equação de 1º grau fileraiz ou solução de uma equação a incógnita de uma equação pode...

Equação de 1º Grau

Expressões algébricas

A resolução de vários problemas

matemáticos faz uso de uma ferramenta

muito poderosa

ÁLGEBRA

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É o ramo que estuda a manipulação formal de

equações, operações matemáticas, polinômios e

estruturas algébricas.

ÁLGEBRA

As expressões matemáticas formadas por letras e

números são denominadas

ÁLGEBRA



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Consideremos um número racional qualquer, que

denominamos x.

ÁLGEBRA

O dobro desse número 2 · x ou 2x

O terço desse número 1/3 · x ou x/3

O quadrado desse número menos 5 x² - 5

O triplo desse número mais o próprio número 3 · x + x ou 3x + x

A terça parte desse número mais o próprio

número

1/3 · x + x ou x/3 + x

Diferença entre esse número e

Podemos representar muitas situações

do dia a dia com expressões algébricas.

Acompanhe alguns exemplos.

APLICAÇÃO DA ÁLGEBRA

EM SITUAÇÕES REAIS

Uma blusa custa x reais e um short custa

y reais. Qual é o valor total desses dois

produtos?

Exemplo 1

Preço da blusa: x reais

Preço do short: y reais

Valor total: (x + y) reais

Uma dúzia de ovos custa x reais. Qual é o

preço da bandeja com 30 ovos?

Exemplo 2

Preço da dúzia de ovos: x reais

Quantidade de dúzia de ovos em uma

bandeja dúzias.

Preço da bandeja: x reais

O comprimento de um terreno retangular

é 50 metros maior que a largura. Qual a

área desse terreno? E qual é o

perímetro?

Exemplo 3

X + 50

XTerreno

Exemplo 3

X + 50

XTerreno

Largura: x

Área do terreno: x·(x +50)

Comprimento: x + 50

Perímetro do terreno:

x+(x+50)+x+(x+50)

Podemos substituir as letras por alguns

números racionais.

Valor numérico de uma

expressão algébrica

Quando calculamos a expressão para

determinado número, o resultado é:

Valor numérico

Uma blusa custa x reais e um short custa

y reais. Qual é o valor total desses dois

produtos?

Exemplo 1

Se o preço da blusa for 10,00 reais?

Se o preço do short for 17,00 reais?

(x + y) = ?

(10,00 + 17,00) = 27,00

Uma dúzia de ovos custa x reais. Qual é o

preço da bandeja com 30 ovos?

Exemplo 2

Preço da dúzia de ovos: 3,00 reais

Quantidade de dúzia de ovos em uma

bandeja: dúzias.

O comprimento de um terreno retangular

é 50 metros maior que a largura. Qual a

área desse terreno? E qual é o

perímetro?

Exemplo 3

X + 50

XTerreno

Admitindo que x = 40 metros.

Exemplo 3

X + 50

X

Terreno

Largura: x = 40 metros

Área do terreno: x·(x +50)

Comprimento: x + 50

40·(40 +50)=1600+2000 = 3600m²

Exemplo 3

X + 50

XTerrenoLargura: x = 40 metros

Comprimento: x + 50

Perímetro do terreno:

x+(x+50)+x+(x+50)

40+(40+50)+40+(40+50) = 260 m

EQUAÇÃO

Uma sentença matemática com sinal de

igualdade que apresenta, pelo menos, uma

letra representando um número desconhecido

chama-se:

Equação



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Exemplos de equação

Observe estas sentenças:

2x = 4

a² = 4

3x – 5y = 7

m/2 + n = 3 4 + m = 5

3x – 2x = 5

Não são exemplo de equação

Observe estas sentenças:

2x > 4

a² < 4

3x – 5y < 7

5 + 3 = 8

Cada letra de uma equação representa um

termo desconhecido da equação. Ela é

denominada

Incógnita

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Exemplos de incógnita

2x = 4

a² = 4

3x – 5y = 7

A incógnita é x

A incógnita é a

As incógnitas são x e y

Raiz ou solução de uma equação

A incógnita de uma equação pode assumir

diversos valores, mas apenas para alguns

desses valores a sentença será verdadeira.

Raiz ou solução de uma equação é um

número que, ao substituir a incógnita, torna a

sentença verdadeira.



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Exemplo 1

Vamos verificar se o número –1 é raiz da equação 8x + 3 = - 5.

