doc matematica _250829635
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Ensino Superior
Matemática Básica
Unidade 8 – Função Logarítmica
Amintas Paiva Afonso
LogaritmosLogaritmos
xab logBase do logaritmoBase do logaritmo
LogaritmandoLogaritmando LogaritmoLogaritmo
0a 01 bCondição de ExistênciaCondição de Existência
xab log ab x
LogaritmosLogaritmos
xab logBase do logaritmoBase do logaritmo
LogaritmandoLogaritmando LogaritmoLogaritmo
LogaritmosLogaritmos
x8log2 82 x3x
8log2
38log2
xab logBase do logaritmoBase do logaritmo
LogaritmandoLogaritmando LogaritmoLogaritmo
LogaritmosLogaritmos
Consequência da definiçãoConsequência da definição
01log1 bP
1log2 bP b
nbP nb log3
cacaP bb loglog4
abP ab log5
LogaritmosLogaritmos
Propriedades OperátóriasPropriedades Operátórias
babaP ccc logloglog1
bab
aP ccc logloglog2
anaP bn
b loglog3
LogaritmosLogaritmos
Mudança de BaseMudança de Base
b
aa
c
cb log
loglog
bab
aa cc
c
cb loglog
log
loglog
LogaritmosLogaritmos
(UDESC 2006-1) Se , e , (UDESC 2006-1) Se , e , pode-se afirmar que:pode-se afirmar que:
3log ba 4log ca xc
ba log
xc
ba log cb
c
baaa logloglog
43log c
ba
1log c
ba
c
ba 1
b
ca
LogaritmosLogaritmos
(UDESC 2007-2) A expressão que representa a (UDESC 2007-2) A expressão que representa a solução da equação 11solução da equação 11xx – 130 = 0 é: – 130 = 0 é:
13011x log
11130x log
130
11
logx
130
11x log
11 130x log
a)
b)
c)
d)
e)
b
clog a c b a 11 130x
130
11
a
b
c x
11130log x
11130x log
Função LogarítmicaFunção Logarítmica
DefiniçãoDefinição
RRf *: xxf blog
*RDomínioDomínio
Rf Im
ImagemImagem R
*RfD
Função LogarítmicaFunção Logarítmica
Representação GráficaRepresentação Gráfica
xxf 2log
1 x
y
1
2
1
2
1
0
Função LogarítmicaFunção Logarítmica
xxg2
1log
1
2x
y
1
1
0
Representação GráficaRepresentação Gráfica
Função LogarítmicaFunção Logarítmica
xxg2
1log
12
x
y
1
1
1 x
y
1
2
1
2
1
0 0
xxf 2log
1bCrescente
10 beDecrescent
Representação GráficaRepresentação Gráfica
Função ExponencialFunção Exponencial
x
y
1
y = ax
a > 1
y = ax
0 < a 1
Ex:
y = 2 x
Ex:
y = (1/2 )x
Função LogarítmicaFunção Logarítmica
x
y
1
y = loga x
a > 1
y = loga x
0 < a 1
y = log2 x
y = log1/2 x
Função InversaFunção Inversa
x
y
1
y = loga x
y = ax
y = x
f(x) = ax
f -1(x) = loga x
a > 1
Crescente 1
Função InversaFunção Inversa
x
y
1
y = loga x
y = ax
y = x
1
f(x) = ax
f -1(x) = loga x
0 < a 1
Decrescente
ExercícioExercício
(UDESC 2007-2) A expressão que representa a (UDESC 2007-2) A expressão que representa a inversa da função inversa da função
31f x log x é:é:
1 3 1xf x
1 3 1xf x
1 3 1f x x
1 3 1x
f x
1
1 3x
f x log
a)
b)
c)
d)
e)
3
1y log x
3 1
3 1
3 1
y
x
x
x
y
y
1 3 1xf x
Equação LogarítmicaEquação Logarítmica
xgxfxgxf bb loglog
53log2 x
325 xx332
35x
03 x3x
35 S
Equação LogarítmicaEquação Logarítmica
xgxfxgxf bb loglog
295log 1 xx
951 2 xx
95122 xxx
095 x5
9 x
01x 1 x
11x 2 x
01072 xx21 x 51 x
5S
Equação LogarítmicaEquação Logarítmica
xgxfxgxf bb loglog
8log4log3log 555 xx
03 x 3 x
04 x 4 x
41 x
3 x
4S
8log43log 55 xx
8122 xx0202 xx 52 x
0202 xx
ExercícioExercício
(UDESC 2006-2) O valor de x que torna a expressão(UDESC 2006-2) O valor de x que torna a expressão
25log 2
4
1 x
22
54
1
x
05 x9x
verdadeira é:verdadeira é:
25log 2
4
1 x
251016 2 xx
9102 xx
11 x 92 x5x
C.EC.E
ExercícioExercício
(UDESC 2006-1) Se , então o valor de (UDESC 2006-1) Se , então o valor de x é:x é: 3
52loglog 88 xx
23
5
28 x
