Universidade Estadual de Campinas

Instituto de Matemática, Estatística eComputação Cientí�ca

Números de Fibonacci

Discente: Jessica S. Didole, RA: 175784Prof. Dr. Fernando Eduardo Torres Orihuela

O presente texto disserta brevemente sobre os números de Fibo-nacci, apresentando algumas aplicações em diversos campos de es-tudo além de algumas de suas propriedades e sua ligação com omáximo divisor comum.

Campinas-SP, 26 de setembro de 2018

Sumário

1 Introdução 3

2 Origem e de�nição da sequência de Fibonacci 4

3 Origem e de�nição da Razão Áurea 53.1 Ocorrências da squência de Fibonacci . . . . . . . . . . . . . . 73.2 Ocorrências da sequência de Fibonacci na natureza e na ciência 8

4 Propriedades elementares da sequência de Fibonacci 104.1 Propiredades envolvendo termos da sequência . . . . . . . . . 104.2 Propriedades envolvendo Máximo Divisor Comum . . . . . . . 10

4.2.1 Termos consecutivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104.2.2 Teorema de Lucas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

5 Número de ouro e números de Fibonacci 115.1 Propriedades do número de ouro . . . . . . . . . . . . . . . . . 115.2 Potências do número de ouro e números de Fibonacci . . . . . 115.3 Conexão entre o número de ouro e a sequência de Fibonacci . 12

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1 Introdução

Na presente monogra�a apresenta-se uma das mais interessantes sequên-cias recursivas da matemática, as chamadas sequências de Fibonacci. Estassequências têm conexão com a razão áurea, o chamado número de ouro, umnúmero irracional que surge na natureza e nas mais variadas áreas da ciên-cia.

Inicialmente, serão brevemente apresentadas a origem e a de�nição dasequência de Fibonacci e da razão áurea, a qual foi muito apreciada pelosgregos, pois sugeria uma ideia de harmonia e �perfeição�. Ainda, serão sali-entadas algumas ocorrências da sequência de Fibonacci e do número de ouroem alguns campos.

A seguir, serão apontadas algumas propriedades elementares da sequênciade Fibonacci, incluindo sua ligação com o máximo divisor comum.

Finalmente, serão brevemente discorridas as propriedades do número deouro e sua realação com os números de Fibonacci.

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2 Origem e de�nição da sequência de Fibonacci

No livro Liber Abaci de Leonardo, no capítulo 12, destaca-se um pro-blema relativo à reprodução de coelhos, que consiste em um homem colocarum par de coelhos em um cercado e se desejar saber a quantidade de paresde coelho que podem ser gerados a partir desse par em um ano se, supos-tamente, todo mês, cada par dar à luz um novo par, que é fértil somente apartir do segundo mês.

Tabela 1: Crescimento dos casais de coelhos

Mês Casais adultos Filhotes Total1 0 1 12 1 0 13 1 1 24 2 1 35 3 2 56 5 3 87 8 5 138 13 8 21... ... ... ...

Percebe-se que, a partir do terceiro mês, o número de casais de coelhos,num certo mês, é exatamente igual à soma do número de casais dos doismeses anteriores. Assim, será obtida uma sequência, onde cada elementorepresenta o número de casais de coelhos e sua posição na lista representa omês: (1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,...).

Isso motivou Fibonacci a de�nir a seguinte sequência, conhecida comosequência de Fibonacci.Segundo Zahn:

De�nição 1 Denomina-se sequência de Fibonacci a sequência de�nida por:

(1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,...)

onde os termos presentes na sequência denominam-se números de Fibonacci.

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Denominando fn o número de Fibonacci, ele será encontrado na posição nda sequência acima através de uma fómula recursiva.Ainda segundo Zahn:

De�nição 2 Chama-se sequência de Fibonacci a sequência de�nida recursi-vamente por:

f1 = f2 = 1

fn+1 = fn + fn−1,∀n ≥ 2

A expressão acima é denominada de identidade fundamental na sequência deFibonacci.

3 Origem e de�nição da Razão Áurea

O misterioso número de ouro

Do número nasce a proporçãoDa proporção se segue à consonânciaA consonância causa deleitaçãoA nenhum sentido apraz a dissonânciaUnidade, igualdade e semelhançaSão princípios do contentamentoEm todos os sentidos o experimentoA alma na unidade glória alcançaEm todas as quantidades a igualdadeE a perfeição remota ou a mais chegadaSegundo a natural autoridadeE assim está nas qualidades asaentadaDa mesma maneira a semelhançaDiva de ser sentida e contemplada(Vasco Graça Moura, Camões e a Divina Porporção)

De�nição 3 Dizemos que um ponto C divide um segmento AB na razão áu-rea se:

AB

AC=

AC

CB(1)

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Figura 1: Segmento áureo

A razão da medida do segmento AB para a medida do segmento AC édenominada de razão extrema e a razão da medida do segmento AC para amedida do segmento CB é denominada razão média. Assim, dividir um seg-mento AB em média e extrema razão consiste em dividi-lo em duas partes,de modo que, a medida de uma dessas partes(no caso, AC), seja a médiageométrica entre a medida do segmento e a medida da outra parte. Veja naequação (1) que AC

2= AB.BC.

