Energia Cintica e Trabalho

Contedo- Energia

- Trabalho feito por uma fora constante- Trabalho e o produto escalar- Trabalho feito por uma fora varivel- Trabalho feito por uma mola- Teorema do trabalho e da energia cintica- Teorema do trabalho e da energia cintica- Potncia- Energia potencial e Conservao da Energia- Energia potencial Gravitacional- Conservao da Energia: O Sistema Isolado- Foras Conservativas- Foras No Conservativas- Foras conservativas e Energia Potencial

Energia Cintica e Trabalho

Energia

- Toda energia presente no universo constante.

- Energia no pode ser criada nem destruda, sempre se transforma. - Todo processo fsico envolve energia e transformaes de energia.- O conceito de energia pode ser aplicada dinmica de um sistema mecnico,

especialmente til para fora variveis.especialmente til para fora variveis.

Energia Cintica (K) a energia associada ao estado de movimento de um objeto e expresso por:

221 mvK =

No sistema internacional (SI), a unidade de energia expressa em joule (J)

1 joule = 1J = kg . m2/s201

Trabalho feito por uma fora constante

cosrFW =

== 0 rFW

O trabalho (W) realizado por uma fora constante sobre um sistema o produto dacomponente da fora na direo do deslocamento ( ) pelo mdulo dodeslocamento.

rFW = )cos(

cosF

Se,

==

====

090180

0

WrFW

rFW

O trabalho uma grandeza escalar, definido pelo produto escalar entre a fora e odeslocamento.

rFWrr =

02

Trabalho e o produto escalar

O produto escalar entre dois vetores quaisquer A e B uma grandeza escalar igual ao produto dos mdulos de A e B e o cosseno do ngulo entre eles.

cosABBA =rr

Note que, , equivalente a definio anterior.cosrFrFW == rr

==

==

==

090180

0

BA

ABBA

ABBA

rr

rr

rr

1 === kkjjii

0 === kikjji == 090 BArr

0 === kikjji

Dados e :kAjAiAA zyx ++=r

kBjBiBB zyx ++=r

zzyyxx BABABABA ++=rr

de modo que e :kFjFiFF zyx ++=r

kzjyixr ++=r

zFyFxFrFW zyx ++==rr

03

Trabalho feito por uma fora varivel

Seja uma partcula que desloca ao longo do eixo x sobao de uma fora de intensidade Fx. Dividindo-se odeslocamento xf - xi em pequenos intervalos x , a foraFx pode ser considerada constante no intervalo x, talque o trabalho

xFW xi =O trabalho total no deslocamento xf - xi

xFW x

x f

= xFW xxi

=

=

f

i

f

i

x

x

xx

x

x

dxFxFx

W lim0

=f

i

x

x

xdxFW

Fazendo x tender a zero:

04

Exerccio 1: Clculo do trabalho total a partir do grfico Fora x deslocamentoUma fora agindo sobre uma partcula varia com x como est mostrado na figura.Calcule o trabalho feito pela fora sobre a partcula quando ela se desloca de x = 0 at x= 6,0 m.

05

Trabalho feito por uma mola

x

x

x = 0

x positivoF negativo

x = 0F = 0

xkF =

Ao esticar ou comprimir umamola por uma pequena distncia xda sua posio de equilbrio, a molaexercer uma fora

onde k constante elstica da mola.

x

x

x = 0

x = 0

x negativoF positivo

==f

i

f

i

x

x

x

xdxkxFdxW )(

( )2221 fi xxkW =06

Exerccio 2: Trabalho necessrio para esticar uma molaUma extremidade de uma mola horizontal de constante elstica k = 80 N/cm mantidafixa enquanto uma fora externa aplicada extremidade livre, esticando-a lentamentede xA = 0 at xB = 4,0 cm. (a) Encontre o trabalho feito pela fora externa sobre a mola.(b) Encontre o trabalho adicional feito ao se esticar a mola de xB = 4,0 cm at xC = 7,0cm.

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Teorema do trabalho e da energia cintica

Se vrias foras agem sobre uma partcula, o trabalho total realizado a somaescalar do trabalho feito por cada fora, que equivalente ao trabalho feito pelafora resultante.

=f

i

x

xxR dxFW

=f

i

x

xR dxmaW )(

Da segunda lei de Newton:

=f

i

x

xdx

dtdv

m =f

i

x

xdv

dtdx

m =f

i

v

vdvmv

321321if K

i

K

f mvmv2

212

21

=

if KK

KKKW ifR ==

Quando um trabalho feito sobre um sistema e a nica mudana a sua velocidadeescalar, o trabalho realizado pela fora resultante igual a variao da energia cinticado sistema.

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Exerccio 3: Um bloco puxado sobre uma superfcie speraUm bloco de massa 6,00 kg inicialmente em repouso puxado para a direita por umafora horizontal constante com mdulo igual a 12 N. O coeficiente de atrito cinticoentre o bloco e a superfcie 0,150. Encontre a velocidade escalar do bloco aps ele terdeslocado 3,00 m.

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Potncia

a taxa temporal da transferncia de energia.Potncia mdia

t

WP

=

razo entre o trabalho (W) da fora externa aplicada a um corpo pelo intervalo detempo (t).

Potncia instantnea

Unidades de potncia

=

t

W

tP lim

0 dtdW

=

dtrdF

dtrdFP

rrrr

=

=

vFPrr

=

dtdEP =ou

SI: Watt (W)1 W = 1 J/s = 1 kg . m2/s3

Sistema ingls: cavalo-vapor (HP)1 HP = 500 ft . lb/s = 746 W

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1 kWh = (103 W)(3600 s) = = 3,6 x 106 J

Exemplo: Energia eltrica consumida em uma casa

O clculo da energia consumida feito multiplicando-se a potncia eltrica dissipada pelo tempo.

