equacao da conservacao da energia

7/25/2019 Equacao Da Conservacao Da Energia

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Notas de aula da disciplina Fenmenos de Transporte IObs. Lembre-se que as notas de aula no substituem a bibliografia

indicada e so apenas um roteiro de estudo para os alunos.Material elaborado pelos Profs. Edvaldo Angelo e Gabriel Angelo

Equao da Conservao de Energia (Primeira Lei daTermodinmica)

A primeira lei da termodinmica um enunciado da conservao de energiaaplicado a um sistema. Esse princpio de conservao afirma que a soma algbrica detoda energia que cruza a fronteira do sistema deve ser igual variao na energia dosistema. Como calor (Q) e trabalho (W) so as nicas formas de energia (E) quepodem atravessar uma fronteira de sistema, pode-se escrever a primeira lei (para umprocesso que conduz o sistema do estado 1para um estado 2):

1 2 1 2 2 1Q W E E E = = , (1)

ou genericamente: Q W dE =

1 2Q calor trocado com o sistema durante o processo 12, ou apenas Q

1 2W trabalho trocado com o sistema durante o processo 12, ou apenas W

O sinal negativo do trabalho proveniente da conveno de sinais:

Conveno de sinais:

Q calor: definido como a energia em transito devido diferena de temperaturas eque no esta associada com transferncia de massa.

Calor no energia armazenada ou possuda por um sistema ou volume de controle, ou

seja, no uma propriedade (propriedade qualquer caracterstica observvel dosistema).

A troca de calor de ou para um sistema necessariamente exige uma mudana de estadodaquele sistema e a quantidade de calor trocada uma funo do caminho que o sistemasegue durante o processo que causa a mudana de estado.

W trabalho: forma de energia em transito no associada com transferncia de massa,e devido diferena de um potencial que no seja temperatura. Do mesmo modo que ocalor no uma propriedade do sistema.


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Equao da conservao de Energia para um Volume deControle

O volume de controle (C) ilustrado abaixo (em linha tracejada) usado para

obteno da equao da conservao da energia. Uma quantidade de massa, ou seja, umsistema, que ocupa diferentes regies nos instantes te t+ t mostrado atravessando ovolume de controle.

Em um determinado instante de tempo t a energia do volume de controle ( )

CE t

e corresponde a soma da energia interna, cintica e potencial gravitacional da

massa contida no volume de controle. Passado um intervalo de tempo t , o fluidocontido na regio (1) indicada na figura, entra completamente no volume de controle.Simultaneamente uma outra quantidade de fluido (que estava no volume de controle) saipela regio (2). Para os dois instantes no tempo a energia do sistema :

21

1 1 1( ) ( ) 2CV

E t E t m u gz

= + + +

(2)

(sistema formado pela regio 1 e o volume de controle)

22

2 2 2( ) ( ) 2CV

E t t E t t m u gz

+ = + + + +

(3)

(sistema formado pela regio 2 e o volume de controle)

Durante o intervalo de tempo em que h escoamento, calor e trabalho sotrocados com o meio. A massa e energia dentro do volume de controle podem variar, eas massas, m1e m2 no so necessariamente iguais. Usando a equao da conservaode energia para o sistema (Eq.1) temos:

( ) ( )E t t E t Q W+ = (4)

Substituindo as equaes Eq.2 e Eq.3 na Eq.4:

2 22 1

2 2 2 1 1 1( ) ( )2 2C CV V

E t t m u gz E t m u gz Q W

+ + + + + + + =

(5)


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Rearranjando a ltima equao:

2 21 2

1 1 1 2 2 2( ) ( ) 2 2C CV V

E t t E t Q W m u gz m u gz

+ = + + + + +

(6)

Dividindo pelo intervalo de tempo t:

2 21 1 2 2

1 1 2 2

( ) ( )

2 2C CE t t E t m V m V Q W u gz u gz

t t t t t

+

= + + + + +

(7)

Tomando o limite para o intervalo de tempo tendendo a zero:

0

( ) ( )lim C C C

t

E t t E t E

t t

+ =

(8)

E tambm:

