estatistica

FOLHA DE EXERCÍCIOS DA UC ESTATÍSTICAINFORMÁTICA DE GESTÃO

GESTÃO DA DISTRIBUIÇÃO LOGÍSTICA2011/12

CARLOS FILIPE BARROSESCE, IPVC

[email protected]

Date: 6 de Junho de 2012.1

2 Folha de exercícios de Estatística 2011/12

1. Estatística descritiva

(1) Apresentre três exemplos de populações, e, para cada uma delas, indique dois atributosplausíveis para as respectivas unidades estatísticas.

(2) Enumere uma possível amostra de dimensão 3 das seguintes populações(a) Jornais diários publicados em Portugal.(b) Alunos da ESCE.(c) Estações de rádio portuguesas.(d) Clubes de futebol que participam na Liga Sagres.(e) Marcas de telemóveis.

(3) Caracterize a natureza de cada uma das variáveis seguintes (quantitativa discreta, quan-titativa contínua, qualitativa nominal, qualitativa ordinal)a) Número de mails enviados diariamente por um aluno no último mês.b) Custo dos livros de estudo comprados por um estudante da sua universidade no

presente ano lectivo.c) Valor mensal da conta de telemóvel no último ano.d) Categorias existentes na carreira docente do ensino superior público.e) Distrito de naturalidade de um estudante da ESCE.

(4) Num determinado dia o gabinete médico de uma universidade efectuou 73 consultas aalunos, tendo classificado estes segundo a faculdade à qual pertenciam:• Psicologia (P);• Engenharia (E);• Letras (L);• Farmácia (F);• Medicina (M);• Outras (O).

Na tabela seguinte apresentam.se os resultados obtidos.

E L F E L E E P F LM E E O E P O E F OO L O E L F L E L EO E O L P E E L E ME O E O P P E F E OP E L E F O L F P EE O E E E M E L E PO E L

(a) Indique a população e amostra da informação recolhida.(b) Represente adequadamente e interprete a informação contida nestes dados.

(5) Duzentos e cinquenta portugueses responderam a um inquérito realizado por um entre-vistador à entrada de um centro comercial. O objectivo do inquérito era saber qual dosquatro países, Espanha, Itália, Grécia e França, é o preferido pelo entrevistado comodesino de férias. Os resultados foram organizados na Tabela a seguir.(a) Qual das medidas, médias, moda, mediana, pode ser usada para indicar o país mais

preferido? Justifique a resposta.

Folha de exercícios de Estatística 2011/12 3

País Espanha Itália Grécia FrançaNúmero de 106 42 24 78prefrerências

(b) Represente graficamente os dados da tabela.

(6) Uma concessionária com 20 trabalhores, num determinado mês registou a seguinte infor-mação:

Funcionário IdadeAnos na

Salário (e)Número de

empresa vendas1 34 5 11000 102 26 1 6500 33 35 10 14500 84 43 4 11000 75 27 3 8000 156 38 8 13000 117 26 2 6500 58 37 5 12500 79 24 3 7000 1010 45 13 17000 1311 31 7 12000 612 36 4 9500 1713 25 3 10500 1014 32 8 13000 915 24 2 7000 416 29 9 13000 517 36 8 12500 1218 32 5 11500 619 44 13 17000 720 35 6 12000 18

(a) Sobre o número de carros vendidos no mês em questão, determine(i) O número médio de carros vendidos;(ii) O número mediano de carros vendidos;(iii) A moda;

(b) Repita a alínea anterior desta vez para o número de anos na empresa.(c) Construa uma tabela de frequências no que toca aos salários praticados nesse mês.(d) Supondo que é a(o) responsavél pela concessionária, como analisaria estes números

se eles se repetissem por mais 2 meses consecutivos? Que decisões gerenciais toma-ria, justificando convenientemente?

(7) Os tempos, em minutos, gastos por estudantes na resolução de um problema de estatísticaforam os seguintes:

26 17 37 38 29 62 43 47 19 49 41 15 25 30 3321 53 59 42 60 58 40 48 44 54 47 31 32 16 21


(a) Construa uma tabela de distribuição frequências absolutas, relativas e relativas empercentagem (também as acumuladas).

(b) Construa o histograma e polígono de frequências correspondente às frequencias ab-solutas.

(c) Construa o histograma e polígono de frequências correspondente às frequências re-lativas acumuladas.

(d) Determine o verdadeiro valor da média, da mediana e da moda do conjunto dostempos compare estes valores com os respectivos valores que obteria usando apenasa distribuição de frequências construidas em (7a).

(e) Qual a proporção de estudantes que gastaram(i) pelo menos 30 minutos;(ii) no máximo 38 minutos;(iii) entre 30 e 54 minutos a resolver o problema?

(8) A despesa, em euros, efectuada por 52 clientes de um supermercado, seleccionados aosacaso está representada na seguinte tabela

59.03 95.16 48.19 55.16 5.27 24.14 59.12 47.5021.17 32.43 49.50 72.20 13.05 37.12 10.21 56.9112.17 10.17 60.14 22.23 18.17 45.12 82.17 66.6714.50 43.57 62.17 47.35 27.53 23.12 75.17 37.059.25 67.78 36.18 87.50 62.31 19.21 58.14 15.0528.62 52.19 78.75 38.92 35.64 90.12 25.14 95.6273.14 25.00 32.19 42.71

(a) Represente os dados numa tabela de distribuição e graficamente usando um histo-grama com polígono de frequências.

(b) Calcule média, mediana, moda usando os dados brutos e os dados depois agrupadosem classes.

(c) Calcule quartis, desvio padrão e desvio médio usando os dados brutos e os dadosdepois de agrupados.

