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Matemática Básica

Humberto José Bortolossi

Departamento de Matemática Aplicada

Universidade Federal Fluminense

Parte 5

Parte 5 Matemática Básica 1

Números


O que é um número?

Dicionário Aurélio:

Número.[Do lat. numeru.]S. m.1. A soma total dos elementos ou unidades de um conjunto, série, etc.2. Porção ou parcela de um grupo, conjunto, etc.3. Nome, símbolo ou representação de uma quantidade. [Cf. numeral (3).]4. Entidade abstrata que corresponde a um aspecto ou a uma caraterística

mensurável de algo (quantidade, grandeza, intensidade, etc.) e queé matematicamente definida como conjunto de todos os conjuntosequivalentes a um conjunto dado.



Wikipédia:

Número é a essência e o princípio de todas as coisas (Pitágoras).

Número é a relação entre a quantidade e a unidade (Newton).

Número é um composto da unidade (Euclides).

Número nada mais é do que a proporção de uma magnitude com relação a outra consideradaarbitrariamente como unidade (Euler).

Número é uma coleção de objetos de cuja natureza fazemos abstração (Boutroux).

Número é o resultado da comparação de qualquer grandeza com a unidade (BenjaminConstant).

Número é o movimento acelerado ou retardado (Aristóteles).

Número é uma coleção de unidades (Condorcet).

Número é a expressão que determina uma quantidade de coisas da mesma espécie (Baltzer).

Número é a classe de todas as classes equivalente a uma dada classe (Bertrand Russell).



Não é uma definição formal, mas nos revela para que servem e porqual motivo foram inventados os números:

Número é o resultado da comparação entre uma grandeza e uma unidade. Sea grandeza é discreta, essa comparação chama-se uma contagem e o resultadoé um número inteiro; se a grandeza é contínua, a comparação chama-se umamedição e o resultado é um número real.


Números naturais


Números naturais

númerosnaturais

númerosordinais

númeroscardinais

(substantivo) (adjetivo)

interpretados como interpretados como


Números naturais como números ordinais

N é um conjunto, cujos elementos são chamados númerosnaturais. Seu uso e suas propriedades são regidos pelas seguintespropriedades:

(a) Todo número natural tem um único sucessor.(b) Números naturais diferentes têm sucessores diferentes.(c) Existe um único número natural, chamado um e representado

pelo símbolo 1, que não é sucessor de nenhum outro.(d) (Axioma da Indução) Seja X um subconjunto de números

naturais. Se 1 ∈ X e se, além disso, o sucessor de todo elementode X ainda pertence a X , então X = N.

Axiomas de Peano


Números naturais como números ordinaisN = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, . . .}.

2 é o sucessor de 13 é o sucessor de 24 é o sucessor de 3...

......

Deve ficar claro que o conjunto N = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, . . .} dos númerosnaturais é uma sequência de objetos abstratos que, em princípio, sãodesprovidos de significado. Cada um desses objetos (um número natural)possui apenas um lugar determinado nesta sequência. Nenhuma outrapropriedade lhes serve de definição. Todo número tem um sucessor (único)e, com exceção de 1, tem também um único antecessor (número do qual ésucessor).

[Lima, Carvalho, Wagner e Morgado, 2003]


Números naturais como números ordinais: símbolos

Sucessor de n é {n}0 ∅

1 {∅} {0}2 {{∅}} {1}3 {{{∅}}} {2}...

......

n {n − 1}



Sucessor de n é n ∪ {n}0 ∅

1 {∅} 0 ∪ {0}2 {∅, {∅}} 1 ∪ {1}3 {∅, {∅}, {∅, {∅}}} 2 ∪ {2}...

......

n (n − 1) ∪ {n − 1}



Escrita Cuneiforme Babilônica



Escrita Maia



Escrita Chinesa



Escrita Romana

1 2 3 4 5 10 50 100 500 1000I II III IV V X L C D M



Escrita Egípcia


Números naturais como números ordinais: símbolosEscrita Egípcia



Escrita Braille


Números naturais como números cardinais

Apresentaremos os números naturais como números cardinaisposteriormente!


O Princípio da Indução Finita


O Principio da Indução Finita

(d) (Axioma da Indução) Seja X um subconjunto de númerosnaturais. Se 1 ∈ X e se, além disso, o sucessor de todo elementode X ainda pertence a X , então X = N.

