conclusões a um conjunto mais vasto de indivíduos

(população) a partir da observação de uma delas (amostra) com base na estrutura

matemática que lhe confere. (Fazenda: 2006)

2. Faça um gráfico de barras (Histograma) para apresentar os dados sobre deficiência

física na População residente no Brasil. Exclua não portadores de mais de um tipo de

deficiência.

3. Dado o rol de medidas das alturas (dadas em cm) de uma amostra de 100 indivíduos

de uma faculdade. Calcule:

a) A amplitude amostral:

0

100000

200000

300000

400000

500000

600000

700000

Nº d

e Po

rtad

ores

2

Resolução: Amplitude amostral é representada pela letra R, assim: = 190 − 151 =

39.

b) O número de classes:

Resolução: O número de classes é determinado de acordo com a fórmula:

≅ 1 + 3,22( ), onde N é a amostra. Daí teremos:

≅ 1 + 3,22( 100) ↔ ≅ 1 + 3,22 × 2 ↔ ≅ 7,44 ↔ ≅ 8 Classes.

c) A amplitude das classes:

Resolução: a amplitude das classes é dado por: ℎ ≅ : , logo:

ℎ ≅ 39: 8 ↔ ℎ ≅ 4,8 ↔ ℎ ≅ 5

d) Desta alínea até alínea h), vamos responder numa tabela:

Limites das

Classes -d)

fi- e) fr- f)

Pontomédio Xi- g) Fi- h) Fr- h)

[151,158] 5 5/100=0,05=5% 154,5 5 0,05=%% [159,163] 10 10/100=0,1=10% 161 15 0,15=15% [164,168] 23 23/100=0,23=23% 166,5 38 0,38=38% [169,173] 24 24/100=0,24=24% 171 62 0,62=62% [174,178] 18 18/100=0,18=18% 176 80 0,80=80% [179,183] 13 13/100=0,13=12% 181 93 0,93=93% [184,188] 5 5/100=0,05=5% 186 98 0,98=98% [189,193] 2 2/100=0,02=2% 191 100 1=100%

= 100 = 1 = 100% ----- ------- ------ i) O histograma e polígono de frequência

j) O polígono de frequências acumuladas

0

5

10

15

20

25

30

Freq

uênc

ia a

bsol

uta

3

4. Calcular a taxa média do capital da empresa.

%1,113%34´

3%14%8%12__

X

5. Na empresa Mercury Ltda. Foi observada a distribuição de funcionários do sector de

serviços gerais com relação ao salário semanal.

Para facilitar responder as questões, começaremos por construir uma tabela:

Salário semanal (em US$) fi

Pontomédio Xi Xi*fi __

xXi 2__

xXi

2__

xXiFi

25 |-30 10 27,5 275 -15,3 234,09 2340,9 30 |-35 20 32,5 650 -10,3 106,09 2121,8 35 |-40 30 37,5 1125 -5,3 28,09 842,7 40 |-45 15 42,5 637,5 -0,3 0,09 1,35 45 |-50 40 47,5 1900 4,7 22,09 883,6 50 |-55 35 52,5 1837,5 9,7 94,09 3293,15 Total N=150 ------- 6425 -16,8 ------- 9483,5

a) Salário médio semanal dos funcionários:

Resolução: $8,421506424* ____

USxN

xifix .

b) Desvio padrão, o coeficiente de variação e a assimetria dos salários semanais

dos funcionários.

Desvio padrão: N

xxfin

ii

1

2__

,como: 5,94832

1

__

n

ii xxfi e

= 150, portanto: 9,72,63150

5,9483

0

20

40

60

80

100

120

1 2 3 4 5 6 7 8

fi

Fi

4

Coeficiente da Variação: %4,18184,08,42

9,7__ CvCvx

Cv .

Assimetria dos salários semanais dos funcionários:

79,09,7

1,498,42__

oS

MxA , A assimetria é negativa, porque 0SA .

c) Determinar os limites dos salários das categorias A, B e C.

6. Escreva sob forma de somatório a seguinte expressão: 44

23

22

21 4321 ffff

Resolução: 2704321 42224

1

if

7. Calcule:

8. Sabendo que

9. Uma pesquisa sobre a renda anual familiar realizada com uma amostra de 1000

pessoas na cidade Tangará resultou na seguinte distribuição de frequência:

a) Pretende-se determinar a média, a moda os quartis e coeficientes de variação dos

salários.