(d) Apresente o gráfico da caixa de bigodes. Com base nas representações gráficas e asvárias medidas estatísticas calculadas a partir dos dados, faŊa um comentário so-bre a natureza dos dados, a sua distribuiçŃo e características que tenham interesseassinalar.

(9) Um banco tem à disposição dos seus clientes duas zonas de atendimento, Z1 e Z2, cadauma com duas máquinas multibanco. Na zona Z1, os clientes formam fila única e em Z2

faze duas filas separadas, uma para cada máquina. Registaram-se os seguintes temposde espera até atendimento.

Z1 4.8 4.8 4.9 5.1 5.4 5.5 5.7 5.8 5.8 5.8Z2 2.0 3.5 4.1 4.5 5.1 5.8 5.8 5.8 8.4 8.6

Com base nestes dados, que conselho daria ao banco quanto ao método a usar, filaúnica ou filas separadas? Justifique a sua resposta quer usando medidas de localizaçãoquer medidas de dispersão.

(10) Um estudo sobre os atrasos nos voos europeus durante o Verão de 2006, realizado emdeterminado aeroporto, conduziu aos seguintes resultados:


Atraso (em min) (0, 10] (10, 20] (20, 30] (30, 40] (40, 50] (50, 60]N de voos 29 23 17 14 11 6

(a) Construa uma tabela de frequências.(b) Construa um histograma.(c) Calcule a média, a variância, o desvio padrão e o desvio médio referentes aos minutos

de atraso dos voos.(d) Obtenha a mediana.(e) Determine o intervalo interquartis e a respectiva amplitude.(f) Determine a classe modal.(g) Calcule o percentil 30 e o percentil 80.(h) Comente a seguinte afirmação:

25% dos voos tiverem atrasos superior 40 minutos.(i) Sabendo que a amplitude total do tempo de atraso, em minutos, dos aviões foi de

56 minutos e 18 segundos e o menor tempo de atraso registado foi de 2 minutos e30 seguntos, esboce a caixa de bigodes.

(j) Um funcionário do aeroporto em questão, após analisar os dados e calculado o ter-ceiro momento central, fez o seguinte comentário ‘A maior parte dos voos teve umatraso inferior à média’ . Suporte a veracidade ou falsidade desta conclusão.

(11) Considere-se uma amostra constítuida por 100 latas de pêssego em calda de uma deter-minada marca cujo rótulo indica um peso médio, com líquido escorrido, de 450 gramas.Na tabela seguinte incluem-se os pesos observados na amostra, já agrupados.

Peso (gramas) Frequência(420, 425] 2(425, 430] 5(430, 435] 6(435, 440] 14(440, 445] 18(445, 450] 27(450, 455] 19(455, 460] 8(460, 465] 1

(a) Calcule medidas amostrais de localização, dispersão, assimetria e curtose.(b) Tendo em conta os dados observados na alínea anterior, acha que o peso médio

indicado no rótulo das latas devia ser mudado ou não? Se sim, indique qual o novovalor que utilizaria e justifique a sua escolha.

(12) Foram medidas a altura e o peso de um grupo de homens e de um grupo de mulheres.O quadro seguinte contém a média (µ) e o desvio padrão (σ) dos dados observados.

Grupos Altura (cm) Peso (Kg)µ σ µ σ

Homens 173 3.2 71 3.2Mulheres 158 3.2 54 2.7

(a) Calcule o coeficiente de variação da altura das mulheres e do peso dos homens.


(b) Compare a dispersão da altura e do peso dentro de cada grupo e entre os dois gruposde indivíduos.

(13) Os dados da Tabela 1 representam o tempo de hemodiálise (HD) antes da transplataçãorenal efectuada em 104 doentes num Hospital público do Sistema Nacional de Saúde(SNS). Embora teoricamente se trate de uma variável contínua, as observações são me-didas em meses. No conjunto dos 104 valores observados, o valor mínimo foi de 3 meses,e o valor máximo 144.

Tempos deFi fi f ′iHD

(0, 15] 9 0.087 8.7(15, 30] 25 ?? 24(30, 45] 20 0.192 19.2(45, 60] ?? ?? 19.2(60, 75] 7 0.067 6.7(75, 90] 4 0.039 3.9(90, 105] ?? ?? ??(105, 120] 1 0.010 1.0(120, 135] ?? 0.010 ??(135, 150] 2 0.019 1.9

total 104 1 100

(a) Complete os espaços em branco da tabela 1.(b) Construa a tabela de frequências acumuladas.(c) Calcule as medidas de localização.(d) Calcule as medidas de dispersão, bem como o intervalo interquartil.(e) Faça a caixa de bigodes.(f) Calcule o percentil 75, o percentil 30 e o percentil 90. Interprete os resultados

obtidos.(g) Construa o histograma das frequências relativas e o polígono da frequência absoluta

acumulada.(h) Calcule o terceiro e quarto momento central, bem como o coeficiente de assimetria

e curtose, e interprete os resultados

(14) O quadro que se segue apresenta o número de golos por jogo da Primeira Liga Profissionalde Futebol Portuguesa na época 1999/2000.

N de Golos 0 1 2 3 4 5 6 7 8Freq. de Jogos 0.088 a 0.261 0.226 0.095 b 0.039 0.049 0.24

Sabendo que a média de golos por jogo foi de 2.416, determine os valores de a e b,bem como a mediana e a classe modal.

(15) Relatiamente ao exercício (6) calcule o coeficiente de correlação entre(a) Idade e Anos na empresa;(b) Anos na empresa e Salário;(c) Salário e Número de Vendas.


Interprete os resultados obtidos.