Axioma da Indução de Peano

Considere uma sentença da forma “∀n ∈ N,P(n)” (estamos escrevendo P(n)ao invés de P para enfatizar o fato de que o predicado P depende de n). Seja

X = {n ∈ N | n satisfaz o predicado P}.

Se mostramos que

(1) (Passo básico) 1 ∈ X (isto é, que 1 satisfaz o predicado P ou, ainda,que P(1) é verdadeira),

(2) (Passo indutivo) k ∈ X ⇒ k + 1 ∈ X (isto é, que se k satisfazo predicado P, então k + 1 também satisfaz o predicado P ou, ainda,que se P(k) é verdadeira, então P(k + 1) é verdadeira),

então, pelo Axioma de Indução de Peano, X = N, isto é, todo númeronatural n ∈ N satisfaz o predicado P e, assim, a sentença “∀n ∈ N,P(n)”é verdadeira!


O Principio da Indução Finita

Moral:

O Princípio da Indução Finita é uma técnica para tentardemonstrar que sentenças do tipo “∀n ∈ N,P(n)” sãoverdadeiras!


Protocolo de uma prova por indução

Uma demonstração por indução segue o seguinte esquema:

(1) Diga que a demonstração é por indução. Assim, o leitor já saberá qual seráa estrutura da demonstração.

(2) Especifique o predicado P(n) que se quer demonstrar que é verdadeiro para todon ∈ N (isto é, que é satisfeito para todo n ∈ N).

(3) Passo básico: mostre que P(1) é verdadeira (isto é, que n = 1 satisfazo predicado P).

(4) Passo indutivo: mostre que se P(k) é verdadeira (isto é, se k satisfazo predicado P), então P(k + 1) também é verdadeira (isto é, k + 1 também satisfazo predicado P).


ExemploMostre que ∀n ∈ N, 1 + 2 + · · ·+ n =

n (n + 1)2

.

Demonstração. A prova será feita por indução. Considere o predicado

P(n) : 1 + 2 + · · ·+ n = n (n + 1)/2.

(Passo básico ) Devemos mostrar que P(1) é verdadeira, isto é, que 1 satisfaz o predicado P. Em nosso caso,isso significa mostrar que 1 = (1)(1 + 1)/2. Mas (1)(1 + 1)/2 = 2/2 = 1.

(Passo indutivo) Suponha que P(k) seja verdadeira (isto é, que k satisfaz o predicado P). Devemos mostrar queP(k + 1) também é verdadeira (isto é, que k + 1 também satisfaz o predicado P). Agora, se P(k) é verdadeira,então

1 + 2 + · · ·+ k =k(k + 1)

2. (hipótese de indução)

Para mostrar que P(k + 1) é verdadeira, devemos mostrar que 1 + 2 + · · ·+ k + (k + 1) =(k + 1)((k + 1) + 1)

2.

Mas,

1 + 2 + · · ·+ k + (k + 1) (∗)=

k (k + 1)2

+ (k + 1) =k (k + 1) + 2 (k + 1)

2=

(k + 1)(k + 2)2

=(k + 1)((k + 1) + 1)

2,

onde, em (∗), usamos a hipótese de indução.


ExemploMostre que ∀n ∈ N, 3 é divisor de n3 − n.


P(n) : 3 é divisor de n3 − n.

(Passo básico ) Devemos mostrar que P(1) é verdadeira. Em nosso caso, isso significa mostrar que 3 édivisor de (1)3 − 1. Mas (1)3 − 1 = 0 e 3 é divisor de 0.

(Passo indutivo) Suponha que P(k) seja verdadeira. Devemos mostrar que P(k+1) também é verdadeira.Agora, se P(k) é verdadeira, então 3 é divisor de k3−k . Para mostrar que P(k+1) é verdadeira, devemosmostrar que 3 é divisor de (k + 1)3 − (k + 1). Agora:

(k + 1)3 − (k + 1) = k3 + 3 k2 + 3 k + 1 − (k + 1) = k3 − k + 3 k2 + 3 k .

Pela hipótese de indução, 3 é divisor de k3 − k . Como 3 também é divisor de 3 k2 + 3 k , segue-se que 3é divisor de k3 − k + 3 k2 + 3 k = (k + 1)3 − (k + 1).


Onde está o erro?Todos os cavalos têm uma mesma cor.

“Demonstração”. A prova será feita por indução. Considere o predicado

P(n) : em todo conjunto com n cavalos, todos os cavalos têm uma mesma cor.

