3tru020 - cap. 02 - estática dos pontos materiais (reduzido)

8/18/2019 3TRU020 - Cap. 02 - Estática Dos Pontos Materiais (Reduzido)

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Mecânica das Estruturas

Revisão: José Antonio Oliveira do NascimentoProjeto Gráfico: Leandro Schmidt

Nilson Magagnin Filho

CONTEÚDO

2.1. FORÇAS NO PLANO .................................................................................... 02

2.1.1. Ponto Material, Força e Resultante de Duas Forças ......................... 02

2.1.2. Vetores e Operações Vetoriais .......................................................... 03

2.1.3. Resultante de Várias Forças Concorrentes ....................................... 04

2.1.4. Decomposição de uma Força em Componentes ............................... 05

2.1.5. Componentes Cartesianas da Força e Vetores Unitários .................. 06

2.1.6. Adição de Forças pela Soma das Componentes ............................... 07

2.1.7. Equilíbrio de um Ponto Material ......................................................... 08

2.1.8. Primeira Lei de Movimento de Newton .............................................. 09

2.1.9. Diagrama de Corpo Livre ................................................................... 09

2.1.10. Exercícios Resolvidos ...................................................................... 102.2. FORÇAS NO ESPAÇO .................................................................................. 20

2.2.1. Componentes Cartesianas de uma Força no Espaço ........................ 20

2.2.2. Força Definida por seu Módulo e Dois Pontos de

sua Linha de Ação .............................................................................. 25

2.2.3. Adição de Forças Concorrentes no Espaço ....................................... 26

2.2.4. Equilíbrio de um Ponto Material no Espaço ....................................... 27

2.2.5. Exercícios Resolvidos ........................................................................ 27

ESTUDO DIRIGIDO .............................................................................................. 47

EXERCÍCIOS PROPOSTOS ................................................................................ 48

FONTES ................................................................................................................ 67

Mecânica das Estruturas I A

Estática dos Pontos Materiais


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2.1. FORÇAS NO PLANO

2.1.1. Ponto Material, Força Resultante de Duas Forças

Chama-se Ponto Material a uma pequena porção da matéria que ocupa

apenas um ponto no espaço. A utilização do conceito de ponto material não

significa restringir o estudo a pequenos corpos, mas sim que o tamanho e a forma

de tais corpos não afetam a solução dos problemas de modo significativo.

Como já se sabe, Força representa a ação de um corpo sobre outro. Ela é

caracterizada por seu ponto de aplicação, sua intensidade, sua direção e sentido.Uma ou mais forças atuando em um ponto material faz concluir que todas

elas estão aplicadas em um só ponto no espaço, ou seja, possuem o mesmo ponto

de aplicação.

Quando se tem duas forças, F1 e F2, atuando em um mesmo ponto material,

constata-se experimentalmente que elas podem ser substituídas por uma única

força R que tenha o mesmo efeito sobre esse ponto. Essa força R é chamada

resultante e pode ser obtida utilizando-se de um paralelogramo cujos lados são as

forças F1 e F2, como mostrado na figura abaixo.

A diagonal do paralelogramo é a resultante das duas forças, que podem ser

obtidas como se segue:

F2

B

Força F2 atuando noPonto Material B.

A

F1

Força F1 atuando noPonto Material A.

F2

F1

A

R


Estática dos Pontos Materiais 02

1cos = x / F

1x = F cos

1sen = y / F

1y = F sen

2 2 22

2 2 2 2 21 2 2

2 2 2 2 2 21 2 2 1 1

2 2 2 2 21 2 2 1

2 2 21 2 1

R = y + (F + x)R = F cos + F + 2 F x + yR = F sen + F + 2 F F cos + F cos R = F (sen + cos ) + F + 2 F F cos

R = F + F + 2 F 2F cos

como e são suplementares, cos = - cos , daí,

2 2 21 2 1 2R = F + F - 2 F F cos

2.1.2. Vetores e Operações Vetoriais

Vetores são entidades matemáticas que possuem intensidade, direção esentido e que se somam de acordo com a lei do paralelogramo.

Forças são grandezas vetoriais pois seguem, também, a definição acima.

Também o são os deslocamentos, as velocidades, as acelerações e os momentos.

Todas essas grandezas podem ser representadas matematicamente por vetores.

A adição de vetores, como já se sabe, é realizada segundo a lei do

paralelogramo. A diagonal do paralelogramo, formado pelas forças e suas

paralelas, é o vetor soma, como na figura abaixo.

Observando-se o paralelogramo acima pode-se deduzir a chamada “regra

do triângulo” que significa se utilizar de uma das paralelas para a determinação da

soma, como abaixo.

F2

F1 R

y

x

A

1F

2F

1 2F + F




3/34

ou

A subtração de vetores se dá pela soma do correspondente vetor oposto,

que é o mesmo vetor com sentido oposto.

A multiplicação de um escalar por um vetor é definida como o produto de um

número n pelo vetor qualquer F

e representada por n F

. Se n é positivo, o vetor

resultante mantém o mesmo sentido e a intensidade se multiplica por n. Se n é

negativo, o vetor resultante tem seu sentido invertido e a sua intensidade tambémmultiplicada por n, como na figura.

Observação:- a adição de três ou mais vetores é obtida pela construção de um polígono de

forças eqüipolentes, como já visto em capítulo anterior.

2.1.3. Resultante de Várias Forças Concorrentes

Considere-se um ponto material A sob a ação de diversas forças coplanares,

isto é, contidas no mesmo plano. Elas são concorrentes por atuarem todas no

mesmo ponto.

A

1F

2F

1 2F + F

A

1F

2F

1 2F + F

1 2F - F

2F

1F

2F

1F

F

1,5 F

- 1,5 F

0,5 F

- 0,5 F



Para a adição desse sistema de forças vale a regra do polígono em que se

constrói o polígono de forças eqüipolentes, como abaixo.

Ligando-se os pontos inicial e final do polígono obtém-se o vetor soma, que

é a própria resultante do sistema de forças, R

.

A resultante R

é a força única capaz de produzir o mesmo efeito sobre o

ponto material A que as forças concorrentes originais dadas, 1F

, 2F

e 3F

.

2.1.4. Decomposição de uma Força em Componentes

Uma força F

que atua sobre um ponto material pode ser substituída por

duas ou mais forças que tenham o mesmo efeito sobre o ponto. Tais forças são

chamadas de componentes de F

e o processo de substituição de F

é chamado de

decomposição de F

em componentes.

Para cada força F

existe um número infinito de conjuntos possíveis de

componentes, mas as decomposições mais importantes são aquelas que

conduzem a duas componentes. Existem dois casos importantes:

1º Caso: Uma das componentes da força é conhecida

- a segunda componente é obtida pela regra do triângulo.

1F

2F

3F

A

1F

3F

2F

A R




4/34

F

e 1F

ou 2F

são conhecidos

2º Caso: A linha de ação de cada componente é conhecida

- as componentes são obtidas pela lei do paralelogramo.