(16) Uma empresa que produz válvulas de um determinado tipo, recolheu informação relativaà dimensão de 30 lotes de fabrico dessas válvulas e ao correspondente custo directo deprodução. Na tabela segunte apresentam-se os dados recolhidos: 30 pares ordenados(dimensão do lote em unidades, custos directos em euros).

(26, 230) (20, 209) (5, 128)(50, 341) (30, 247) (10, 155)(100, 629) (4, 135) (10, 143)(20, 187) (5, 125) (6, 131)(8, 159) (50, 366) (20, 219)(40, 327) (200, 1146) (15, 171)(25, 206) (50, 339) (30, 258)(6, 124) (20, 208) (65, 415)(8, 155) (10, 150) (22, 226)(10, 147) (15, 179) (10, 159)

Represente graficamente estes dados, ajuste uma relação linear entre as variáveis di-mensão do lote e custo directo de produção e caracterize o grau de ajuste obtido.

(17) O quadro que se segue diz respeito aos países europeus com “ desenvolbimento humandoelevado” e foi construído com base em informação contida Relatório do DesenvolvimentoHumano 1999. Para estes países, registaram-se os valores assumidos para algumas va-riáveis: valor do índice de desenvolvimento humano (IDH), n de telvisores por 1000habitantes (TEL), produto interno bruto (PIB) real per capita em mihares de dólares epercentagem de mulheres no parlamento (MUL).

País TEL PIB IDH MUL País TEL PIB IDH MULSuécia 476 19.790 0.923 42.7 Rep Checa 406 10.510 0.833 13.9Dinamarca 533 23.690 0.905 37.4 Irlanda 469 20.710 0.900 13.7Noruega 709 24.450 0.927 36.4 Portugal 367 4.270 0.858 13.0Finlândia 605 20.150 0.913 33.5 Polónia 418 6.520 0.802 12.9Holanda 495 21.110 0.921 31.6 Eslováquia 384 7.910 0.813 12.7Alemanha 493 21.260 0.906 29.8 R. Unido 612 20.730 0.918 12.3Islândia 447 22.497 0.919 25.4 Itália 436 20.290 0.900 10.0çustria 496 22.070 0.904 24.7 Malta 497 13.180 0.850 9.2Suiça 493 25.240 0.914 20.3 França 598 22.030 0.918 9.1Luxemb. 628 30.863 0.902 20.0 Eslovénia 375 11.800 0.845 7.8Espanha 509 15.930 0.894 19.9 Grécia 44 12.769 0.867 6.3Bélgica 464 22.750 0.923 15.8 Chipre 146 14.201 0.870 5.4

Qual das variáveis TEL, PIB, MUL lhe parece dever apresentar maior correlação com avariável IDH? Verifique a sua intuição calculando os respectivos coeficientes de correlação.

2. Probabilidades

(18) Uma caixa contém cinco bolas, das quais duas são pretas. As bolas pretas estão nume-radas de 1 a 2, e as outras bolas, de 3 a 5. Extraem-se duas bolas ao acaso (uma a seguirà outra e sem reposição), e observa-se o número inscrito em cada uma delas.


(a) Enumere os elementos do espaço de resultados associado à experiência.(b) Defina no espaço de resultados os seguintes acontecimentos:

A1: A primeira bola observada é preta.A2: A segunda bola observada é preta.A3: As duas bolas observadas são pretas.A4: Pelo menos uma das bolas observadas é preta.A5: Exactamente uma das bolas observadas é preta.A6: A soma dos números inscritos nas bolas observadas é superior a sete.

(19) Lançam-se ao acaso simultaneamente 3 moedas, uma de 20 cêntimos, uma de 50 cêntimose uma de 1 euro.(a) Indique quantos são os resultados possiveis associados a esta experiência.(b) Calcule a probabilidade de saírem 2 caras.(c) Calcule a probabilidade de saírem quanto muito duas caras.(d) Calcule a probabilidade de saírem pelo menos duas coroas.

(20) Conside a esperiência aleatória que consiste no lançamento simultâneo e ao acaso de doisdados equilibrados em cada um dos seguintes casos:(i) Os dados são distinguíveis;(ii) Os dados são indistinguíveis.

Em cada caso calcule a probabilidade de:(a) Sair a face 3 num só dado.(b) Sair a face 4 pelo menos num dado.(c) SaŠda de faces com soma de pontos que seja par.

(21) Num curso superior, 70% dos alunos têm computador em casa, 40% têm computadorportátil e 30% têm os dois. Escolhido um aluno ao acaso, calcule a probabilidade de:(a) Ter pelo menos um dos tipos de computadores.(b) Não ter computador.(c) Ter um e um só computador.

(22) A meterologia prevê que chova no próximo sábado com probabilidade de 0.25. e quechova no próximo domingo com probabilidade 0.25. É lícitio deduzir que, de acordo coma meterologia, a probabiliade de chover no próximo fim-de-semana é de 0.5?

(23) Uma caixa coném 5 artifos, numerados de 1 a 5, dos quais 2 são defeituosos. extraem-seindividualmente 2 artigos ao acaso,(i) Com reposição;(ii) Sem reposição.

Calcule em cada caso a probabilidade dos seguintes acontecimentos:(a) A := Sair um artigo defeituoso na primeira tiragem.(b) B := Sair um artigo defeituoso na segunda tiragem.(c) C := Saírem dois artigos defeituosos.(d) D := Sair pelo menos um artigo defeituoso.(e) E := Sair exactamente um artigo defeituoso.


(24) Considere o espaço amostral Ω formado pelos 100 primeiros números naturais. Considereos seguintes eventos:

A: Conjunto dos números divisíveis por 2;B: Conjunto dos números divisíveis por 3;C: Conjunto dos números divisíveis por 5.