0lim

t

QQ

t =

(fluxo de calor),

0lim

t

WW

t =

(fluxo de trabalho = potncia) e

0lim

t

mm

t =

(fluxo de massa vazo em massa)

Assim:

2 21 2

1 1 1 2 2 22 2C

E V VQ W m u gz m u gz

t

= + + + + +

(9)

Generalizando para diversas entradas e sadas:

22

0 02 2

Entradas SaidasjC i

i i i j j j

i j

VE VQ W m u gz m u gz

t

= =

= + + + + +

(10)

Caso as propriedades e grandezas no forem constantes nas reas de entrada esada de massa do volume de controle, a equao deve ser integrada nessas superfcies:

22

0 02 2

Entradas SaidasjC i

i i i ni i j j j n j jArea Area

i j

VE VQ W u g z V dA u g z V dA

t

= =

= + + + + +

(11)

Sabendo Vn a velocidade normal e que n

um vetor unitrio normal reaA,generalizando para toda a superfcie de controle (SC):

2

2C

SC

E VQ W u g z V n dAt

= + +


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Trabalho para um Volume de Controle

conveniente separar o trabalho Wem dois termos. Um associado presso do

fluido nas entradas e sadas de massa no volume de controle ( )pW , e outro, que inclui

todos os demais tipos de trabalho ( )CW . Como os associados com eixos rotativos( )EW ,movimentao das fronteiras do volume de controle e advindos de efeitos eltricos,magnticos e provenientes tambm, dos efeitos da tenso superficial e de cisalhamento.

O trabalho das foras de presso pode ser mais facilmente compreendido analisando aprxima figura:

Para que o fluido entre no volume de controle, uma fora, proveniente dapresso (Fp) deve impeli-lo. O trabalho desta fora p pW F x= ou pW p A x= . Deste

modo , a potncia desta fora /pW p A x t = , ou ainda pW p A V = . Caso a presso e

a velocidade no sejam constantes na rea o trabalho calculado assim:

p

Area

W pV n dA=

, lembrando que n

um vetor unitrio normal rea A. Deste modo:

2 2 2 1 1 1( ) ( )CW W p A V p A V = + (12)

Outra forma de apresentao (lembrando que 1 1 1 1m V A= e 2 2 2 2m V A= ):

2 12 1

2 1

C

p pW W m m

= + (13)

Substituindo a Eq.13 na Eq.9:

2 21 1 2 2

1 1 1 2 2 21 22 2

CC

E V p V pQ W m u gz m u gz

t

= + + + + + + +

(14)


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Observaes

A equao Eq.11 a equao da conservao da energia para o caso geral.Muitas vezes, devido s caractersticas do escoamento em estudo possvel simplific-la. Por exemplo, se puderem ser consideradas uniformes as propriedades nas sees de

entrada e sada de massa, h uma simplificao e a equao pode ser usada comoapresentada em Eq.10. Caso haja apenas uma entrada e uma sada do volume decontrole possvel usar o formato de Eq. 9. ou Eq. 14. Se o escoamento desenvolver-seem regime permanente, o termo de variao da energia do volume de controle com otempo nulo, desta forma (e 1 2m m m= = ):

2 21 1 2 2

1 1 2 2 02 2CV p V p

Q W m gz m gz

+ + + + + =

(15)

Na ausncia de trocas de calor, mquinas e perdas 0Q =

, 0CW =

, u1= u2 eainda fluido incompressvel ( 1 2 = ),

2 21 1 2 2

1 2 02 2

V p V pm gz m gz

+ + + + =

(16)

Simplificando:

2 21 1 2 2

1 2 0

2 2

V p V pgz gz

+ + + + =

(17)

Dividindo pela acelerao da gravidade:

2 21 1 2 2

1 2 02 2

V p V pz z

g g

+ + + + =

(18)

A equao Eq.18 conhecida como Equao de Bernoulli.

