estática dos pontos maeirais

ESTTICA DOS PONTOS MATERIAISProf Anglica da Silva Nunes

Esttica dos Pontos Materiais - Prof Anglica da Silva Nunes

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INTRODUO Mecnica Cincia que descreve e prediz as condies de repouso ou movimento dos corpos sob a ao de foras

Aplicaes Clculo Estrutural Projeto de Mquinas Escoamento de Fludos Instrumentao Eltrica etc.2



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CONCEITOS TEIS Espao Regio geomtrica ocupada por corpos cujas posies so descritas por medidas lineares e angulares em relao a um sistema de coordenadas. Um ponto definido no espao por 3 coordenadas (x, y, z)

Tempo Medida da sucesso de eventos. Alm da posio no espao, o instante em que ocorre cada evento deve ser conhecido

Massa Medida da inrcia de um corpo

Fora Representa a ao de um corpo sobre o outro. Esta ao pode ser por contato ou a distncia (foras gravitacionais, foras eletromagnticas). A fora uma grandeza vetorial sendo, ento, representada por seu mdulo, direo e sentidoEsttica dos Pontos Materiais - Prof Anglica da Silva Nunes 4

CONCEITOS TEIS Partcula (ponto material) Poro da matria que pode ser considerada como ocupando um nico ponto no espao (a sua forma e dimenso no so consideradas)

Corpo Rgido uma combinao de um grande nmero de partculas que ocupam posies fixas relativamente umas s outras. O corpo se desloca como um todo, no h movimento relativo entre as partculas, portanto no h deformao.Esttica dos Pontos Materiais - Prof Anglica da Silva Nunes 5

PRINCPIOS FUNDAMENTAIS DA MECNICA Lei do paralelogramo para a adio de foras Duas foras atuantes sobre uma partcula podem ser substitudas por uma nica fora resultante obtida pela diagonal do paralelogramo Este princpio no pode ser demonstrado matematicamente, mas verificado experimentalmente


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PRINCPIOS FUNDAMENTAIS DA MECNICA Princpio da transmissibilidade A condio de repouso ou movimento de um corpo rgido no se altera, caso se modifique o ponto de aplicao da fora sobre a mesma linha de ao Ex: em primeiro momento tem-se a fora aplicada no ponto A da reta s e num segundo momento a fora est aplicada no ponto B pertencente a mesma reta

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PRINCPIOS FUNDAMENTAIS DA MECNICA Princpio da transmissibilidade Pode ser aplicado sem restries na Mecnica dos Corpos Rgidos, mas o mesmo no ocorre com os corpos deformveis Ex:um cabo submetido trao. No caso A temse trao no cabo e no caso B tem-se compresso no cabo.


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PRINCPIOS FUNDAMENTAIS DA MECNICA Primeira Lei de Newton Se a fora resultante que atua sobre uma partcula em repouso nula, ento ela permanecer em repouso. Se a fora resultante que atua sobre uma partcula em movimento retilneo uniforme (MRU) nula, ento ela permanecer em MRU.

Segunda Lei de Newton Se a fora resultante que atua sobre um ponto material no nula, este ter uma acelerao proporcional intensidade da resultante e na mesma direo e sentido desta. Logo pode-se escrever:

F=ma

Terceira Lei de Newton As foras de ao e reao entre corpos em contato tm o mesmo mdulo, direo e sentidos opostos

Lei da atrao gravitacional de Newton Duas partculas de massa m1 e m2 so mutuamente atradas por foras iguais e opostas de mdulo F, dadas pela equao abaixo, em que G Constante Universal de Gravitao (G = 6,673x10-11 m3/kg s2) e r a distncia entre os centros das partculasEsttica dos Pontos Materiais - Prof Anglica da Silva Nunes 9

CLASSIFICAO DAS FORAS Foras Externas So as foras que atuam num corpo devido ao de outros corpos sobre este. Estas foras podem ser divididas em Ativas e Reativas. As foras Ativas causam uma tendncia de movimento no corpo, enquanto as foras Reativas tendem a evitar o movimento do corpo

Foras Internas So as foras responsveis por manter unidas as partculas que formam o corpo rgido

