Por que uma grande avalanche pode atingir uma

distancia quase 30 vezes maior que uma pequena

avalanche?

Prof. Oscar

Conservação da Energia

Capitulo 8

ENERGIA POTENCIAL

• Energia Potencial Gravitacional

• Energia Potencial Elástica

Trabalho e Energia Potencial

Trabalho e Energia Potencial

• Tanto na subida quanto na descida, a variação daenergia potencial gravitacional é definida como sendoigual a menos o trabalho realizado pela forçagravitacional sobre o tomate.

WU

hgmU ..

Forças Conservativas e Forças Não-Conservativas

Elementos fundamentais das duas situações que acabamos de discutir:

1. O sistema é composto por dois ou mais objetos.

2. Uma força atua entre uma partícula no sistema e o restodo sistema.

3. Quando se modifica a configuração do sistema, a forçarealiza trabalho (que chamaremos de ) sobre a partícula,transferindo energia cinética K do objeto para algumaoutra forma de energia do sistema.

4. Quando a mudança de configurações se inverte, a forçainverte o sentido de transferência de energia, realizandotrabalho no processo.

Forças Conservativas e Forças Não-Conservativas

• Entre uma situação na qual é sempreverdade, a outra forma de energia é uma energiapotencial, e diz-se que a força é conservativa.

21 WW

• Quando apenas forças conservativas atuar sobre

um objeto que pode ser considerado uma partícula,

podemos simplificar substancialmente problemas

envolvendo o movimento de objeto, que de outra

forma serial de difícil solução.

Independência do Percurso para Forças Conservativas

• O trabalho resultante realizado por uma forçaconservativa sobre uma partícula que se move ao longode qualquer percurso fechado é igual a zero.

• Um exemplo é o tomate arremessado da Fig. O tomatedeixa o ponto de lançamento com velocidade v0 e energiacinética. A força gravitacional que age sobre o tomatereduz sua velocidade, faz que ele pare e depois faz comque ele caia de volta ao ponto de lançamento. Quando otomate retorna ao ponto de lançamento, ele possuinovamente velocidade v0 e energia .

Independência do Percurso para Forças Conservativas

Um resultado importante deste teste de circuito fechado éque:

• O trabalho realizado por uma força conservativa sobreuma partícula em movimento entre dois pontosindepende de percurso seguido pela partícula.

21 abab WW

Independência do Percurso para Forças Conservativas

O trabalho para levar o corpo de a para b, não depende da trajetória.

Função Energia Potencial:

Uma vez que o trabalho realizado por uma força conservativasobre uma partícula não depende da trajetória, ele pode

depender apenas dos pontos extremos i e f. Pode-se utilizaressa propriedade para definir a função energia potencial Uassociada a uma força conservativa.

f

res

i

W F ds U para um deslocamento infinitesimal, tem-se:

sdFdU

No caso da força gravitacional 0UmgymgdyU

Onde U0 é uma constante de integração arbitrária. É o valor da energiapotencial em y=0.

Energia Potencial

• Portanto podemos ver que a energia potencial gravitacional depende apenas da posição vertical h (altura) da partícula em relação à posição de referencia h=0, e não da posição horizontal.

. .pU E mgy m g h

Energia Potencial Elástica

Outro exemplo de força conservativa é o de uma mola alongada ou comprimida(força elástica). Seguindo o mesmo raciocínio da energia potencial gravitacional,temos:

dxkxdxFsdFdU x )(

0

2

2

1UkxkxdxU

21

2e peU E kx

Exemplo 1:1. Uma preguiça de 2kg está

pendurada a 5m acima do

solo. a) Qual é a energia

potencial gravitacional U do

sistema preguiça-Terra se

tomarmos o ponto de

referência h=0 como

estando (1) no solo, (2) no

piso de uma varanda que

esta a 3m do solo, (3) no

galho onde está a preguiça e

(4) 1m acima do galho?

Considere a energia

potencial como sendo nula

em h=0)

Energia Potencial e Equilíbrio

Para uma força conservativa genérica unidimensional

dx

dUFx

No caso de um sistema massa-mola, encontramos:

kxkxdx

d

dx

dUFx

2

2

1

Trabalho realizado por força de atrito

xx,res maF

mafF c

advv 22

0

2 2

0

2

2

1vv

da

Se as forças são constantes a aceleração também é constante.

2

0

2

2

1vv

dmfF c 2

0

2

2

1

2

1mvmvdfFd c

dfEFd c

KE

Considere um bloco de massa m escorregando num piso horizontal e sujeito a

uma força de atrito cinético constante e uma força constante F.

Quando o bloco se move há aumento de temperatura e esta por sua vez está

relacionada à energia térmica Et,, associada ao movimento aleatório dos

átomos e moléculas do objeto.

fct WdfE

O que significa fcd?

tEEW

Trabalho realizado por força de atrito

Wf=trabalho da força de atrito

O produto –fd, onde f é a força de atrito cinético, é igual à variação ΔE de

energia mecânica do sistema.

Trabalho realizado por força de atrito

Se não existir força externa:

externa força de ausência na Térmica Enegia

UKEEt

Trabalho realizado por uma força externa sobre o sistema

Exemplo: Um operário empurra um engradado de repolhos ( massa total

m=14kg) sobre um piso de concreto com uma força horizontal constante F

de módulo 40N. Em um deslocamento retilíneo de módulo d = 0,50m, a

velocidade do engradado diminui de v0 = 0,6m/s para v = 0,2m/s.

a) Qual foi o trabalho realizado pela força F e sobre que sistema esse trabalho

foi realizado?

b) Qual é o aumento ΔEt da energia térmica do engradado e do piso?