(Passo básico ) Se n = 1, então todo cavalo em um conjunto com um único cavalo tem uma mesma cor.Logo, P(1) é verdadeira.

(Passo indutivo) Suponha que P(k) seja verdadeira, isto é, suponha que em todo conjunto com kcavalos, todos os cavalos têm uma mesma cor (hipótese de indução). Devemos mostrar que P(k + 1)é verdadeira, isto é, devemos mostrar que em todo conjunto com k + 1 cavalos, todos os cavalos têmuma mesma cor. Considere então um conjunto com k +1 cavalos: {c1, c2, . . . , ck , ck+1}. Pela hipótese deindução, os k primeiros cavalos têm uma mesma cor: {c1, c2, . . . , ck}. Também pela hipótese de indução,os k últimos cavalos também possuem uma mesma cor: {c2, . . . , ck , ck+1}. Logo todos os cavalosem {c1, c2, . . . , ck , ck+1} têm uma mesma cor.

O erro está no passo indutivo: para concluir que todos os cavalos em {c1, c2, . . . , ck , ck+1} têm uma mesma cora partir do fato de que todos os cavalos em A = {c1, c2, . . . , ck} e B = {c2, . . . , ck , ck+1} possuírem uma mesmacor, usou-se que existe pelo menos um cavalo em comum aos dois conjuntos A e B. Mas, se k = 2, então A = {c1},B = {c2} e A ∩ B = ∅.


Ainda SobreO Princípio da Indução Finita


Ainda sobre o princípio da indução finita

Vimos que o Princípio da Indução Finita pode ser usada para demonstrar que sentençasdo tipo ∀n ∈ N = { 1, 2, 3, . . .}, P(n) são verdadeiras!

Mas, de fato, ele também pode ser usado para demonstrar que sentenças do tipo

∀n ∈ A = { 2, 3, 4, . . .}, P(n)

∀n ∈ B = { 3, 4, 5, . . .}, P(n)

∀n ∈ C = { 0, 1, 2, . . .}, P(n)

∀n ∈ D = {−1, 0, 1, . . .}, P(n)

são verdadeiras! Afinal, em termos dos Axiomas de Peano, os conjuntos A, B, C e Dsão tão bons quanto o conjunto N.


ExemploMostre que ∀n ∈ B = {3, 4, 5, . . .}, n2 − n − 6 ≥ 0.


P(n) : n2 − n − 6 ≥ 0.

(Passo básico ) Devemos mostrar que P(3) é verdadeira. Em nosso caso, isso significa mostrar que32 − 3 − 6 ≥ 0. Mas 32 − 3 − 6 = 0, logo 32 − 3 − 6 ≥ 0.

(Passo indutivo) Suponha que P(k) seja verdadeira. Devemos mostrar que P(k+1) também é verdadeira.Agora, se P(k) é verdadeira, então k2 − k − 6 ≥ 0. Para mostrar que P(k + 1) é verdadeira, devemosmostrar que (k + 1)2 − (k + 1)− 6 ≥ 0. Agora:

(k + 1)2 − (k + 1)− 6 = k2 + 2 k + 1 − k − 1 − 6 = k2 − k − 6 + 2 k .

Pela hipótese de indução, k2 − k −6 ≥ 0. Como 2 k ≥ 0 para todo k ∈ B, segue-se que k2 − k −6+2 k =(k + 1)2 − (k + 1)− 6 ≥ 0.


O Segundo Princípio da Indução Finita


O Segundo Princípio da Indução

Dado um predicado P(n),• se P(1) é verdadeira e (Passo básico )• se P(k) ⇒ P(k + 1) é verdadeira, (Passo indutivo)

então P(n) é verdadeira para todo n ∈ N.

Primeiro Princípio da Indução

Dado um predicado P(n),• se P(1) é verdadeira e (Passo básico )• se P(1) ∧ P(2) ∧ · · · ∧ P(k) ⇒ P(k + 1) é verdadeira, (Passo indutivo)


Segundo Princípio da Indução


ExemploMostre que todo número inteiro n ≥ 2 pode ser escrito como produto de números primos (admitindo-seo caso de um produto com um único fator caso n seja um número primo).

Demonstração. Usaremos o Segundo Princípio da Indução. Considere o predicado

P(n) : n pode ser escrito como produto de números primos.

