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Planejamento
de Misturas
• Na maioria dos planejamentos os níveis dos fatores são independentes.
• As propriedades de uma mistura são determinadas pelas proporções de seus ingredientes, e não por valores absolutos.
• A soma das proporções dos diversos componentes de uma mistura é sempre 100%.
Planejamento
de Misturas
• Para especificar a composição da mistura, só precisamos fixar as proporções de n – 1 componentes.
• Diagramas binários.
Diagramas
Ternários
Diagramas
Ternários
P
x1 = 20%
x2 = 50%
x3 = 30%
Q
x1 = 50%
x2 = 10%
x3 = 40%
S
x1 = 60%
x2 = 30%
x3 = 10%
Planejamentos de Misturas
• O modelo matemático escolhido define qual é o
planejamento mais adequado.
• Os modelos mais utilizados são:
– Linear.
– Quadrático.
– Cúbico completo.
– Cúbico especial.
• Existem duas classes principais de planejamentos de
mistura:
– Planejamento simplex-lattice.
– Planejamento simplex-centroid.
Modelos de Misturas
• Modelos de mistura para p componentes:
– Linear
– Quadrático
– Cúbico completo
– Cúbico especial
Efeito Principal
Efeito de
Interação Binária
Efeito de
Interação Ternária
Interação entre os Ingredientes
• As interações entre os componentes geram
curvaturas no modelo de mistura e podem ser
de dois tipos:
– Interação de efeito sinérgico.
– Interação de efeito antagônico.
Simplex-Lattice
• {p, m} Simplex-Lattice: p componentes, com m + 1
pontos igualmente espaçados. Todas as combinações
possíveis dos pontos são utilizadas.
• {2, 1}
• Qual modelo de mistura posso usar?
X1 X2
0 1
1 0
Simplex-Lattice
• {2, 2}
• Modelo de mistura???
X1 X2
0 1
½ ½
1 0
Simplex-Lattice
• {3, 2}
• Qual modelo de mistura posso usar?
• Para usar o modelo cúbico completo seriam necessários
quantos experimentos? Como seria representado o
planejamento?
X1 X2 X3
1 0 0
0 1 0
0 0 1
½ ½ 0
½ 0 ½
0 ½ ½
Simplex-Lattice
Simplex-Lattice
Simplex-Lattice
• A quantidade de pontos em um
planejamento simplex-lattice {p, m} é:
• O planejamento simplex-lattice permite a
obtenção de modelos cúbicos completos.
Simplex-Centroid
• É uma alternativa ao planejamento simplex-
lattice que permite a construção de modelos
cúbicos especiais.
• Um planejamento simplex-centroid para p
componentes possui 2p – 1 pontos.
Componentes Formulações
Simplex-lattice Simplex-centroid
3 10 7
4 20 15
Simplex-Centroid
• O planejamento é composto por:
– p permutações (1, 0, 0, ..., 0).
– permutações (½, ½, 0, ..., 0).
– permutações (1/3, 1/3, 1/3, 0, ..., 0).
– Centróide (1/p, 1/p, ..., 1/p).
2
p
3
p
!!
!
knk
n
k
n
Simplex-Centroid
Planejamentos Simplex
• Para os planejamentos do tipo simplex a maioria
dos pontos experimentais estão no contorno da
região experimental e envolvem apenas p – 1
componentes.
• É recomendável a utilização de pontos internos
(axiais) além do centróide.
Simplex-Centroid com pontos internos
Eixo do
componente 3
Meia distância entre o
componente puro e o
centróide
Mistura de dois componentes
• O modelo mais simples para uma mistura de
dois componentes é o modelo aditivo, ou linear:
• Os fatores x1 e x2 não são mais independentes
e, portanto, a matriz XtX é singular.
0 1 1 2 2y b b x b x
1 2 1x x
Dois Componentes – Modelo Linear
• A restrição de mistura pode ser utilizada para
produzir modelos mais fáceis de interpretar.
0 1 1 2 2y b b x b x
1 2 1x x
0 1 2 1 1 2 2y b x x b x b x
* *
0 1 1 0 2 2 1 1 2 2y b b x b b x b x b x
Dois Componentes – Modelo Linear
• O modelo linear de mistura para dois
componentes possui apenas dois
coeficientes, assim, são necessários
apenas dois experimentos distintos.
• Os coeficientes do modelo são as
próprias respostas para os
respectivos componentes puros.
• É possível aumentar a precisão do
modelo fazendo repetições dos
ensaios.