Muitos livros texto adotam a nomenclatura carga (H):

2

2

V pH z

g

= + +

(19)

Deste modo, a equao de Bernoulli pode ser escrita da seguinte forma:

1 2H H= (20)

A dimenso da carga, em uma base MLT L, no Sistema Internacional aunidade de carga o metro. Evidentemente metro no uma unidade de energia e

aparece na equao (da energia) devido s manipulaes propostas. (Faa uma anlisedimensional dos termos!)


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Sobre as parcelas componentes da energia

U energia interna: representa a energia que as molculas da substncia possuem em

nvel microscpico. Est associada condio termodinmica, ou seja, pode serdeterminada atravs de um par de propriedades termodinmicas independentes, tal qual,o par de propriedades presso e temperatura.

Ecin energia cintica: a energia resultante do movimento macroscpico.

Epot energia potencial: a energia devido exposio a um campo gravitacional.

Energia especfica

A energia especfica obtida atravs da diviso da energia pela massa.

Energia interna especfica:U

um

=

Energia cintica especfica:2 20,5

2cin

cin

E mV Ve

m m= = =

Energia potencial especfica:

pot

pot

E mgze gz

m m= = =


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Mquinas / Perdas

Voltando equao Eq.15 e supondo que a nica forma de trabalho (para umdeterminado escoamento) seja o trabalho executado por um eixo rotativo (mquina) erearranjando os termos convenientemente (aps a diviso da equao pela vazo em

massa e gravidade - 1 2m g m g mg= = - lembrando da hiptese de regime permanente):

2 21 1 2 2 2 1

1 22 2E

V p W V p u uQz z

g mg g mg g

+ + = + + +

(21)

O termo 2 1u uQ

mg g

+

, relacionado a converso indesejada de formas teis

de energia (como energia cintica e potencial) em formas no utilizveis que energia(energia interna e calor). um termo que os livros texto costumam designar como perda

de carga ( )pH .

O termo EW

mg

, como mencionado, relativo presena de mquinas no

escoamento e, em geral, apresentado genericamente comoB

H ouT

H , que so

conhecidos respectivamente como, carga da bomba e carga da turbina (ou cargamanomtrica da bomba e carga manomtrica da turbina).

As mquinas servem para adicionar energia ou retirar energia ao fluido. Para osfluidos incompressveis, em geral, a denominao das mquinas segue a nomenclaturabomba e turbina, sendo a bomba, uma mquina que fornece energia ao fluido e a

turbina, uma mquina que retira energia do fluido. Existem, entretanto, muitos tipos demquinas. Bombas de diferentes tipos de construo (centrfuga, axial, de pisto, dediafragma), ventiladores, compressores, turbinas (hidrulicas tipo pelton, kaplan,francis e a gs), etc.

Todas as mquinas tm rendimento, ou seja, nem toda a energia fornecida a elasatravs de um motor, como no caso de uma bomba, por exemplo, completamenteaproveitada ou, nem toda energia retirada de um fluido por uma turbina, pode serconvertida em energia eltrica. Devido construo mecnica, h perdas, provenientesda prpria geometria da mquina, de atritos internos e a forma de transferncia deenergia. Esquematicamente:


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Conforme mencionado:

E BN W m g H= = e

E TN W m g H= = (22) e (23)

Sendo N, a potncia fornecida ao fluido pela bomba, ou retirada do fluido pelaturbina. A potncia da mquina deve levar em conta o rendimento:

B

B

N

N = , poisNB>N e (24)

TT

N

N = , poisN>NT (25)

Sabendo que NB a potncia do motor da bomba ou potncia da bomba (ouainda a potncia no eixo da bomba) eNT a potncia da turbina (ou potncia no eixo da

turbina). mais comum substituir a vazo em massa pela vazo em volume nasequaes, lembrando que:

m Q= (26)

Combinando as equaes Eq.26, Eq.24 e Eq.22:

BB

B

Q HN

= (27)

Combinando as equaes Eq.26, Eq.25 e Eq.23:


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T T TN Q H = (28)

A equao da conservao da energia pode ser escrita da seguinte forma:

1 2 1,2B pH H H H+ = + (29)

1 2 1,2T pH H H H = + (30)

Desde que vlidas as seguintes hipteses simplificadoras:

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equacao da conservacao da energia

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