(Passo básico ) Devemos mostrar que P(2) é verdadeira. Em nosso caso, isso significa mostrar que 2pode ser escrito como produto de números primos. Mas 2 é um número primo, logo 2 pode ser escritocomo um produto de números primos com um único fator (o próprio 2).

(Passo indutivo) Suponha que P(2) ∧ P(3) ∧ · · · ∧ P(k) seja verdadeira. Devemos mostrar que P(k + 1)também é verdadeira. Agora, se P(2)∧P(3)∧ · · · ∧P(k) é verdadeira, então todo número ≥ 2 e ≤ k podeser escrito como produto de números primos. Para mostrar que P(k + 1) é verdadeira, devemos mostrarque k + 1 pode ser escrito como produto de números primos. Se k + 1 é um número primo, nada há parase fazer: k +1 pode ser escrito como um produto de números primos com um único fator (o próprio k +1).Se k + 1 não é um número primo, então ele pode ser escrito na forma k + 1 = a b, com 2 ≤ a ≤ k e2 ≤ b ≤ k . Pela hipótese de indução, a e b podem ser escritos como produto de números primos. Logok + 1 = a b também pode ser escrito como produto de números primos.

Por que o Segundo Princípio da Indução é útil aqui? Considere k = 24 = 4 ·6. Para mostrar que P(24) é verdadeirausando essa decomposição, precisamos usar que P(4) e P(6) verdadeiras. A hipótese de indução do PrimeiroPrincípio permite usar apenas que P(23) é verdadeira, o que não nos ajuda aqui.


Exemplo (sem pegar pela mão)Mostre que todo número inteiro n ≥ 2 pode ser escrito como produto de números primos (admitindo-seo caso de um produto com um único fator caso n seja um número primo).

Demonstração. Usaremos o Segundo Princípio da Indução. P(2) é verdadeira, pois 2 é um número primo.Suponha que todo número ≥ 2 e ≤ k pode ser escrito como produto de números primos. Queremosmostrar que k + 1 também pode ser escrito como produto de números primos. Se k + 1 é um númeroprimo, nada há para se fazer. Suponha então que k + 1 não seja um número primo. Portanto, ele podeser escrito na forma k + 1 = a b, com 2 ≤ a ≤ k e 2 ≤ b ≤ k . Pela hipótese de indução, a e b podem serescritos como produto de números primos. Logo k + 1 = a b também pode ser escrito como produto denúmeros primos.


O Segundo Princípio da Indução







Teorema: os dois princípios são equivalentes, isto é, quem tem um, demonstrao outro. Moral: qualquer demonstração usando um dos princípios pode serconvertida em uma demonstração usando o outro.


Demonstração do teorema







(Primeiro Princípio ⇒ Segundo Princípio) Seja P(n) um predicado tal que P(1) é verdadeira e tal queP(1) ∧ P(2) ∧ · · · ∧ P(k) ⇒ P(k + 1) é verdadeira. Queremos mostrar que P(n) é verdadeira para todon ∈ N. Defina P̃(n) = P(1) ∧ P(2) ∧ · · · ∧ P(n). Note que P̃(1) = P(1) é verdadeira. Se P̃(k) éverdadeira, então P(1)∧P(2)∧· · ·∧P(k) é verdadeira. Por hipótese, P(k +1) também é verdadeira. LogoP(1)∧P(2)∧ · · · ∧P(k)∧P(k + 1) é verdadeira, isto é, P̃(k + 1) é verdadeira. Pelo Primeiro Princípio daIndução (aplicado ao predicado P̃(n)), P̃(n) = P(1) ∧ P(2) ∧ · · · ∧ P(n) é verdadeira para todo n ∈ N. Emparticular, P(n) é verdadeira para todo n ∈ N.


Demonstração do teorema







(Segundo Princípio ⇒ Primeiro Princípio) Seja P(n) um predicado tal que P(1) é verdadeira e tal queP(k) ⇒ P(k + 1) é verdadeira. Queremos mostrar que P(n) é verdadeira para todo n ∈ N. Afirmamosque o predicado P(n) também é tal que P(1) ∧ P(2) ∧ · · · ∧ P(k) ⇒ P(k + 1) é verdadeira. De fato: seP(1) ∧ P(2) ∧ · · · ∧ P(k) é verdadeira, em particular, P(k) é verdadeira. Por hipótese, P(k + 1) também éverdadeira. Pelo Segundo Princípio da Indução, P(n) é verdadeira para todo n ∈ N.


