estática dos pontos materiais

Estática dos Pontos Materiais - Profª Angélica da Silva Nunes 1

ESTÁTICA DOS PONTOS MATERIAIS

Profª Angélica da Silva Nunes


INTRODUÇÃO

• Mecânica– Ciência que descreve e prediz as condições de

repouso ou movimento dos corpos sob a ação de forças

• Aplicações– Cálculo Estrutural

– Projeto de Máquinas

– Escoamento de Fluídos

– Instrumentação Elétrica

– etc.



CONCEITOS ÚTEIS

• Espaço– Região geométrica ocupada por corpos cujas posições são

descritas por medidas lineares e angulares em relação a um sistema de coordenadas. Um ponto é definido no espaço por 3 coordenadas (x, y, z)

• Tempo– Medida da sucessão de eventos. Além da posição no espaço,

o instante em que ocorre cada evento deve ser conhecido

• Massa– Medida da inércia de um corpo

• Força– Representa a ação de um corpo sobre o outro. Esta ação pode

ser por contato ou a distância (forças gravitacionais, forças eletromagnéticas). A força é uma grandeza vetorial sendo, então, representada por seu módulo, direção e sentido


CONCEITOS ÚTEIS

• Partícula (ponto material)– Porção da matéria que pode ser considerada

como ocupando um único ponto no espaço (a sua forma e dimensão não são consideradas)

• Corpo Rígido– É uma combinação de um grande número de

partículas que ocupam posições fixas relativamente umas às outras. O corpo se desloca como um todo, não há movimento relativo entre as partículas, portanto não há deformação.


PRINCÍPIOS FUNDAMENTAIS DA MECÂNICA

• Lei do paralelogramo para a adição de forças– Duas forças atuantes sobre uma partícula podem

ser substituídas por uma única força resultante obtida pela diagonal do paralelogramo

– Este princípio não pode ser demonstrado matematicamente, mas é verificado experimentalmente

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• Princípio da transmissibilidade– A condição de repouso ou movimento de um

corpo rígido não se altera, caso se modifique o ponto de aplicação da força sobre a mesma linha de ação

• Ex: em primeiro momento tem-se a força aplicada no ponto A da reta s e num segundo momento a força está aplicada no ponto B pertencente a mesma reta



• Princípio da transmissibilidade – Pode ser aplicado sem restrições na Mecânica

dos Corpos Rígidos, mas o mesmo não ocorre com os corpos deformáveis

– Ex:um cabo submetido à tração. No caso A tem-se tração no cabo e no caso B tem-se compressão no cabo.



• Primeira Lei de Newton– Se a força resultante que atua sobre uma partícula em repouso é nula, então

ela permanecerá em repouso. Se a força resultante que atua sobre uma partícula em movimento retilíneo uniforme (MRU) é nula, então ela permanecerá em MRU.

• Segunda Lei de Newton– Se a força resultante que atua sobre um ponto material não é nula, este terá

uma aceleração proporcional à intensidade da resultante e na mesma direção e sentido desta. Logo pode-se escrever:

F = m · a• Terceira Lei de Newton

– As forças de ação e reação entre corpos em contato têm o mesmo módulo, direção e sentidos opostos

• Lei da atração gravitacional de Newton– Duas partículas de massa m1 e m2 são mutuamente atraídas por forças

iguais e opostas de módulo F, dadas pela equação abaixo, em que G é Constante Universal de Gravitação (G = 6,673x10-11 m3/kg s2) e r é a distância entre os centros das partículas


CLASSIFICAÇÃO DAS FORÇAS

• Forças Externas– São as forças que atuam num corpo devido à ação de outros corpos sobre

este. Estas forças podem ser divididas em Ativas e Reativas. As forças Ativas causam uma tendência de movimento no corpo, enquanto as forças Reativas tendem a evitar o movimento do corpo

• Forças Internas– São as forças responsáveis por manter unidas as partículas que formam o

corpo rígido• Forças Concentradas

– São forças que atuam num único ponto. Estas forças são uma idealização da realidade, que tem a função de facilitar os processos de cálculo. Não existe constatação prática da sua existência

• Forças Distribuídas– São forças que atuam numa determinada região do corpo. Por exemplo

pressão atuando sobre uma superfície• Forças Estáticas

– São forças que podem ser consideradas constantes no tempo. Estas forças são aplicadas de modo bastante lento

• Forças Dinâmicas– São forças variáveis no tempo.