De acordo com a de�nição 3, chamando na �gura 1, AB = a e AC = x,tem-se que CB = a−x quer-se obter o número que corresponde à proporção

AB

AC=

AC

CB⇔ a

x=

x

a− x⇔ x2 + ax− a2 = 0 (2)

Resolvendo a equação do segundo grau na incógnita x, têm-se como raízes:

x1 = −a

(1 +√5

2

)e x2 = a

(−1 +

√5

2

)Como x é um valor positivo, o único valor possível para x será:

x = a

(−1 +

√5

2

)Observando, ainda que por de�nição, a razão áurea é a

x. Tem-se que

a

x=

2√5− 1

=2(√5 + 1)

(√5− 1)(

√5 + 1)

=2(√5 + 1

(√5)2 − (

√1)2

=2(√5 + 1

4=

√5 + 1

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A este número obtido, que produz a razão áurea, dá-se o nome de númerode ouro, representado pela letra grega � (minúscula) ϕ. Portanto:

ϕ =

√5 + 1

2≈ 1, 618033988...

O primeiro espanto que a razão áurea gerou, na Grécia antiga, foi a de queϕ é um número irracional. Isso foi um choque para a visão de mundo pi-tagórica, baseada na admiração extrema pelas propriedades intrínsecas dos

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números inteiros ou suas razões e os seus supostos papéis no Cosmo. Essadescoberta causou uma verdadeira crise �losó�ca, pois os pitagóricos basi-camente acreditavam que a existência de tais números era tão horrível quedevia (a existência) representar algum tipo de erro cósmico, algo que deveriaser suprimido e guardado em segredo.

3.1 Ocorrências da squência de Fibonacci

Elencaremos brevemente algumas ocorrências da sequênciade Fibonacciem alguns campos.

• Retângulo áureo

De�nição 4 Chama-se retângulo áureo qualquer retângulo no qual arazão de suas medidas obedece à razão áurea com a seguinte proprie-dade: se dele retirarmos um quadrado, o retângulo restante será seme-lhante ao retângulo original.

Figura 2: Retângulo áureo

• Espiral áureaCom um compasso e recorrendo aos quadrados construídos, traçam-se arcos que são quartos de circunferência contidos em cada um dosquadrados. Esses arcos dão origem a uma curva denominada espiralequiangular ou espiral áurea.

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Figura 3: Espiral áurea

• Triângulo áureo

De�nição 5 Um triângulo isósceles acutângulo é denominado de áureose a razão entre a medida de um dos seus lados congruentes e a medidade sua base é o número de ouro.

Figura 4: Triângulo áureo

3.2 Ocorrências da sequência de Fibonacci na natureza

e na ciência

Desde o século XIII, muitos matemáticos, além do próprio Fibonacci,dedicaram-se ao estudo da sequência que foi proposta e foram encontradasinúmeras aplicações para ela no desenvolvimento de de modelos explicativosde fenômenos naturais e em modelos matemáticos.

• ZoologiaPode-se determinar o número de abelhas em cada geração de um zan-gão, dado que a sucessão do número de antepassados em cada geraçãoé uma sucessão de Fibonacci.

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Figura 5: Abelhas e números de Fibonacci

• BotânicaOs números de Fibonacci ligam-se facilmente à natureza. É possívelencontrá-los no arranjo das folhas do ramo de uma planta, nas copasdas árvores ou at �mesmo no número de pétalas das �ores. Podemostambém encontrar a espiral de Fibonacci nas sementes das �ores, frutose pinhas.

(a) Girassol (b) Aloe Polyphylla

• ArquiteturaExiste uma ampla gama de estruturas construídas com base na ra-zão áurea. Desde os Egípcios, os quais consideravam o número de ourosagrado, utilizando-o na construção de templos e sepulcros para os mor-tos, até os Gregos com a estruturação do Parthenon em Atenas entre447 e 443 a.e.c.

(c) Templo de Dendera (d) Parthenon

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4 Propriedades elementares da sequência de Fi-bonacci

4.1 Propiredades envolvendo termos da sequência

Proposição 4.1 Dada a sequência de Fibonacci (fn). Então, ∀n, são váli-das as seguintes propriedades:

• Soma dos números da sequência:∑n

i=1 fi = fn+2 + 1.