Outros nomes para o Segundo Princípio da Indução

O Segundo Princípio da Indução também é conhecido como

Princípio da Indução Completaou

Princípio da Indução Forte.


Outras Aplicações


ExemploQuais são os valores que podem ser gerados com selos de 3 e 5 centavos?

Linhas: quantidade selos de 3 centavos. Colunas: quantidade de selos de 5 centavos.

0 1 2 3 4 5 · · ·0 0 5 10 15 20 25 · · ·1 3 8 13 18 23 28 · · ·2 6 11 16 21 26 31 · · ·3 9 14 19 24 29 34 · · ·4 12 17 22 27 32 37 · · ·5 15 20 25 30 35 40 · · ·...

......

......

......

. . .


ExemploÉ possível produzir qualquer quantia n ≥ 8 (em centavos) com selos de 3 e 5 centavos.

Demonstração. Usaremos o Segundo Princípio da Indução. Considere o predicado:

P(n) : existem inteiros r ≥ 0 e s ≥ 0 tais que 3 r + 5 s = n.

(Passo básico ) O predicado P(n) é verdadeiro para n = 8, n = 9 e n = 10, pois 8 = 3 (1) + 5 (1),9 = 3 (3) + 5 (0) e 10 = 3 (0) + 5 (2).

(Passo indutivo) Se k ≥ 10, suponha que P(l) seja verdadeira para todo l ∈ {8, . . . , k}, isto é, suponhaque qualquer quantia em centavos l ∈ {8, . . . , k} possa ser produzida com selos de 3 e 5 centavos. Vamosmostrar que P(k+1) também é verdadeira, isto é, a quantia em centavos k+1 também pode ser produzidacom selos de 3 e 5 centavos. Pela hipótese de indução, existem inteiros r ≥ 0 e s ≥ 0 tais que

k − 2 = 3 r + 5 s.

Então, k + 1 = k − 2 + 3 = 3 r + 5 s + 3 = 3 (r + 1) + 5 s = 3 r̃ + 5 s, com r̃ = r + 1 ≥ 0 e s ≥ 0.

Mais do que uma demonstração, o Princípio da Indução nos dá um algoritmo para calcular os valores de r e s:

23 = 20 + 3 = 17 + 3 (2) = 14 + 3 (3) = 11 + 3 (4) = 8 + 3 (5) = 5 + 3 (6) = 5 (1) + 3 (6).

Desta maneira, a quantia de 23 centavos pode ser produzida com 1 selo de 5 centavos e 6 selos de 3 centavos.


ExemploPara todo n ≥ 1, existe um ladrilhamento por ladrilhos em formato de L ( ) para um jardim 2n × 2n com

a estátua de Bill em um quadrado central.

B B


ExemploPara todo n ≥ 1, existe um ladrilhamento por ladrilhos em formato de L ( ) para um jardim 2n × 2n com

a estátua de Bill em um quadrado central.

Demonstração. A prova será por indução, mas usaremos um predicado mais forte: P(n) : existe umladrilhamento por ladrilhos em formato de L para um jardim 2n × 2n com a estátua de Bill em qualquerquadrado.

(Passo básico ) P(1) é verdadeira: B , B ,B

,B

.

(Passo indutivo) Suponha que exista um ladrilhamento por ladrilhos em formato de L para jardins 2k × 2k

com um quadrado removido. Considere um jardim 2k+1 × 2k+1. Divida o jardim em 4 quadrantes 2k × 2k .O quadrante que contém a estátua de Bill pode ser ladrilhado com ladrilhos no formato de L (hipótesede indução). Coloque um ladrilho no formato de L na posição central de forma que cada um dos trêsquadrados do L esteja nos três quadrantes restantes. Tudo o que falta é ladrilhar cada um dos trêsquadrantes excluindo o quadrado central já ladrilhado, o que pode ser feito pela hipótese de indução.

B

2k

2k

2k 2k

2k+1


Exemplo: A Torre de Hanoi

Torre A Torre B Torre C

4

3

2

1

O objetivo desse jogo é mover todos os anéis de uma torre para a outra obedecendo duasregras:

(1) Apenas o anel mais acima de cada torre pode ser movido.(2) Um anel maior não pode ser colocado sobre um anel menor.

