Formacao de imagens por espelhos cilındricos e esfericos

Matheus Felipe Fagundes das NevesDepartamento de Fısica- Universidade Federal do Parana

Centro Politecnico- Jd. das Americas - 81531-990 - Curitiba - PR- Brasile-mail: matheusfneves@gmail.com

Resumo

O presente artigo tem como finalidade observar as relacoes que podem ser estudadas dentro da optica geometricacom enfase em espelhos cilındricos e esfericos. Foram analisados os pontos focais dos espelhos, bem como a relacaoque existe entre esta medida e as distancias que se encontram o objeto e a imagem em referencia ao espelho curvo.Alem disso, pudemos comprovar a equacao de Gauss para espelhos. Verificamos tambem a ampliacao da imagemem relacao ao objeto e comprovamos que existe certa aberracao quando tratamos de todos os raios provenientes doobjeto. Foi verificado tambem que epelhos esfericos possuem as mesmas caracterısticas que espelhos cilındricos vistoque o ultimo pode ser analisado como um corte transversal do primeiro, atraves de uma aproximacao. Para isso, oexperimento foi divido em duas partes. Uma considera espelhos cilındricos e a outra esfericos.Palavras chave: espelhos esfericos, reflexao, formacao de imagens

This paper has the objective to analyse the relation that can be studied in geometric optics with emphasis incylindrical and spherical mirrors. We verified the mirror’s focal points, as the relation that exists between this measureand the distances that object and image are found in reference to the curved mirror. Furthermore, we were capableto prove the Gauss equation to mirrors. As well, we observed too the image magnification in relation to the objectand proved that are some aberration when all the light beams from the object are considered. Was checked that thespherical mirrors has the same characteristic that cylindrical mirrors whereas the last can be analysed as a transversalcut of the first, using some approximation.Key Words: spherical mirrors, reflection, image formation

1 Introducao Teorica

Espelhos sao fundamentais no nosso dia-a-dia, Seja paraverificar a sua aparencia fısica, auxiliar e nos passar se-guranca ao dirigir algum veıculo, e ate mesmo auxiliarmedicos a realizarem cirurgias. Para tanto, o entendi-mento de como o processo de imagens se da e importantepara evoluirmos em nossos conhecimentos. Espelhos saoconstituıdos de uma superfıcie totalmente refletora fabri-cados com algum tipo de metal polido. Geralmente hauma superfıcie de vidro que fica na parte da frente doespelho. O processo de funcionamento desse aparato ebaseado nas leis da reflexao da luz. Se imaginarmos umfeixe de luz propagando-se num meio e atingindo uma su-perfıcie, caso ele retorne para o mesmo meio em que estavase propagando, dizemos que o feixe sofreu uma reflexao.Para a reflexao podemos dividi-la em dois tipos: Difusae Regular. A primeira ocorre em corpos rugosos fazendocom que os raios incidentes nao sigam um padrao de re-flexao. Ja a reflexao regular ocorre em superfıcies polidase os raios luminosos sao refletidos sob a mesma direcao.E nesse ultimo caso em que estamos interessados para re-alizar nossos estudos. A reflexao da luz deve seguir duaspropriedades:

• O raio incidente, o raio refletido e a normal devem sercoplanares;

• O angulo com que o raio e refletido sobre a superfıcietem o mesmo valor do que o angulo do raio que incidiusobre a mesma superfıcie;

Figura 1: A figura exemplifica um espelho concavo comseus constituintes. V e o vertice, F e o foco e C e o centrode curvatura

