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Introdução ao Cálculo Diferencial

(med-unicamp-segundo ano)

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www.gdenucci.com

Aplicação Financeira

Investimento de R$ 1.000,00 (mil reais) a taxa de juros de 10% ao ano.

Quanto vc receberia no final de um ano?

Mil e cem reais (mil reais seria o capital

aplicado e cem reais corresponderiam a

taxa de juros de 10%

(1.000,00 x 0.1 = 100,00).

R$ 1.100,00R$ 1.100,00

Investimento de R$ 1.000,00 (mil reais) a taxa de juros de 10% ao ano.

Quanto vc receberia no final de dez anos?

Dois mil reais (mil reais seria o capital

aplicado e mil reais corresponderiam a taxa

de juros de 10% ao ano (cem reais)

multiplicado pelo número de anos

(10 anos) = 100,00 x 10 = 1.000,00

R$ 2.000,00R$ 2.000,00

Final do tempo Capital Juros Total

Primeiro ano 1.000,00 100,00 1.100,00

Segundo ano 1.100,00 110,00 1.210,00

Terceiro ano 1.210,00 121,00 1.331,00

Quarto ano 1.331,00 133,10 1.464,10

Entretanto, isto não seria justo, pois ao final de um ano vc teria R$ 1.100,00 e não apenas R$ 1.000,00. Assim sendo, o juro composto seria:

Final do tempo Capital Juros Total

Quinto ano 1.464,10 146,41 1.610,51

Sexto ano 1.610,51 161,05 1.771,56

Sétimo ano 1.771,56 177,16 1.948,72

Oitavo ano 1.948,72 194,87 2.143,59

Nono ano 2.143,59 214,36 2.357,95

Décimo ano 2.357,95 235,80 2.593,75

Bem diferente dos R$ 2.000,00 calculados anteriormente.

( )( )yn = y0 1 +yn = y0 1 + 1n1n

xx

yn = capital finaly0 = capital original1nx = número de anos

yn = capital finaly0 = capital original1nx = número de anos

= fração adicionada= fração adicionada

( )( )yn = 1000 1 +yn = 1000 1 + 1 10 1 10

1010

yn = 2.593,75 yn = 2.593,75

O número e

1+ 1n

( )n

1+ 12( )

2

=

1+ 15( )

5

=

1+ 1 10( )

10

=

1+ 120( )

20

=

2.25

2.489

2.594

2.653

1+ 1 100( )

100

= 2.705

2.7169

2.7181

1+ 1 1000( )

1000

=

1+ 1 10,000( )

10,000

=

1+ 1n( )

n

( )( )e = 1 + = 2.7181….e = 1 + = 2.7181….1n1n

nn

(a + b)n = an + n + n (n - 1) (a + b)n = an + n + n (n - 1)

a b1!

a b1!

n-1 a b2!

a b2!

n-2 2

+ n (n - 1) (n - 2) + ….+ n (n - 1) (n - 2) + ….a b3!

a b3!

n-3 3n-3 3

Binômio de Newton

Considerando a = 1 e b = temos,1n1n

( )( )( )( )1 +1 + 1n1n

nn= (1 + 1) += (1 + 1) + 1

2! 1 2!

n-1n

1 3! 1 3!++

(n-1)(n-2)(n-1)(n-2)n2n2

1 4! 1 4!++

(n-1)(n-2)(n-3)(n-1)(n-2)(n-3)n3n3 + ...+ ...

1 2! 1 2!

e = 1 + 1 +e = 1 + 1 +

1 3! 1 3!++ 1

4! 1 4!

+

+

+…. +….

1.000000Dividindo porDividindo por

1! 1.0000002! 0.5000003! 0.1666674! 0.0416675! 0.0083336! 0.0013897! 0.0001988! 0.0000259! 0.000003

Total 2.718282

1.000000Dividindo porDividindo por

1! 1.0000002! 0.5000003! 0.1666674! 0.0416675! 0.0083336! 0.0013897! 0.0001988! 0.0000259! 0.000003

Total 2.718282

Função y = e xFunção y = e x

0.00.0 2.52.5 5.05.0 7.57.50.00.0

500500

10001000

15001500

yy

xx

Função y = e -xFunção y = e -x

00 11 22 33 44 55 66 77 880.00.0

0.50.5

1.01.0

1.51.5

x

yy

Quadrado de lado xxx

xx

xx

xx

dxdx dxdx

dxdx

dxdx

xx

xx

x2x2

(dx)2(dx)2

x . dxx . dx

x . dxx . dx

y + dy = (x + dx)2

y + dy = x2 + 2x.dx + dx2

y + dy = x2 + 2x.dx

x2 + dy = x2 + 2x.dx

dy = 2x.dx

y + dy = (x + dx)2

y + dy = x2 + 2x.dx + dx2

y + dy = x2 + 2x.dx

x2 + dy = x2 + 2x.dx

dy = 2x.dx

Calcular a derivada da função y = x2

dydx = ?

dydxdydx = 2x= 2x

x2

2! x2

2!ex = 1 + x +ex = 1 + x + ++

+

+

+…. +….

x3

3! x3

3! x4

4! x4

4!

Série exponencial

2x1 . 22x

1 . 2= 0 + 1 += 0 + 1 + ++ 3x2

1 . 2 . 33x2

1 . 2 . 3

x2

1 . 2x2

1 . 2= 1 + x += 1 + x + ++ x3

1 . 2 . 3x3

1 . 2 . 3

d(ex)dx

d(ex)dx

d(ex)dx

d(ex)dx

d(ex)dx

d(ex)dx

+…. +….

+…. +….

x2

2! x2

2! = 1 + x + = 1 + x + +++…. +….

x3

3! x3

3!

d(ex)dx

d(ex)dx

x2

2! x2

2! = 1 + x + = 1 + x + +++…. +….

x3

3! x3

3!

x2

2! x2

2!ex = 1 + x +ex = 1 + x + ++

+

+

+…. +….

x3

3! x3

3! x4

4! x4

4!