dissertaÇÃo_uma proposta de ensino de frações voltada para a

AMANDA BOTEGA MASSON DE JESUS

UMA PROPOSTA DE ENSINO DE FRAES VOLTADA PARA A CONSTRUO DO

CONHECIMENTO

LAVRAS MG

2013


UMA PROPOSTA DE ENSINO DE FRAES VOLTADA PARA A

CONSTRUO DO CONHECIMENTO

Trabalho de Concluso de Curso apresentado Universidade Federal de Lavras, como parte das exigncias do Programa de Ps-Graduao Profissional em Matemtica, rea de concentrao em Matemtica, para a obteno do ttulo de Mestre.

Orientador

Prof. Dr. Osnel Broche Cristo

LAVRAS - MG

2013

Ficha Catalogrfica Elaborada pela Coordenadoria de Produtos e Servios da Biblioteca Universitria da UFLA

Jesus, Amanda Botega Masson de. Uma proposta de ensino de fraes voltada para a construo do conhecimento / Amanda Botega Masson de Jesus. Lavras : UFLA, 2013.

71 p. : il. Dissertao (mestrado) Universidade Federal de Lavras, 2013. Orientador: Osnel Broche Cristo. Mestrado Profissional em Matemtica Bibliografia. 1. Fraes Ensino Fundamental. 2. Regras. 3. Atividades. I.

Universidade Federal de Lavras. II. Ttulo.

CDD 372.72


UMA PROPOSTA DE ENSINO DE FRAES VOLTADA PARA A

CONSTRUO DO CONHECIMENTO

Trabalho de Concluso de Curso apresentado Universidade Federal de Lavras, como parte das exigncias do Programa de Ps-Graduao Profissional em Matemtica, rea de concentrao em Matemtica, para a obteno do ttulo de Mestre.

APROVADA em 20 de setembro de 2013.

Dr. Carlos Alberto Raposo da Cunha UFSJ

Dr. Rita de Cssia Dornelas Sodr Broche UFLA

Prof. Dr. Osnel Broche Cristo Orientador

LAVRAS - MG

2013

A meu pai, Loredo Masson, que sempre me apoiou nos estudos e esperou,

ansiosamente, pelo trmino deste.

DEDICO

AGRADECIMENTOS

A Deus, pela vida e por sempre me proporcionar grandes oportunidades.

Universidade Federal de Lavras (UFLA) e ao Departamento de

Matemtica (DEX), pela oportunidade concedida para a realizao do mestrado.

Coordenao e Aperfeioamento de Pessoal em Nvel Superior

(CAPES) pela concesso de bolsa de estudos.

Ao professor Dr. Osnel Broche Cristo, pela orientao e pacincia.

Ao meu pai e minha irm, que foram fundamentais para a melhoria e

concluso deste trabalho.

minha me, pelo amor, apoio, pelas constantes oraes e por tanto ter

cuidado de minha filha, Ana Beatriz, nos momentos difceis.

Ao meu marido e minha filha que ho de entender e perdoar as minhas

ausncias.

Aos primos Brian e Karoline, pelas orientaes e disponibilidade para

ajudar sempre que fora preciso.

Aos colegas de trabalho que, na medida do possvel, facilitaram minha

chegada at aqui.

Aos colegas de curso, com quem dividi alegrias e angstias, em especial

Elisngela, que esteve presente do primeiro ao ltimo dia de curso.

E a todos os amigos que, carinhosamente, torceram por mim.

RESUMO

O presente trabalho apresenta uma proposta de ensino de fraes, pautada na experimentao do aluno, que seja significativa e coerente com a etapa do desenvolvimento cognitivo dos alunos do 6 ano do Ensino Fundamental. Para evitar que regras e frmulas sejam decoradas sem a devida compreenso, so apresentadas atividades em que o aluno participa diretamente do processo de construo das tcnicas operacionais envolvidas na equivalncia e nas operaes de adio e subtrao de fraes. Visto que essas construes s seriam possveis diante de uma base bem consolidada, so apresentadas, tambm, atividades de identificao de fraes. Aulas, assim conduzidas, podem auxiliar na efetiva aprendizagem de fraes.