2.1.5. Componentes Cartesianas da Força e Vetores Unitários

Em muitos casos é desejável decompor a força em duas componentes

normais uma à outra. O paralelogramo resultante nestes casos é um retângulo e as

componentes são denominadas componentes cartesianas. As figuras abaixo

ilustram decomposições segundo os eixos x e y.

As componentes escalares de F

, que são a intensidade de F

segundo as

direções x e y são dadas por:

A

1F

2F

F

1F

2F

F

ALinha de Ação de 2F

Linha de Ação de 1F

F

O

y

x

yF

xF

F

O

y

x

yF

xF



xF = F cos yF = F sen

As componentes cartesianas de uma força F

podem ser expressas em

função de vetores unitários segundo as direções de suas componentes. Para tal

definem-se os vetores unitários

i e

j , respectivamente nas direções x e y. As

componentes cartesianas xF

e yF

podem, então, ser obtidas pelo produto das

componentes escalares Fx e Fy pelos vetores de intensidade unitária i e j, como

indicados a seguir.

x xF = F i

y yF = F j

x yF = F i + F j

2.1.6. Adição de Forças pela Soma das Componentes

Quando se adicionam três ou mais forças não se pode obter uma solução

trigonométrica da regra do polígono, como no caso de duas forças. A solução

analítica recomendada é obtida pela decomposição de cada uma das forças em

suas componentes cartesianas e a soma das respectivas componentes em cada

direção, como na figura mostrada abaixo.

y

xO

j

i

Vetores de IntensidadeUnitária

y

xO

j

i

F

yF

xF

y

x

1F

2F

3F

xR

R

yR

1yF

1xF

3 yF

3 xF

2 yF

2 xF




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2.1.10. Exercícios Resolvidos

01. As forças P

e Q

abaixo agem sobre o parafuso como indicado. Determinar sua

resultante.

Graficamente pode-se construir o paralelogramo de lados iguais a P

e Q

, em

escala, e se determinar a resultante. Também pode-se usar a regra do triângulo.

R = 98 N

= 35º

Paralelogramo Triângulo

Trigonometricamente sabe-se que, da regra do triângulo, resulta:

2 2 2R = P + Q - 2 P Q cos

com = 155°

2 2 2R = 40 + 60 - 2 40 60 cos 155°

R = 97,73 N

Também pode-se aplicar a Lei dos Senos como se segue:

sen sen =

Q R = - 20°

20º

25º

A

Q = 60N

P = 40N

P

R

Q

A

R

Q = 60N

A

C

BP = 40N

25º

= 155º

= 20º

R

Q

AP



sen sen 155° 60 sen 155° = sen = = 15°

60 97,73 97,73

logo, = + 20° = 35°

Trigonometricamente pode-se, também, construir o triângulo retângulo BCD como

abaixo.

daí, CD

sen 25° = CD = 60 sen 25° CD = 25,36 NQ

BD

cos 25° = BD = 60 cos 25° BD = 54,38 NQ

25,36

tg = = 15°94,38

25,36 25,36

sen = R = R = 97,7 NR sen 15°

= + 20° = 15° + 20° = 35°

02. Uma barcaça é puxada por dois rebocadores como indica a figura abaixo. Se a

resultante das forças exercidas pelos rebocadores é 5000 N e tem a direção do

eixo da barcaça, determine:

(a) a força de tração em cada cabo de rebocador, sabendo que = 45°;

(b) o valor de para que a tração no cabo 2 seja mínima.

Q = 60N

R

B

C

A

D

25,36

54,38

40 94,38

20º

25º




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(a) Graficamente pode-se usar a lei do paralelogramo com a resultante igual a

5000 N. Assim,

T1 = 3700 N

T2 = 2600 N

Trigonometricamente pode-se usar a lei dos senos:

1 2T T R = =sen 45° sen 30° sen 105°

1 1 1sen 45° sen 45°

T = R T = 5000 T = 3660 Nsen 105° sen 105°

2 2 2sen 30° sen 30°

T = R T = 5000 T = 2588 Nsen 105° sen 105°

(b) Valor de para T2 mínimo. Utilizando a regra do triângulo, como demonstra a

figura abaixo com as possíveis posições de T2, é fácil perceber que o valor de T2mínimo ocorre para T1 e T2 ortogonais.

B

A

C

5000N

= 45º

T1

T2

30º

A

C

B

1

2

30º



2 2 2T

sen 30° = T = 5000 sen 30° T = 2500 N5000

1 1 1Tcos 30° = T = 5000 cos 30° T = 4330 N5000

+ 30° + 90° = 180° = 60°

03. Um homem puxa, com força de 300 N, uma corda fixada a uma construção,

como mostra a figura. Quais são as componentes horizontal e vertical da força

exercida pela corda no ponto A?

No ponto A tem-se o esquema abaixo. Assim,

xF = F cos = 300 cos

yF = - F sen = - 300 sen

x

y

AxF

yF

F = 300N

8m

6 m

A

B

B

5000 N

T130º




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Da geometria vem: 2 2 2 AB = 8 + 6 AB = 10 m

6sen = = 0,6

10

8cos = = 0,8

10

Daí, x xF = 300 0,8 F = 240 N

y yF = - 300 0,6 F = - 180 N

Pode-se escrever, então,

F = 240 i - 180 j .

04. A força F = (3,5 kN) i + (7,5 kN) j

é aplicada a um parafuso no ponto A.

Determine a intensidade da força resultante e o ângulo que ela forma com a

horizontal.

Sendo a força

F genericamente indicada como na figura abaixo

pode-se calcular por y

x

Ftg =

F. Daí, sendo

x

F = 3,5 kN ey

F = 7,5 kN tem-se:

7,5 7,5tg = = arc tg = 65°

3,5 3,5

A força resultante pode ser calculada como 2 2 2x yF = F + F .

2 2 2F = 3,5 + 7,5 F = 8,28 kN

y

xi

j

F

y yF = F j

x xF = F i



05. Quatro forças atuam no parafuso A da figura. Determine a resultante dessas

forças.

As componentes segundo x e y estão indicadas abaixo:

A resultante é dada por

x yR = R i + R j , sendo x i xR = F e y i yR = F .Calculando-se as componentes Rx e Ry tem-se:

x i x 1x 2 x 3 x 4 xx 1 2 4

x

x

R = F = F + F + F + F

R = F cos 30° - F sen 20° + 0 + F cos15°

R = 150 cos 30° - 80 sen 20° + 100 cos 15°

R = 199,13 N

y i y 1y 2 y 3 y 4 yy 1 2 3 4

y

y

R = F = F + F + F + F

R = F sen 30° + F cos 20° - F - F sen 15°

R = 150 sen 30° + 80 cos 20° - 110 - 100 sen 15°

R = 14,29 N

1(F cos 30 )i

2- (F sen 20 ) i

4(F cos 15 ) i

3-F j

1(F sen 30 )j

2(F cos 20 ) j

4(F sen 15 ) j

y

x A

1F = 150N2F = 80N

4F = 100N

3F = 110N

30º

15º

20º




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Pode-se escrever, então,

R = (199,13 N) i + (14,29 N) j , que já está

representada abaixo.