• Soma dos números de ordem ímpar da sequência:∑n

i=1 f2i−1 = f2n.

• Soma dos números de ordem par da sequência:∑n

i=1 f2i = f2n+1 − 1.

• Soma dos quadrados dos números da sequência:∑n

i=1 f2i = fn.fn+1−1.

Proposição 4.2 (Fórmula de Cassini) Os números de Fibonacci satisfazem:

fn−1.fn+1 − f 2n = (−1)n, n ∈ N

Proposição 4.3 Seja (fn) a sequência de Fibonacci. Então, ∀n, vale a pro-priedade:

fm+n = fm−1.fn + fm.fn+1,∀m,n,m > 1

4.2 Propriedades envolvendo Máximo Divisor Comum

4.2.1 Termos consecutivos

Proposição 4.4 Dois números de Fibonacci consecutivos são primos entresi, ou seja MDC(fn, fn+1) = 1,∀n

Lema 4.5 Sejam a, b, c ∈ Z tais que a|(b+ c). Então:

a|b⇔ a|c

4.2.2 Teorema de Lucas

Em 1876, o matemático francês Édouard Lucas provou que o máximodivisor comum de dois números de Fibonacci era outro número de Fibonacci.

Teorema 4.6 Se fn é a sequência de Fibonacci, então MDC(fn, fm) =fMDC(n,m)

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Lema 4.7 Para m,n inteiros maiores do que ou iguais a 1, são tais que m|n,então fm|fn.

Lema 4.8 Sejam a, b, n ∈ Z. Se existe MDC(a, b−n.a), então, MDC(a, b)existe e

MDC(a, b) = MDC(a, b− n.a)

Lema 4.9 Se m e n são inteiros positivos (m ≥ n) com m = q.n + r, 0 ≤r < n, então, MDC(fm, fn) = MDC(fn, fr).

5 Número de ouro e números de Fibonacci

5.1 Propriedades do número de ouro

Proposição 5.1 Somando-se duas potências inteiras consecutivas de ϕ tem-se a potência de ϕ seguinte.

ϕn + ϕn+1 = ϕn+2,∀n ∈ Z

Propriedade 5.2 A soma das potências de ϕ com expoentes inteiros nega-tivos correspondentes a ϕ.

∞∑i=1

ϕ−n = ϕn

Proposição 5.3 Se fn é um número de Fibonacci, então vale a desigualdade:

fn ≥ ϕn−2,∀n ≥ N

Corolário 5.4 Se fn é um número de Fibonacci, então vale:

ϕn−2 ≤ fn ≤ ϕn,∀n ≥ N

5.2 Potências do número de ouro e números de Fibo-

nacci

A tabela a seguir mostra os valores das potências de ϕ e os números deFibonacci.

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Tabela 2: Potências do número de ouro

n fn ϕn

1 1 0 + ϕ2 1 1 + ϕ3 2 1 + 2ϕ4 3 2 + 3ϕ5 5 3 + 5ϕ6 8 5 + 8ϕ7 13 8 + 13ϕ8 21 13 + 21ϕ... ... ...

Proposição 5.5 Para qualquer número natural n ≥ 1, vale a igualdade:

ϕn = fn−1 + fn.ϕ,

onde fn, n = 1, 2, 3, ...são os números de Fibonacci e f0 = 0

5.3 Conexão entre o número de ouro e a sequência de

Fibonacci

Antes de apresentar o teorema que estabelece a conexão entre a sequênciade Fibonacci e o número de ouro, precisa-se de dois resultados preliminares:

Lema 5.6 Seja a ∈ R e a > 1, então limn→∞ an = +∞.

Lema 5.7 Seja a ∈ R e |a| < 1, então limn→∞ an = 0.

Teorema 5.8 A razão entre dois termos consecutivos da sequência de Fibo-nacci converge para o número de ouro quando n tende para o in�nito

limn→∞

fn+1

fn= ϕ

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Referências

[1] LEOPOLDINO, KARLO SÉRGIO MEDEIROS Sequências de Fibo-nacci e a Razão Áurea Aplicações no Ensino Básico,2016.

[2] HEFEZ, ABRAMO Aritmética. Rio de Janeiro: SBM, 2013.

[3] GUIDORIZZI, HAMILTON L. Um Curso de Cálculo, Volume I. SãoPaulo: LTC, 2001.

[4] EVES, HOWARD. Introdução a História da Matemática. São Paulo:Editora Unicamp, 2011.

[5] HUMTLEY, H. E. A divina porporção - Um ensaio sobre a beleza namatemática. Brasília: Editora UNB, 1985.

[6] ZAHN, MAURÍCIO Sequência de Fibonacci e o número de ouro. Rio deJaneiro: Editora Ciência Moderna, 2011.

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