Palavras-chave: Frao. Ensino. Regras. Atividades.

ABSTRACT

This notes paper presents a proposal for teaching fractions, based on the student's trial, which is significant and consistent with the stage of cognitive development of students in the 6th grade of elementary school. To avoid rules and formulas are decorated without proper understanding, are presented activities in which the student participates directly in the process of building techniques involved in operational equivalence and the operations of addition and subtraction of fractions. Since those buildings would only be possible on the basis of as well established, are also presented identification activities fractions. Lessons well conducted, can assist in effective learning of fractions.

Keywords: Fraction. Education. Rules. Activities.

SUMRIO

1 INTRODUO ................................................................................. 9 2 CONCEITO DE FRAO ............................................................... 12 2.1 Relao parte/todo............................................................................. 12 2.2 Quociente ........................................................................................... 13 2.3 Razo ................................................................................................. 13 2.4 Operador ........................................................................................... 13 3 O ENSINO DE FRAES COMO PARTE DE UM TODO .......... 15 3.1 Identificao de fraes ..................................................................... 15 3.1.1 Atividade 1: Identificao de Fraes em um Retngulo ..................... 18 3.1.2 Atividade 2: Identificao de Fraes em um Crculo ......................... 19 3.1.3 Atividade 3: Identificao de Fraes em um Hexgono ..................... 21 3.1.4 Atividade 4: Identificao de Fraes em Figuras no Divididas

Igualmente .......................................................................................... 23 3.1.5 Atividade 5: Reconstruo da Unidade ............................................... 25 3.2 Fraes equivalentes.......................................................................... 27 3.2.1 Atividade 6: Introduo de Fraes Equivalentes no Retngulo .......... 33 3.2.2 Atividade 7: Introduo de Fraes Equivalentes no Crculo ............... 36 3.2.3 Atividade 8: Fraes Decimais Equivalentes ...................................... 38 3.2.4 Atividade 9: Fraes Equivalentes ...................................................... 40 3.3 Adio e subtrao com fraes ........................................................ 43 3.3.1 Atividade 10: Introduo Adio e Subtrao de Fraes ................. 46 3.3.2 Atividade 11: Adio e Subtrao de Fraes em Partes do Crculo .... 47 3.3.3 Atividade 12: Adio e Subtrao de Fraes ..................................... 50 4 CONCLUSO ................................................................................... 53 REFERNCIAS ................................................................................ 54 APNDICES ..................................................................................... 56

9

1 INTRODUO

Dentre os contedos matemticos abordados no Ensino Fundamental,

fraes um dos menos consolidados pelos alunos. Dificuldades em operaes

bsicas como adio e subtrao de fraes vo sendo acumuladas, e muitos

estudantes chegam ao 9 ano do Ensino Fundamental sem as habilidades

mnimas necessrias.

O contedo de fraes trabalhado desde o 4 ano do Ensino

Fundamental, porm, abordado de maneira elementar e mais ligado prtica

do dia a dia, como dividir um bolo ou juntar as metades. J no 6 ano, o assunto

retomado, por exemplo, com as leituras das fraes, algumas representaes

simples e, de um tpico para outro, comeam a ser apresentadas regras para

resolver situaes-problema. So regras para encontrar fraes equivalentes,

para simplificar fraes, comparar, adicionar, subtrair, multiplicar e dividir

fraes. Para um aluno que est, em mdia, com 11 anos, aceitar e memorizar

essas regras que, a princpio, no fazem sentido, pode ser um caminho rduo.

Porm, acreditamos que possvel levar a compreenso ao aluno, partindo de

exemplos simples, ao mesmo tempo em que ele mesmo constri as regras,

atravs de experimentos, manipulao e observaes conduzidas pelo professor.

Inspirados, inicialmente, no material de Gimenez e Bairral (2005),

surgiu o desejo de desenvolver este trabalho no mbito das fraes, com o

intuito de propor para o professor uma sequncia de aulas que fosse diferenciada

dos livros didticos.