A inclinação pode ser calculada por:

y

x

R 14,29 14,29tg = tg = = arc tg = 4,1°R 199,13 199,13

06. Numa operação de descarga de navio, um automóvel de 17,5 kN é suportado

por um cabo. Uma corda é amarrada ao cabo em A e puxada a fim de que o

automóvel seja centralizado na posição desejada. O ângulo entre o cabo e a

vertical é de 2º, enquanto o ângulo entre a corda e a horizontal é de 30º. Qual é a

tração nessa corda?

Tomando o ponto A como corpo livre e desenhando o respectivo diagrama de

corpo livre tem-se:

RyR = (14,3N)j

xR = (199,1N)i



T AB Tração em AB

T AC Tração em AC

As três forças que agem sobre o ponto A estão em equilíbrio e podem compor o

triângulo de forças como abaixo.

Aplicando a lei dos senos tem-se:

AC AB TT 17,5 = =sen 120° sen 2° sen 58°

logo, ABsen 120°

T = 17,5sen 58°

e ACsen 2°

T = 17,5sen 58°

.

Daí, ABT = 17,87 kN e ACT = 0,72 kN .

07. Determinar a intensidade, a direção e o sentido da menor força

F que manterá

a caixa em equilíbrio. Observe que a força exercida pelos roletes sobre a caixa é

perpendicular ao plano inclinado.

30 kg

15º

F

2º

58º

120º

17,5 kN T AB

T AC

30º

2º

A

T AC

T AB

17,50 kN




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O diagrama de corpo livre do problema é o mostrado abaixo, com três forças

atuando sobre a caixa.

A força peso vale 2P = m g = 30 Kgf 9,81 m/s = 294 N .

A linha 1-1 representa a direção conhecida de

Q . Para obter o valor mínimo

da força

F sabe-se que sua direção é a perpendicular a

Q . Do triângulo de forças

obtém-se:

F

sen 15° = F = 294 sen 15°294

F = 76,1 N e = 15°

08. Como parte do projeto de um navio veleiro deseja-se determinar a força de

arrasto a uma dada velocidade. Com esse objetivo, um modelo do casco é

colocado em um canal para testes, sendo mantido alinhado com o eixo do canal

por meio de três cabos presos a sua proa. Leituras de dinamômetros indicam que,

para uma dada velocidade da água, a tração no cabo AB é de 200 N e de 300 N no

cabo AE. Determine a força de arrasto no casco e a tração no cabo AC.

15º

F

294 N

Q

1

1

F

P = (30 kg) · (9,81 m/s )= 294 N

15º

Q



As direções dos cabos AB e AC são dadas pelos ângulos e .

2,1

tg = = 1,75 = arc tg 1,75 = 60,26°1,2

0,45

tg = = 0,375 = arc tg 0,375 = 20,56°1,2

O diagrama de corpo livre sendo A o ponto material será, sendo

AF a força

de arrasto.

Condição de Equilíbrio:

AB AC AE AR = 0 T + T + T + F = 0 Decompondo as forças segundo as direções x e y obtém-se:

AB AB

T = - (200 N) sen 60,26° i + (200 N) cos 60,26° j

T = - (173,7 N) i + (99,21 N) j

AC AC AC

AC AC AC

T = T sen 20,56° i + T cos 20,56° j

T = 0,35 T i + 0,94 T j

-(300 N)j

x

y

60,26º

20,56º

-(200 N) sen 60,26º i

(200 N) cos 60,26º j

ACT cos 20, 56º j

ACT sen 20,56º i

AF i

T AC

T AB = 200 N = 60,26º = 20,56º

F A

T AE = 300 N




11/34


12/34

Tais componentes são dadas por:

x h yF = F cos = F sen cos

z h yF = F sen = F sen sen

Tem-se, assim, a força F

decomposta em suas três componentes xF

, yF

e

zF

, orientadas segundo os três eixos coordenados.

Aplicando, agora, o Teorema de Pitágoras aos triângulos OAB e OCD dasfiguras acima, obtém-se:

2 2 2y hF = F + F

2 2 2h x zF = F + F

o que conduz a:

2 2 2 2x y zF = F + F + F ou a

2 2 2x y zF = F + F + F

A relação existente entre a força F

e as três componentes xF

, yF

e zF

pode

ser visualizada melhor nas figuras abaixo, onde os triângulos OAB, OAD e OAE

são retângulos.

y

x

z

D

B

C

O

E

xF

hF

yF

zF



Da observação dos triângulos retângulos acima e denominando de x , y e

z os ângulos que F

forma com x, y e z, respectivamente, tem-se:

x xF = F cos y yF = F cos z zF = F cos

Os ângulos x , y e z definem a direção da força F

. Os co-senos dos

ângulos x , y e z são conhecidos como os co-senos diretores da força F

.

A expressão que relaciona a força F

com suas componentes conduz a uma

relação entre seus respectivos co-senos diretores. Assim,

2 2 2 2x y z

2 2 2 2 2 2 2x y z

2 2 2 2 2x y z

F = F + F + F

F = F cos + F cos + F cos

F = F (cos + cos + cos )

2 2 2x y zcos + cos + cos = 1

Introduzindo agora os vetores unitários

i ,

j ,

k , orientados segundo os

eixos x, y e z, como abaixo, pode-se exprimir F

segundo tais vetores.

x y zF = F i + F j + F k

x

y

z

j

i

k

yF

xF

zF

F

x

D

B

CE

A

O x

z

y

yF

xF

zF

Fy

D

B

CE

A

O x

z

y

yF

xF

zF

F

zD

B

CE

A

O x

z

y




13/34

sendo x xF = F cos , y yF = F cos e z zF = F cos .

A expressão acima também pode ser escrita sob a forma

x y zF = F cos i + F cos j + F cos k

ou

x y zF = F (cos i + cos j + cos k)

que mostra que a força F

pode ser expressa pelo produto escalar F pelo vetor

dado por:

x y z = cos i + cos j + cos k

sendo

um vetor unitário de mesma direção e sentido que F

, como na figura

abaixo.

Sendo x x = cos , y y = cos e z z = cos , pode-se escrever

como:

x y z = i + j + k

e, obviamente

2 2 2x y z + + = 1

y

x

z

yF j

xF i

zF k

F = F

xcos i

(Magnitude = 1)

zcos k

ycos j



Quando se conhecerem Fx, Fy e Fz de uma força F

, o módulo da força é de

fácil obtenção, como já foi visto. Os co-senos diretores podem ser encontrados por:

xx

Fcos =

Fy

y

Fcos =

Fz

z

Fcos =

F

o que conduz à relação

yx z

x y z

cos cos cos 1 = = =

F F F F

2.2.2. Força Definida Por Seu Módulo e Dois Pontos de Sua Linha de Ação

É usual, também, se definir a direção de uma força F

pelas coordenadas de

dois pontos pertencentes à sua linha de ação, por exemplo M(x 1, y1, z1) e N(x2, y2,

z2), como na figura abaixo.

