an eis de grupo -limpos - ime.unicamp.brftorres/talks/talks_pdf/paula_pale… · an eis de grupos...

ConvencoesRegularidade em aneis

Limpeza em aneisMotivacao

Aneis de gruposResultados

Referencias

Aneis de grupo ∗-limpos

Paula Murgel Veloso

Universidade Federal Fluminense, Departamento de Analise, Niteroi – RJ

2 de outubro de 2015

Paula Murgel Veloso Aneis de grupo ∗-limpos




Referencias

Algumas definicoes

A anel (associativo com 1).

grupo de unidades de A:U(A) = {a ∈ A ; ∃ b ∈ A, ab = 1 = ba}; u e uma unidade emA se u ∈ U(A).

elemento idempotente: e ∈ A tal que e2 = e.e, f ∈ A sao idempotentes ortogonais se sao ambosidempotentes e ef = 0.

elemento nilpotente: x ∈ A tal que xn = 0 para algum n ≥ 1.

radical de Jacobson de A:J (A) =

⋂M ideal maximal a esquerda de AM.





Referencias

Algumas definicoes


grupo de unidades de A:

U(A) = {a ∈ A ; ∃ b ∈ A, ab = 1 = ba}; u e uma unidade emA se u ∈ U(A).









Referencias

Algumas definicoes


grupo de unidades de A:U(A) = {a ∈ A ; ∃ b ∈ A, ab = 1 = ba};

u e uma unidade emA se u ∈ U(A).









Referencias

Algumas definicoes











Referencias

Algumas definicoes



elemento idempotente:

e ∈ A tal que e2 = e.e, f ∈ A sao idempotentes ortogonais se sao ambosidempotentes e ef = 0.








Referencias

Algumas definicoes



elemento idempotente: e ∈ A tal que e2 = e.

e, f ∈ A sao idempotentes ortogonais se sao ambosidempotentes e ef = 0.








Referencias

Algumas definicoes











Referencias

Algumas definicoes




elemento nilpotente:

x ∈ A tal que xn = 0 para algum n ≥ 1.







Referencias

Algumas definicoes











Referencias

Algumas definicoes (cont.)

involucao de anel: anti-automorfismo (de anel) de ordem 2(∗ : A −→ A; ∀a, b ∈ A, (a + b)∗ = a∗ + b∗, (ab)∗ = b∗a∗,(a∗)∗ = a).

∗-anel: anel com involucao.

projecao: p ∈ A, com A um ∗-anel, tal que p e idempotente e∗-simetrico (i.e., p∗ = p).

involucao de grupo: anti-automorfismo (de grupo) de ordem 2(∗ : G −→ G ; ∀x , y ∈ G , (xy)∗ = y∗x∗, (x∗)∗ = x).





Referencias


involucao de anel:

anti-automorfismo (de anel) de ordem 2(∗ : A −→ A; ∀a, b ∈ A, (a + b)∗ = a∗ + b∗, (ab)∗ = b∗a∗,(a∗)∗ = a).








Referencias


involucao de anel: anti-automorfismo (de anel) de ordem 2

(∗ : A −→ A; ∀a, b ∈ A, (a + b)∗ = a∗ + b∗, (ab)∗ = b∗a∗,(a∗)∗ = a).








Referencias


involucao de anel: anti-automorfismo (de anel) de ordem 2(∗ : A −→ A;

∀a, b ∈ A, (a + b)∗ = a∗ + b∗, (ab)∗ = b∗a∗,(a∗)∗ = a).








Referencias


involucao de anel: anti-automorfismo (de anel) de ordem 2(∗ : A −→ A; ∀a, b ∈ A,

(a + b)∗ = a∗ + b∗, (ab)∗ = b∗a∗,(a∗)∗ = a).








Referencias










Referencias



∗-anel:

anel com involucao.







Referencias










Referencias




projecao:

p ∈ A, com A um ∗-anel, tal que p e idempotente e∗-simetrico (i.e., p∗ = p).






Referencias




projecao: p ∈ A, com A um ∗-anel, tal que p e idempotente

e∗-simetrico (i.e., p∗ = p).






Referencias










Referencias





involucao de grupo:

anti-automorfismo (de grupo) de ordem 2(∗ : G −→ G ; ∀x , y ∈ G , (xy)∗ = y∗x∗, (x∗)∗ = x).