1

Em suma, qualquer superfıcie polida que forma imagenspor reflexao regular que obedecem as propriedades acimapodem ser chamadas de espelhos. Os espelhos podem serdivididos em tipos tambem. Vamos nos focar nos espe-lhos esfericos e planos. Para entendermos o processo deformacao de imagens, consideremos um espelho plano. Co-locando um objeto luminoso em um certo ponto afrentedo espelho, observamos que ele emite raios luminosos emtodas as direcoes, os quais sofrem o processo de reflexaoprevisto pela superfıcie refletora. Se prolongarmos os raiosrefletidos veremos que eles se cruzam em um certo pontoatras do espelho. Nesse caso especıfico, a imagem se formaa igual distancia do objeto e por ser proveniente do pro-longamento dos raios a chamamos de imagem virtual. Noentanto, ocorre aqui o que se chama de inversao de pro-fundidade, exemplificada do seguinte tipo: se posicione afrente do espelho e levante sua mao direita. Voce veraque o espelho refletira a sua mao esquerda sendo levan-tada. E por esse motivo que ambulancias, por exemplo,tem as letras em seu capo invertidas, para que quando se-jam lidas pelo motorista, observando atraves do retrovisor,estejam direitas. Observamos, portanto o comportamentodos raios para os espelhos planos.As mesmas leis de reflexao se aplicam para espelhosesfericos. Espelho esferico e toda superfıcie refletora cujaforma se assemelha a uma calota esferica. Se a face in-terna da calota e a refletora, dizemos que esse espelho econcavo. Caso contrario, o chamamos de espelho convexo.A formacao de imagens em espelhos esfericos pode ser es-tudada a partir de certos raios, chamados de particulares.A figura 1 indica as letras V, F, C que sao respectivamente:vertice, distancia focal e centro de curvatura e o eixo noqual elas estao posicionas e nomeado de eixo principal, ousimplesmente eixo.

Os raios particulares sao os que seguem:

• Se um raio de luz incidir paralelamente ao eixo prin-cipal, o raio refletido passara pelo foco principal seo espelho for concavo ou divergira do foco se ele forconvexo;

• Se um raio de luz incidir sobre o vertice do espelho,ele sera refletido sob mesmo angulo;

• Se um raio de luz incidir passando pelo centro de cur-vatura, ele sera refletido sobre ele mesmo;

Espelhos concavos podem apresentar diferentes carac-terısticas de imagens. Se o objeto for posicionado a umadistancia maior que 2F, a imagem sera real, menor e in-vertida. Se ele for posicionado sob o ponto 2F a imagemsera real, igual e invertida. Se for posicionado entre oponto 2F e F a imagem e dita real, invertida e maior. Sefor posicionada exatamente sobre o foco ela e impropria,ou seja, os raios nao se cruzam e nenhuma imagem e for-mada. Se o objeto for posicionado entre o foco e o verticea imagem e virtual, direita e maior. Ela e virtual porquefoi formada pelo prolongamento dos raios. Ja para o casode espelhos convexos, se o objeto for real a imagem serasempre direita, virtual e menor.

Podemos deduzir, a partir disso, uma equacao que relaci-one as distancias do objeto ao espelho p, a distancia daimagem ao espelho p′ , e o ponto focal F. Considere afigura 2.

Figura 2: A figura a esquerda mostra a construcao parase determinar a posicao da imagem de um objeto formadapor um espelho concavo. A figura a direita mostra que seo angulo for pequeno, todos os raios do objeto interceptamo ponto da imagem.

Usando propriedades trigonometricas e considerando ostriangulos PBC e P’BC temos a seguinte relacao:

u+ u′ = 2θ (1)

Seja h a altura do ponto B acima do eixo e δ a pequena dis-tancia de V ao pe desta linha vertical, utilizamos tambema convencao de sinal que diz que o raio R e positivo poiso sentido da direcao do espelho ao centro de curvatura eo mesmo da luz refletida. Podemos escrever as equacoespara as tangentes dos angulos u,u’ e θ:

tanu =h

s− δ, tanu′ =

h

s′ − δ, tan θ =

h

R− δ

Essas equacoes podem ser aproximadas quando conside-ramos o angulo θ muito pequeno. Se considerarmos isso,a distancia δ pode ser desprezada. Assim, para angulospequenos:

tanu =h

s, tanu′ =

h

s′, tan θ =

h

R

substituindo na equacao 1, cancelando h e sabendo que adistancia focal e a metade do raio de curvatura do espelhotemos que:

1

s+

1

s′=

2

R=

1

F(2)

Agora podemos querer determinar a ampliacao m da ima-gem. Se o objeto tiver altura h e a imagem altura h’, aampliacao e a razao entre elas. Tambem pode ser o ne-gativo da razao entre as distancias imagem e obejeto, deforma que:

m =m′

m= −s

′

s(3)

O sinal negativo na formula preve que a imagem seja in-vertida.