A unidade de energia eltrica descrita nas contas de energia de uma casa o quilowatt-hora (kWh), ou seja,

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Exerccio:Suponha que chegou a sua conta de luz indicando um consumo ativo de

311 kWh a um custo de R$ 0,60 por kWh e uma taxa de iluminao pblica deR$ 12,56. Qual o valor da conta de luz?

Resposta: R$ 199,16

Exerccio 4: Potncia fornecida por um motor de elevadorUm elevador de 1000 kg leva uma carga mxima de 800 kg. Uma fora de atritoconstante de 4000 N retarda o seu movimento para cima. (a) Qual a potncia mnimafornecida pelo motor para o elevador subir com velocidade constante de 3 m/s? (b) Quala potncia o motor tem que fornecer em qualquer instante se ele foi projetado parafornecer uma acelerao para cima de 1,00 m/s2?

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Energia Potencial e Conservao da EnergiaConsidere um sistema definido por um conjunto de corpos queexercem foras uns sobre os outros:

A energia potencial U est associada com a posio dessescorpos (arranjo).

Se a posio de um ou mais corpo mudar, a energia potencialassociada ao arranjo poder mudar.associada ao arranjo poder mudar.

A energia potencial representa a capacidade de realizartrabalho sobre o sistema.

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Energia Potencial Gravitacional O trabalho da fora peso para erguer

lentamente o livro

Como v constante, a energia cinticapermanece inalterada.

A energia potencial gravitacional armazena-da na altura y = yb ya

rgmWrr = )( ab yymg =

da na altura y = yb ya

A variao da energia potencialgravitacional

O trabalho realizado ao levantar representa ooposto da variao da energia potencial.

O sistema da figura constitudo pelolivro e a Terra interagindo atravs dafora gravitacional. O livro levan-tado velocidade constante de ya atyb.

ygmU =

UW =

)( ab yygmU =

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KW =

Ao soltar o livro do repouso da altura yb at a altura ya ,o trabalho da fora peso

Conservao de Energia: O Sistema Isolado

rgmWrr = )( ba yymg =

Pelo teorema trabalho e energia cintica

ymg=

)( ymg =y

U=

UK =

0=+ UK

0)()( =+ ifif UUKK

constante+=+ iiff UKUK

UKEmec +=

Para um sistema isolado (que no h transferncia de energia com avizinhana) a energia total (definida como energia mecnica) se conserva.

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Exerccio 5: Bola em queda livreSolta-se do repouso uma bola de massa m de uma altura h acima do solo. (a) Determinea velocidade escalar da bola quando ela est a uma altura y acima do solo. (b)Determine a velocidade escalar da bola a uma altura y se for fornecida uma velocidadeinicial vi na altura h.

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Foras ConservativasEm um sistema isolado, ou seja, que no h transferncia de energiacom a sua vizinhana, a energia mecnica conservada.

A fora gravitacional, a fora elstica que obedece a lei de Hookeso um exemplos de foras conservativas.

O trabalho feito por uma fora conservativa no depende datrajetria dos membros do sistema, depende apenas datrajetria dos membros do sistema, depende apenas daconfiguraes (posies) inicial e final do sistema

O trabalho feito por uma fora conservativa quando um membro dosistema movimenta-se por uma trajetria fechada igual a zero.

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Foras no Conservativas A conservao da energia mecnica violada na presena de foras no

conservativas (sistema no conservativo). A fora de atrito dissipa a energia mecnica, ou seja, transforma a

energia mecnica em outras formas de energia.

Em um sistema no conservativo, a energia total soma da energiamecnica convertida em trabalho com a energia dissipada convertidaem outras forma de energia (calor, energia sonora, etc ... ).em outras forma de energia (calor, energia sonora, etc ... ).

O trabalho realizado pelas foras dissipativas sempre negativo. A diminuio da energia mecnica representado pela energia

dissipada.

outrasmectotal EEE += dissipadaWUK ++=

outrasmec EE =

dissipadamec WE =

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Exerccio 6: Caixa deslizando sobre uma rampaUma caixa de 3,00 kg desliza sobre uma rampa abaixo em um galpo de carga. A rampatem 1,00 m de comprimento, e est inclinada a um ngulo de 30 com a horizontal. Acaixa comea a deslizar do repouso no topo e sofre a ao de uma fora de atritoconstante de intensidade de 5,00 N. Utilize mtodos de energia para determinar avelocidade escalar quando a atinge a base da rampa.

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Foras Conservativas e Energia PotencialA partir da definio de trabalho, uma fora dita conservativa pode serexpressa a partir de funo potencial.

=f

i

x

xxdxFW U= )( if UU = if UU +=

ix

xxf UdxFU

f

i

+=

Assim, a funo energia potencial pode ser escrita como

O valor Ui arbitrrio que freqentemente considerado zero.Para encontrara a expresso da fora a partir da funo potencial,

consideremos o trabalho dW feito por um fora conservativa em umdeslocamento infinitesimal idxrd =r

rdFdW rr

= idxF =r dxFx= dU=

dxdUFx =

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Exerccio 7:Uma nica conservativa agindo sobre a partcula varia como F = (-Ax + Bx2)i N, emque A e B so constantes e x dado em metros. (a) Calcule a funo energia potencialU(x) associada com essa fora, considerando U(x) = 0 em x = 0. (b) Encontre amudana na energia potencial do sistema e a mudana na energia cintica quando elavai de x = 2 m at x = 3 m.

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