Tipos de Equilíbrio

Equilíbrio Estático: uma partícula está em equilíbrio estático se aforça resultante atuante sobre ela é nula.

Equilíbrio Estável: Na condição de equilíbrio estável, umpequeno deslocamento em qualquer sentido tem comoconseqüência uma força restauradora que acelera a partícula nosentido de um retorno à sua posição de equilíbrio.

Equilíbrio Instável: Um pequeno deslocamento tem comoconseqüência uma força que acelera a partícula, afastando-a desua posição de equilíbrio.

Equilíbrio neutro (indiferente): A força resultante é nula paraqualquer pequeno deslocamento.

2. Na região –a<x<a a força atuante sobre uma partícula

é representada pela função energia potencial

Exemplo 2

xaxabU

11

Onde a e b são constantes positivas. (a) Determine a força Fx

na região

–a<x<a, (b) Para que valor de (x) a força é nula?

Conservação da Energia Mecânica

• A energia mecânica de um sistema é a soma daenergia potencial U com a energia cinética K dosobjetos que compõem o sistema:

UKEmec

Cinética Potencial

Conservação da Energia Mecânica

• Em um sistema isolado, onde apenas forças conservativas causam variações de energia, a energia cinética e a energia potencial podem variar, mas a sua soma, a energia mecânica do sistema não pode variar.

0mecE

ci pi cf pfE E E E

Conservação da Energia Mecânica

• No passado costumavam-se aarremessar as pessoas para oalto, usando um cobertor paraque pudessem enxergar maislonge. Hoje em dia isto é feitoapenas por diversão. Durante asubida da pessoa que aparece nafotografia a energia é transferidade cinética para potencial, nadescida ocorre o inverso.

Exemplo 3Um carrinho de montanha russa sem atrito chega ao alto

da primeira rampa da figura a seguir com velocidade v0.

a) Qual a sua velocidade no ponto A ?

b) Qual a sua velocidade no ponto B ?

c) Qual a sua velocidade no ponto C ?

d) A que altura chegará à última rampa, que é alta demais

para ser ultrapassada?

Exemplo 4

5. Um projétil de massa 2,40kg é disparado para cima, do

alto de uma colina de 125m de altura, com uma velocidade

de 150m/s e numa direção que faz 410 com a horizontal.

a) Qual a energia cinética do projétil no momento em que

é disparado?

b) Qual a energia potencial do projétil no mesmo

momento? Suponha que a energia potencial gravitacional é

nula na base da colina ( y=0 ) .

c) Determine a velocidade do projétil no momento em que

atinge o solo. Supondo que a resistência do ar possa ser

ignorada, as respostas acima dependem da

massa do projétil?

6. Um ciclista que está viajando a 10m/s em uma estrada

horizontal pára de pedalar quando começa a subir uma

ladeira inclinada de 300 com a horizontal. Ignorando as

força de atrito, qual é a distância na ladeira que ela

percorre antes de parar?

Exemplo 6

Exemplo 715. Na Fig. um bloco desliza ao longo de uma pista indo de um certo

nível para um nível mais elevado, atravessando um vale intermediário.

A pista possui atrito desprezível até que o bloco atinja o nível mais

alto. Daí por diante, uma força de atrito faz com que o bloco pare em

uma distancia d. Ache d sabendo que a velocidade inicial do bloco é

igual a 6m/s e a diferença de altura é de 1,1m e o coeficiente de atrito

0,6.

Exemplo 8

8. Um carro de

montanha-russa com

massa de 1500kg parte de

uma altura de 23m acima

da base de um looping de

15m de diâmetro. Se o

atrito é desprezível, Qual

a força para baixo do

trilho no carro quando ele

está no topo de looping?

Exemplo 9

9. Um esquiador de 60kg parte do repouso de uma altura H=20m

acima da extremidade de uma rampa para saltos de esqui, e deixa a

rampa fazendo um ângulo de 280 com a horizontal. Despreze os

efeitos da resistência do ar e suponha que a rampa não tenha atrito.

a) Qual é a altura máxima h do salto em relação a extremidade da

rampa? b) se o esquiador aumentasse sua massa colocando uma

mochila nas costas, h seria maior, menor ou igual

Exemplo 10

10. Tarzan, que pesa 688N, salta deum penhasco pendurado naextremidade de um cipó com18m de comprimento. Do alto dopenhasco até o ponto mais baixode sua trajetória ele desce 3,2m.O cipó se romperá se a forçaexercida sobre ele for maior que950N. a) O cipó se rompe? Se aresposta for negativa, qual é amaior força que é submetida ocipó? Se a resposta for afirmativaqual é o ângulo que o cipó estáfazendo com a vertical nomomento em que se rompe?

Deixa-se cair um bloco de

2kg de uma altura de 40cm

sobre uma mola cuja

constante é k = 1960N/m.

Determine a compressão

máxima da mola.

Exemplo 11

Na fig. Um bloco desliza em uma pista sem atrito até chegar a um

trecho de comprimento L=0,75cm, que começa a uma altura de

2m em uma rampa com inclinação de 300. Nesse trecho o

coeficiente de atrito é 0,4. O bloco passa pelo ponto A com

velocidade de 8m/s. Se o bloco pode chegar ao ponto B (onde

o atrito acaba), qual é sua velocidade nesse ponto e, se não

pode, qual é a maior altura que atinge acima de A?

Exemplo 12