Note que para que a formula seja deduzida, consideramosos raios mais proximos do eixo, de forma a tornar o senodo angulo igual ao proprio angulo. Isso e, portanto, umaaproximacao. Na pratica, vemos que todos os espelhoscilındricos, que sao nada menos que um corte aproximado

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Figura 3: A figura ilustra a montagem do equipamentoreferente ao primeiro experimento

dos espelhos esfericos, e portanto tem as mesmas propri-edades, vemos que os raios mais afastados do eixo prin-cipal, chamados de perifericos, refletem para mais pertoda lente do que os raios mais proximos do eixo, chama-dos de raios paraxiais. Isso acontece justamente porqueincidem com um angulo maior na superfıcie do espelhodevido seu raio de curvatura. Esse fenomeno e chamadode aberracao cilındrica e podemos enuncia-lo da seguinteforma, conforme apostila de experimental 4 redigida peloprofessor Sergio Berleze:

”Aberracao cilındrica e a distorcao na imagemrefletida causada por uma imperfeicao na loca-lizacao dos raios refletidos.”

Por mais que haja essa imperfeicao, podemos corrigi-laeliminando os raios perifericos atraves de uma abertura.Ou ainda, aumentando o raio de curvatura.

2 Procedimento experimental

Experimento 1 (formacao de imagens por espelhoscilındricos)Os equipamentos utilizados para a realizacao do expe-rimento de formacao de imagens por espelhos esfericossao os que seguem: Trilho graduado; Disco graduado ebase(ray table degree scale); Fenda multipla (slit plate);Lente de raios paralelos; Fonte de luz; Suportes ; Espelhooptico.

Com os equipamentos organizados, montou-se o experi-mento conforme indicado pela figura 3. A montagem doequipamento foi feita de forma que a lente de raios parale-los estivesse posicionada entre a placa de fendas multiplase o disco graduado. A lente de raios paralelos tem comoobjetivo colimar os raios provenientes da fonte. A placade fendas multiplas serve para separar em feixes de luz osraios provenientes da fonte para que a observacao das suasreflexoes e dos efeitos causados por ela seja mais clara. Oespelho foi posicionado sob o eixo optico de modo que aface concava era a face refletora os raios.

Com o equipamento montado conforme a instrucao,mediu-se a distancia do ponto focal. Para que isso fossefeito, o ajuste dos raios paralelos incidindo sob o discograduado foi o mais preciso possıvel. Os angulos do discoforam utilizados para tal medicao. O espelho tambem foiajustado sob o disco graduado de modo que os raios inci-diram paralelos ao eixo optico do espelho, e o vertice deleestava posicionado sobre o centro do disco.

Figura 4: A figura ilustra como fazer a medicao das alturasdo objeto e da imagem para que a ampliacao seja calculada

A distancia focal da superfıcie concava pode ser medidacomo indicado na figura, ou seja, e a distancia entre oponto de convergencia dos raios e a superfıcie do espelho.

Agora para fazer a medicao da distancia focal do espelhode face convexa foi utilizada a tecnica de tracados de raios.Utilizando uma folha, posicionando-a entre o disco gradu-ado e o espelho, foi feito com que os raios incidissem sobcerto angulo no espelho. Viu-se que os raios refletidos naoconvergiriam para um ponto, como aconteceu com os raiosincidentes sob a face concava. Foram marcados na folhade papel a localizacao do vertice do espelho e tambem doispontos em cada feixe refletido. A folha foi retirada e osprolongamentos dos raios foram tracados. O esperado eque os raios convergissem para um certo ponto. A medidadesse ponto e a distancia focal do espelho de face convexa.