(a) Qual o significado dos eventos A ∩B,A ∩ C,B ∩ C,A ∩B ∩ C e A ∩ C?(b) Calcule a probabilidade dos seguintes acontecimentos:

A,B,C,A ∩ C,B ∩ C,A ∩B e A ∩B ∩ C.

(25) Um equipamento electrónico é formado por 2 componentes A e B. De procedimentosanteriores, sabe-se que:

• A probabilidade de A falhar é de 0.2;• A probabilidade de fahar apenas B é de 0.15;• A probabilidade de A e B falharem simultaneamente é de 0.15.

(a) Calcule a probabilidade de falhar apenas A;(b) Calcule a probabilidade de B não falhar.(c) Calcule a probabilidade de falhar pelo menos um dos componentes.(d) Calcule a probabiliade de A falhar sabendo que B falhou.(e) Indique se os acontecimentos “ o componente A falhar” e “o componente B falhar”

são independentes.(f) Calcule a probabiliade de nenhum dos componetes não falhar.

(26) Num conselho de administração têm assento 15 pessoas. Destas, 10 são favoráveis àproposta A e os restantes favoráveis à proposta B.(a) Qual a probabilidade de a proposta B ganhas se a decisŃo final for delegada numa

comisão de 3 elementos a sortear aleatoriamente?(b) Se a comisão tiver 4 elementos , qual a probabilidade de se verificr um empate?

(27) Misturam-se 2 válvulas defeituosas com 2 perfeitas. Testam-se as válvulas uma a umaaté serem encontradas as 2 defeituosas.(a) Qual será a probabiliade de:

(i) a última válvula defeituosa ser encontrada no segundo ensaio?(ii) a última válcula defeituosa ser encontrada no terceiro ensaio?(iii) a última válvula defeituosa ser encontrada no último ensaio?

(b) Se somar os 3 valotres obtidos nas alíneas anteriores obteve algum resultado surpre-endente? Justifique a resposta.

(28) Um lote de 20 aritgos é aceite ou rejeitado na base de uma inspecção revelar no máximoum artigo defeituoso e rejeitá-lo caso contrário. De acordo com esta regra de decisão,qual a probabiliade de rejeitar um lote que tem 10% de aritgos defeituosos?


(29) Na experiência aleatória que consiste no lançamento ao acaso de 2 moedas nŃo viciadase distinguíveis entre si, considere os seguintes acontecimentos:

A: Sair cara na primeira moeda;B: Sair cara na segunda moeda;C: Sair cara exactamente numa moeda.

Poder-se-à dizer que os acontecimentos A, B e C são independentes? E sobre A e B?B e C? E, A e C?

(30) Num determinado país faz sol 75% dos dias e chove nos restantes 25%. Verificou-seque um tipo de barómetro que se limita a indicar “Sol” ou “Chuva” dá frequentementeindicações erradas: prevê sol em 10% dos dias chuvosos e chuva em 30% dos dias comsol.(a) Qual a probabilidade de o barómeto errar a previsão?(b) Qual a probabilidade de fazer sol num dia para o qual a previsão seja de chuva?

(31) Três máquinas, A, B e C, produzem respectivamente 60%, 30% e 10% do total de peçasde um determinado tipo. Para cada uma das máquinas A, B, C, o número de peçasdefeituosas representa respectivamente 2%, 3% e 4% das peças produzidas pela máquina.Admita que, de um contentor no qual se juntaram as peças, foi seleccionada ao acaso umadelas que se revelou defeituosa. Calcule a probabilidade de esta peça ter sido produzidapela máquina C.

(32) Admita que 42% dos acidentes de aviação são causados por falhas estruturais e que, paraeste tipo de acidentes, a probabilidade de atribuir (correctamente) a sua ocorrência auma falha estrutural é de 80%. Admita, ainda, que a probabilidade de um acidente cujacausa não é daquele tipo ser diagnosticada (incorrectamente) como devido a uma falhaetsrutural é de 15%. Determine a probabilidade de um acidente ao qual foi atribuídacomo causa uma falha estrutural ter resultado efectivamente de uma falha deste tipo.

(33) Numa cidade são publicados três semanários: S1, S2 e S3. sabe-se que:

• 22% dos habitantes lêem S1;• 15% dos habitantes lêem S2;• 87% dos habitantes não lêem S3;• 8% dos habitantes lêem S1 e S2;• 5% dos habitantes lêem S1 e S3;• 4% dos habitantes lêem S2 e S3;• 3% dos habitantes lêem os três seminários.

Calcule a probabilidade de um habitante da cidade escolhido ao acaso:(a) Ler pelos menos um semanário.(b) Ler um e um só semanário.(c) Não ler qualquer um dos semanários.(d) Ler somente dois semanários.(e) Ler o semanário S2 sabendo que lê os semanários S1 e S3.


(34) Sejam A e B dois acontecimentos independentes, definidos no mesmo espaço de resulta-dos, sendo P (A) = 1/3 e P (B) = 3/4.(a) Calcule P (A ∪B) e P (B|A ∪B).(b) Mostre que os acontecimentos complementares também são independentes.

(35) Mostre que se P (B|A) = P (B|A), então os acontecimentos A e B são independentes.

(36) É possível ter uma situação em que P (A) = 1/4, P (B) = 1/2 e P (A ∩B) = 1/3? Justi-fique.

(37) Suponha que vai passe um fim-de-semana a Londres viajando de avião. Considere osseguintes acontecimentos:

A: A mala perde-se na viagem de ida;B: A mala perde-se na viagem de regresso.

Sabendo que os dois acontecimentos são independentes, que P (A ∪ B) = 0.0298 queP (A ∩ B) = 0.0002 e que P (A) < P (B), determine a probabilidade dos acontecimentosA e B.