Foras Concentradas So foras que atuam num nico ponto. Estas foras so uma idealizao da realidade, que tem a funo de facilitar os processos de clculo. No existe constatao prtica da sua existncia

Foras Distribudas So foras que atuam numa determinada regio do corpo. Por exemplo presso atuando sobre uma superfcie

Foras Estticas So foras que podem ser consideradas constantes no tempo. Estas foras so aplicadas de modo bastante lento

Foras Dinmicas So foras variveis no tempo.Esttica dos Pontos Materiais - Prof Anglica da Silva Nunes 10

FORAS NO PLANO Intensidade Direo Sentido

30 N A 300 A

30 N 300


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FORA RESULTANTE Vetores Entes matemticos que possuem intensidade, direo e sentido Atual em um dado ponto material e no podem ser deslocados sem modificar as condies do problema So somados de acordo com a Lei do Paralelogramo Ex: duas foras A (3 N) e B (4 N) perpendiculares tem resultante igual a 5 N e no 7 N5N

3N

4NEsttica dos Pontos Materiais - Prof Anglica da Silva Nunes 12

VETORES Dois vetores de mesma intensidade, direo e sentido so ditos iguais, quer tenham ou no o mesmo ponto de aplicao vetores livres Podem ser identificados pela mesma letra PP


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VETORES O vetor oposto de um dado vetor P definido como sendo um vetor que tem a mesma intensidade e direo e sentido oposto ao de P P=-PP

-PEsttica dos Pontos Materiais - Prof Anglica da Silva Nunes 14

ADIO DE VETORES

P+Q P P

Q P+Q

P+Q=Q+P Q

Lei do Paralelogramo

Regra do Tringulo


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SUBTRAO DE VETORESQP PQ Q P

P Q = P + ( Q)


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SOMA DE 3 OU MAIS VETORES Caso os vetores sejam coplanares, mais fcil aplicar a Regra do Tringulo do que a Lei do Paralelogramo

Q Q PQ P+

P S

Q+SP+Q+S

S

P+Q+S

P + Q + S = (P + Q) + S = P + (Q + S)Esttica dos Pontos Materiais - Prof Anglica da Silva Nunes 17

PRODUTO ESCALAR DE UM VETOR P + P = 2P P + P + P = 3P Soma de n vezes o vetor P = nP Produto escalar Produto de um escalar k (positivo ou negativo) por um vetor P = kP Tem a mesma direo Tem o mesmo sentido, se k for positivo Tem sentido oposto se k for negativo Intensidade igual ao produto da intensidade de P pelo valor kP 1,5P -2PEsttica dos Pontos Materiais - Prof Anglica da Silva Nunes 18

RESULTANTE DE VRIAS FORAS CONCORRENTES Foras concorrentes um conjunto de foras coplanares que atuam sobre o mesmo pontoP P S A A S Q Fora Resultante Foras concorrente no ponto AEsttica dos Pontos Materiais - Prof Anglica da Silva Nunes

Q

R

R=P+Q+R19

DECOMPOSIO DE UMA FORA EM COMPONENTES Da mesma forma que as foras atuantes em um ponto material pode ser substituda por uma nica fora F, uma fora F pode ser substituda por 2 ou mais foras que, juntas, tem o mesmo efeito sobre o ponto material Essas foras so chamadas de componentes da fora original F O processo de substituio chamado de decomposio da fora F em componentes Para fora F existe um nmero infinito de conjuntos possveis de componentesF P P F

Q QEsttica dos Pontos Materiais - Prof Anglica da Silva Nunes 20

EXERCCIO 1As foras P e Q agem sobre um parafuso A. Determinar a sua resultante. Lei dos cossenos R2 = P2 + Q2 - 2PQcos1550 R2 = 402 + 602 2.40.60.cos1550 R = 97,7 N Lei dos senos Q = R senA sen1550 = 150 + 200 = 350 R = 97,7N 350Esttica dos Pontos Materiais - Prof Anglica da Silva Nunes 21

A = 150

EXERCCIO 2Uma barcaa puxada por 2 rebocadores. Se a resultante das foras exercidas pelos rebocadores de 5kN e tem a direo do eixo da barcaa, determine: a) a trao em cada corda, sabendo-se que =450 b) o valor de para que a trao na corda 2 seja mnima