Referencias





involucao de grupo: anti-automorfismo (de grupo) de ordem 2

(∗ : G −→ G ; ∀x , y ∈ G , (xy)∗ = y∗x∗, (x∗)∗ = x).





Referencias





involucao de grupo: anti-automorfismo (de grupo) de ordem 2(∗ : G −→ G ;

∀x , y ∈ G , (xy)∗ = y∗x∗, (x∗)∗ = x).





Referencias





involucao de grupo: anti-automorfismo (de grupo) de ordem 2(∗ : G −→ G ; ∀x , y ∈ G ,

(xy)∗ = y∗x∗, (x∗)∗ = x).





Referencias










Referencias

Elementos regulares e unit-regulares

(Lam [4, Chapter 2, Section 4])

a ∈ A e um elemento (von Neumann-)regular se existe b ∈ A talque a = aba.

a ∈ A e um elemento unit-regular se existe u ∈ U(A) tal quea = aua.

Exemplos

Zero: 0 = 0a0, para todo a ∈ A;

Elementos idempotentes: e = e1e;

Unidades: u = uu−1u.





Referencias

Aneis (von Neumann-)regulares e unit-regulares

A e um anel (von Neumann-)regular se todo elemento a ∈ A eregular.

A e um anel (unit-)regular se todo elemento a ∈ A e unit-regular.

Teorema

Sao equivalentes:

A e anel regular;

todo ideal principal/finitamente gerado a esquerda e geradopor um idempotente;

todo ideal principal/finitamente gerado a esquerda e umsomando direto do A-modulo A.





Referencias

Aneis regulares e unit-regulares (cont.)

Exemplos e propriedades

Todo corpo e unit-regular.

Todo anel Booleano e unit-regular.[Um anel Booleano e aquele em que todo elemento eidempotente.]

D anel de divisao =⇒ Mn(D) e regular.

Proposicao

a ∈ A e unit-regular ⇐⇒ a = ue, para algum idempotente e ∈ A ealgum u ∈ U(A).





Referencias




Todo anel Booleano e unit-regular.

[Um anel Booleano e aquele em que todo elemento eidempotente.]


Proposicao






Referencias




Todo anel Booleano e unit-regular.[Um anel Booleano e aquele em que todo elemento eidempotente.]


Proposicao






Referencias

Elementos limpos e ∗-limpos

a ∈ A e um elemento limpo se pode ser escrito na formaa = u + e, com u ∈ U(A) e e ∈ A idempotente.

a ∈ A, com A um ∗-anel, e um elemento ∗-limpo se pode serescrito na forma a = u + p, com u ∈ U(A) e p ∈ A projecao.

Exemplos

Unidades: u = u + 0;

Elementos idempotentes: e = (2e − 1) + (1− e);

Elementos nilpotentes: x = (x − 1) + 1.





Referencias


a ∈ A e um elemento limpo se pode ser escrito na formaa = u + e,

com u ∈ U(A) e e ∈ A idempotente.


Exemplos








Referencias




Exemplos








Referencias



a ∈ A, com A um ∗-anel, e um elemento ∗-limpo se pode serescrito na forma a = u + p,

com u ∈ U(A) e p ∈ A projecao.

Exemplos








Referencias




Exemplos








Referencias

Aneis limpos e ∗-limpos

A e um anel limpo se todo elemento a ∈ A e limpo.

Um ∗-anel A e um anel ∗-limpo se todo elemento a ∈ A e ∗-limpo.


Todo corpo e limpo.

Todo anel Booleano e limpo.

Z nao e limpo.

Aneis de polinomios nao sao limpos. (Nicholson & Zhou,2004 [9, Proposition 13])

A limpo =⇒ Mn(A) limpo. (Han & Nicholson, 2001 [3,Corollary 1])





Referencias





Todo corpo e limpo.


Z nao e limpo.

Aneis de polinomios nao sao limpos.

(Nicholson & Zhou,2004 [9, Proposition 13])






Referencias





Todo corpo e limpo.


Z nao e limpo.







Referencias





Todo corpo e limpo.


Z nao e limpo.


A limpo =⇒ Mn(A) limpo.

