EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS

• EDOs de primeira ordem –

Problema de Valor Inicial (PVI)

• Método de passo simples

• Método de Euler

𝑑𝑦

𝑑𝑥= 𝑓 𝑥, 𝑦 𝑦 𝑥0 = 𝑦0

𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑛𝑜𝑣𝑜 = 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑎𝑛𝑡𝑖𝑔𝑜 + 𝑖𝑛𝑐𝑙𝑖𝑛𝑎çã𝑜 × 𝑝𝑎𝑠𝑠𝑜

𝑦𝑖+1 = 𝑦𝑖 + 𝑓 𝑥𝑖 , 𝑦𝑖 ℎ

EXEMPLO 22

A taxa de transformação de um composto dentro de um reator segue uma cinética de

primeira ordem conforme a equação

onde k é a constante de velocidade. Considerando uma concentração inicial c0 = 10 g L-1

e k = 0,2 min-1, calcule os valores da concentração do composto no intervalo de 0 até 30

minutos. Use o método de Euler e compare o cálculo com passos de 3, 1 e 0,5 minutos,

para fazer a comparação use o valor exato da equação diferencial como uma

referência.

𝑑𝑐

𝑑𝑡= −𝑘𝑐

MÉTODO DE EULER MODIFICADO

𝑦𝑖+ 1 2= 𝑦𝑖 + 𝑓 𝑥𝑖 , 𝑦𝑖

ℎ

2

𝑦𝑖+1 = 𝑦𝑖 + 𝑓 𝑥𝑖+ 1 2, 𝑦𝑖+ 1 2

ℎ

EXEMPLO 23

Considere um reator em estado transiente conforme a representação abaixo

O balanço de massa para esse reator pode ser escrito como Acúmulo = Entrada – Saída, ou

seja,

onde V (m3) é o volume do reator, c (mg m-3) a concentração no interior do reator, Q (m3 min-1)

é a vazão e cin (mg m-3) é concentração na entrada do reator. Considere cin = 50 mg m-3, Q =

5 m3 min-1, V = 100 m3 e que para t = 0 min, c0 = 10 mg m-3. Calcule a concentração no

interior do reator para o intervalo de 0 a 60 min usando o método de Euler e Euler modificado.

Compare os valores calculados usando um passo de 10 min e depois 5 min, use a solução exata

representada pela equação abaixo como referência.

𝑉𝑑𝑐

𝑑𝑡= 𝑄𝑐𝑖𝑛 − 𝑄𝑐

𝑐 = 50 1 − 𝑒−0,05𝑡 + 10𝑒−0,05𝑡

MÉTODOS DE RUNGE-KUTTA (RK)

• Classe de métodos de passo simples

• A função incremento (inclinação) pode ser de ordem n

• Os valores de de a, p e q são constantes usadas para calcular as relações de

recorrência k e possibilitam infinitos métodos de RK.

RUNGE-KUTTA NO MATLAB

• No MATLAB existem diversos esquemas RK para a solução de EDOs:

ode45, ode15s, ode23, ode113, ode23t, ode23tb, ode23s e ode15i.

• A função ode45 é a primeira escolha para a maioria dos problemas.

• ode45: método de passo simples adaptativo de ordem variável entre 4

e 5 (Dormand-Prince).

• >> [x,y] = ode45(odefun,x,y0);

EXEMPLO 24

Suponha que um grande tanque para misturas, figura ao lado,

contenha inicialmente 300 L de água, no qual foram dissolvidos 50 g

de sal. Então, quando a solução está bem misturada, uma outra

solução de sal com concentração de 2 g L-1 é bombeada para dentro

do tanque a uma taxa de 3 L min-1 e a solução do tanque é

bombeada para fora a uma taxa de 3,5 L min-1. (a) Determine uma

equação diferencial para a massa de sal no tanque em qualquer

instante t. (b) Calcule uma solução para essa equação usando o

método de Euler, Euler modificado e RK usando a função ode45 do

MATLAB. Faça gráficos para comparar as respostas usando passos

de 30 min e 15 min.

SISTEMAS DE EDOS

• n EDOs com n condições iniciais.

• Os métodos de passo simples

podem ser empregados.

EXEMPLO 25

A hidrogenação do óleo de soja em presença de um catalisador metálico é um

processo muito empregado pela indústria de alimentos para produzir gorduras com

características bem definidas. Para o óleo de soja, a hidrogenação pode ser

representada de maneira simplificada por um mecanismo de três reações consecutivas.