O vetor MN

tem o mesmo sentido de F

e pode ser representado, de acordo

com a figura, por:

x y zMN = d i + d j + d k

O vetor unitário pode ser obtido por:

x

z

y

O

M (x1,y1,z1)

N (x2,y2,z2)

dy = y2 – y1

dx = x2 – x1

dz = z2 – z1 < 0

F




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x y z

MN 1 = = (d i + d j + d k)

MN d

e F

pode ser escrita como: x y zF

F = F = (d i + d j + d k)d

. Daí, as componentes

de F

podem ser escritas como:

xxd

F = Fd

yyd

F = Fd

zzd

F = Fd

As componentes do vetor MN

e a distância “d”, de M a N podem ser escritas

como:

x 2 1d = x - x y 2 1d = y - y z 2 1d = z - z

2 2 2x y zd = d + d + d

e os co-senos diretores serão, então, dados por:

yx z

x y z

cos cos cos 1 = = =

d d d d

2.2.3. Adição de Forças Concorrentes no Espaço

A resultante R

de duas ou mais forças concorrentes no espaço pode ser

obtida, analogamente ao caso plano, como a soma de suas componentes

cartesianas. Os métodos gráficos e trigonométricos não são práticos para forças

espaciais.

Assim, pode-se escrever a resultante como:

R = F

ou x y z x y zR i + R j + R k = (F i + F j + F k)

de onde se depreende que:



n

x i xi = 1R = F

n

y i yi = 1R = F

n

z i zi = 1R = F

sendo

2 2 2x y zR = R + R + R

e os co-senos diretores

xx

Rcos =

Ry

y

Rcos =

Rz

z

Rcos =

R

2.2.4. Equilíbrio de um Ponto Material no Espaço

A condição de equilíbrio para um ponto material sujeito a forças espaciais é

a mesma que no caso plano. Assim,

R = F = 0

ou

n

i xi=1

F = 0 n

i yi=1

F = 0 n

i zi=1

F = 0

2.2.5. Exercícios Resolvidos

01. O cabo de sustentação de uma torre está ancorado por meio de um parafuso

em A. A tração no cabo é de 2500 N. Determinar:

(a) as componentes Fx, Fy e Fz da força que atua sobre o parafuso;

(b) os ângulos x , y e z co-senos diretores da força.




15/34

(a) Componente da Força: a linha de ação da força que atua sobre o parafuso

passa pelos pontos A e B e está orientada de A para B. As componentes do vetor

AB

, que tem a mesma direção da força, são:

x B A xd = x - x = 0 - 40 d = -40 m

y B A yd = y - y = 80 - 0 d = + 80 m

z B A zd = z - z = 0 + 30 d = + 30 m

a distância AB é:

2 2 2x y z

2 2 2

AB = d = d + d + d

AB = d = (- 40) + 80 + 30 d = 94,34 m

Em função dos vetores

i ,

j ,

k unitários pode-se escrever:

A

B

40 m

30 m

80 m

j

i

k

x

y

z

F

A

B

40 m

30 m

80 m



AB = (- 40m) i + (80 m) j + (30 m) k

O vetor

é dado por AB

= AB

e a força F

por:

AB 2500 N

F = F = F = AB AB 94,34 m

o que leva a:

2500 N

F = - (40 m) i + (80 m) j + (30 m ) k94,34 m

F = - (1060 N) i + (2120 N) j + (795 N) k

cujas componentes são:

xF = - 1060 N yF = 2120 N zF = 795 N

(b) Direção da Força:

xx

F - 1060cos = = = - 0,424

F 2500

yy

F 2120cos = = = 0,848

F 2500

zz

F 795cos = = = 0,318

F 2500

x = 115,09° y = 32,00° z = 71,46°

A

B

x

y

z

x

z

y




16/34

02. Uma placa de concreto pré-moldado é temporariamente suspensa pelos cabos

da figura. Conhecendo as trações de 4200 N no cabo AB, e 6000 N no cabo AC,determine o módulo e a direção da resultante das forças aplicadas pelos cabos AB

e AC na estaca em A.

A força aplicada pelos cabos AB e AC será decomposta nas direções x, y e z com

origem na parte inferior da placa, como indica a figura.

Cabo AB:

x B A xd = x - x = 0 - 4,8 d = - 4,8 m

y B A yd = y - y = 2,4 - 0 d = 2,4 m

z B A zd = z - z = 0 - (- 3,3) d = 3,3m

2 2 2x y z

2 2 2

AB = d = d + d + d

AB = d = (- 4,8) + 2,4 + 3,3 AB = 6,3 m

j

k

y

zx

2,40 m

4,80 m

4,80 m

i

3,30 m

B

C

A

AB

AC

AB ABT = (4200 N)

AC ACT = (16000 N)

8,10 m

3,30 m

4,80 m

2,40 m

A

B

C

D



Cabo AC:

x C A xd = x - x = 0 - 4,8 d = - 4,8 m

y C A yd = y - y = 2,4 - 0 d = 2,4 m

z C A zd = z - z = -8,1 - (- 3,3) d = - 4,8 m

2 2 2x y z

2 2 2

AC = d = d + d + d

AC = d = (- 4,8) + 2,4 + (- 4,8) AC = 7,2 m

Logo,

AB = - (4,8 m) i + (2,4 m) j + (3,3 m) k

AC = - (4,8 m) i + (2,4 m) j - (4,8 m) k

Tração no Cabo AB: AB AB AB AB AB

T = T = T AB

AB

AB

4200 N 4200 NT = AB = - (4,8 m) i + (2,4 m) j + (3,3 m) k6,3 m 6,3m

T = - (3200 N) i + (1600 N) j + (2200 N) k

Tração no Cabo AC: AC AC AC AC AC

T = T = T AC

AC

AC

6000 N 6000 NT = AC = - (4,8 m) i + (2,4 m) j - (4,8 m) k

7,2 m 7,2 m

T = - (4000 N) i + (2000 N) j - (4000 N) k

Resultante:

AB ACR = T + T

R = (- 3200 - 4000) i + (1600 + 2000) j + (2200 - 4000) k

R = - (7200 N) i + (3600 N) j - (1800 N) k




17/34

2 2 2x y z

2 2 2

R = R + R + R

R = (- 7200) + (3600) + (- 1800)

R = 8248,64 N

R = - (7200 N) i + (3600 N) j - (1800 N) k

R = 8248,64 N

Co-senos Diretores:

x

x x x

R - 7200 N - 7200 Ncos = = = arc cos = 150,8°

R 8248,64 N 8248,64 N

yy y y

R 3600 N 3600 Ncos = = = arc cos = 64,1°

R 8248,64 N 8248,64 N

z

z z z

R - 1800 N - 1800 Ncos = = = arc cos = 102,6°

R 8248,64 N 8248,64 N

x = 150,8° y = 64,1° z = 102,6°

03. Um cilindro de 200 kg é pendurado por meio de dois cabos, AB e AC,

amarrados ao topo de uma parede vertical, como mostra a figura. Uma força H

horizontal e perpendicular à parede, mantém o peso na posição ilustrada.