(38) Sabendo que A,B e C são acontecimentos tais que:

A ∪B ∪ C = Ω, A ∩B = B ∩ C = ∅,P (A) = 0.3, P (B) = 0.7, P (C) = 0.5.

Calcule P (A ∩B), P (B ∪ C, P (A|B) e P (A ∪B).

(39) Considere 3 acontecimentos A,B e C que não podem ocorrer simultaneamente. Se:

• P (A) = 1/3, P (B) = 1/5, P (C) = 1/4;• A é independente de B e de C;• P (A ∪B) = P (B ∪ C).

Calcule:(a) P (A ∪B) e P (B ∪ C).(b) P (A|B ∩ C.

(40) Considerando os acontecimentos A,B e C tais que P (B) > 0 e P (C) > 0 e B e C sãoindependentes, prove que:

P (A|B) = P (A|B ∪ C)P (C) + P (A|B ∪ C)P (C)

(41) Considerem-se os acontecimentos A,B e C, definidos sobre um mesmo espaço de re-sultados. Suponha que: as probabilidades destes acontecimentos são não nulas. Proveque:(a) P (A ∩ C|B) = P (A|B) + P (C|B)− P (A ∩ C|B).(b) se P (A|C) ≥ P (B|C) e P (A|C) ≥ P (B|C), então P (A) ≥ P (B).(c) P (A ∩B) = P (A)− P (A ∩B).(d) se A e B são independentes, P (A ∪B) = P (A) + P (B)× P (A)(e) P (A ∪B) = P (A)− P (B) + P (A|B)× P (B).


3. Variáveis aletórias

(42) Uma caixa contém 15 bombons: 5 de morango, 8 de chocolate e 2 de framboesa.Aleatoriamente, tiram-se da caixa 3 bombons. Seja X a variável que representa o

número de bombons de framboesa retirados.Defina a funŊção de probabilidade da variável X.

(43) Considere a função de probabilidade da variável aletória X:

xi 1 2 3 4 5P (X = xi) 0.15 k 2k 0.3 0.25

(a) Calcule o valor de k.(b) Determine:

(i) P (X < 3)(ii) P (X < 3 |2 ≤ X < 5)

(44) Uma caixa contém 15 canetas: 5 pretas, 5 azuis, 2 verdes e 3 vermelhas.Extraem-se quatro canetas da caixa. Seja X a variável que dá o número de canetas

pretas retiradas da caixa e seja Y a variável que dá o número de canetas vermelhasretiradas da caixa.(a) Definas funções de probabilidade da variáveis X e Y .(b) Indique o valor de:

(i) P (X < 2).(ii) P (Y > 1).(iii) P (X > 3).(iv) P (1 < Y ≤ 3).(v) P (X < 3 |1 < X < 4).(vi) P (Y > 2 |Y ≤ 3).

(45) Um saco contém 20 berlindes, sendo uns transparentes e outros opacos.Considere a experiŘncia que consiste na extracção sucessiva de três berlindes, com

reposição.A tabela representa a função de probabilidade da variável X: “Número de berlindes

transparentes retirados do saco”:

xi 0 1 2 3P (X = xi) 0.1 0.3 0.4 0.2

Defina a função de probabilidade da variável Y : "Número de berlindes opacos retira-dos do saco"e calcule quantos berlindes opacos e transparentes há na caixa.

(46) Determine o valor a para qual a tabela pode definir a função de probabilidade de umavariável aletória discreta.

xi 1 2 5 8P (X = xi) a 3a 2a 4a

(47) A tabela, a seguir. define a função de probabilidade de uma variável aleatória discretaY .


yi -1 1 3 5 7P (Y = yi) a a+ 0.1 0.1 b 0.1

Determine os valores reais de a e b, sabendo que P (Y ≤ 1) = P (Y ≥ 1) e determinetambém a função a função distribuição de probabilidade da variável aletória Y.

(48) SejaX a variável aletória que representa o número de vezes, por semana, que determinadoindividuo almoça na cantina da empresa onde trabalha. A distribuiçŃo de probabilidadede X é a seguinte:

xi 0 1 2 3 4P (X = xi) 0.1 0.15 0.4 a b

(49) Uma variável aleatória discreta Y admite a seguinte função de probabilidade:

yi -1 0 1 2P (Y = yi) 1/6 1/6 1/3 1/3

(a) Calcule o valor médio µ e o desvio padrão σ.(b) Escolhido aleatoriamente um elemento de Y , determine a probabilidade de ele per-

tencer ao intervalo ]µ− σ, µ+ σ[ .

(50) O quadro representa a função de probabilidade de uma variável aleatória X de valormédio igual a 5.4 .

xi 2 4 6 8P (X = xi) a b a+ b 0.2

Determine os valores de a e b.

(51) Seja X uma variável definida pela seguinte função de probabilidade:(a) Determine a média e o desvio padrão.(b) Determina a probabilidade de o valor da variável pertencer ao intervalo:

(i) ]µ− σ, µ+ σ[(ii) ]µ− 2σ, µ+ 2σ[

(52) Seja X uma variável aleatória discreta com função de distribição dada por:

FX(x) =

0 se x < −1

0.2 se − 1 ≤ x < 00.7 se 0 ≤ x < 11 se x ≥ 1

(a) Determine a função de probabilidade de X.(b) Calcule P (X ≥ 1)(c) Calcule P (x < 0.5 |X ≥ 0)(d) Calcule a média e o desvio padrão.


xi 2 4 6 8P (X = xi) 0.25 0.12 0.33 0.3

(53) Seja

FX(x) =

0 se x < 1x3 se 1 ≤ x < 21 se x ≥ 2

(a) Classifique a variável aleatória X em causa.(b) Calcule P (X ≥ 1.5)(c) Calcule P (x < 1.5 |X ≥ 1.2)

(54) A quantidade de vinho (em dezenas de litros) que um produtor-engarrafador vende pordia é uma variável aleatória X com função distribuição definida por:

FX(x) =

0 se x < 0x2

50 se 0 ≤ x < 520x−x2

50 − 1 se 5 ≤ x < 101 se x ≥ 10

(a) Qual é a probabilidade de num dia vender mais de 45 litros? e menos de 80?(b) Qual é a probabilidade de num dia vender entre 30 a 60 litros? e de 40 a 90 litros?(c) Do conjunto de dias em que vende 50 litros, qual é a probabilidade de vender menos

de 90 litros?