Nesse ponto do experimento podemos ser capazes de de-teminar a posicao da imagem. Para isso, a lente de raiosparalelos foi removida e deslizou-se todos os equipamentossob o trilho, o mais afastado possıvel da fonte de luz. Asobservacoes sobre essa parte do experimento serao abor-dadas na analise de resultados.

Para calcular a ampliacao da imagem, observe a figura 4.Sabemos que a fonte de luz atua como uma fonte pontualde luz, devido as dimensoes do que esta sendo observadonesse experimento. No entanto, para que seja calculada aampliacao, necessitamos de uma fonte extensa. Para isso,imagine uma certa seta imaginaria. Essa seta pode serobtida deslocando a fonte de luz lateralmente sob o trilhode luz. Esse deslocamento medido sera a altura do ob-jeto Ho e esta indicado pela parte pontilhada. Para cadaposicao da fonte uma imagem sera formada pela reflexaodo espelho de face concava. Cada posicao foi marcada.A distancia entre esses dois pontos sera a altura da ima-gem Hi. Como explicado anteriormente, a ampliacao seradeterminada pela razao entre Hi e Ho.

Para observar o fenomeno da aberracao cilındrica foi usadanovamente uma folha de papel. Utilizando a mesma mon-tagem da figura 3, foram feitas marcacoes para paresde pontos refletidos, bloqueando os demais. O resultadodessa observacao sera discutido adiante.

Observe tambem que pode-se obter um objeto virtual po-sicionando o ponto focal do espelho com a parte convexarefletindo no ponto onde os feixes se cruzariam caso o es-pelho nao estivesse ali.

Experimento 2 (formacao de imagens por espelhosesfericos)

Os equipamentos necessarios para essa experiencia saoos que seguem: Trilho graduado; Espelho esferico de

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Figura 5: A figura ilustra a montagem do equipamentopara realizar o segundo experimento

distancia focal 50 mm; Acessorio anteparo (viewingscreen); Acessorio alvo (crossed arrow target); Fonte deluz; Suportes; Abertura variavel

Com os equipamentos separados, o experimento foi mon-tado conforme indicado na figura 5. Deve-se lembrar deposicionar o lado concavo do espelho esferico voltado paraa fonte de luz. Para que a observacao seja feita o anteparodeve cobrir apenas uma parte do suporte, visto que a luzprecisa passar pela posicao dele para que seja refletida edepois projetada sobre o anteparo. A primeira medicaofeita foi a da distancia focal do espelho esferico concavo.Para isso, ele foi posicionado o mais longe possıvel da fontesob o trilho. Moveu-se o anteparo ate que a imagem doalvo fosse vista com a maior nitidez possıvel.

Agora a medicao sera feita com o intuito de localizar a ima-gem e fornecer suas propriedades (ampliacao e inversao).O tamanho do objeto Ho e de 2 cm. Observando a ta-bela 1, note que os valores de P (distancia entre o espelhoconcavo e o alvo) sao discretos. Para cada Posicao do ob-jeto com relacao ao espelho, uma medicao da distancia P’entre a imagem e o espelho foi feita, bem como a alturada imagem Hi . Os calculos foram feitos e a tabela 1preenchida.

3 Analise dos Resultados

Experimento 1

O ponto focal do espelho concavo medido com a incertezada regua sobre o papel foi

Fconcavo = (5, 90 ± 0, 05)cm

A medida do espelho convexo feita pelo metodo do tracadode raios foi

Fconvexo = −(6, 2 ± 0, 3)cm

O sinal negativo na medicao do ponto focal do espelhoconvexo se refere a uma certa convencao de sinais, onde osinal positivo e inerente ao espelho concavo e o negativoao convexo. A incerteza dessa medicao foi feita a partirda propagacao de erro das medidas correspondentes, vistoque nao se obtiveram os mesmos pontos de convergenciapara todos os raios. Esse problema pode ser inerente aalguma descentralizacao do espelho, bem como a marcacaodos raios refletidos. O tamanho dos raios estao dentro deum intervalo de confianca considerando as incertezas demedidas obtidas.