Determinar a intensidade de H

e a tração em cada cabo.

12 m

10 m

8 m

B

A

C

1,2 m

2 m

200 kg

H



Diagrama de Corpo Livre: o ponto material A está sujeito a quatro forças, das quais

três são desconhecidas.

2P = m g = 200 kg 9,81 m/s P =1962 N

Cabo AB:

x B A xd = x - x = 0 - 1,2 d = - 1,2 m

y B A yd = y - y = 12 - 2 d = 10 m

z B A zd = z - z = 8 - 0 d = 8 m

2 2 2x y z

2 2 2

AB = d = d + d + d

AB = d = (- 1,2) + 10 + 8 AB = 12,86 m

AB = - (1,2 m) i + (10 m) j + (8 m) k

Cabo AC:

x C A xd = x - x = 0 - 1,2 d = - 1,2 m

y C A yd = y - y = 12 - 2 d = 10 m

z B A zd = z - z = - 10 - 0 d = - 10 m

j

k

i

B

H

12 m

10 m

8 m

C

1,2 m

2 m

y

z

x

P

AB

AC

ACT

ABT

O

A




18/34

2 2 2x y z

2 2 2

AC = d = d + d + d

AC = d = (- 1,2) + 10 + (- 10) AC = 14,19 m

AC = - (1,2 m) i + (10 m) j - (10 m) k

Tração no Cabo AB:

AB

AB

AB - (1,2 m) i + (10 m) j + (8 m) k = =

AB 12,86 m

= - 0,0933 i + 0,778 j + 0,622 k

AB AB AB AB AB ABT = T = - 0,0933 T i + 0,778 T j + 0,622 T k

Tração no Cabo AC:

AC

AC

AC - (1,2 m) i + (10 m) j - (10 m) k = =

AC 14,19 m

= - 0,0846 i + 0,705 j - 0,705 k

AC AC AC AC AC ACT = T = - 0,0846 T i + 0,705 T j - 0,705 T k

Forças H e P:

H = H i

P = - (1962 N) j

Equilíbrio do Ponto Material A:

R = 0

ou AC ABT + T + P + H = 0

AC AB AC AB

AC AB

(- 0,0846 T - 0,0933 T + H) i + (0,705 T + 0,778 T - 1962) j +

+ (- 0,705 T + 0,622 T ) k = 0

ou:



i x AB ACF = 0 H - 0,0933 T - 0,0846 T = 0 i y AB ACF = 0 0,778 T + 0,705 T = 1962 i z AB ACF = 0 0,622 T - 0,705 T = 0

substituição:

AC AB0,705 T = 0,622 T

logo,

AB AB AB AB0,778 T + 0,622 T = 1962 1,4 T = 1962 T = 1401,43 N

daí,

AC0,705 T = 0,622 1401,43 T = 1236,44 N

e

H - 0,0933 1401,43 - 0,0846 1236,44 = 0 H = 235,36 N

H = 235,36 N ABT = 1401,43 N ACT = 1236,44 N

04. Vários cabos de sustentação estão atados ao topo da torre abaixo no ponto A.

A tração em Ab é de 26 kN e a atuante em AC é de 17,5 kN. Determinar a

resultante das duas forças exercidas por esses cabos em A.




19/34

Diagrama de Corpo Livre:

Cabo AB:

x B Ad = x - x = 8 - 0 = 8 m

y B Ad = y - y = 0 - 24 = - 24 m

z B Ad = z - z = 6 - 0 = 6 m

2 2 2x y z

2 2 2

AB = d + d + d

AB = 8 + (- 24) +6 AB = 26 m

AB = (8 m) i - (24 m) j + (6 m) k

A

T AB

T AC

y

18 m

xz

8 m6 m

12 m

8 m

24 m

A

B

DC



Cabo AC:

x C Ad = x - x = 8 - 0 = 8 m

y C Ad = y - y = 0 - 24 = - 24 m

z C Ad = z - z = - 12 - 0 = - 12 m

2 2 2x y z

2 2 2

AC = d + d + d

AC = 8 + (- 24) + (- 12) AC = 28 m

AB = (8 m) i - (24 m) j - (12 m) k

Tração em AB:

AB ABT = T AB

= AB

AB AB AB

T = T AB

AB

AB

26 kNT = (8 m) i + (- 24 m) j + (6 m) k

26 m

T = (8 kN) i + (- 24 kN) j + (6 kN) k

Tração em AC:

AC ACT = T AC

= AC

AC AC AC

T = T AC

AC

AC

17,5 kNT = (8 m) i + (- 24 m) j + (- 12 m) k

28 mT = (5 kN) i + (- 15 kN) j + (- 7,5 kN) k

Resultante:

R = F

x y z i x i y i zx y z

x y z

R i + R j + R k = (F ) i + (F ) j + (F ) k

R i + R j + R k = 8 kN i - 24 kN j + 6 kN k + 5 kN i - 15 kN j - 7,5 kN k

R i + R j + R k = (13 kN) i - (39 kN) j - (1,5 kN) k




20/34

xR = 13 kN yR = - 39 kN zR = - 1,5 kN

2

2 2x y z

2 2 2

R = R + R + R

R = 13 + (- 39) + (- 1,5) R = 41,14 kN

05. Na mesma torre do problema 4, sabendo-se agora que a tensão em AC é de 35

kN, determine os valores requeridos para as tensões em AB e AD para que a

resultante das três forças aplicadas em A seja vertical.

Diagrama de Corpo Livre:

Os vetores correspondentes aos

cabos AB e AC já foram

determinados e são os mesmos.

Cabo AD:

x D Ad = x - x = - 18 - 0 = - 18 m

y D Ad = y - y = 0 - 24 = - 24 m

z D Ad = z - z = 0 - 0 = 0

2 2 2x y z

2 2

AD = d + d + d

AD = (- 18) + (- 24) AD = 30 m

AB = (- 18 m) i - (24 m) j

Tração em AD:

AD ADT = T AD

= AD

AD AD AD

T = T AD

A

T ACT AD

T AB



AD AD

AC AD AD

TT = (- 18 m) i + (- 24 m) j

30 mT = - 0,6 T i - 0,8 T j

Tração em AC:

AC ACT = T AC

= AC

AC AC AC

T = T AC

AC

AC

35 kNT = (8 m) i + (- 24 m) j + (- 12 m) k

28 mT = (10 kN) i + (- 30 kN) j + (- 15 kN) k

Tração em AB:

AB ABT = T AB

= AB

AB AB AB

T = T AB

AB AB

AB AB AB AB

TT = (8 m) i + (- 24 m) j + (6 m) k

26 mT = 0,31 T i - 0,93 T j + 0, 23 T k

Equilíbrio do Ponto Material A:

Condição: R vertical, ou seja, yR = R j

n

i AB AC ADi = 1

R = F = T + T + T

y AB AB AB

AD AD

R j = 0,31 T i - 0,93 T j + 0,23 T k + 10 kN i - 30 kN j - 15 kN k - 0,6 T i - 0,8 T j

Daí,

AB AD

AB AD y

AB

0,31 T + 10 - 0,6 T = 0

- 0,93 T - 30 - 0,8 T = R

0,23 T - 15 = 0




21/34

AB AB0,23 T = 15 T = 65,22 kN

Levando à primeira equação,

AD AD AD0,31 65,22 + 10 - 0,6 T = 0 0,6 T = 30,22 T = 50,37 kN

Logo,

y- 0,93 65,22 - 30 - 0,8 50,37 = R

yR = - 130 kN (sentido oposto a y para o equilíbrio)

Logo,

yR = R i = 130 kN j

06. Determinar as forças nos cabos de sustentação da torre abaixo quando atuam

uma força horizontal em A na direção x e outra também horizontal em B na direçãox de valores 1,2 kN e 2,4 kN respectivamente.