FORÇAS NO PLANO

• Intensidade

• Direção

• Sentido

A 300

30 N

A 300

30 N


FORÇA RESULTANTE

• Vetores– Entes matemáticos que possuem intensidade, direção e

sentido– Atual em um dado ponto material e não podem ser

deslocados sem modificar as condições do problema– São somados de acordo com a Lei do Paralelogramo– Ex: duas forças A (3 N) e B (4 N) perpendiculares tem

resultante igual a 5 N e não 7 N

3 N

4 N

5 N


VETORES

• Dois vetores de mesma intensidade, direção e sentido são ditos iguais, quer tenham ou não o mesmo ponto de aplicação – vetores livres

• Podem ser identificados pela mesma letra

P

P


VETORES

• O vetor oposto de um dado vetor P é definido como sendo um vetor que tem a mesma intensidade e direção e sentido oposto ao de P

P = - P

P

- P


ADIÇÃO DE VETORES

P + Q = Q + P

P

Q

P + Q

Lei do Paralelogramo

P

Q

P + Q

Regra do Triângulo


SUBTRAÇÃO DE VETORES

P

Q

P – Q = P + (– Q)

– Q

P

P – Q


SOMA DE 3 OU MAIS VETORES

• Caso os vetores sejam coplanares, é mais fácil aplicar a Regra do Triângulo do que a Lei do Paralelogramo

Q

SP

P + Q

P + Q + S

P + Q + S = (P + Q) + S = P + (Q + S)

P Q + S

P + Q + S

Q

S


PRODUTO ESCALAR DE UM VETOR

• P + P = 2P • P + P + P = 3P• Soma de n vezes o vetor P = nP• Produto escalar

– Produto de um escalar k (positivo ou negativo) por um vetor P = kP

– Tem a mesma direção– Tem o mesmo sentido, se k for positivo– Tem sentido oposto se k for negativo– Intensidade é igual ao produto da intensidade de P pelo valor k

P

1,5P

-2P


RESULTANTE DE VÁRIAS FORÇAS CONCORRENTES

• Forças concorrentes– É um conjunto de forças coplanares que

atuam sobre o mesmo ponto

A

S

P

QA

S

PQ

R

Força Resultante

R = P + Q + RForças concorrente no ponto A


DECOMPOSIÇÃO DE UMA FORÇA EM COMPONENTES

• Da mesma forma que as forças atuantes em um ponto material pode ser substituída por uma única força F, uma força F pode ser substituída por 2 ou mais forças que, juntas, tem o mesmo efeito sobre o ponto material

• Essas forças são chamadas de componentes da força original F

• O processo de substituição é chamado de decomposição da força F em componentes

• Para força F existe um número infinito de conjuntos possíveis de componentes

P

Q

F P

Q

F


EXERCÍCIO 1As forças P e Q agem sobre um parafuso A. Determinar a sua resultante.

Lei dos cossenosR2 = P2 + Q2 - 2PQcos1550

R2 = 402 + 602 – 2.40.60.cos1550

R = 97,7 N

Lei dos senosQ = R A = 150

senA sen1550

α = 150 + 200 = 350

R = 97,7N ∡ 350


EXERCÍCIO 2

Uma barcaça é puxada por 2 rebocadores. Se a resultante das forças exercidas pelos rebocadores é de 5kN e tem a direção do eixo da barcaça, determine:

a) a tração em cada corda, sabendo-se que α=450

b) o valor de α para que a tração na corda 2 seja mínima


EXERCÍCIO 2 – SOLUÇÃO (a)