3
52loglog 88 xx
3
52log8 xx
23
53 22 x
25 22 x
216 x
2232 x
4x
0xC.EC.E
4x
Inequação LogarítmicaInequação Logarítmica
xgxf bb loglog
1b xgxf
10 b xgxf
5log3log 22 x
53 x8x
03 xC.EC.E
3x 3/ xRxS
,3S
Inequação LogarítmicaInequação Logarítmica
xgxf bb loglog
1b xgxf
10 b xgxf
2log82log3
2
3
2 xx
282 xx6x
082 xC.EC.E
4x02 x
2x
I II
4 xIII
Inequação LogarítmicaInequação Logarítmica
34log3log 22 xx
8122 xx
322 2log43log xx
322 2log43log xx
0202 xx
51 x42 x
x5 – – – – – –– – – – – –
+ + ++ + +
4
+ + ++ + +
45 x
Inequação LogarítmicaInequação Logarítmica
34log3log 22 xx
x5 – – – – – –– – – – – –
+ + ++ + +
4
+ + ++ + +
45 x
03 xC.EC.E
3x04 x
4x
3 x
43/ xRxS
0202 xx
InversaInversa
Funções inversas
De modo análogo, de todas as possíveis bases “a” para o logaritmo, veremos que a
escolha mais conveniente é a “e”.
A função logarítmica y = logax é a inversa da função y = ax. Seu gráfico é a reflexão de y
= ax com relação a reta y = x.
Enquanto y = ax é uma função que cresce muito rapidamente, y = logax é uma função de
crescimento muito lento.
ExemploExemplo
Uma aplicação da função logarítmica
A escala Richter é uma escala logarítmica de medição da
energia liberada pelos terremotos sob a forma de ondas
que se propagam pela crosta terrestre. Nela é usado o
logaritmo decimal;
Os valores desta escala são chamados de magnitudes;
Durante um terremoto um sismógrafo registra essa
magnitude durante um certo intervalo de tempo;
ExemploExemplo
Essa magnitude pode ser calculada a partir da seguinte equação:
Onde:
Ms: magnitude na escala Richter;
A: amplitude do movimento da onda (registrada em micrômetros);
f: freqüência da onda (medida em hertz).
30,3).(log10 fAM s
ExemploExemplo
Suponha que para um certo terremoto foi registrada a amplitude
A = 1000 m e uma freqüência de 0,1 Hz. A magnitude desse terremoto é:
Para se ter uma idéia, uma magnitude de 9 graus provocaria a destruição total das construções de uma grande cidade.
Como a escala é de base 10, um tremor de magnitude 8 seria 10 vezes menor em relação à magnitude de intensidade 9. Ou seja, a cada grau a menos, a energia liberada diminui 10 vezes.
O valor acima é considerado moderado.
33,5
30,32
30,3100log
30,3)1,0.1000(log
30,3).(log
10
10
10
s
s
s
s
s
M
M
M
M
fAM
ExemploExemplo
O record é de 9,5 graus, registrado no terremoto que atingiu o Chile, no século XX.
ExemploExemplo
Funções inversas A vida média do estrôncio-90 90Sr, é de 25 anos. Isso significa que
a metade de qualquer quantidade de 90Sr vai se desintegrar em 25 anos.
Considere que uma amostra de 90Sr tem uma massa de 24 mg. Como a massa de 24 mg se reduz a metade a cada 25 anos, então:
)24.(2)24.(
2
1....)(
)24(2
1)24(
2
1.
2
1)50(
2
1)75(
)24(2
1)24(
2
1.
2
1)25(
2
1)50(
)24(2
1)0(
2
1)25(
24)0(
25
25
32
2
t
ttm
mm
mm
mm
m
ExemploExemplo
Funções inversas Portanto, a função para este caso é:
Como a função logarítmica inversa dessa função é:
Se quisermos saber, por exemplo, o tempo necessário para que uma massa de 5
mg se desintegre, basta substituir m por 5 na fórmula:
252.24)(t
tm
)ln24(ln2ln
25)(1 mmf
anosf
f
mmf
6,56693,0
225,39
693,0
)609,1178,3.(25)5(
)5ln24(ln2ln
25)5(
)ln24(ln2ln
25)(
1
1
1
Funções Logaritmos NeperianosFunções Logaritmos Neperianos
Como todas as outras funções logarítmicas com base maior que 1, o logaritmo neperiano é uma função crescente definida m (0,) tendo o eixo y como assíntota vertical.