(Han & Nicholson, 2001 [3,Corollary 1])





Referencias





Todo corpo e limpo.


Z nao e limpo.







Referencias

Aneis limpos (cont.)

Exemplos e propriedades (cont.)

ΠiAi limpo ⇐⇒ cada Ai limpo.

(Nicholson & Zhou, 2004 [9,Example 3])

Toda imagem homomorfica de um anel limpo e um anellimpo. (Nicholson & Zhou, 2004 [9, Theorem 22])

Subaneis de aneis limpos podem nao ser limpos (e.g., Z e umsubanel de Q).

Todo anel ∗-limpo e um ∗-anel limpo.





Referencias



ΠiAi limpo ⇐⇒ cada Ai limpo. (Nicholson & Zhou, 2004 [9,Example 3])








Referencias




Toda imagem homomorfica de um anel limpo e um anellimpo.

(Nicholson & Zhou, 2004 [9, Theorem 22])







Referencias











Referencias





Subaneis de aneis limpos podem nao ser limpos

(e.g., Z e umsubanel de Q).






Referencias











Referencias

Breve historico

von Neumann propos a nocao de aneis regulares em 1936 [7]quando do seu estudo com Murray sobre algebras de operadoresem espacos de Hilbert e geometria contınua.

Nicholson definiu aneis limpos em 1977 [8] enquanto estudavaaneis ‘exchange’: se todos idempotentes sao centrais, entao todoelemento de um anel ‘exchange’ e a soma de uma unidade e umidempotente.

Han e Nicholson foram os primeiros a abordar a propriedade delimpeza em aneis de grupos em 2001. [3]





Referencias

Breve historico


Nicholson definiu aneis limpos em 1977 [8] enquanto estudavaaneis ‘exchange’:

se todos idempotentes sao centrais, entao todoelemento de um anel ‘exchange’ e a soma de uma unidade e umidempotente.






Referencias

Breve historico


Nicholson definiu aneis limpos em 1977 [8] enquanto estudavaaneis ‘exchange’: se todos idempotentes sao centrais, entao todoelemento de um anel ‘exchange’ e a soma de uma unidade e umidempotente.






Referencias

Breve historico (cont.)

Notar: aneis limpos sao o “analogo aditivo” de aneis unit-regulares.

Pergunta:

Qual e exatamente a relacao entre aneis unit-regulares e aneislimpos?

Teorema (Camillo & Khurana, 2001 [1, Theorem 1])

Um anel A e unit-regular ⇐⇒ para todo a ∈ A, existem u ∈ U(R)e um idempotente e ∈ R tais que a = e + u (i.e., A e um anellimpo) e aR ∩ eR = {0}.





Referencias


Pergunta de T. Y. Lam:

(na Conference on Algebra and Its Applications, 2005, OhioUniversity)

Quais algebras de von Neumann sao limpas como aneis?

Algebras de von Neumann sao ∗-aneis; e mais simples comprojecoes do que com idempotentes.

Em 2010, Vas propos a definicao de anel ∗-limpo em [12].

Pergunta de Vas:

Existem ∗-aneis limpos, mas nao ∗-limpos?





Referencias



(na Conference on Algebra and Its Applications, 2005, OhioUniversity)Quais algebras de von Neumann sao limpas como aneis?



Pergunta de Vas:






Referencias




Algebras de von Neumann sao ∗-aneis;

e mais simples comprojecoes do que com idempotentes.


Pergunta de Vas:






Referencias






Pergunta de Vas:






Referencias


Li & Zhou [6, Example 2.6]

A = T2(Z2) (anel das matrizes triangulares superiores de ordem2× 2 sobre Z2)

A e um ∗-anel limpo: A e limpo e ∗ :

(a b0 c

)7→(

c b0 a

)e uma involucao;

A nao e ∗-limpo para nenhuma ∗: Suponha, por absurdo, queA seja ∗-limpo para alguma ∗. Assim, id∗ = id , e u∗ ∈ U(A)para todo u ∈ U(A). Como U(A) tem apenas 2 elementos,u∗ = u, para todo u ∈ U(A). Sendo ∗-limpo, a∗ = a, paratodo a ∈ A, i.e., ∗ = id . Logo, A e comutativo – contradicao.