Onde C18:3 representa o ácido linolênico, C18:2 o ácido linoleico, C18:1 o ácido

oleico, C18:0 o ácido esteárico e ki a constante de velocidade de cada reação

consecutiva. (a) Escreva um sistema de EDOs para representar esse mecanismo de

reação. (b) Resolva o sistema de EDOs no intervalo de 0 até 5 horas considerando k1

= 0,0760 min-1, k2 = 0,0454 min-1, k3 = 0,0039 min-1, CC18:3,0 = 6,0 g/100g óleo,

CC18:2,0 = 48,0 g/100g óleo, CC18:1,0 = 29,0 g/100g óleo e CC18:0,0 = 5,0 g/100g

óleo. Teste a solução para os passos de 30 min, 15 min e 5 min.

𝐶18: 3 𝑘1𝐶18: 2

𝑘2𝐶18: 1

𝑘3𝐶18: 0

EDO DE ORDEM SUPERIOR

• EDOs de ordem superior podem ser reduzidas a um sistema de EDOs de

primeira ordem.

• Suponha uma EDO de segunda ordem

𝑎𝑑2𝑦

𝑑𝑥2+ 𝑏

𝑑𝑦

𝑑𝑥+ 𝑐𝑦 = 0

𝑑𝑦

𝑑𝑥= 𝑧

𝑑2𝑦

𝑑𝑥2=𝑑𝑧

𝑑𝑥

𝑎𝑑𝑧

𝑑𝑥+ 𝑏𝑧 + 𝑐𝑦 = 0

𝑑𝑧

𝑑𝑥=−𝑏𝑧 − 𝑐𝑦

𝑎 𝑦 0 = 𝑦0𝑑𝑦(0)

𝑑𝑥= 𝑦1

EXEMPLO 26

O movimento harmônico livre pode ser utilizado para

descrever o deslocamento realizado por um peso preso

em uma mola, figura ao lado, conforme a equação abaixo

onde s (m) é o deslocamento em relação à posição de

equilíbrio, k (N m-1) é a constante elástica da mola e m

(kg) é a massa do corpo peso preso na mola. Suponha

que um peso de 1 kg seja deslocado em 50 cm da

posição de equilíbrio da mola e que após ser solto o

deslocamento tenha uma velocidade inicial de 1,0 m s-1 e k

= 49 N m-1. Resolva a EDO de ordem superior no

intervalo de 0 a 10 s usando os métodos de Euler, Euler

modificado e RK45. Teste os passos de 0,1 s 0,01 s e

0,001 s.

𝑑2𝑠

𝑑𝑡2+𝑘

𝑚𝑠 = 0

EDO – PROBLEMAS DE VALORES DE CONTORNO

• Método de diferenças finitas:

• Divisão do domínio em um conjunto de pontos

nodais (malha)

• Aproximação das derivadas por diferenças

finitas usando a série de Taylor (sempre que

possível usar diferenças finitas centrais)

• Colocação da equação de diferenças

(montagem do sistema de equações

algébricas)

• Incorporação das condições de contorno:

Dirichlet (tipo 1) ou Neumann (tipo 2)

• Resolução do sistema de equações

algébricas

EXEMPLO 27

A variação de temperatura ao longo de uma haste longa e

fina pode ser modelada pela equação

onde T (°C) é a temperatura em qualquer posição x (m) da

haste, k (m-2) é o coeficiente de transferência de calor e Ta

(°C) é a temperatura ambiente. Considere uma haste de 10

m, figura ao lado, com T(0) = 40°C, T(L) = 200°C, Ta = 20°C

e k = 0,01 m-2. Faça a previsão da temperatura ao longo da

haste usando o método de diferenças finitas centrais.

Compare a solução com 6 pontos nodais ao resultado exato

dessa equação.

𝑑2𝑇

𝑑𝑥2+ 𝑘 𝑇𝑎 − 𝑇 = 0

𝑇 = 73,4523𝑒0,1𝑥 − 53,4523𝑒−0,1𝑥 + 20

EXEMPLO 28

Reconsidere o exemplo 27 alterando a condição de contorno em x = 0 para

𝑑𝑇

𝑑𝑥= 0. Resolva o problema usando diferenças finitas centrais com uma malha

de 11 pontos.