7,5 m

7,5 m 10 m

10 m

10 m10 m

x

z

y

B

A

C D

F E

O



Considerações Iniciais:

Quando atuar a força horizontal em A, AH i = 1,2 kN

, os cabos AD e AE nãoserão solicitados, pois estarão sujeitos a compressão. Neste caso os cabos AC e

AF funcionarão a tração.

Quando atuar a força horizontal em B, BH i = 2,4 kN

, os cabos BD e BE não

serão solicitados, pois estarão sujeitos a compressão. Neste caso os cabos BC e

BF funcionarão a tração.

Diagrama de Corpo Livre – Ponto A

A força T A surge como reação no ponto A que

equilibra as componentes verticais de T AC e T AF.

Cabo AC:

x C Ad = x - x = - 10 - 0 = - 10 m

y C Ad = y - y = 0 - 15 = - 15 m

z C Ad = z - z = 10 - 0 = 10 m

2 2 2x y z

2 2 2

AC = d + d + d

AC = (- 10) + (- 15) + (10) AC = 20,62 m

AC = (- 10 m) i + (- 15 m) j + (10 m) k

Cabo AF:

x F Ad = x - x = - 10 - 0 = - 10 m

y F Ad = y - y = 0 - 15 = - 15 m

z F Ad = z - z = - 10 - 0 = - 10 m

T A

H A

T AC

T AF

A




22/34

2 2 2x y z

2 2 2

AF = d + d + d

AF = (- 10) + (- 15) + (- 10) AF = 20,62 m

AF = (- 10 m) i + (- 15 m) j + (- 10 m) k

Tração AC:

AC ACT = T AC

= AC

AC AC AC

T = T AC

AC AC

AC AC AC AC

TT = (- 10 m) i + (- 15 m) j + (10 m) k

20,62 mT = (- 0,49 T ) i + (- 0,73 T ) j + (0,49 T ) k

Tração AF:

AF AFT = T AF

= AF

AF AF AF

T = T AF

AF AF

AF AF AF AF

TT = (- 10 m) i + (- 15 m) j + (- 10 m) k

20,62 mT = (- 0,49 T ) i + (- 0,73 T ) j + (- 0,49 T ) k

Força H A:

A AH = H i H = (1,2 kN)i

Força T A:

A AT = T j

Equilíbrio do Ponto A:

n

i A A AC AFi = 1

R = F = T + H + T + T = 0



A AF AF AF

AC AC AC

T j + (1,2 KN) i + (- 0,49 T ) i + (- 0,73 T ) j + (- 0,49 T ) k +

+ (- 0,49 T ) i + (- 0,73 T ) j + (0,49 T ) k = 0

AF AC A AF AC

AF AC

(1,2 - 0,49 T - 0,49 T ) i + (T - 0,73 T - 0,73 T ) j +

+ (- 0,49 T + 0,49 T ) k = 0

AF AC

AF AC A

AF AC

0,49 T + 0,49 T = 1,2

- 0,73 T - 0,73 T + T = 0

- 0,49 T + 0,49 T = 0

Da terceira equação,

AC AF AC AF0,49 T = 0,49 T T = T


AF AF0,49 T + 0,49 T = 1,2

AF AF AC0,98 T = 1,2 T = T = 1,23 kN

Daí,

A- 0,73 1,23 - 0,73 1,23 + T = 0 T = 1,80 kN

Diagrama de Corpo Livre – Ponto B

A força TB surge como reação no ponto B que

equilibra as componentes verticais de TBC e TBF.

Cabo BC:

x C Bd = x - x = - 10 - 0 = - 10 m

TB

HB

TBC

TBF

B




23/34

y C Bd = y - y = 0 - 7,5 = - 7,5 m

z C Bd = z - z = 10 - 0 = 10 m

2 2 2x y z

2 2 2

BC = d = d + d + d

BC = d = (- 10) + (- 7,5) + (10) BC = d = 16 m

Co-senos Diretores de BC:

xx xd - 10

cos = = cos = - 0,625

d 16

yy yd - 7,5

cos = = cos = - 0,469d 16

zz zd 10

cos = = cos = 0,625d 16

Componentes de TBC:

BC x BC x BCT = T cos = - 0,625 T

BC y BC y BCT = T cos = - 0,469 T

BC z BC z BCT = T cos = 0,625 T

Cabo BF:

x F Bd = x - x = - 10 - 0 = - 10 m

y F Bd = y - y = 0 - 7,5 = - 7,5 m

z F Bd = z - z = - 10 - 0 = - 10 m

2 2 2x y z

2 2 2

BF = d = d + d + d

BF = d = (- 10) + (- 7,5) + (- 10) BF = d = 16 m



Co-senos Diretores de BF:

xx xd - 10

cos = = cos = - 0,625d 16

yy yd - 7,5

cos = = cos = - 0,469d 16

zz zd - 10

cos = = cos = - 0,625d 16

Componentes de TBF:

BF x BF x BFT = T cos = - 0,625 T

BF y BF y BFT = T cos = - 0,469 T

BF z BF z BFT = T cos = - 0,625 T

Equilíbrio do Ponto B:

n

i BF BC B Bi = 1

R = F = T + T + H + T = 0

n

i x BF BC Bi = 1

R = F = 0 - 0,625 T - 0,625 T + H =0

n

i y BF BC Bi = 1

R = F = 0 - 0,469 T - 0,469 T + T =0

n

i z BF BCi = 1

R = F = 0 - 0,625 T + 0,625 T = 0

Da terceira equação,

BF BC BC BF0,625 T = 0,625 T T = T





24/34

BC BF- 0,625 T - 0,625 T + 2,4 = 0

BC BC BF- 1,25 T = - 2,4 T = T = 1,92 kN

Na segunda equação,

BF BC B- 0,469 T - 0,469 T + T = 0

B B- 0,469 1,92 - 0,469 1,92 + T = 0 T = 1,8 kN



ESTUDO DIRIGIDO

01. O que é Ponto Material?

02. Quando se pode utilizar o conceito de ponto material?

03. O que é Força e como é caracterizada?

04. O que é a Resultante de um sistema de forças?

05. Como se determina a resultante quando se têm duas forças atuando em um

único ponto material?