Para a elaborao de atividades que levassem o aluno compreenso de

regras futuras, observou-se que seria necessrio um aprofundamento na

identificao de fraes, atravs de exerccios mais elaborados e que no

ficassem presos a representaes geomtricas simples, como crculos e

retngulos. Em seguida, como ponto culminante do ensino-aprendizagem, seria

10

necessrio explorar mais as fraes equivalentes e, a partir de ento, trabalhar as

operaes de adio e subtrao de fraes, ao mesmo tempo em que se

desenvolvia o clculo mental dessas operaes.

Comeou, ento, a busca por mais autores que tratassem do assunto e,

pde-se observar que as fraes apresentam um contedo amplo, com vrios

significados, que possui difcil assimilao e alvo de estudo de muitos

pesquisadores matemticos. Dentre alguns desses pesquisadores, comungamos

das ideias de LOPES, que defende um ensino de fraes sem a prescrio de

regras e macetes para realizar operaes (LOPES, 2008, p. 4).

Nesse sentido, apresentamos neste trabalho, primeiramente, uma breve

explanao do conceito de fraes que, de acordo com os Parmetros

Curriculares Nacionais (BRASIL, 1998), assume diferentes significados: relao

parte/todo, diviso, razo e operador. Enfocando a ideia de frao como parte de

um todo, comeamos com um referencial terico de identificao de fraes,

que justifique as atividades que sero propostas em seguida. So cinco

atividades: as duas primeiras so introdutrias, e as seguintes, devem ser

aplicadas aps alguns exerccios bsicos de identificao de fraes, pois

exigem maior compreenso do assunto.

Dando continuidade ao trabalho, as fraes equivalentes so

apresentadas na mesma linha anterior. Todas as quatro atividades propostas

procuram introduzir o conceito de fraes equivalentes; e so conduzidas de

forma gradativa levando o aluno a construir e, aos poucos, a consolidar as

relaes matemticas envolvidas. Portanto, a sequncia das atividades deve ser

fielmente seguida.

Por ltimo, so abordadas as operaes de adio e subtrao de fraes.

Aps o referencial terico, so apresentadas atividades que introduzem as

operaes dando um suporte para o desenvolvimento do clculo mental, e

11

levando o aluno a observar a relao que existe entre as fraes equivalentes e o

clculo dessas operaes.

12

2 CONCEITO DE FRAO

Ao se falar em fraes, a primeira ideia que passa, normalmente, pela

cabea de uma criana, ou de um adulto, a de uma figura geomtrica (na

maioria das vezes, um retngulo) dividida em partes iguais. Esse mesmo

conceito encontrado no dicionrio, que traz as seguintes definies:

Sf. 1. Parte de um todo. 2. Mat. Nmero que representa uma ou mais partes da unidade que foi dividida em partes iguais. [Pode ser escrita em forma decimal, como por ex., 0,5 ou 0,375; ou na forma de diviso entre dois nmeros inteiros, um acima outro abaixo de um trao: .] (FERREIRA, 2009, p. 416).

Porm, essas podem ser apenas duas, das vrias definies de frao.

Pesquisadores matemticos classificam as fraes por seus diferentes

significados e, mesmo havendo diferenciao entre um autor e outro, podemos

incluir esses significados nas quatro ideias apresentadas pelos Parmetros

Curriculares Nacionais (BRASIL, 1998): relao parte/todo, quociente, razo e

operador.

2.1 Relao parte/todo

Representa partes do todo (unidade). Normalmente, apresentada em

forma de figuras geomtricas divididas em partes iguais. Nesse caso, a frao

3/5 indica que o todo est dividido em cinco partes iguais e que trs delas foram

tomadas.

13

2.2 Quociente

Representa um nmero inteiro dividido por outro

. Normalmente, apresentada no momento em que se deseja obter o

nmero decimal correspondente. Aqui, a frao 3/5 indica trs unidades

divididas em cinco partes iguais.