Este jogo foi criado pelo matemático francês Édouard Lucas em 1883. Há uma lenda que diz queexiste uma sala em um certo monastério com três grandes torres, uma delas com 64 anéis de ouro.Os monges desse monastério estão transferindo os anéis seguindo as regras acima. A lenda diz queo mundo terminará quando os monges conseguirem terminar a transferência.


Torre de Hanoi com 1 Anel

1



1

Anel transferido da torre A para a torre C.



1

OK


Torre de Hanoi com 2 Anéis

21



2 1

Anel transferido da torre A para a torre B.



1 2




21

Anel transferido da torre B para a torre C.



21

OK



321



32

1




3 2 1




3 21

Anel transferido da torre C para a torre B.



21

3




1 2 3

Anel transferido da torre B para a torre A.



1 32




321




321

OK



4321



432

1




43

1 2




43

21




4 3 21




41

3 2

Anel transferido da torre C para a torre A.



41

32

Anel transferido da torre C para a torre B.



4 321




321

4




32

41




2 3 41

Anel transferido da torre B para a torre A.



21

3 4

Anel transferido da torre C para a torre A.



21

43




2 1 43




1 432




4321




4321

OK


Exemplo: A Torre de HanoiA Torre de Hanoi possui solução para qualquer número n ∈ N de anéis. Mais ainda, se Tn é o númeromínimo de movimentos para transferir n anéis de uma torre para outra, então Tn+1 = 2 Tn + 1, comT1 = 1. Em particular, Tn = 2n − 1.

Demonstração. Vamos mostrar primeiro que o problema tem solução. Isso será feito por indução. Sen = 1, basta transferir o único anel de uma torre para outra. Suponha que seja sempre possível transferirk anéis de uma torre para outra. Queremos mostrar que é possível transferir k +1 anéis. Se os k +1 anéisestão, digamos, na torre A, transfira os k primeiros anéis para a torre B. Transfira então o (k + 1)-ésimoanel para a torre C e, em seguida, transfira os k anéis da torre B para a torre C.

A solução que propomos para o problema nos mostra que Tn+1 ≤ 2 Tn + 1. Vamos agora mostrar que,também, Tn+1 ≥ 2 Tn + 1. No processo de transferir os n + 1 anéis, em algum momento, os n anéissuperiores devem estar em uma torre, pois (1) não é possível mover o anel n + 1 sem que os n anéissuperiores tenham sido movidos e (2) esses n anéis devem todos estar em uma mesma torre para deixaruma torre vazia, uma vez que o (n + 1)-ésimo anel só pode ser movido para uma torre vazia. Assim,usamos pelo menos Tn movimentos. Ao transferir o (n+1)-ésimo anel, usamos 1 movimento. Ao transferiros n anéis menores para a torre onde o anel n+1 foi colocado, usamos pelo menos outros Tn movimentos.Logo, Tn+1 ≥ 2 Tn + 1.

Temos assim que T1 = 1 e Tn+1 = 2 Tn + 1. Escrevendo Un = Tn + 1, então U1 = T1 + 1 = 1 + 1 = 2 e

Tn+1 = 2 Tn + 1 ⇔ Un+1 − 1 = 2 (Un − 1) + 1 ⇔ Un+1 = 2 Un.

Assim, Un = 2n e, portanto, Tn = 2n − 1.


Exemplo: A Torre de Hanoi

Para n = 64 anéis são então necessários

T64 = 264 − 1 movimentos.

264 − 1 = 18446744073709551615.

Se os monges moverem um anel por segundo, serão necessários mais de

584 bilhões de anos

para eles transferirem todos os 64 anéis!


Exemplo: Permutações

Quantas e quais são as permutações da lista (a, b)?Resposta: são 2 permutações, a saber,

(a, b), (b, a).

Quantas e quais são as permutações da lista (a, b, c)?Resposta: são 6 permutações, a saber,

(a, b, c), (a, c, b), (b, a, c), (b, c, a), (c, a, b), (c, b, a).

E o caso geral?


Exemplo: PermutaçõesO número de permutações de uma lista com n elementos é igual a 1 · 2 · · · · · n = n!.