8x + 3 = - 5 Substituímos x por (-1)

8 · (-1) + 3 = - 5 -8 + 3 = - 5 - 5 = - 5

PORTANTO, - 1 é RAIZ (ou solução)

da equação 8x + 3 = - 5.

Exemplo 2

Qual é o valor de n na equação n + 10 = 25,

para ela ser verdadeira?

n + 10 = 25

n = 25 - 10 n = 15

PORTANTO, 15 é RAIZ (ou solução)

da equação n+ 10 = 25.

Exemplo 3

Qual é o valor de a na equação a/3 = 45, para ela ser

verdadeira?

a/3 = 45

a = 3 · 45 a = 135

PORTANTO, 135 é RAIZ (ou solução)

da equação a/3 = 45.

EQUAÇÃO DO 1º GRAU

Elas possuem 2 membros, o 1º está à

esquerda da igualdade, e o 2º está à direita.

É uma sentença aberta, ou seja, uma

sentença que apresenta letras, expressa por

uma igualdade envolvendo expressões

matemáticas.


Na equação de 1º grau o expoente da

variável é sempre dado por 1.

Ex: x + 5 = 11

1º MEMBRO 2º MEMBRO

1) Qual é o peso do cachorro?

x + 16 = 25

9kg

2) Desenvolva a Equação.

3) Os dois sacos tem pesos iguais.

Quanto pesa cada saco?

2x = 12

6kg


5) As 3 caixas possuem o mesmo peso.

Qual o peso de cada caixa?

3x = 18

6kg


7) Qual o peso do coelho?

x + 1 + 1 + 1 = 1 + 1 + 1 + 1 + 1

2kg

8) Desenvolva a Equação. x + 3 = 5

9) As bolsas são iguais. Qual o peso de

cada uma?

2x = x + 3 + 2

5kg

10) Desenvolva a Equação. 2x = x + 5

QUAL É O NÚMERO QUE ELEVADO

AO QUADRADO DÁ 25?

EXISTE OUTRO NÚMERO QUE

RESPONDE A ESSA PERGUNTA

SABIAM?

É O NÚMERO -5, OBSERVEM:

VAMOS CHAMAR ESSE NÚMERO

DESCONHECIDO (INCÓGNITA) DE X, LOGO

TEMOS A EQUAÇÃO:

X² = 25

PARA X = 5 TEMOS: 5² = 5 . 5 = 25

PARA X = - 5 TEMOS: (-5)² = (-5) . (-5) = 25

OBSERVE QUA A EXPRESSÃO X² = 25 É UMA

EQUAÇÃO E COMO O EXPOENTE DA

INCÓGNITA É 2, DIZEMOS QUE ELA É DO

2º GRAU E CONSEGUENTEMENTE POSSUI

COMO SOLUÇÃO DOIS NÚMEROS.

RESOLVENDO EQUAÇÕES DO 2º GRAU

OS NÚMEROS 5 E -5 SÃO DENOMINADOS SOLUÇÃO OU RAÍZES DA

EQUAÇÃO DO 2º GRAU DADA

NOTE AINDA QUE A EQUAÇÃO X² = 25 PODE SER ESCRITA ASSIM: X² - 25 = 0

RAIZ OU SOLUÇÃO DE UMA EQUAÇÃO DE 2º GRAU COM UMA INCÓGNITA

É O VALOR QUE, QUANDO ATRIBUÍDO À INCÓGNITA, TRANSFORMA A

EQUAÇÃO EM UMA SENTENÇA VERDADEIRA.

VEJA COMO PODEMOS RESOLVÊ-LA:

x² - 25 = 0

x² - 25 + 25 = 0 + 25

x² = 25

√x² = ± √25

x = ± 5

X’ = - 5 ou X” = + 5 De modo geral, uma equação

do tipo x² = c, em que c ≥ 0,

tem como raízes √c e -√c

OBSERVE QUE AS RAÍZES

ENCONTRADAS SÃO

OPOSTAS.

As equações do 2º grau ou equações quadráticas são da forma:

em que a, b e c são números reais com adiferente de zero.

• a é o coeficiente de x²

• b é o coeficiente de x

• c é o termo independente.

ax² + bx + c = 0

37

Uma equação do 2º grau é completa

quando a, b e c são diferentes de zero.