(55) Considere n lançamentos sucessivos de um dado perfeito e seja X a diferença entre asfrequências absolutas dos acontecimentos "sair face par"e "sair face ímpar".(a) Determine contradomínio de X.(b) Considerando n = 3, mostre que:

(i) P (X ∈ [−1, 1]) = 3P (X 6∈ [−1, 1]).(ii) a distribuição de X tem média 0 e variância 3.

(c) No caso n = 4, determine o valor esperado da variável aleatória X.

(56) Um lote de 10 motores eléctricos é rejeitado ou vendido na base do seguinte esquema:Escolhem-se ao acaso e inspeccionam-se dois motores. Se nenhum for defeituoso, o

lote será vendido; caso contrário, ser á rejeitado.Cada motor custa e3000 e é vendido por e4000. Qual o lucro esperado do fabricante

na hipótese de o lote conter apenas um motor defeituoso?

(57) Um estabelecimento comercial dispõe de 5 tipos de um dado artigo cujos preços são dee110, e120, e130,e140 e e150 respectivamente.

Suponha que o esquema de venda aos clientes que querem adquirir apenas um artigoconsiste em mostrar dois artigos extraídos aleatoriamente de forma a que ambos possameventualmente ter o mesmo preŊo.(a) Defina a distribuiçŃo da variável aleatória X que define a compra de um artigo por

parte de um cliente que opta sempre pelo mais caro dos dois.(b) Quanto espera receber a firma pela venda de um artigo a um cliente que opta pelo

critério acima referido?


(c) Admita que apenas 30% dos clientes optam por esse critério, adoptanto os restanteso critério do artigo mais barato. Quanto receberia agora em média a firma porcliente?

(58) De Um lote dque contém 25 peças, das quais, 5 são defeituosas, extraem-se 3 ao acaso.Seja X a v.a. que representa o número de peças defeituosas encontradas.(a) Determine a função probabilidade e a função disribuição de X se as peças são ex-

traídas com reposiçŃo.(b) Calcule o valor esperado.

(59) Os candidatos A,B,C e D a um determinado emprego são admitidos à entrevista final.Nesta entrevista são feitas 10 perguntas, sendo cada uma das perguntas dirigida a umdos candidatos escolhido ao acaso. Represente por X o número de perguntas dirigidasao candidato A.(a) Determina a função de probabilidade da v.a. X.(b) Calcule a probabilidade de A ter de responder a exactamente 2 perguntas.(c) Qual o número esperado de perguntas dirigidas a este candidato? E a cada uma dos

restantes candidatos?

(60) Uma v.a. X segue uma distribuição binomial B(25, 0.25). Indique o valor esperado e odesvio padrão.

(61) A frequência de gémeos nas populações Europeias é de cerca de 12 em cada 1000 nasci-mentos. Qual é a probabilidade de que não haja gémeos em 200 nascimentos.,(a) usando a distribuição binomial;(b) usando a aproximação de Poisson?

(62) O número de navios petroleiros que chegam diariamente a certa refinaria é uma v.a. Xcom distribuição de Poisson de parÂmetro 2. Nas actuais condições, o cais da refinariapode atender, no máximo, 3 petroleiros por dia. Atingido este número, os restantes queeventualmente apareçam deverão segir para outro porto.(a) Qual é a probabilidade de, num qualquer dia, ser preciso mandar petroleiros para

outro porto?(b) De quanto deveriam ser aumentadas as instalações para assegurar cais a todos os

petroleiros em 99.9% dos dias?(c) Qual é o número esperado de petroleiros a chegarem por dia?(d) Qual é o número esperado de petroleiros a serem atendidos diariamente?(e) Qual é o número esperado de petroleiros que reocrreão a outros portos diariamente?

(63) O número médio de chamadas que entre as 14 e as 20 horas afluem a uma centraltelefónica é de 100 por hora. Calcule a probabilidade de, no período compreendido entreas 17 horas e as 18 horas, se registarem:(a) mais de 100 e menos de 120 chamadas;(b) 90 ou mais chamadas;(c) exactamente 100 chamadas.

(64) Seja X uma v.a. com distribuição uniforme no intervalo [0, 1]. Calcule a função densi-dade da v.a. X, bem com a sua função distribuição, quer o valor esperado e desvio padrão.


(65) Seja X uma v.a. contínua com distribuição uniforme no intervalo [−a, a], onde a > 0.Determine a, sabendo que P (X > 4) = 0.25

(66) Numa empresa, os descontos mensais dos empregados para a Segurança Social distribuem-se normalmente com média 250 euros e desvio padrão de 50 euros.(a) Escolhido aleatoriamente um funionário da empresa, determine a probabilidade de

ele descontar para a Segurança Social(i) mais de 300 euros.(ii) menos de 200 euros.(iii) entre 250 e 350 euros.

(b) Sabendo que a empresa tem actualmente 75 funcionários, quantos destes descontamentre 250 euros e 350 euros?