2.3 Razo

Diferentemente das anteriores, a ideia de razo no compara partes com

o todo, mas sim, parte com parte. Sua representao fracionria usada como

um ndice comparativo entre duas grandezas. 3/5 pode representar, por exemplo,

a razo do nmero de bolas brancas para o nmero de bolas pretas, assim, a cada

oito bolas, trs so brancas e cinco so pretas. Essa ideia proposta,

normalmente, nos livros de 7 ano e, muitas vezes, isolada das outras ideias de

frao.

2.4 Operador

Essa ideia desempenha um papel de transformao. O nmero racional

age sobre uma situao e a modifica. trabalhada em situaes do tipo que

nmero devo multiplicar por 5 para obter 2 (BRASIL, 1998, p. 103).

Segundo os PCNs (BRASIL, 1998), as ideias de relao parte/todo,

quociente e razo devem ser introduzidas no segundo ciclo do Ensino

Fundamental, mas s sero consolidadas ao longo do terceiro e quarto ciclos,

14

quando haver maior nvel de aprofundamento dos contedos. tambm no

terceiro ciclo que deve ser apresentada a ideia de operador.

15

3 O ENSINO DE FRAES COMO PARTE DE UM TODO

A ideia de frao como parte de um todo , normalmente, iniciada no 4

ano do Ensino Fundamental e no 6 ano deve ser retomada como forma de

continuidade e aprofundamento (BRASIL, 1998). Para alguns alunos, ideias

primordiais de fraes so vividas em casa. Para Vasconcelos e Belfort (2006, p.

41),

[...] muito comum ele ter de repartir ou o po, ou o chocolate com o irmo ou irmos, ou com um ou mais amigos. Cada um deles recebendo 1/2, 1/3, ou 1/4 do po, do bolo ou do chocolate.

Mas ressalta que essa ideia deve ser aprimorada na escola, e que

comum ouvir a expresso a metade maior, mostrando que o conceito de frao

ainda no est bem construdo.

3.1 Identificao de fraes

Muitas vezes, os alunos identificam fraes comparando as partes

tomadas com as partes no tomadas. Por exemplo, a parte colorida do retngulo

abaixo comumente representada por 2/3, ao invs de 2/5.

O erro na representao acima pode estar relacionado confuso dos

conceitos de frao frao como parte de um todo x razo como se

16

tivssemos a situao: a cada cinco crianas duas so meninos e trs so

meninas, ento, a razo de meninos para meninas seria 2/3. Para Vasconcelos e

Belfort (2006, p. 39):

[...] como muitos outros temas de Matemtica, seu ensino limita-se, em geral, aplicao de frmulas e regras, sem que os alunos entendam muito bem o que esto fazendo. E, no caso especfico das fraes, muitas vezes a explanao limita-se a algumas ideias particulares, sem abranger todas as ideias que lhe so associadas. So frmulas e regras desprovidas de significados e que devem ser memorizadas e repetidas.

Uma soluo para dar significado representao das fraes como

parte de um todo pode ser a estratgia de valorizar a unidade, sugerida por

Gimnez e Bairral (2005). Segundo Gimnez e Bairral (2005, p. 8), o

denominador [...] se refere unidade porque a constri, a recupera. [...] Por isso

importante apresentar situaes nas quais devemos construir e reconstruir a

unidade. Por exemplo, partes correspondentes a 1/5 devem se repetir cinco

vezes para construir a unidade; ou ento, partes correspondentes a 1/6 devem se

repetir seis vezes para reconstruir a unidade; ou partes que correspondem a 1/10

devem se repetir 10 vezes.

Esse tipo de abordagem no muito comum nos livros didticos. Aps

algumas pesquisas, encontramos nos livros Matemtica Hoje Feita Assim

(2000) e Projeto Velear (2013), ambos do autor Lopes (2000, 2013),

atividades que trabalham a reconstruo do inteiro. So atividades que podem

dar sentido ao denominador, fazendo com que os alunos compreendam sua

funo. Isso tambm poder evitar que representem as fraes com os termos

invertidos, trocando o numerador com o denominador.