Lei dos Senos

T1 = T2 = 5

sen450 sen300 sen1050

T1 = 3,66 kN

T2 = 2,59 kN

5 kN

5 kN


EXERCÍCIO 2 – SOLUÇÃO (b)

Para que T2 seja mínimo, T1 e T2

devem ser ortogonais, isto é, devem formar um ângulo de 900.

sen300 = T2 / 5 T2 = 5 sen300

T2 = 2,5 kN

cos300 = T1 / 5 T1 = 5 cos300

T1 = 4,33 kN

α = 900 – 300 = 600

5 kN

5 kN


COMPONENTES CARTESIANAS DE UMA FORÇA

• Decomposição da força F em componentes perpendiculares entre si– Paralelogramo desenhado

para obtenção das componentes é um retângulo

– Fx e Fy: componentes cartesianas

• Eixos x e y– Perpendiculares – Geralmente nas direções

horizontal e vertical– Podem ser inclinados

• Ângulo θ– Medido a partir de Fx até a

força F no sentido anti-horário


VETORES i E j

• Vetores de intensidade igual a 1– Vetor i: na direção do eixo x

– Vetor j: na direção do eixo y

• Decomposição de FFx = Fx i

Fy = Fy j

F = Fx i + Fy j

onde:

Fx e Fy: componentes vetoriais de F

Fx e Fy: componentes escalares de F(intensidade dos vetores Fx e Fy)

• Relação entre F, Fx, Fy e θFx = F cosθFy = F senθ


EXERCÍCIOUma força de 800 N é exercida sobre um parafuso A. Determine as componentes horizontal e vertical da força F

Fx = - F cosα = - 800.cos350

Fx = - 655 N

Fy = + F senα = - 800.sen350

Fy = + 459 N

Componentes vetoriais de F:Fx = - (655 N)iFx = + (459 N)j

F = - (655 N)i + (459 N)j


EXERCÍCIO

Um homem puxa, com uma força de 300 N, uma corda fixada a uma construção. Quais as componentes horizontal e vertical da força exercida pela corda no ponto A?

tgα = (6/8) α = 36,870

Fx = +(300)cosα = 240 N

Fy = -(300)senα = -180 N

F = (240 N) i – (180N) j


EXERCÍCIO

A força F=(3,5kN)i + (7,5kN)j é aplicada a um parafuso A. Determine a intensidade da força e o ângulo que ela forma com a horizontal.

tgθ = (Fy / Fx) = (7,5 / 3,5)

θ = 350

F2 = Fy2 + Fx

2 = 7,52 + 3,52

F = 8,28 kN

Fx = 3,5 kN

Fy

= 7

,5 k

N


ADIÇÃO DE FORÇAS PELA SOMA DAS COMPONENTES

• Soma de 2 forças– Lei do paralelogramo ou regra do triângulo

• Soma de mais de 2 forças– Solução analítica pode ser obtida pela decomposição de cada uma

das forças em suas componentes cartesianas• Ex: 3 forças P, Q e S

R = P + Q + S P = Pxi + PyjQ = Qxi + QyjS = Sxi + Syj

R = Pxi + Pyj + Qxi + Qyj + Sxi + SyjR = (Px + Qx + Sx)i + (Py + Qy + Sy)j

Rx Ry

Rx = Px + Qx + Sx e Ry = Py + Qy + Sy ou Rx = Σ Fx e Ry = Σ Fy


ADIÇÃO DE FORÇAS PELA SOMA DAS COMPONENTES

Forças P, Q, S Decomposição Componentes Resultante nos eixos x e y x e y de R R


EXERCÍCIO

Quatro forças atuam no parafuso A. Determine a resultante das forças que agem no parafuso.