06. O que são vetores?

07. Como se faz a adição de vetores? Exemplifique.

08. Como se faz a subtração de vetores? Exemplifique.09. Como se multiplica um vetor por um escalar? Exemplifique.

10. Como se encontra a resultante de um sistema de forças coplanares que atuam

em um ponto material?

11. Como se procede para decompor uma força quando uma componente já é

conhecida?

12. Como se faz a decomposição de uma força quando se conhecem as linhas de

ação de suas componentes?

13. O que são Componentes Cartesianas de uma força?

14. De quais formas podem ser expressas as componentes cartesianas de umaforça?

15. Como se pode adicionar forças utilizando suas componentes cartesianas?

16. Quais são as condições de equilíbrio de um ponto material sujeito a um sistema

de forças coplanares?

17. O que diz a 1ª Lei de Newton e quais são suas implicações no caso de um

ponto material?

18. O que é um Diagrama de Corpo Livre?

19. Como se encontram as componentes cartesianas de uma força espacial?

20. O que são os co-senos diretores de uma força?21. Que relação existe entre os co-senos diretores de uma força?

22. Como se expressa uma força em função de vetores unitários

i ,

j e

k ?

23. Como se procede para adicionar forças no espaço?

24. Quais são as condições de equilíbrio de um ponto material sujeito a um sistema

de forças espaciais?




25/34

EXERCÍCIOS PROPOSTOS

01. Determine graficamente a intensidade, a direção e o sentido da resultante das

duas forças ilustradas utilizando:

(a) a lei do paralelogramo;

(b) a regra do triângulo.

1º Caso 2º Caso

02. A força F de intensidade 400 N é decomposta em duas componentes segundo

os eixos a-a e b-b, como mostra a figura. Calcule, trigonometricamente, o ângulo sabendo que a componente segundo b-b vale 150 N.

03. Duas peças B e C estão rebitadas no suporte A como indica a figura. Ambas

estão comprimidas por F1 e F2, respectivamente de valores 8 kN e 12 kN.

Determine, graficamente, o módulo, a direção e o sentido da resultante na peça A.

a

F

60ºa

b

b

40º

300 N

35º

450 N

65º

30º

5 kN

3,5 kN



04. Uma estaca é arrancada do solo com o auxílio de duas cordas, como indica a

figura. Pedem-se:

(a) calcular trigonometricamente, com = 30° , o módulo da força P

necessária

para que a resultante na estaca seja vertical;

(b) qual será o módulo da resultante correspondente?

05. Um carro quebrado é puxado por duas cordas, como indica a figura. A força de

tração em AB é de 400 N e = 20° . Sabendo que a resultante das duas forças

aplicadas em A tem direção do eixo do carro, calcular trigonometricamente:(a) a tração em AC;

(b) a resultante.

45º

20ºF2

F1

A

30º

C

A

B




26/34

06. Na figura do problema número 4, determine trigonometricamente o módulo, a

direção e o sentido da força P

para que a resultante seja vertical de 160 N.

07. Na figura do problema número 4, impondo que a resultante das duas forças

aplicadas à estaca seja vertical, calcule:

(a) o valor de para que P

seja mínima;

(b) o valor correspondente de P

.

08. Calcular trigonometricamente o módulo, a direção e o sentido das forças que

agem no gancho abaixo.

09. Determine as componentes segundo x e y de cada uma das forças das quatro

figuras abaixo.

(a) (b)

45º

800 N

25º

350 N60º

600 N

x

y

20º

50º

60 kN

75 kN

35º

45 kNy

x

45º25º

200 N300 N



(c) (d)

10. A haste CB exerce no bloco B uma força P

dirigida ao longo da reta CB.

Sabendo que P

tem uma componente horizontal de 200 N, determine:

(a) a intensidade da força P

;

(b) sua componente vertical.

11. O cilindro hidráulico GE aplica à haste DF uma força P

dirigida ao longo da reta

GE. Sabendo que P

deve ter uma componente de 600 N na direção perpendicular

DF, determine:

(a) a intensidade da força P

;

(b) sua componente paralela a DF.

50º50º

C

B A

l l

Q

530 N

510 N

y

x

AB

O

150 mm 140 mm

80 mm 225 mm

58 N

75 N

y

x

A

B

O

178 mm

533 mm

508 mm

610 mm




27/34


28/34

17. Uma peça que pode deslizar ao longo de um eixo vertical está sujeita a três

forças. Determine:(a) o valor do ângulo para que a resultante das três forças seja horizontal;

(b) a intensidade correspondente da resultante.

18. Dois cabos estão atados em C, onde é aplicada uma carga. Sabendo que

P = 400 N e = 75° , determine as trações em AC e BC.

19. Dois cabos são atados em C, onde é aplicada uma carga. Sabendo que

= 25° , determine as trações em AC e BC.

55º

A

B

C500 N

45º 25º

A B

C

P

110 N

85 N

170 N



20. Dois cabos estão atados em C, onde é aplicada a carga. Determine as trações

AB e BC em cada um dos casos abaixo.

(a) (b)

(c) (d)

21. Duas forças P

e Q

são aplicadas a uma conexão como indica a figura.

Sabendo que a conexão está em equilíbrio, determine a tração nas barras A e B.

30º

A

B

Q

P

T A

TB

60º

510 mm1400 mm

1220 mm

4500 N

A B

C

600 mm

280 mm

450 mm

330 NC

B

A

A

120 kg

C

B

30º

40º

50º 30º A B

C

400 N




29/34

22. Na figura abaixo dois cabos estão atados no ponto A, sujeito a uma carga de

960 N. Sabendo que P = 640 N, determine a tração em cada cabo.

23. A peça A da figura abaixo desliza sem atrito em um eixo vertical, com 7,5 kgf.

Ela está presa por um fio através de uma polia sem atrito a um peso de 8,5 kgf.

Determine a altura h para que o sistema esteja em equilíbrio.

24. Uma caixa e seu conteúdo pesam 480 kgf. Determine o menor tamanho dacorrente ACB que pode ser utilizada para levantar a caixa e seu conteúdo se a

tração na corrente não pode exceder 3650 N.

0,40 m

A

C

8,5 kg

7,5 kg

h

280 mm

960 N

C

960 mm

3

4

P

A

B



25. Caixotes de 300 kg estão suspensos por diversas combinações de corda e

roldana, como mostra a figura abaixo. Sabendo que a tração na corda é a mesma

dos dois lados, determine, em cada caso, a tração na corda.

26. A força P

é aplicada a uma pequena roda que se desloca sobre um cabo ACB.

Sabendo que a tração nas duas partes do cabo é de 750 N, determine o módulo e

a direção de P

.

30º 45º

A B

C

P

TT

T T

T

(a) (b) (c) (d) (e)

690 mm

375 mm

A B

C




30/34

27. Um caixote de 300 Kg deve ser sustentado pelo arranjo de cordas e polias da

figura abaixo. Determine o módulo e a direção de F

que deve ser aplicada àextremidade da corda.

28. A peça A desliza livremente sobre o eixo horizontal sem atrito. A mola presa a

ela tem constante k = 1751 N/m e elongação nula quando A está diretamente

embaixo do suporte B. Determine a intensidade da força P

necessária para manter

o equilíbrio quando:(a) c = 228 mm;

(b) c = 406 mm .