17

Em uma das questes da Prova Brasil (BRASIL, 2008), aplicada a

alunos do 9 ano, verifica-se que o conceito de fraes associado ideia de parte

de um todo, juntamente com sua representao, no est bem consolidado.

Figura 1 Prova Brasil - Identificao de Fraes

Fonte: Brasil (2008, p. 179)

A anlise dos resultados descrita acima mostra que 19% dos alunos

relacionaram a situao dada ideia de razo, marcando a letra A, outros 14%,

alm de associar razo, tambm inverteram o numerador e o denominador.

Uma das sugestes do Inep para sanar essa dificuldade que se trabalhe mais

com material concreto.

Diante dessas dificuldades do ensino/aprendizagem na introduo das

fraes, propomos as atividades 1 a 5 que se seguem.

18

3.1.1 Atividade 1: Identificao de Fraes em um Retngulo

Esta atividade apresenta as fraes como parte de um todo de forma

introdutria. Tem o objetivo de relacionar a unidade s suas partes fracionrias

e, assim, identificar fraes.

Material Utilizado: Fichas retangulares de mesmo tamanho em cores

diversas: uma delas representar a unidade, e as demais devero ser recortadas,

representando as partes do todo. (ver apndices A - F).

Tempo Previsto: 30 minutos

Com fichas de mesma cor, unidas lado a lado, verificar que elas ficam

com a mesma dimenso da ficha que representa a unidade. Assim, os alunos

devero concluir que:

Se a unidade formada por duas fichas (partes do todo), ento cada uma

dessas fichas representa 1/2 da unidade.

Marcar, em cada ficha, a representao fracionria 1/2.

Se a unidade formada por trs fichas (partes do todo), ento cada uma

dessas fichas representa 1/3 da unidade.


19

Se a unidade formada por quatro fichas, ento cada ficha representa

1/4 da unidade;


Se a unidade formada por cinco fichas, ento cada ficha representa 1/5

da unidade;


O mesmo procedimento dever ser feito com as demais fichas, a fim de

identificar, e marcar, a representao fracionria correspondente a cada ficha.

3.1.2 Atividade 2: Identificao de Fraes em um Crculo

Esta atividade tambm tem o objetivo de relacionar a unidade s suas

partes fracionrias, porm representada por um crculo.

Material Utilizado: Fichas circulares de mesmo tamanho em cores

diversas, onde uma delas representar a unidade, e as demais devero ser

recortadas como setores circulares, representando as partes do todo. Optamos

aqui por trabalhar apenas com 2, 3, 4, 6 e 12 partes. (ver apndices G - I).


20

Com setores circulares de mesma cor, unidos, de modo a formar um

crculo, verificar que eles ficam com as mesmas dimenses do crculo que

representa a unidade. Assim, os alunos devero concluir que:

Se a unidade formada por dois setores circulares, ento cada um desses

setores representa 1/2 da unidade.

Anotar, em cada setor, a representao fracionria 1/2.

Se trs setores formam um crculo, ento cada setor representa 1/3 da

unidade;

Se quatro setores formam um crculo, ento cada setor representa 1/4 da

unidade;

Se seis setores formam um crculo, ento cada setor representa 1/6 da

unidade;

21

Se doze setores formam um crculo, ento cada setor representa 1/12 da

unidade;

Em cada um dos setores, dever ser anotada a frao correspondente ao

crculo inteiro.

3.1.3 Atividade 3: Identificao de Fraes em um Hexgono

Esta atividade apresentada em forma de exerccio e aprofunda o

contedo de identificao de fraes, portanto, deve ser aplicada aps exerccios

do livro didtico. Seu objetivo identificar fraes em figuras no tradicionais, e

traz o hexgono regular como exemplo.


Nesta etapa escolar, os alunos ainda no tm muito contato com figuras

geomtricas que no sejam quadrados, retngulos, tringulos ou crculos.

Portanto, a primeira etapa desta atividade o reconhecimento da figura dada: um

polgono de seis lados iguais, ou seja, o hexgono regular.