X1 X2
0 1
1 0
Dois Componentes – Modelo Quadrático
• A ampliação mais simples do modelo linear é o
modelo quadrático:
2 2
0 1 1 2 2 11 1 22 2 12 1 2y b b x b x b x b x b x x
2 2
1 2 1 1 2 2 2 11 1 1x x x x x x x x
0 1 2 1 1 2 2 11 1 2 22 2 1 12 1 2ˆ 1 1y b x x b x b x b x x b x x b x x
0 1 11 1 0 2 22 2 12 11 22 1 2y b b b x b b b x b b b x x
* * *
1 1 2 2 12 1 2y b x b x b x x
Mistura de três componentes
• Modelo linear:
* * *
1 1 2 2 3 3y b x b x b x
Mistura de três componentes
• Modelo quadrático:
* * * * * *
1 1 2 2 3 3 12 1 2 13 1 3 23 2 3y b x b x b x b x x b x x b x x
Mistura de três componentes
• Modelo cúbico completo (simplex lattice):
* * * * * * *
1 1 2 2 3 3 12 1 2 13 1 3 23 2 3 12 1 2 1 2
* * *
13 1 3 1 3 23 2 3 2 3 123 1 2 3
y b x b x b x b x x b x x b x x d x x x x
d x x x x d x x x x b x x x
• Modelo cúbico especial (simplex centróide):
* * * * * * *
1 1 2 2 3 3 12 1 2 13 1 3 23 2 3 123 1 2 3y b x b x b x b x x b x x b x x b x x x
Avaliação Estatística dos Modelos
• A construção de modelos de mistura é um caso particular de ajuste
por mínimos quadrados.
• A significância estatística desses modelos deve ser avaliada com
uma análise de variância.
• Um modelo com mais parâmetros explicará uma soma quadrática
maior.
• Ao acrescentar um termo um grau de liberdade do resíduo é
transferido para a regressão.
• O teste F indica se a ampliação do modelo é necessária.
Estudo de Caso 1
• Planejamento de mistura para três componentes: formulação de um achocolatado em pó com substituição de 42% dos sólidos do leite por uma mistura de proteínas (Castro, I. A.; Silva, R. S. F.; Tirapegui, J.; Borsato, D.; Bona, E. Simultaneous optimization of response variables in protein mixture formulation: constrained simplex method approach. International Journal of Food Science and Technology, v.38, p.103-110, 2003).
• Componentes da mistura: (HG) gelatina hidrolisada; (WG) proteína de trigo; (SPI) isolado protéico de soja.
• Respostas: (SENS) avaliação sensorial; (PDCAAS) avaliação nutricional; (NPR) avaliação nutricional; (CUSTO) custo proporcional da mistura.
Estudo de Caso 1
Funções de Desejabilidade
• É uma técnica de otimização simultânea desenvolvida por
Derringer & Suich (1980).
• O primeiro passo é converter cada resposta yi em uma
função de desejabilidade individual di.
• Os componentes da mistura (ou fatores de outros tipo de
planejamento) são ajustados para maximizar a
desejabilidade global.
Desejabilidades Individuais
• Para maximizar uma propriedade (unilateral).
Desejabilidades Individuais
• Para minimizar uma propriedade (unilateral).
Desejabilidades Individuais
• Para atingir um valor alvo usa-se uma função bilateral.
Misturas com Restrições
• Existem casos em que certas limitações são impostas
nas proporções dos componentes.
• Quando se tem limites uma nova região do planejamento
de misturas deve ser utilizada.
• No caso de limites inferiores os planejamentos do tipo
simplex ainda podem ser utilizados.
• Para o caso de limites e superiores a região experimental
é uma forma irregular e outros tipos de planejamento
diferente do simplex devem ser utilizados.
Pseudocomponentes
• A utilização de pseudocomponentes permite a utilização
dos planejamentos do tipo simplex quando existe uma
restrição inferior para os componentes da mistura.
• Para o caso geral de p componentes:
Codificação
(Pseudocomponente)
Descodificação
(Componente Original)
Pseudocomponentes – Exemplo
• Imagine que para uma determinada mistura ternária
existam as seguintes restrições:
• Monte um planejamento simplex-lattice {3,2}.
X1’ X2’ X3’
1 0 0
0 1 0
0 0 1
½ ½ 0
½ 0 ½
0 ½ ½
Pseudocomponentes
Descodificação
X1 X2 X3
0,65 0,20 0,15
0,35 0,50 0,15
0,35 0,20 0,45
0,50 0,35 0,15
0,50 0,20 0,30
0,35 0,35 0,30
Pseudocomponentes – Exemplo
• Região experimental (componentes originais):
Estudo de Caso 2
• Aplicação de pseudocomponentes para avaliar o comportamento
reológico de misturas ternárias de polpas de frutas (BRANCO, I. G. &
GASPARETTO, C. A. Aplicação da metodologia de superfície de
resposta para o estudo do efeito da temperatura sobre o
comportamento reológico de misturas ternárias de polpa de manga e
sucos de laranja e cenoura. Ciência e Tecnologia de Alimentos,
v.23, suplemento, p.166-171, 2003).
• Componentes da mistura: X1 = polpa de manga ; X2 = suco de laranja; X3 = suco de cenoura.
• Restrições para os componentes: X1 60%; X2 10%; X3 10%.
Planejamento