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EXERCCIO 2 SOLUO (a)Lei dos Senos T1 = T2 = 5 sen450 sen300 sen1050 T1 = 3,66 kN T2 = 2,59 kN5 kN 5 kN


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EXERCCIO 2 SOLUO (b)Para que T2 seja mnimo, T1 e T2 devem ser ortogonais, isto , devem formar um ngulo de 900. sen300 = T2 / 5 T2 = 2,5 kN cos300 = T1 / 5 T1 = 4,33 kN = 900 300 = 600Esttica dos Pontos Materiais - Prof Anglica da Silva Nunes 24

5 kN

T2 = 5 sen300

T1 = 5 cos300

5 kN

COMPONENTES CARTESIANAS DE UMA FORA Decomposio da fora F em componentes perpendiculares entre si Paralelogramo desenhado para obteno das componentes um retngulo Fx e Fy: componentes cartesianas

Eixos x e y Perpendiculares Geralmente nas direes horizontal e vertical Podem ser inclinados Medido a partir de Fx at a fora F no sentido antihorrioEsttica dos Pontos Materiais - Prof Anglica da Silva Nunes 25

ngulo

VETORES i E j Vetores de intensidade igual a 1 Vetor i: na direo do eixo x Vetor j: na direo do eixo y

Decomposio de FFx = Fx i Fy = Fy j F = Fx i + Fy j onde: Fx e Fy: componentes vetoriais de F Fx e Fy: componentes escalares de F (intensidade dos vetores Fx e Fy)

Relao entre F, Fx, Fy e Fx = F cos Fy = F sen


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EXERCCIOUma fora de 800 N exercida sobre um parafuso A. Determine as componentes horizontal e vertical da fora F Fx = - F cos = - 800.cos350 Fx = - 655 N Fy = + F sen = - 800.sen350 Fy = + 459 N Componentes vetoriais de F: Fx = - (655 N)i Fx = + (459 N)j F = - (655 N)i + (459 N)jEsttica dos Pontos Materiais - Prof Anglica da Silva Nunes 27

EXERCCIOUm homem puxa, com uma fora de 300 N, uma corda fixada a uma construo. Quais as componentes horizontal e vertical da fora exercida pela corda no ponto A?tg = (6/8) = 36,870

Fx = +(300)cos = 240 N Fy = -(300)sen = -180 N F = (240 N) i (180N) j


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EXERCCIOA fora F=(3,5kN)i + (7,5kN)j aplicada a um parafuso A. Determine a intensidade da fora e o ngulo que ela forma com a horizontal. tg = (Fy / Fx) = (7,5 / 3,5) = 350 F2 = Fy2 + Fx2 = 7,52 + 3,52 F = 8,28 kN

Fy = 7,5 kN

Fx = 3,5 kN


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ADIO DE FORAS PELA SOMA DAS COMPONENTES Soma de 2 foras Lei do paralelogramo ou regra do tringulo

Soma de mais de 2 foras Soluo analtica pode ser obtida pela decomposio de cada uma das foras em suas componentes cartesianas

Ex: 3 foras P, Q e SR=P+Q+S P = Pxi + Pyj Q = Qxi + Qyj S = Sxi + Syj

R = Pxi + Pyj + Qxi + Qyj + Sxi + Syj R = (Px + Qx + Sx)i + (Py + Qy + Sy)j Rx Ry

Rx = Px + Qx + Sx e Ry = Py + Qy + Sy ou Rx = Fx e Ry = FyEsttica dos Pontos Materiais - Prof Anglica da Silva Nunes 30

ADIO DE FORAS PELA SOMA DAS COMPONENTES

Foras P, Q, S

Decomposio nos eixos x e y

Componentes x e y de R

Resultante R


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EXERCCIOQuatro foras atuam no parafuso A. Determine a resultante das foras que agem no parafuso.Fora F1 F2 F3 F4 Intensi dade 150 N 80 N 110 N 100 N Resultante 300 1100 2700 3450 Fx (Fcos) Fy (Fsen) 129,90 N -27,36 N 0,00 N 96,59 N 199,13 N 75,00 N 75,18 N -110,00 N -25,88 N 14,30 N