22

Em seguida, faz-se necessria a observao de que as partes de um

mesmo hexgono so equivalentes entre si, ou seja, a figura est dividida em

partes iguais. Para esse momento deve-se abrir um espao aos alunos para

observarem criteriosamente e discutirem sobre suas concluses.

Figura 2 Hexgonos divididos igualmente

Fonte: Adaptada de Gimnez e Bairral (2005)

Estando os alunos convencidos de que as partes de um mesmo inteiro

so iguais, devero anotar a frao que cada parte representa. Por exemplo, o

hexgono abaixo est dividido em 18 partes iguais, logo, cada parte representa

1/18.

23

3.1.4 Atividade 4: Identificao de Fraes em Figuras no Divididas Igualmente

Esta atividade apresentada em forma de exerccio, e aprofunda o

contedo de identificao de fraes. O objetivo desta atividade identificar

fraes em figuras que no esto igualmente divididas, cabendo ao aluno,

observar e traar segmentos que as deixem divididas em partes iguais.


Num primeiro contato com a figura abaixo, provvel que muitos

alunos representem a parte colorida, erroneamente, pela frao 1/3.

Portanto, antes de iniciar essa atividade, necessrio que o professor

relembre aos alunos de que o denominador da frao representa o nmero de

partes iguais em que ela est dividida.

Alguns dos quadrados abaixo (figura 3) esto divididos igualmente, mas

outros no. Sendo assim, quando necessrio, devero traar segmentos internos,

a fim de obter partes iguais e, ento, escrever a frao associada parte colorida.

24

Figura 3 Quadrados divididos

Fonte: Adaptada de Gimnez e Bairral (2005)

Espera-se que seja traada a menor quantidade possvel de segmentos,

para que a frao seja representada na sua forma simplificada. Porm, pode

ocorrer de alguns alunos dividirem os quadrados em mais partes que o

necessrio, sem que isso torne a atividade errada. Por exemplo, dividir o quinto

quadrado (2 linha da 1 coluna) em oito partes iguais ao invs de quatro.

Portanto, importante que, no momento da correo dos exerccios, o professor

registre no quadro as diferentes respostas encontradas por eles, abrindo assim

um espao para iniciar a noo de fraes equivalentes.

25

3.1.5 Atividade 5: Reconstruo da Unidade

Esta atividade apresentada em forma de exerccio e seu objetivo

reconhecer a funo do denominador. Para isso, trabalha a reconstruo do

inteiro.

Material Utilizado: Tesoura e folhas coloridas diversas para a

confeco de polgonos.


Atravs do denominador de uma frao possvel reconstruir a unidade.

Por exemplo, pela frao 1/6, podemos concluir que a unidade formada por

seis partes de 1/6.

Assim, se um quadrado representa 1/6 de um retngulo, ento esse

retngulo formado por seis quadrados idnticos ao primeiro.

Ou,

Dessa forma, reconstrumos a unidade qual o quadrado pertencia.

26

A fim de aplicar a funo do denominador, que recuperar a unidade, o

professor pode expor exerccios que apresentem figuras geomtricas como parte

de outra figura e pedir que reconstruam a unidade.

Vejamos alguns exemplos:

Um tringulo retngulo representa 1/2 de um retngulo, ou seja, a

unidade formada por dois tringulos retngulos iguais.

Um tringulo equiltero representa 1/3 de um trapzio issceles. Logo, o

trapzio formado por trs tringulos equilteros de mesmo tamanho.

Um hexgono, em forma de L, representa 1/5 de uma figura qualquer,

ento, a unidade a qual este hexgono pertence pode ser, por exemplo:

Ou,

27

Observemos que, neste ltimo exemplo, a parte branca representa uma

ausncia do todo.

Disponibilizamos, no apndice J, uma lista de exerccios que descreve

situaes como as que foram exemplificadas acima. Juntamente com a lista, o

aluno dever receber um molde (apndice K) para a reproduo dos polgonos

citados na lista. Para melhor visualizao das partes do todo, interessante que

esses polgonos sejam reproduzidos em folhas coloridas diversas.