Demonstração. A prova será por indução. O número de permutações de uma lista com um únicoelemento é igual a 1 = 1!. Suponha que o número de permutações de uma lista com k elementos sejaigual a k !. Queremos mostrar que o número de permutações de uma lista (a1, a2, a3, . . . , ak , ak+1) comk + 1 elementos é igual a (k + 1)!. Ora, as permutações de (a1, a2, a3, . . . , ak , ak+1) podem ser divididasem k + 1 grupos:

(a1 , permutações de a2, a3, . . . , ak , ak+1

),(

a2 , permutações de a1, a3, . . . , ak , ak+1

),

...(ak , permutações de a1, a2, . . . ,ak−1, ak+1

),(

ak+1, permutações de a1, a2, . . . ,ak−1, ak

).

Logo, o número total de permutações da lista (a1, a2, a3, . . . ,ak , ak+1) é igual a

k ! + k ! + · · ·+ k ! + k !︸︷︷︸k+1 vezes

= (k + 1) k ! = (k + 1)!.

Note que a demonstração por indução que fizemos nos dá um algoritmo recursivo para calcularpermutações de listas.


Exemplo: subconjuntos de um conjunto finito

Quantos e quais são os subconjuntos de {a, b}?Resposta: são 4 subconjuntos, a saber,

∅, {a}, {b}, {a, b}.

Quantos e quais são os subconjuntos de {a, b, c}?Resposta: são 8 subconjuntos, a saber,

∅, {a}, {b}, {a, b},

∅ ∪ {c}, {a} ∪ {c}, {b} ∪ {c}, {a, b} ∪ {c}.

E o caso geral?


Exemplo: subconjuntos de um conjunto finitoO número de subconjuntos de um conjunto com n elementos é igual a 2n.

Demonstração. A prova será por indução. O número de subconjuntos do conjunto vazio ∅ (com n = 0elementos) é igual a 1 = 20. Suponha que o número de subconjuntos de um conjunto com k elementosseja igual a 2k . Queremos mostrar que o número de subconjuntos de um conjunto {a1, . . . , ak , ak+1}com k + 1 elementos é igual a 2k+1. Ora, os subconjuntos de {a1, . . . , ak , ak+1} podem ser divididos em2 grupos: os subconjuntos de {a1, . . . ,ak , ak+1} dos quais ak+1 não é um elemento e os subconjuntosde {a1, . . . ,ak , ak+1} dos quais ak+1 é um elemento. O número de subconjuntos do segundo grupo é igualao número de subconjuntos do primeiro grupo pois, se retirarmos o elemento ak+1 de um subconjuntodo segundo grupo, obteremos um subconjunto do primeiro grupo. Agora, os subconjuntos do primeirogrupo são subconjuntos do conjunto {a1, . . . ,ak} com k elementos. Portanto, pela hipótese de indução,segue-se que existem 2k subconjuntos no primeiro grupo. Somando-se o número de subconjuntos dosgrupos, concluímos que existem 2k + 2k = 2 · 2k = 2k+1 subconjuntos do conjunto {a1, . . . , ak , ak+1}.

Note que a demonstração por indução que fizemos nos dá um algoritmo recursivo para calcular os subconjuntos deum conjunto finito.


Números Naturais (Continuação)



X Y



X Y



A importância dos números naturais provém do fato de que eles constituem o modelomatemático que torna possível o processo de contagem. Noutras palavras, elesrespondem a perguntas do tipo: “Quantos elementos tem este conjunto?”.

Diz-se que dois conjuntos X e Y têm o mesmo número cardinal quando se podedefinir uma função bijetiva f : X → Y .

Diz-se que um conjunto X é finito, e que X tem n elementos quando sepode estabelecer uma função bijetiva f : In → X , onde n ∈ N eIn = {k ∈ N | 1 ≤ k ≤ n}. O número natural n chama-se então o número cardinaldo conjunto X ou, simplesmente, o número de elementos de X . Por convenção, oconjunto vazio é finito e diz-se que ele tem 0 elementos.

Diz-se que um conjunto X é infinito quando ele não é finito. Isto quer dizer que Xnão é vazio e que, não importa qual seja n ∈ N, não existe função bijetiva f : In → X .

Definições



X Y



Os segmentos X e Y possuem a mesma cardinalidade?

(Ir para o GeoGebra)



Os segmentos X e Y possuem a mesma cardinalidade?