Exemplos:

2 x² - 7x + 5 = 0 ( a = 2, b = -7, c = 5 )

3 x² + x + 2 = 0 ( a = 3 ,b = 1, c = 2 )

Equações Completas do 2ºgrau

38Equações incompletas do 2º grau

Exemplos:

4 x² + 6x = 0 ( a = 4, b = 6, c = 0 )

-3 x² - 9 = 0 ( a = -3, b = 0, c = -9 )

2 x² = 0 ( a = 2, b = 0, c = 0 )

Uma equação do segundo grau é incompleta se

b = 0 ou c = 0 ou b = c = 0.

Na equação incompleta o coeficiente a é

diferente de zero.

Raízes de uma equação do 2º grau

Resolver uma equação do 2º grau significa determinarsuas raízes.

Raiz é o número real que, ao substituir a

incógnita de uma equação, transforma-a numa

sentença verdadeira.

O conjunto formado pelas raízes de uma equação

denomina-se conjunto verdade ou conjunto solução.

Resolução de Equações Incompletas

Equações do tipo ax² = 0: Basta dividir toda a

equação por a para obter: x² = 0.

Significando que a equação possui duas raízes

iguais a zero.

Resolução de Equações Incompletas

Equações do tipo ax² + bx = 0:

Neste caso, fatoramos a equação para obter: x (ax + b) = 0 e a equação terá duas raízes:

x' = 0 ou x" = -b/a.

AGORA OBSERVE A EQUAÇÃO: X² - 4X = 0

QUAIS SÃO SUAS RAÍZES?

INICIANDO A RESOLUÇÃO TEMOS:

X² - 4X = 0 Fatorando o primeiro membro:

Colocando o fator comum em

evidência.

X.( X – 4) = 0

Qual a condição

necessária para que o

produto entre dois ou

mais fatores seja igual?

UM DOS FATORES DEVE

SER IGUAL A ZERO!!!!!

X = 0

X – 4 = 0

OU

X – 4 + 4= 0 + 4 X = 4

PORTANTO AS RAÍZES SÃO:

X’ = 0 OU X’’= 4

Equações do tipo ax² + c = 0:

Novamente dividimos toda a equação por a e passamos o termo constante para o segundo membro para obter: x² = -c/a.

Se -c/a for negativo, não existe solução no conjunto dos números reais.

Se -c/a for positivo, a equação terá duas raízes com o mesmo valor absoluto (módulo) mas de sinais contrários.

43

QUAL É A SOLUÇÃO DA EQUAÇÃO X² + 36 = 0?

X² + 36 = 0

X² + 36 - 36 = 0 - 36

X² = - 36

√x² = ± √-36

Não existe no conjunto dos números

reais, ou seja, não existe um número

real cujo quadrado é um número

negativo.

X = √-36

Logo, ESSA EQUAÇÃO NÃO TEM

SOLUÇÃO NO CONJUNTO DOS

NÚMEROS REAIS

2X² - 18 = 0

2X² - 18 + 18 = 0 + 18

2X² = 18

2X² = 18

2 2

X² = 9

√x² = ± √9

X1 = - 3 ou X2 = + 3

De modo geral, uma

equação do tipo ax² + c = 0,

com a ≠ 0, pode ser

transformada na equação

ax² = - c, e esta em

x² = - c .

a

Luís tem um terreno na forma de um quadrado. Ele pretende comprar

um terreno de 90 m² que faz divisa com o que ele já possui. Desse

modo, ele ficaria com um terreno retangular de 414 m². Qual é a

medida do lado do terreno de formato quadrado de Luís?

REPRESENTANDO O NOVO

TERRENO DE LUÍS POR

UMA FIGURA :

X

X

90 m²

EQUACIONANDO O PROBLEMA TEMOS:

X²

A área do

terreno na

forma de um

quadrado

corresponde a

X².

Luís pretende

comprar um

terreno de 90

m²

Após a compra

Luís ficará

com um

terreno de 414

m².

X² + 90 = 414

X² + 90 = 414

RESOLVENDO A EQUAÇÃO TEMOS:

X² + 90 = 414

X² + 90 - 90 = 414 - 90

X² = 324

√X² = ± √324

X = ± 18

X’ = - 18 OU X’’ = + 18

COMO A MEDIDA DO LADO DEVE SER UM

NÚMERO POSITIVO, CONCLUÍMOS:

O LADO DO

QUADRADO

MEDE 18 m.