Observando o denominador da frao dada, espera-se que o aluno seja

capaz de identificar o nmero exato de polgonos que dever ser reproduzido em

cada situao.

3.2 Fraes equivalentes

Os PCNs (BRASIL, 1998) reconhecem que h uma grande dificuldade

na aprendizagem dos nmeros racionais, possivelmente, pelo fato de que esses

nmeros rompem muitas ideias criadas pelos nmeros naturais.

At o 3 ano do Ensino Fundamental, o nico conjunto numrico

conhecido pelos alunos o conjunto dos naturais, e ele representa uma

determinada quantidade atravs de um nico smbolo numrico. No 4 ano, os

28

alunos comeam a ter seu primeiro contato com os nmeros racionais e, a partir

da, segundo os PCNs (BRASIL, 1998) iro encontrar dificuldades com as

rupturas de ideias construdas pelos nmeros naturais. Uma dessas dificuldades

estaria nas infinitas escritas fracionrias para representar um mesmo nmero,

como por exemplo:

Se h essa dificuldade na compreenso das mltiplas representaes

fracionrias, ento se faz necessria maior ateno ao ensino das fraes

equivalentes. Para Lopes (2008, p. 9),

[...] o conceito de frao equivalente um dos mais importantes no ensino-aprendizagem das fraes, mas considero insuficiente o trabalho restrito a grades retangulares. Temos observado que para escrever uma frao equivalente, na maioria dos casos, a atividade da criana reduz-se a contagem do total de clulas, tal como foi instruda.

Os resultados da Prova Brasil de 2009, aplicada a alunos do 9 ano do

Ensino Fundamental, tambm mostram deficincias na identificao das fraes

equivalentes.

29

Figura 4 Prova Brasil - Equivalncia de Fraes

Fonte: Brasil (2008, p. 180)

Pela avaliao do Inep, sintomtico que 41% dos alunos tenham

escolhido a alternativa B, possivelmente devido igualdade entre os

denominadores das fraes. A sugesto dada ao professor que trabalhe com

materiais concretos, como fichas e cartolinas, para a verificao da equivalncia.

Mas, analisando alguns livros didticos, podemos observar que,

normalmente, a apresentao das fraes equivalentes se faz em uma rpida

abordagem, dando-nos a entender que apenas um recurso para introduzir a

simplificao de fraes.

No livro Praticando Matemtica, de Andrini e Vasconcellos (2012) as

fraes equivalentes so apresentadas com uma rpida exemplificao de

representaes fracionrias diferentes que correspondem a uma mesma

quantidade.

30

Figura 5 Conceito de Equivalncia 1

Fonte: Praticando Matemtica (ANDRINI; VASCONCELLOS, 2012, p. 179).

Em seguida, j apresenta o mtodo algbrico para obter uma frao

equivalente.

Giovanni Jnior e Castrucci (2009) em, A Conquista da Matemtica,

introduzem o assunto apresentando trs escritas fracionrias diferentes para uma

mesma quantidade e traz um segundo exemplo que, intuitivamente, inicia a

simplificao de fraes.

31


Fonte: A conquista da Matemtica (GIOVANNI JNIOR; CASTRUCCI, 2009, p. 178).

Posteriormente, apresenta o clculo algbrico para obter as fraes

equivalentes.

J Lopes (2013), na primeira edio de Projeto Velear, inicia as

fraes equivalentes atravs de uma experimentao com dobraduras. Em

seguida, cita outro exemplo, que tambm pode ser realizado com a dobradura e

32

encaminha o aluno a fazer observaes a respeito das dobras realizadas e ento,

constri o processo algbrico.


Fonte: Projeto Velear (LOPES, 2013, p. 172).

33

Ao final, apresenta outros exemplos j com a tcnica.