Conforme previsto pela teoria, quanto maior a distancia-objeto, mais proximo ao ponto focal a imagem sera for-mada. Do mesmo modo, ao diminuir a distancia-objeto,

mais distante a imagem sera formada, ou seja, a distancia-imagem e ampliada. Observa-se tambem que com o ob-jeto posicionado justamente em cima do ponto focal, naose obtem nenhuma imagem, visto que a sua configuracaoe tida como impropria. Porem, caso o objeto seja posi-cionado entre o foco e o vertice do espelho, verificamosque se prolongarmos os raios refletidos obteremos umaimagem virtual, maior e direita. Em espelhos convexosa configuracao da imagem e diferente da configuracao deespelhos concavos. Com o ultimo pode-se obter tanto ima-gens virtuais quanto reais. O primeiro somente imagensvirtuais sao observadas, a menos que o objeto observadotenha configuracao virtual.

Agora analisaremos a ampliacao da imagem produzidapela reflexao do espelho concavo. Ao utilizarmos a tecnicaexplicitada no procedimento experimental, para uma al-tura de 3,9 cm, obtivemos uma imagem de 1,1 cm. Aampliacao sera a razao entre a altura da imagem e do ob-jeto e resultou em 0,28.

Podemos relacionar a ampliacao da imagem entre asdistancias imagem e objeto e as alturas por meio daformula 3. A imagem obtida e portanto invertida con-forme localizacao do objeto com relacao ao espelho. Casoo objeto esteja entre o foco e o vertice a imagem e di-reita e virtual. Se a imagem estiver em outras posicoescom excecao sobre o ponto focal, a imagem e invertida.A equacao acima mostrada nos relata essas afirmacoes seanalisarmos em relacao ao sinal negativo que a acompa-nha.

Como explicado anteriormente, a aberracao cilındricaaparece como uma forma de distorcao causada naimagem em detrimento da diferenca entre os pontosde convergencia dos raios perifericos e paraxiais. Noexperimento a observacao foi feita e realmente os raiosnao convergiam para o mesmo ponto. Os raios perifericosconvergiram antes dos raios paraxiais. Nas deducoes dasformulas da optica geometrica e feita uma aproximacaoonde o seno do angulo e igual ao proprio angulo, isso con-siderando angulos pequenos. Ou seja, os raios perifericosnao sao levados em conta e vemos que ao incidirem sobrea parte mais curvada do espelho, seu angulo de incidenciae maior do que o dos raios paraxiais. Isso que faz com queocorra a distorcao observada. Para que essa aberracaoseja consertada podemos ampliar o raio de curvaturado espelho, ou eliminar os raios mais afastados do eixooptico atraves de um sistema de abertura. Porem comisso, perdemos o brilho total na imagem, mas ganhamosmaior nitidez.

Experimento 2

A medida do ponto focal do espelho foi feita utilizandoa tecnica mostrada no procedimento experimental. Adistancia-objeto obtida foi de 45,4 cm. A distancia-imagem obtida foi de 5,75 cm. Desse modo, aplicandoa equacao 2 obtemos o ponto focal:

F=(5,10 ± 0,05)cm

Esse valor e uma aproximacao visto que existe algo cha-mado profundidade de campo, que e uma qualidade quedetermina os pontos onde a imagem pode ser focalizada.Ou seja, existe um intervalo de distancia onde podemosfocalizar a melhor imagem, e isso varia de sistema para

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Tabela 1: Dados coletados.

P(mm) P’(mm) Hi

120 90 16150 74 10180 70 08200 70 07220 67 06100 100 2075 145 46

Figura 6: Grafico relacionado a tabela 1

sistema. Para obtermos uma melhor medicao poderıamosutilizar a mesma tecnica apresentada no experimento 1.

Obtido o ponto focal, comparamos com o do valor doponto focal nominal da lente que e de 50 mm. Vemosque podemos considerar iguais dentro de um intervalo deincerteza.