1) Construir o gráfico de y = lnx;
-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8
-4
-2
0
2
4
Funções Logaritmos NeperianosFunções Logaritmos Neperianos
2) depois, deslocamos 2 unidades para a direita, obtendo o gráfico
y = ln(x-2);
Funções Logaritmos NeperianosFunções Logaritmos Neperianos
3) desloque novamente para baixo de uma unidade para obter y = ln(x - 2) -1;
Métodos de Cálculo I
Assíntotas Definição: A reta x=a é chamada assíntota vertical da curva y=f(x) se
pelo menos uma das seguintes condições estiver satisfeita:
)(lim xfax
)(lim xfax
)(lim xfax
)(lim xfax
)(lim xfax
)(lim xfax
Métodos de Cálculo I
Exemplos
)(lim xfax
x
yx=a
Métodos de Cálculo I
Um outro exemplo de uma função cujo gráfico tem uma assíntota
vertical é a função logaritmo natural y=lnx.
O eixo y funciona como uma assíntota.
-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8
-4
-2
0
2
4
)(lim0
xfx
Métodos de Cálculo I Em contrapartida, o gráfico da função exponencial y=ex tem o eixo x como
assíntota horizontal.
Para basta tomar t=1/x pois sabemos que quando
x 0-, t - , portanto:
0lim
x
xe
0lim
x
xe
0limlim1
0
t
t
x
xee
Exercícios
Responda
a) Quando uma função logarítmica é considerada crescente? E decrescente?
b) Qual o domínio? E qual a imagem de uma função logarítmica?
c) Em que quadrantes se localiza o gráfico de uma função logarítmica?
d) Qual a condição de existência de uma função logarítmica?
Respostas
Decrescente se
Crescente se
2y - 1
Exercícios
O número de bactérias de uma cultura, t horas após o início de certo experimento, é dado pela
expressão N = 1200.20,4.t. Nessas condições, quanto tempo após o início do experimento a
cultura terá 38400 bactérias?
Exercícios
Numa certa cultura, há 1000 bactérias num determinado instante. Após 10 min, existem 4000.
Quantas bactérias existirão em 1h, sabendo que elas aumentam segundo a fórmula P = P0.ekt, em
que P é o número de bactérias, t é o tempo em horas e k é a taxa de crescimento?
Exercícios
Estima-se que a população de uma certa cidade cresça 3% a cada 8 anos. Qual será o crescimento
estimado para um período de 24 anos?
Exercícios
Resolva a equação 3x = 5.
Dados log2 = 0,3; log3 = 0,48 e log5 = 0,7; resolva a equação 52x – 7 . 5x + 12 = 0.
Exercícios
Sabemos que o número de bactérias numa cultura, depois de um tempo t, é dado por N =
N0.er.t, em que é o número inicial (quando t = 0) e
r a taxa de crescimento relativo. Em quanto tempo o número de bactérias dobrará se a taxa
decrescimento é de 5% ao minuto?
Exercícios
Em quantos anos 500g de uma substância radioativa, que se desintegra a uma taxa de 3%
ao ano, se reduzirão a 100g? Use Q = Q0.e-r.t, em
que Q é a massa da substância, r é a taxa e t é o tempo em anos.
Exercícios
Segundo o Banco Mundial, a previsão do crescimento demográfico na América Latina, no
período de 2004 à 2020, é de 1,2% ao ano, aproximadamente. Em quantos anos a população
da América Latina vai dobrar se a taxa de crescimento continuar a mesma?
Exercícios
Uma pessoa coloca R$ 1.000,00 num fundo de aplicação que rende, em média, 1,5% ao mês. Em
quantos meses essa pessoa terá no mínimo R$ 1.300,00? Use uma calculadora para fazer os
cálculos.
Exercícios
O dono de uma concessionária de veículos usa a expressão V = 40 000.(0,96)t para calcular, em
reais, o valor de um certo tipo de automóvel após t anos de uso. Para o cálculo do valor de um
automóvel de outra marca, é usada a expressão V1 = 50000.(0.9)t. Usando logaritmos, determine
após quanto tempo os veículos terão o mesmo valor de mercado.