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EQUILBRIO DE UM PONTO MATERIAL Quando a resultante de todas as foras que atuam sobre um ponto material zero, este ponto est em equilbrio F=0 (Fxi + Fyj) = 0 ( Fx)i + ( Fy)j = 0 ento: Fx = 0 Fy = 0


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EQUILBRIO DE UM PONTO MATERIAL Primeira Lei de Newton Se a fora resultante que atua sobre um ponto material tem intensidade igual a zero, esse ponto permanece em repouso ou se move em movimento retilneo uniforme

Diagrama do Corpo Livre Resoluo de problemas da vida real reduzindose o problema do equilbrio do ponto material, esquematizando-se em um diagrama separado todas as foras que sobre ele so exercidasEsttica dos Pontos Materiais - Prof Anglica da Silva Nunes 34

EXEMPLO DE EQUILBRIO DE UM PONTO MATERIALTem-se um caixote de 75kg que estava em 2 prdios e est agora sendo colocado sobre um caminho. O caixote suportado por um cabo vertical, unido no ponto A a duas cordas que passam por roldanas fixadas nos prdios em B e C. Deseja-se determinar a trao nas 2 cordas AB e AC.Esttica dos Pontos Materiais - Prof Anglica da Silva Nunes 35

EXEMPLO DE EQUILBRIO DE UM PONTO MATERIAL Desenha-se o Diagrama do Corpo Livre mostrando o ponto material em equilbrio, que nesse caso o ponto A Condio de equilbrio do ponto AF=0

P = mg = 75kg.9,81m/s = 735,75 NDiagrama do Corpo Livre

sen400 = TAC / P TAC = Psen400 = 472,93 N cos400 = TAB / P TAB = Pcos400 = 563,62 NTringulo de ForasEsttica dos Pontos Materiais - Prof Anglica da Silva Nunes 36

Foras no Espao


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Componentes Cartesianas de uma Fora no EspaoFx=Fhcos=F seny cos Fy=Fcosy Fh=Fseny Fz=Fhsen=F seny sen

Tringulo OAB: F2=Fy2+Fh2 Tringulo OCD: Fh2=Fx2+Fz2

F2 = Fx2 + Fy2 + Fz2

F = Fx2 + Fy2 + Fz2


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Componentes Cartesianas de uma Fora no Espao

Fx=Fcosx

Fy=Fcosy

Fz=Fcosz

ngulos x, y e z definem a direo da fora F cos x, cos y e cos z so chamados de cossenos diretoresEsttica dos Pontos Materiais - Prof Anglica da Silva Nunes 39

Componentes Cartesianas de uma Fora no EspaoSejam i, j e k os vetores unitrios orientados segundo os eixos x, y e z respectivamente, ento: F = Fx i + Fy j + Fz k e F = F(cosx i + cosy j + cosz k) Seja um vetor de mdulo unitrio na mesma direo de F: = cosx i + cosy j + cosz k x y z Como o mdulo de igual a 1, tem-se que: 2 + y 2 + z 2 = 1 cosx2 + cosy2 + cosz2 = 1Esttica dos Pontos Materiais - Prof Anglica da Silva Nunes 40

Fora Definida Por Seu Mdulo e Dois Pontos de Sua Linha de AoSejam 2 pontos: M(x1, y1, z1) e N(x2, y2, z2) e o vetor MN que liga os pontos M e N e que tem a mesma direo da fora F. Ento: MN = dx i + dy j + dz k Vetor = vetor unitrio na direo de F = MN / MN = (1 / d) (dx i + dy j + dz k) Lembrando que F = F , ento: F = (F / d) (dx i + dy j + dz k) Assim: Fy = Fdy Fz = Fdz Fx = Fdx d d d e cosy = (dy / d) cosz = (dz / d) cosx = (dx / d)Esttica dos Pontos Materiais - Prof Anglica da Silva Nunes 41

Adio de Foras Concorrentes no EspaoR = F, ento: R = Rx i + Ry j + Rz k = (Fx i + Fy j + Fz k) R = (Fx) i + (Fy) j + (Fz) k Da, decorre-se: Rx = Fx Mdulo de R: R = Rx2 + Ry2 + Rz2 Cossenos diretores de R: cos x = (Rx / R) cos y = (Ry / R) cos z = (Rz / R)42

Ry = Fy

Rz = Fz


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