29. Para a figura abaixo, determine:

(a) as componentes da força de 500 N;

305 mm

c

P

A

B

F3,60 m

1,05 m

300 kg



(b) os ângulos x , y e z que a força de 500 N forma com os eixos

coordenados;(c) as componentes cartesianas da força de 800 N;

(d) os ângulos x , y e z que a força de 800 N forma com os eixos

coordenados.

30. Na estrutura da figura abaixo o cabo AC, de 21 m, está sujeito à tração de26250 N, enquanto que o cabo AB, de 19,5 m, está sujeito à tração de 19500 N.

Determine:

(a) as componentes cartesianas da força aplicada pelo cabo em B e os ângulos

x , y e z que definem a direção desta força;

(b) as componentes cartesianas da força aplicada pelo cabo em C e os ângulos

x , y e z que definem a direção desta força;

(c) a resultante.

O

25º

70º

40º

z

y

x

800 N

500 N

30º




31/34

31. A fim de remover um caminhão acidentado, dois cabos são atados em A e

puxados por dois guinchos B e C. Sabendo que a tração no cabo AB é de 10 kN,

determine as componentes da força exercida pelo cabo AB no caminhão.

32. Determine o módulo, a direção e o sentido da força

F = (2900 N)i + (3450 N) j - (1500 N) k

.

50º

20ºx

y

z

A

B

C

D

16,8 m



33. No problema 31, sabendo que a tração no cabo AC é de 7,5 kN, determine as

componentes da força exercida pelo cabo AC no caminhão.

34. No problema 31, sabendo que a tração no cabo AB é de 10 kN e de 7,5 kN no

cabo AC, determine o módulo e a direção da resultante das forças aplicadas pelos

cabos no caminhão.

35. Na figura abaixo, sabendo que a tração no cabo AB é de 1425 N e no cabo AC

é de 2130 N, determine:

(a) as componentes da força aplicada no ponto B;

(b) as componentes da força aplicada no ponto C;

(c) o módulo e a direção resultante das forças aplicadas em A pelos dois cabos.

36. Uma força é aplicada na origem do sistema cartesiano e tem direção

determinada pelos ângulos x = 75° e z = 130° . Sabendo que a componente em y

da força é de 1500 N, determine:

(a) as componentes e o módulo da força;

(b) o valor de x .

37. À barra OA abaixo é aplicada uma carga P

. Sabendo que a tração no cabo AB

1,125 m

1,15 m

y

x

zC

D

O

B

A

0,75 m

0,45 m




32/34

é de 850 N e que a resultante da carga P

e das forças aplicadas pelos cabos em A

deve ter a direção de OA, determine a tração no cabo AC e o módulo da carga P

.

38. Determine a resultante das forças da figura abaixo.

39. Uma caixa está suspensa por três cabos, como na figura.

(a) Calcule o peso P da caixa sabendo que a tração no cabo AD é de 4620 N;

(b) Calcule o peso P da caixa para tração no cabo AB de 6890 N.

O

25º

20º

60º

40º

z

y

x

300 N

250 N

360 mm

510 mm

320 mm

270 mm

AO

B

C

xz

y

600 mm

P



40. Um recipiente está suspenso por três cabos como na figura abaixo. Determine:

(a) o peso P do recipiente sabendo que a tração no cabo AB é de 4 kN;

(b) o peso do recipiente sabendo que a tração no cabo AD é de 3,87 kN;

(c) se o peso do recipiente for P = 1165 N, determine a tração em cada cabo.

41. Três cabos estão atados em A, onde são aplicadas as forças P

e Q

, como

ilustra a figura. Calcule:

(a) a tração em cada cabo sabendo que P = 5,6 kN e Q = 0 ;

z

y

x

C

A

B

D O

600 mm

500 mm

360 mm

450 mm

320 mm

z

y

x

C

A

B

D O

0,65 m

0,45 m 0,70 m

0,60 m

1,125 m




33/34

(b) a tração em cada cabo para P = 0 e Q = 7,28 kN;

(c) sabendo que Q = 7,28 kN e que a tração em AD é nula, calcule as trações noscabos AB e AC e o módulo e o sentido de P

.

42. Uma placa circular de 6 kg e 17,5 cm de raio está suspensa, como ilustra a

figura, por três fios, cada um com 62,5 cm de comprimento. Determine a tração em

cada cabo para = 30° e para = 45°.

43. Tentando cruzar uma superfície gelada e escorregadia, um homem de 90 kg

utiliza duas cordas, AB e AC. Sabendo que a força exercida pela superfície no

homem é perpendicular à superfície, determine a tração em cada corda.

B

C

D

A

O

4 m

4 m

7 m

A

D

B

C

x

z

y

P

E

Q

7 m

4 m

3 m

12 m3 m



44. Um recipiente de peso P = 400 N é suspenso por dois cabos AB e AC atados

ao anel A.

Suponha que Q = 0 e determine:

(a) o módulo da força H

que deve ser aplicada ao anel para manter o recipiente

na posição;

(b) os valores correspondentes da tração em AB e AC.

Suponha que Q = (80 N) k

e determine:

(c) o módulo da força H

que deve ser aplicada ao anel para manter o recipiente

na posição;

(d) os valores correspondentes da tração em AB e AC.

150 mm

z

y

x

C

A

B O

H

400 mm

240 mm

130 mm

Q

160 mm

3,60 m

9,00 m

2,40 m

4,80 m

1,20 m

A

C

B

O

x

y

z

9,60 m




34/34

45. No problema 44, determine o peso P do recipiente se H = 164 N.

46. O cabo BAC da figura abaixo passa, sem atrito, através do anel A e é atado nos

pontos fixos B e C. Os cabos AD e AE são ambos atados ao anel e,

respectivamente, aos suportes D e E. Pede-se:

(a) determine a tração nos três cabos sabendo que uma carga vertical P

de 750

N de intensidade é aplicada ao anel A;

(b) sabendo que a tração no caso AE é de 250 N, determine o módulo da carga P

e a tração nos cabos BAC e AD.

47. Uma placa circular de 10 kg tem 250 mm de raio e está suspensa por três fios

iguais, de comprimento l. Sabendo que = 30° , determine o menor valor possível

de l para que a tração não exceda o valor de 50 N em qualquer dos fios.

B

C

D

A

O

1,20 m

1,60 m

0,50 m

0,35 m0,90 m

z

y

x

C

A

B E

D

O

P



FONTES

- MECÂNICA VETORIAL PARA ENGENHEIROS: ESTÁTICA

Ferdinand P. Beer

E. Russel Johnston, Jr.

Makron Books

- MECÂNICA DAS ESTRUTURAS IA

Notas de Aulas

Valdir Bernardi Zerbinati

- MECÂNICA TÉCNICA: ESTÁTICA

S. Timoshenko

D. H. Young

Livros Técnicos e Científicos S.A.



3tru020 - cap. 02 - estática dos pontos materiais (reduzido)

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