Resolução de Equações

Equações do 2º grau

2 0ax bx c

Chama-se equação do 2º grau a uma

incógnita a toda a equação do tipo:

Com a, b e c números reais e

02 cbxax

0a

Equação na forma canónica

0cbxax2

Termo em x2 Termo em x Termo independente

Relembra…

2 0ax bx c

0 0 0a b c

2 0ax bx 2 0ax c 2 0ax

0 0b c 0c 0b

02 cbxax

Equações do 2º grau incompletas 2 0ax c

Observa o triângulo rectângulo e determina o valor de x.

12 cm15 cm

x cm

Pelo Teorema de Pitágoras sabemos que:

15 122 2 2 x2 2 2225 144 225 144 81 0x x x

Equação do 2º grau incompleta porque b = 0.2 81 81 9x x x

Conjunto-Solução da equação = { -9 , 9}

Resposta: x é 9 porque o valor de um comprimento não pode ser negativo.

9 9x x

Reduz as equações a expressões do tipo

Indica o valor de a , b e c e determina a solução.

ax bx c com a2 0 0

3 2 1 242x x x x 2 2

2 2

2

3 6 24

3 6 24 0

2 18 0

x x x x

x x x x

x

1º reduzir à forma canónica ax bx c2 0

a = 2; b = 0 ; c = -18

2 1818

22 2x x

x x x2 9 9 3

2º Resolver a equação e indicar o conjunto solução.

Conjunto-solução = { - 3 , 3 }

3 3x x

5 2 3 22x x x1º reduzir à forma canónica ax bx c2 0

10 5 3 2 02x x x

5 15 02x a = 5 ; b = 0 ; c = 15

5 152x

x x2 215

53

2º resolver a equação

Equação IMPOSSÍVEL, não há nenhum nº real cujo quadrado seja negativo.

x 3

IMPOSSÍVEL

Equações do 2º grau incompletas2 0ax

A soma de seis com o quíntuplo do quadrado de um número é seis. Qual é o número?

+ 25 x6 = 626 5 6 x

0 é a solução da equação

0S

25 6 6 x25 0 x

2 0

5 x

0 x

2 0 x

A diferença entre o quadrado de um número e o seu quadruplo é zero. Qual é o número?

Equações do 2º grau incompletas2 0 ax bx

-2x 4x = 0

Equações do 2º grau incompletas2 0 ax bx

2 4 0x x a = 1 ; b = -4 ; c = 0

4 0x x

0 4 0x x

0 4 x x

Conjunto-solução = {0,4 }

1º colocar a incógnita em evidência (factorizar)2º Aplicar a lei do anulamento do produto

3º Encontrar as soluções

Resolve a Equação x x

x2

3

3 4

22 3

a = 2 ; b = 3 ; c = 0

1º Reduzir à forma canónica

x x

x2

3

3

2

12

22 6

2 9 36 12 362x x x

2 3 02x x

x x2 3 0

x x0 2 3 0

x x03

2

2º colocar a incógnita em evidência

3º Aplicar a lei do anulamento do produto

30,

2

S

Equações do 2º grau completasFórmula Resolvente

Dada uma equação do tipo

ax bx c com a2 0 0 Podemos encontrar as soluções, utilizando a seguinte fórmula:

xb b a c

a

2 4

2

À expressão que está dentro da raiz quadrada chama-se BINÓMIO DISCRIMINANTE e representa-se por ( delta

)

b a c2 4

1 254

x

2 3 02x x a = 2; b = 1; c = -3

22

32411 2

x

x1 5

4x x

1 5

4

1 5

4

x x x x6

4

4

4

3

21

Duas Soluções

Conclusão: Se o Binómio Discriminante é positivo, a equação tem duas soluções.

xb b ac

a

2 4

2

Resolve a Equação

3,1

2

S

xb b ac

a

2 4

2

x

12 0

4

2 28 12 102x x 1º Reduzir à forma canónica

2 12 18 02x x a = 2; b = -12; c = 18

x12 12 4 2 18

2 2

2

x12 144 144

4

x x12 0

4

12 0

4x x 3 3 3 é uma raiz

dupla da equação

Conclusão: Se o Binómio Discriminante é zero, a equação tem uma solução dupla.

Resolve a Equação

xb b ac

a

2 4

2

2

162 x

2 9 2 4x x 1º Reduzir à forma canónica

2 2 5 0x x a = 1; b = -2; c =

5 22 2 4 1 5

2 1x

2 4 204

x

Conclusão: Se o Binómio Discriminante é negativo, a equação é impossível.

Resolve a Equação

Equação IMPOSSÍVEL, não há nenhum nº real cujo quadrado seja negativo.

Determina o perímetro do triângulo rectângulo.

( 2x+1 )

cm

( x+3 ) cm

( 3x+2 ) cm

Pelo Teorema de Pitágoras:

3 2 2 1 32 2 2x x x

9 12 4 4 4 1 6 92 2 2x x x x x x

4 2 6 02x x

x

2 2 4 4 6

2 4

2

x x2 10

8

2 10

8x x

3

21

33

22 2 5

, cm

x não pode ser

2

3

3 1 2 5 cm 1 3 4 cm

2 1 1 3 cm

Perímetro = 5+3+4 =12 cm

3

2Se x

Solução do Problema

1Se x

( 2x+1 ) cm

( x+3 ) cm ( 3x+2 ) cm

Um Pouco de História

Este matemático Português do

século XVI realizou uma

grandiosa obra na área da

Matemática, Física, Astronomia e

nas suas aplicações à Náutica.

No que diz respeito às equações,

Pedro Nunes resolvi-as com

grande rigor de raciocínio

embora sem usar linguagem

simbólica.

Fim