Referencias




A e um ∗-anel limpo:

A e limpo e ∗ :

(a b0 c

)7→(

c b0 a

)e uma involucao;






Referencias




A e um ∗-anel limpo: A e limpo e

∗ :

(a b0 c

)7→(

c b0 a

)e uma involucao;






Referencias





(a b0 c

)7→(

c b0 a

)e uma involucao;

A nao e ∗-limpo para nenhuma ∗:

Suponha, por absurdo, queA seja ∗-limpo para alguma ∗. Assim, id∗ = id , e u∗ ∈ U(A)para todo u ∈ U(A). Como U(A) tem apenas 2 elementos,u∗ = u, para todo u ∈ U(A). Sendo ∗-limpo, a∗ = a, paratodo a ∈ A, i.e., ∗ = id . Logo, A e comutativo – contradicao.





Referencias





(a b0 c

)7→(

c b0 a

)e uma involucao;

A nao e ∗-limpo para nenhuma ∗: Suponha, por absurdo, queA seja ∗-limpo para alguma ∗.

Assim, id∗ = id , e u∗ ∈ U(A)para todo u ∈ U(A). Como U(A) tem apenas 2 elementos,u∗ = u, para todo u ∈ U(A). Sendo ∗-limpo, a∗ = a, paratodo a ∈ A, i.e., ∗ = id . Logo, A e comutativo – contradicao.





Referencias





(a b0 c

)7→(

c b0 a

)e uma involucao;

A nao e ∗-limpo para nenhuma ∗: Suponha, por absurdo, queA seja ∗-limpo para alguma ∗. Assim, id∗ = id , e u∗ ∈ U(A)para todo u ∈ U(A).

Como U(A) tem apenas 2 elementos,u∗ = u, para todo u ∈ U(A). Sendo ∗-limpo, a∗ = a, paratodo a ∈ A, i.e., ∗ = id . Logo, A e comutativo – contradicao.





Referencias





(a b0 c

)7→(

c b0 a

)e uma involucao;

A nao e ∗-limpo para nenhuma ∗: Suponha, por absurdo, queA seja ∗-limpo para alguma ∗. Assim, id∗ = id , e u∗ ∈ U(A)para todo u ∈ U(A). Como U(A) tem apenas 2 elementos,u∗ = u, para todo u ∈ U(A).

Sendo ∗-limpo, a∗ = a, paratodo a ∈ A, i.e., ∗ = id . Logo, A e comutativo – contradicao.





Referencias





(a b0 c

)7→(

c b0 a

)e uma involucao;

A nao e ∗-limpo para nenhuma ∗: Suponha, por absurdo, queA seja ∗-limpo para alguma ∗. Assim, id∗ = id , e u∗ ∈ U(A)para todo u ∈ U(A). Como U(A) tem apenas 2 elementos,u∗ = u, para todo u ∈ U(A). Sendo ∗-limpo, a∗ = a, paratodo a ∈ A, i.e., ∗ = id .

Logo, A e comutativo – contradicao.





Referencias





(a b0 c

)7→(

c b0 a

)e uma involucao;






Referencias

Definicao

Li e Zhou [6] foram os primeiros a abordarem a ∗-limpeza em aneisde grupo. No entanto, muito pouco e sabido sobre o assunto.

R um anel; G um grupo;RG , o anel de grupo de G sobre R: o R-modulo livre com base Gmunido de multiplicacao definida estendendo-se R-linearmente amultiplicacao de G .

RG = ⊕g∈GRgα ∈ RG ; α =

∑g∈G αgg , αg ∈ R

operacoes:α =

∑g∈G αgg , β =

∑g∈G βgg ∈ RG , r ∈ R

α + β =∑

g∈G (αg + βg )g ∈ RGα · β = (

∑g∈G αgg)(

∑h∈G βhh) =

∑g ,h∈G (αgβh)gh ∈ RG





Referencias

Definicao

Li e Zhou [6] foram os primeiros a abordarem a ∗-limpeza em aneisde grupo.

No entanto, muito pouco e sabido sobre o assunto.




operacoes:α =



α + β =∑

g∈G (αg + βg )g ∈ RGα · β = (

∑g∈G αgg)(

∑h∈G βhh) =