OBSERVE QUE A

EQUAÇÃO X² + 90 =

414 FOI REDUZIDA AO

TIPO X² = C

Fórmula Geral

2a

4acbbx

2

Resolução de Equações Completas

48Delta ou Discriminante

De acordo com o valor de delta, é possível tirar algumas conclusões sobre a

equação.

•Se , a equação terá duas raízes reais e distintas.

•Se , a equação terá duas raízes reais e iguais.

•Se , a equação terá duas raízes complexas.

O polinômio dentro da raiz da fórmula

resolutiva ou geral é chamado de delta ou

discriminante.

A fórmula geral pode ser escrita na forma:

49Relações entre os coeficientes e as raízes de uma equação do 2º grau

Soma das raízes (S )

Produto das raízes (P )

Denominamos essas relações de relações de Girard.

P = x' . x" = c/a

S = x' + x" = -b/a

Exercícios

Situações-problema

Exemplo 1.

Dois pacotes juntos pesam 30 kg. Quanto pesa cada umdeles, se o maior tem 8 kg a mais que o menor?

Pacote menor: x

Pacote maior: x + 8

Exemplo 1

Equação

x + (x + 8) = 30 Pacote maior: 11 + 8 = 19 kg

2x + 8 = 30 Pacote menor: 11 kg

2x = 30 – 8

2x = 22

x= 22/2

x = 11

Pacote maior = 19 kgPacote menor = 11 kg


Exemplo 2.

Uma estante custa quatro vezes o preço de uma cadeira. Qual o preço da estante, se as duas mercadorias juntas custam R$ 120,00?

Preço da cadeira: x

Preço da estante: 4x

Exemplo 2

Equação

x + 4x = 120

5x = 120

x = 120/5

x = 24 4x=96

O preço da estante é R$ 96,00


Exemplo 3.

Um relógio que custa R$ 250,00 está sendo vendido com oseguinte plano de pagamento: R$ 30,00 de entrada e orestante em 4 prestações iguais, sem juros. Qual é o valor decada prestação?

Exemplo 3

Equação

30 + 4x = 250

4x = 250 – 30

4x = 220

x = 220/4

x = 55

O valor de cada prestação é R$ 55,00.

R$ 250 – R$ 30 = R$ 220


Exemplo 4. Um número adicionado ao seu dobro e ao seuquádruplo resulta em 84. Qual é o número?

Um número: x

Dobro: 2x

Quádruplo: 4x

Exemplo 4

Equação

x + 2x + 4x = 84

7x = 84

x = 84/7

x = 12O número é igual a 12.

Ex. Comprei 4 lanches a um certo valor unitário. De outro tipode lanche, com o mesmo preço unitário, a quantidadecomprada foi igual ao valor unitário de cada lanche. Pagueicom duas notas de cem reais e recebi R$ 8,00 de troco. Qual opreço unitário de cada produto?

O enunciado nos diz que:

Os dois tipos de lanche têm o mesmo valor

unitário. Vamos denominá-lo então de x;

De um dos produtos eu comprei 4 unidades e do

outro eu comprei x unidades.

Recebi R$ 8,00 de troco ao pagar R$ 200,00 pela

mercadoria.

http://bestanimations.com/Food/animated-sandwich.gif


Definindo a incógnita como x, temos:

3x2 equivale ao triplo do quadrado do número;

15x equivale a 15 vezes este número.

http://bestanimations.com/Books/boy-reading-book-animation-3.gif

Podemos escrever esta sentença da seguinte forma:

3x2 = 15x

Ou ainda como:

3x2 – 15x = 0

Há dois números cujo triplo do quadrado é a igual 15 vezesestes números. Quais números são estes?


Pai e filho têm hoje 45 e 15 anos, respectivamente. Há quantos anos a idade do pai era igual ao quadrado da idade

do filho?

Em problemas como esse que envolvem tempo decorrido o sinal de menos (–),não significa “retirar” uma quantidade e sim, voltar no tempo.

Representação algébrica das idades do pai e do filho, há x anos:

idade do pai há x anos: 45 – x

idade do filho há x anos: 15 – x

Equalizando as informações “idade do pai era igual ao quadrado da idade dofilho”: 45 – x = (15 – x)².

http://w

ww.heathersanim

ations.com/school/sc28.gif


equação de 1º grau fileraiz ou solução de uma equação a incógnita de uma equação pode...

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