(67) O peso dos moradores da Rua 30 de Maio, distribui-se normalmente com média igual a60kg. Diga, justificando, qual o acontecimento mais provável:A: “O peso dos moradores é superior a 50kg’.’B: “O peso dos moradores é inferior a 80kg”.C: “O peso dos moradores está compreendido entre 40kg e 80kg”.

(68) No armazém de um supermercado verificou-se que o peso de cada papaia existente nascaixas importadas pela Importext é uma variável aleatória normal, com média de 300gramas e desvio padrão de 50 gramas.(a) escolhida ao acaso uma papaia, determina a probabilidade de o seu peso

(i) ser inferior a 350 gramas.(ii) estar entre 250 gramas e 350 gramas.

(b) Verificou-se que todas as paparaias de uma determinada caixa tŘm peso inferior a350 gramas. escolhida ao acaso uma papaia dessa caixa, determina a probabilidadede o seu peso ser superior a 250 gramas.

(69) Uma pessoa tem de se deslocar diariamente para o trabalho. O tempo, em minutos,gasto diariamente, por essa pessoa, nessas deslocaçŻes, segue uma distribuição normalN(45, 15).(a) Num determinado dia, escolhido ao acaso, determine a probabilidade de essa pessoa

gastar mais de uma hora em deslocações para o local de trabalho.(b) Durante uma semana de cinco dias de trabalho, quantot empo é de esperar que esta

pessoa gaste em deslocações para o local de trabalho?(c) Sabe-se que esta pessoa, durante um ano, se deslocou para o trabalho durante 220

dias e que trabalhou sete horas por dia.Comente a afirmação:“É de esperar que a referida pessoa, durante um ano, gaste em deslocações para otrabalho, mais tempo do que o correspondete a 20 dias de trabalho.”

(70) Seja Z uma variável aleatória com distribuição normal estandardizada. Calcule, recor-rendo à representação gráfica sempre que apropriado:(a) P (0 < Z ≤ 2.05).(b) P (−1.22 ≤ Z < 1.05).(c) P (Z ≥ −2.05).(d) O valor de k tal que P (|Z| > k) = 0.05.(e) O valor de k tal que P (|Z| < k) = 0.90.


(71) Se X tem distribuição normal com média 6 e variĽncia 25, calcule:(a) P (6 < X ≤ 12).(b) P (0 ≤ X < 8).(c) P (X < −4).(d) P (|X − 6| > 10).(e) o valor de k tal que P (X > k) = 0.90.(f) o valor de k tal que P (X < k) = 0.95.

(72) O montante de depósitos à ordem efectuados dirariamente, em certa agêcia bancária, éaleatório com distribuição normal de média 120 unidades monetárias e variância 64.(a) Determine a percentagem de dias em que o montante de depósitos à ordem se situa

entre 105 e 135 unidades monetárias.(b) Determine a probabilidade de o montante de depósitos ser superior à média, nos

dias em que esse montante é inferior a 125 unidades monetárias.(c) Determine a média e a variância do montante de depósitos à ordem efectuados se-

manalmente (5 dias).

(73) Considere o tempo gasto numa visita à feira do livro é uma v.a. X com distribuição nor-mal, de média igual a duas horas. Suponha que apenas 2.5% dos visitantes permanecemmais de três horas.(a) Qual o desvio padrão da variável?(b) Sabendo que um visitante já chegou há uma hora, qual a probabilidade de se ir

embora nos próximos 30 minutos?(c) Calcule a mediana e o intervalo interquartil de X, e interprete o seu significado.(d) Calcule a probabilidade de em 20 visitantes, seleccionados ao acaso haver no má-

ximo um que permaneça mais de três horas.

(74) Para efeitos de comercialização, determinados frutos são classificados pelo tamanho, to-mando como medida o seu diâmetro máximo, que é uma variável aleatória com distri-buição normal, de desvio padrão igual a 5 e média µ. As categorias são os seguintes :

C1: Frutos com diâmeto máximo inferior ou igual a 6;C2: Frutos com diâmetro máximo entre 6 e 12;C3: Frutos com diâmetro superior ou igual a 12.(a) Sabendo que 30% dos frutos são da categoria C3, calcule o diâmetro máximo médio

dos frutos e apercentagemd e frutos emc ada uma das outras categorias.(b) Se os frutos forem vendidos em embalagens de 6 unidades, incluindo aleatoriamente

todos os tamanhos, qual a probabilidade de haver pelo menos dois frutos da cate-goria C3.

(75) Os eixos produzidos por uma máquina consideram-se não defeituosos se o desvio do di-âmetro do eixo para as dimensões projectadas não é a maior, em valor absoluto, do quedois milímetros. Os desvios aleatórios do diâmetro dos eixos obedecem a uma distribui-ção normal de média nula e desvio padrão 1.6 mm. Determine a percentagem de eixosnão defeituosos produzidos.

(76) Seja X uma variável aleatória com distribuição exponencial de média 20. Calcule:(a) P (10 < X ≤ 30).(b) P (X > 30).


(c) P (X > 40|X > 10).

(77) Adquiriu-se uma caixa com 12 lâmpadas onde constava a indicação de que a duraçãomédia de vida d euma lâmpada era de 1000 horas. Admitindo que o tempo de vida deuma lâmpada tem distribuição exponcial, determine a probabilidade da lâmapda commenor duração, entre as 12 da caixa, durar menos de 50 horas.

(78) O custo de produção de uma lâmpada de um certo tipo é e0.40. Admite-se que a duraçãode uma lâmpada tem distribuição exponencial com uma duração média de 1000 horas.O fabricante destas lâmpadas promete a substituição duma lâmpada caso ela não duramais do que 600 horas.(a) Qual é o lucro esperado por lâmpada, se for vendida a e0.60?(b) Para que preço da lâmoada se esperaria um lucro nulo?