Para obter a tabela 1 utilizamos o valor nominal do pontofocal. E o Hi foi obtido medindo pela referencia gradu-ada na propria imagem. Quando o objeto estava muitoproximo ao foco, como previsto pela teoria, a imagem serafocalizada em uma distancia muito grande, tendendo aoinfinito. Ou seja, a dificuldade nas medicoes para essesvalores no experimento foram justamente nao conseguirfocalizar as imagens dentro dos limites estabelecidos pelosequipamentos, bem como o tamanho da imagem se tor-nava muito grande. Por outro lado, existia a configuracaotambem de quando o objeto estava muito distante do es-pelho, dificultando na melhor focalizacao e tambem namedicao da altura da imagem, visto que ela era muito pe-quena.

Com os dados da tabela 1, o grafico da distancia-imagemem funcao da distancia-objeto pode ser feito e resultou nografico mostrado na figura 6.

Com base na equacao 2 podemos linearizar o grafico reali-zando a mudanca de variavel de forma que y = 1

p′ e x = 1p .

O resultado esta mostrado na figura 7. Observando os co-eficientes do grafico linearizado, podemos extrair o valordo ponto focal do espelho estudado. Analisando a equacaofundamental para espelhos esfericos e comparando com aequacao de uma reta, percebemos que o coeficiente linear

Tabela 2: Calculos efetuados.

1p + 1

p′1f

Hi

Ho-p

′

p

0,019444 0,02 0,8 -0,750,020180 0,02 0,5 -0,493330,019841 0,02 0,4 -0,388890,019289 0,02 0,35 -0,350,019471 0,02 0,3 -0,30455

0,02 0,02 1 -10,020230 0,02 2,3 -1,9333

Figura 7: Grafico relacionado a tabela 2

e igual ao inverso da distancia focal. Desse modo, fazendoo inverso do coeficiente linear b temos que:

F = 52,0833 cm

Esse resultado esta de acordo com certos limites ocasiona-dos por possıveis erros de medicoes. Vemos com a tabela 2dos calculos efetuados que a ampliacao da imagem esta deacordo quando utilizamos as duas possıveis divisoes. Umadas alturas e a outra das distancias. A imagem observadano anteparo era invertida com relacao ao objeto e o sinalnegativo apresentado no calculo da ampliacao quando asdistancias foram divididas comprova essa situacao. Leveserros podem ter ocorrido para que elas nao sejam exata-mente iguais. Podemos citar o fator humano de observacaocomo uma das principais fontes de erro.

4 Conclusao

Pudemos comprovar a veracidade da equacao de Gausspara espelhos nesse experimento. Vimos que as relacoesque podem ser tiradas entre as distancias do objeto e daimagem em relacao a lente quando tratamos de espelhosesfericos sao as mesmas que para espelhos cilındricos. Ob-servamos tambem que quando afastamos muito um objetodo espelho, a imagem obtida sera muito pequena e seraformada proximo a distancia focal. E se posicionarmos oobjeto muito perto do espelho, uma imagem muito am-pliada sera formada, e com distancia pequena em relacaoao espelho. Se for muito perto, essa imagem sera virtual.Alem disso verificamos que a aproximacao descrita quando

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a formula de Gauss foi deduzida para angulos peque-nos implica em certo erro quando consideramos angulosmaiores, vista atraves da aberracao cilındrica. Ou seja,a equacao geral nao preve correcao para esse fenomeno.Para a correcao, vimos que podemos eliminar os raios demaior angulacao atraves de uma abertura. Ou ainda, po-demos aumentar o raio de curvatura do nosso espelho,mas com isso perdemos o brilho total de nossa imagem,mas obtemos maior nitidez. Foi verificado tambem quea relacao entre distancias e alturas e verdadeira dentrode um intervalo de incertezas. Para espelhos cilındricosobservamos que a ampliacao da imagem pode ser obtidaapenas atraves das distancias do objeto e imagem. Alemdisso, foi observado que e possıvel obter um objeto virtualposicionando o lado convexo do espelho de modo que seuvertice coincida com o ponto onde os raios se cruzariamcaso ele nao estivesse ali.

5 Referencias Bibliograficas

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