(Ir para o GeoGebra)



O Hotel Infinito de Hilbert


Um pequeno comentário gramatical

Quando dizemos “o número um”, “o número dois” ou o “número três”, aspalavras “um”, “dois” e “três” são substantivos, pois são nomes de objetos.Isto contrasta com o uso destas palavras em frases como “um ano, doismeses e três dias”, onde elas aparecem para dar a ideia de número cardinal,isto é, como resultados de contagens. Nesta frase, “um”, “dois” e “três” nãosão substantivos. Pertencem a categoria gramatical que, noutras línguas(como francês, inglês e alemão, por exemplo) é chamada adjetivo numerale que os gramáticos brasileiros e portugueses, há um par de décadas,resolveram chamar numeral apenas. Este comentário visa salientar adiferença entre números naturais, olhados como elementos do conjunto N, eo seu emprego como números cardinais.

[Lima, Carvalho, Morgado e Wagner, 2003]


Semelhança dos nomes dos números

SânscritoGregoAntigo

Latim Alemão Inglês Francês Russo

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

100

1000

eka

dva

tri

catur

panca

sas

sapta

asta

nava

daca

cata

sehastre

en

duo

tri

tetra

pente

hex

hepta

octo

ennea

deca

ecaton

xilia

unus

duo

tres

quatuor

quinque

sex

septem

octo

novem

decem

centum

mille

eins

zwei

drei

vier

fünf

sechs

sieben

acht

neun

zehn

hundert

tausend

one

two

three

four

five

six

seven

eight

nine

ten

hundred

thousand

un

deux

trois

quatre

cinq

six

sept

huit

neuf

dix

cent

mille

odyn

dva

tri

chetyre

piat

shest

sem

vosem

deviat

desiat

sto

tysiaca


Giuseppe Peano

Matemático italiano (27 de agosto de 1858 – 20 de abril de 1932)


David Hilbert

Matemático alemão (23 de janeiro de 1862 – 14 de feveriro de 1943)


Existem “infinitos” diferentes!


Existem “infinitos” diferentes!

Os conjuntos

N = {1, 2, 3, . . .} e (0, 1) = {x ∈ R | 0 < x < 1}

são infinitos, mas não possuem o mesmo número cardinal.

Em um certo sentido, o intervalo (0, 1) é “mais infinito” do que oconjunto N dos números naturais!


O argumento da diagonal de CantorN e (0, 1) não possuem o mesmo número cardinal.

Demonstração.(1) Devemos mostrar que não existe uma bijeção entre N e (0, 1).(2) Suponha, por absurdo, que uma tal bijeção exista: f : N → (0, 1).(3) Assim, para cada n ∈ N, f (n) é um número real entre 0 e 1 e para cada número

real r entre 0 e 1 existe um único natural n tal que f (n) = r .(4) Para cada n, vamos representar o número real f (n) através de sua expansão

decimal. No caso de números com duas expansões decimais (por exemplo,0.5 = 0.49 = 0.4999 . . .), escolhemos aquela que é infinita (por exemplo, para0.5 escolhemos 0.49).

(5) Temos então:

f (1) = 0.d1,1d1,2d1,3d1,4 . . . ,

f (2) = 0.d2,1d2,2d2,3d2,4 . . . ,

f (3) = 0.d3,1d3,2d3,3d3,4 . . . ,

f (4) = 0.d4,1d4,2d4,3d4,4 . . . ,

...


O argumento da diagonal de Cantor(5) Temos então:

f (1) = 0.d1,1d1,2d1,3d1,4 . . . ,

f (2) = 0.d2,1d2,2d2,3d2,4 . . . ,

f (3) = 0.d3,1d3,2d3,3d3,4 . . . ,

f (4) = 0.d4,1d4,2d4,3d4,4 . . . ,

...

(6) Vamos construir um número real x = 0.p1p2p3p4 . . . da seguinte maneira:� Se d1,1 = 5, então p1 = 4. Caso contrário, p1 = 5.

� Se d2,2 = 5, então p2 = 4. Caso contrário, p2 = 5.

� Se d3,3 = 5, então p3 = 4. Caso contrário, p3 = 5.

� E assim por diante.

(7) O número real x = 0.p1p2p3p4 . . . pertence ao intervalo (0, 1), mas x = f (1) (poisp1 = d1,1), x = f (2) (pois p2 = d2,2), x = f (3) (pois p3 = d3,3), etc. Isto contradizo fato de f : N → (0, 1) ser sobrejetiva. Logo, não existe bijeção entre N e (0, 1).


Georg Cantor

Matemático alemão (3 de março de 1845 – 6 de janeiro de 1918)


parte 5 matemática básica 1 parte 5 matemática básica 2 · (passo indutivo) suponha que p(k)...

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