Construamos a tabela para facultar a nossa resolução:

Salário anual (em US$) fi

Pontomédio Xi Xi*fi __

xXi 2__

xXi

2__

xXiFi

00,00 |-10,00 250 5 1250 -16,9 285,61 71402,5 10,00 |-20,00 300 15 4500 -6,9 47,61 14283 20,00 |-30,00 200 25 5000 3,1 9,61 1922 30,00 |-40,00 120 35 4200 13,1 171,61 20593,2 40,00 |-50,00 60 45 2700 23,1 533,61 32016,6 50,00 |-60,00 40 55 2200 33,1 1095,61 43824,4 60,00 |- 70,00 20 65 1300 42,1 1772,41 35448,2 70,00 |- 80,00 10 75 750 53,1 2819,61 28196,1 Total N=1000 ----------- 21900 6735,68 247686

Média: 9,21100021900

*1

__

N

xfx

n

iii

.

Moda: 3,1310

20030025030025030010

21

1

ooio MMh

DDDLM

5

Os quartis: 2504

10004

1 xxxQ N => o 1º quartil encontra-se na classe(segunda classe)

0,00 | − 10,00.

7504

100034

3 xxxQ N => o 3º quartil encontra-se na classe ( terceira classe) 20,00 | − 30,00.

Coeficiente de Variação: %6,71716,09,217,5

__

CvCvx

Cv

10. Considere a distribuição, relativa a notas de dois alunos de informática durante

determinado semestre.

a) Calcule as notas médias de cada aluno.

Aluno A: 625,5845

82735,66295,9__

N

xix

Aluno B: 5840

845,455,565,45,55__

N

xx i

b) Qual aluno apresentou resultados mais homogéneos? Justifique

O aluno B é que apresentou resultados mais homogéneos, porque são quase iguais.

11. Calcule 60º percentil da sequência X: 1,8,7,5,6,10,12,1,9.

5,341003450

1005960

10060

60

NP

12. Uma distribuição simétrica unimodal apresenta mediana igual a 36 dm e coeficiente

de variação em torno de 20%. Determine a variância dessa distribuição.

Resolução: Se a distribuição é simétrica, logo: 0SA , como:

MedxAS33

__

,

teremos: 363

1081083036330______

__

xxxx

Vamos determinar o desvio padrão: 2,73620,0__

xCv

Sendo: 84,512,7, )(2

)(2

)()( xxxx VVVV .

A variância desta distribuição é 51,84

13. Calcular a moda dos seguintes conjuntos de valores:

= {4,5,5,6,6,6,7,7,8,8}. A moda desse conjunto é 6 (Unimodal)

= {4,4,5,5,6,6} . O conjunto não tem moda (Amodal)

6

= {1,2,2,2,3,3,4,5,5,5,6,6}. O conjunto tem duas modas 2 e 5 (Bimodal).

= {1,2,3,4,5}. O conjunto não tem moda (Amodal).

14. Calcular a mediana dos seguintes conjuntos de valores:

= {2,3,6,12,15,23,30}. Como os dados são ímpares, logo a mediana será o valor

central (12).

= {3,6,9,12,14,15,17,20}. Como os dados são pares, assim a mediana, será a semi-

soma dos dois valores centrais: (12+14) /2= 26/2= 13.

15. Calcular o consumo mediano de electricidade (kw/h) dos 80 usuários.

Resolução: Vamos determinar as frequências absolutas acumuladas através de uma

tabela.

16. Uma amostra aleatória de 250 residências de famílias, classe média com dois filhos,

revelou a seguinte distribuição de consumo mensal de energia eléctrica. Pede-se:

Começaremos por organizar os dados em uma tabela:

Classes fi

Pontomédio (Xi)

Fi Xi*fi __

xXi 2__

xXi

2__

xXiFi

000 |- 050 2 25 2 50 -192,8 37171,84 74343,68 050 |-100 15 75 17 1125 -142,8 20391,84 305877,6 100 |-150 32 125 49 4000 -92,8 8611,84 275578,9 150|-200 47 175 96 8225 7,2 51,84 2436,48 200 |-250 50 225 146 11250 57,2 3271,84 163592 250 |-300 80 275 226 22000 107,2 11491,84 919347,2 300 |- 350 24 325 250 7800 -142,8 20391,84 489404,2 Total N=250 -------- --- 54450 -399,6 101382,9 2230580

a) O consumo médio por residência.