3450

2700

1100

300

θ

14,30 N199,13 NResultante

-25,88 N96,59 N100 NF4

-110,00 N0,00 N110 NF3

75,18 N-27,36 N80 NF2

75,00 N129,90 N150 NF1

Fy (Fsenθ)Fx (Fcosθ)Intensi

dadeForça


EQUILÍBRIO DE UM PONTO MATERIAL

• Quando a resultante de todas as forças que atuam sobre um ponto material é zero, este ponto está em equilíbrio

Σ F = 0Σ (Fxi + Fyj) = 0

(Σ Fx)i + (Σ Fy)j = 0então: Σ Fx = 0 Σ Fy = 0


EQUILÍBRIO DE UM PONTO MATERIAL

• Primeira Lei de Newton– Se a força resultante que atua sobre um ponto

material tem intensidade igual a zero, esse ponto permanece em repouso ou se move em movimento retilíneo uniforme

• Diagrama do Corpo Livre– Resolução de problemas da vida real reduzindo-

se o problema do equilíbrio do ponto material, esquematizando-se em um diagrama separado todas as forças que sobre ele são exercidas


EXEMPLO DE EQUILÍBRIO DE UM PONTO MATERIAL

Tem-se um caixote de 75kg que estava em 2 prédios e está agora sendo colocado sobre um caminhão. O caixote é suportado por um cabo vertical, unido no ponto A a duas cordas que passam por roldanas fixadas nos prédios em B e C.Deseja-se determinar a tração nas 2 cordas AB e AC.


EXEMPLO DE EQUILÍBRIO DE UM PONTO MATERIAL

• Desenha-se o Diagrama do Corpo Livre mostrando o ponto material em equilíbrio, que nesse caso é o ponto A

• Condição de equilíbrio do ponto AΣ F = 0

P = mg = 75kg.9,81m/s² = 735,75 N

sen400 = TAC / P

TAC = Psen400 = 472,93 N

cos400 = TAB / P

TAB = Pcos400 = 563,62 N

Diagrama do Corpo Livre

Triângulo de Forças


Forças no Espaço


Componentes Cartesianas de uma Força no Espaço

Fy=Fcosθy

Fh=Fsenθy

Fx=Fhcosφ=F senθy cosφ

Fz=Fhsenφ=F senθy senφ

Triângulo OAB: F2=Fy2+Fh

2

Triângulo OCD: Fh2=Fx

2+Fz2

F2 = Fx2 + Fy

2 + Fz2 F = √ Fx

2 + Fy2 + Fz

2



Fx=Fcosθx Fy=Fcosθy Fz=Fcosθz

Ângulos θx, θy e θz definem a direção da força F

cos θx, cos θy e cos θz são chamados de cossenos diretores



Sejam i, j e k os vetores unitários orientados segundo os eixos x, y e z respectivamente, então:

F = Fx i + Fy j + Fz ke

F = F(cosθx i + cosθy j + cosθz k)Seja λ um vetor de módulo unitário na mesma direção de F:

λ = cosθx i + cosθy j + cosθz kλx λy λz

Como o módulo de λ é igual a 1, tem-se que:

λ2 + λy 2 + λz

2 = 1

cosθx2 + cosθy

2 + cosθz2 = 1


Força Definida Por Seu Módulo e Dois Pontos de Sua Linha de Ação

Sejam 2 pontos: M(x1, y1, z1) e N(x2, y2, z2)

e o vetor MN que liga os pontos M e N e

que tem a mesma direção da força F.

Então:

MN = dx i + dy j + dz k

Vetor λ = vetor unitário na direção de F

λ = MN / MN = (1 / d) (dx i + dy j + dz k)

Lembrando que F = F λ, então:

F = (F / d) (dx i + dy j + dz k)

Assim:

Fx = Fdx Fy = Fdy Fz = Fdz

d d d

e

cosθx = (dx / d) cosθy = (dy / d) cosθz = (dz / d)


Adição de Forças Concorrentes no Espaço

R = Σ F, então:

R = Rx i + Ry j + Rz k = Σ (Fx i + Fy j + Fz k)

R = (ΣFx) i + (ΣFy) j + (ΣFz) k

Daí, decorre-se:

Rx = Σ Fx Ry = Σ Fy Rz = Σ Fz

Módulo de R:

R = √ Rx2 + Ry

2+ Rz

2

Cossenos diretores de R:

cos θx = (Rx / R) cos θy = (Ry / R) cos θz = (Rz / R)

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