4. Testes de HipÓtese

(79) Foram realizada uma estatŠstica com uma amostra de tamanho 64 de uma variável quese distribui normalmnete com média µ e desvio-padrão σ = 10. Sabe-se que o valorda média populacional µ é igual a 30 ou a 35. Deseja-se entŃo testar H0 : µ = 30 eH1 : µ = 35 e, para isso, será usada a seguinte regra de decisão: Se a média amostralx > 33, rejeita-se H0. Caso contrário aceita-se H0.(a) Determine α, a dimensão do teste.(b) Determine β a potência do teste.

(80) O teor da substância S no minério M0 se comporta como uma normal de média 15%e desvio padrão de 10%, e o teor da substância S no minério M1 se comporta comouma normal de média 20% e esvio padrão 10%. Uma companhia dispõe de um volumeapreciável de um minério cuja natureza (M0 ou M1) é desconhecida. Como a substânciaS é de facto uma impureza indesejável, só interessa Ĺ companhia utilizar esse materialno seu processo produtivo no caso de ele ser M0. SerĞ então recolhida uma amostra detamanho n desse material que serão analisadas quimicamente e, com base nos resutlados,se pretende testar: H0 : o minério é M0 contra H1 : o minério é M1.(a) Qual deve ser o tamanho n da amostra para que as probabiidade do Erro I e do

Erro II sejam respectivamente de 0.01 e 0.1(b) Usando o n obtido em (a), qual a decisão a ser tomada se a média amostral dos

teores observados for x = 18? Justifique a sua resposta.

(81) Numa pesquisa eleitoral referente Ĺ primeira volta de uma eleição para uma junta defreguesia, foram ouvidos 1 000 eleitores seleccionados aleatoriamente, e, entre eles, m =510 declaram-se favoráveis ao candidato A. Deseja-se testar a hipótese H0 de que aproporçŃo p de eleitores do candidato A é menor ou igual a 0.5 contra a alternativa deque A venceria com maioria absoluta.(a) Qual seria a sua decisão ao nível de significância de 5%?(b) Se na realidade p = 0.55, qual seria a probabilidade de ser cometido o Erro II ao ser

usada essa mesma regra de decisão?

(82) A duração, X, de uma componente, em horas, tem uma distribuição normal com desviopadrão igual a 50. Para testar H0 : µ = 250 contra H1 : µ = 200, utiliza-se a seguinteregra: rejeitar H0 se x < 230.


(a) Se a decisão for tomada com base numa amostra casual de 16 componentes, calculea dimensão e a potência associadas a este teste.

(b) Qual a dimensão mínima da amostra para que a probabilidade de cometer o erro detipo I seja inferior a 0.025?

(83) Um comerciante recebe ovos de um determinado aviário, onde os ovos são classificados,consoante o peso, em duas classes, A e B. O peso dos ovos da classe A tem distribuiçãonormal de média de 50 gramas e desvio padrão 6 gramas, enquanto o peso dos ovos daclasse B tem distribuição normal de média 55 gramas e desvio padrão idêntico ao daclasse A. O comerciante acaba de receber uma remesa de ovos com garantia de seremda classe B e tem um prazo de 2 dias para reclamar, caso considere ter havido enganoda aprte do aviário. Considere H0 : µ = 55 contra H1 : µ = 50.(a) Para tomar uma decisão, o comerciante analisou uma amostra de uma dúzia de ovos

cujo peso total foi de 630 gramas. Qual a atitude que o comerciante deve tomar?(utiliza a dimensão de 0.05).

(b) Determine a probabiliade do erro de segunda espécie? Qual o seu significado?(c) Se pretender a probabilidade do erro de segunda espécie seja idêntico Ğ do de pri-

meira espécie (0.05), qual deve ser a dimensão da amostra a considerar?

(84) Uma repartiçŃo de finanças tem dois funcionários a receber declarações de IRS. Admitaque o tempo que cada funcionário leva a atender uma pessoa tem distribuição normal,com desvios padrões iguais a 2 minutos. O Sr antunes, ao chegar para entregar a suadeclaraçŃo, nota que a fila junto ao balcão A tem 20 pesoas, enquanto a fila junto dobalcão B tem 15 pessoas, e opta, naturalmente por esta. Ao comeŊar a ser atendido(uma hora e quinze minutos depois), repara que a vigésima pessoa da fila ao lado tinhajustamente acabado de ser atendida. Pode afirmar-se que o tempo médio gasto pelosdois funcionários a atender uma pessoa é idêntico? (Considere as dimensões 0.05 e 0.1).

(85) Para testar a hipótese que uma certa moeda é pereita, faz-se uma experiência adoptandoa seguinte regra de decisão: aceitar a hipoótese se em 150 lançamentos ao acaso o númerototal de caras obtido for não infeior a 65 e não superior a 85e caso contrário rejeitar ahipótese. Determine o risco do erro de primeira espécie.

(86) De duas populações normais X e Y com o mesmo desvio padrão σ = 1, extraíram-se asamostras:

Amostra de X: 15, 13, 15, 13, 17, 16, 14, 16, 15, 15, 14, 14.Amostra de Y: 12, 14, 13, 16, 11, 14, 15, 13, 16.

Teste, para α = 0.05 e α = 0.01, se as médias das duas populações são ou não iguais.(87) A direcção da Companhia que financia um certo program de televisão é de opinião que o

programa deve ser cancelado caso a percentagem de espectadores que vêem regularmenteo programa for inferior a 20%. Numa amostra de 1250 telespectadores escolhidos aoacaso, 260 vêem o programa regularmente. O programa deverá ser cancelado para umnível de 0.05?

estatistica

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