8,217250

54450__

Nfx

x ii . Em média cada residência consome 217,8 kw/h.

Classes fi Fi 5 |- 25 4 4 25 |-45 6 10 45 |-65 14 24 65 |-85 26 50 85 |-105 14 64 105 |-125 8 72 125 |- 145 6 78 145|- 165 2 80 Total N=80 ---

3,77

2026

242

80

652 1

1

Me

MehFi

NN

lMe i

i

i

7

b) A distribuição de frequências.

c) A percentagem de famílias com consumo maior ou igual a 200 e menor que 250

kw/h.

Este dado, está na quinta classe (200 |- 250), cuja frequência absoluta é de 50.

Assim, teremos: % = ↔ % = 0,2 = 20%.

d) A percentagem de famílias com consumo menor que 200 kw/h.

São todos os dados da primeira à quarta classe, cuja frequência absoluta

acumulada é 96. % = ↔ % = 0,384 = 38,4%

e) A percentagem de famílias com consumo maior ou igual que 250 kw/h.

Engloba a penúltima e última classe (80 +24=104).

% =104250 ↔ % = 0,416 = 41,6%

f) O histograma e polígono de frequência.

g) O consumo mediano.

= = 125 A moda está na classe 200 |- 250.

2295050

96125200

MedMed kw/h.

h) A moda

2685024805080

5080250 021

1

MMh

DDD

lM oio

i) A amplitude total da série.

3500350 RR

0

10

20

30

40

50

60

70

80

1 2 3 4 5 6 7

Freq

uênc

ia a

bsol

uta

8

j) O desvio médio simples.

N

xxfD

n

iii

x

1

_

)(

7,82250

8,20698250

2,3427857628604,3386,296921426,385250

8,142242,107802,57502,7478,92328,142158,1922

)(

)(

x

x

D

D

k) A variância.

Na tabela:

n

iii xxf

1

2__2230580 , N= 250

32,8922250

2230580)()( xx VV .

l) O desvio padrão.

4,9432,8922

m) O coeficiente de variação

Como: e 8,217__x , assim: %3,43

8,2174,94

__ x

CV

n) O primeiro quartil

5,624

2504

1 xxxQ N

o) O terceiro quartil

5,1874

75042503

433 xxxxQ N

p) P10

251002500

10025010

10010

10

NP

q) D6

15010

150010

2506106

6

ND

r) P90

225100

22500100

2509010090

90

NP

s) Classifique quanto à assimetria.

53,04,942,50

4,942688,217

__

oS

MxA

9

A distribuição é assimétrica negativa, pois .0SA 17. Seguinte histograma foi construído com base numa pesquisa do tempo de serviço dos

empregados de uma determinada empresa. Determine:

a) O número de classes

Resolução: Se N= 25, ≅ √ , e sendo 25if , logo: ≅ √25 ≅ 5 classes.

b) Amplitude total

= 30 − 0 ↔ = 30

c) A frequência total: 2554763if

d) O limite inferior da primeira classe

Solução: O limite inferior da primeira classe é 0.

e) O limite superior da primeira classe.

Solução: O limite superior da primeira classe é 6.

f) A frequência da primeira classe: Solução: é 3.

g) A frequência relativa da primeira classe. Solução: = = 0,12 = 12%

h) O ponto médio da primeira classe. é ( ) = ↔ = = 3.

i) A frequência acumulada da primeira classe. Solução: A frequência acumulada da

primeira classe é igual a frequência da mesma classe, neste caso 3.

j) A frequência acumulada relativa da primeira classe. Solução: A frequência

acumulada relativa da primeira classe é igual a frequência da mesma classe, neste

caso 0,12 = 12%.

k) O limite inferior da quarta classe. Solução: é 18.

l) O limite superior da quarta classe. Solução: é 24

m) A amplitude de variação da quarta classe.

ℎ = − ↔ ℎ = 24 − 18 ↔ ℎ = 6

n) O ponto médio da quarta classe. é ( ) = ↔ = =

= 21

o) A frequência da quarta classe. Solução: é 4.

p) A frequência da quarta classe. Solução: = = 0,16 = 16%.