Sentindo a necessidade de haver mais material didtico que trabalhe o

conceito de fraes equivalentes que propomos, aqui, atividades que possam

servir como introduo ao assunto. As atividades buscam a compreenso do

assunto na expectativa de que, ao longo do processo, o prprio aluno chegue s

tcnicas operacionais; e a sim, seja capaz de resolver exerccios do livro

didtico.

Segundo os PCN (BRASIL, 1998, p. 103).

O conceito de equivalncia assim como a construo de procedimentos para a obteno de fraes equivalentes so fundamentais para resolver problemas que envolvem a comparao de nmeros racionais expressos sob a forma fracionria.

Assim, estando as fraes equivalentes bem trabalhadas e consolidadas,

assuntos como simplificao e comparao de fraes podem seguir a mesma

linha de ensino das fraes equivalentes. Esses ltimos no foram abordados

neste trabalho.

3.2.1 Atividade 6: Introduo de Fraes Equivalentes no Retngulo

A atividade apresentada de forma introdutria e tem o objetivo de

conceituar fraes equivalentes.

Material Utilizado: Fichas retangulares coloridas, representando as

partes de um inteiro. Nestas fichas dever estar registrada a frao do todo que

cada uma representa (ver atividade 1)


34

Com fichas de mesma cor, unidas lado a lado, os alunos devero

observar aquelas que ficam com a mesma dimenso de outra, e, com a mediao

do professor, concluir que:

Duas fichas de 1/4 representam a mesma poro de uma ficha de

1/2, logo, .

Trs fichas de 1/6 representam a mesma poro de uma ficha de

1/2, logo, .

Duas fichas de 1/6 representam a mesma poro de uma ficha de

1/3, logo, .

Quatro fichas de 1/8 representam uma ficha de 1/2, logo, .

35

Duas fichas de 1/8 representam uma ficha de 1/4, logo, .

Trs fichas de 1/9 representam uma ficha de 1/3, logo, .

Cinco fichas de 1/10 representam uma ficha de 1/2, logo, .

Seis fichas de 1/12 representam uma ficha de 1/2, logo, .

Quatro fichas de 1/12 representam uma ficha de 1/3, logo, .

36

Trs fichas de 1/12 representam uma ficha de 1/4, logo, .

Duas fichas de 1/12 representam uma ficha de 1/6, logo, .

Ao final, atravs das relaes de igualdade, pode-se observar que

, e, porm, o professor no

deve apresentar, nem comentar, a operao matemtica (multiplicao dos

termos da frao) que envolve essas relaes de equivalncia. Esse um

momento de reconhecimento de fraes equivalentes e, a relao algbrica ser

refletida apenas na atividade 9.

3.2.2 Atividade 7: Introduo de Fraes Equivalentes no Crculo

A atividade tambm tem o objetivo de conceituar fraes equivalentes,

porm em partes de um crculo.

Material Utilizado: Setores circulares coloridos, representando as

partes de um inteiro. Nesses setores dever estar registrada a frao do todo que

cada um representa (ver atividade 2)


37

Com setores de uma mesma cor, unidos de modo a formar parte de um

crculo, os alunos devero observar aqueles que ficam com a mesma dimenso

de outro e, assim, observar que:

Dois setores que correspondem a 1/4 equivalem a um setor 1/2, ou

seja, .

Trs setores que correspondem a 1/6 equivalem a um setor 1/2, ou

seja, .

Dois setores que correspondem a 1/12 equivalem a um setor 1/6, ou

seja, .

Trs setores que correspondem a 1/12 equivalem a um setor 1/4, ou

seja, .

38

Quatro setores que correspondem a 1/12 equivalem a um setor 1/3,

ou seja, .

Seis setores que corresponde a 1/12 equivalem a um setor 1/2, ou

seja, .

3.2.3 Atividade 8: Fraes Decimais Equivalentes

Esta atividade tem o objetivo de identificar fraes decimais

equivalentes.

Material Utilizado: Material Dourado.


O primeiro momento desta atividade deve ser destinado identificao

das peas do Material Dourado.

39

Em seguida, os alunos devero montar o cubo utilizando peas menores,

de um mesmo tipo, e registrar:

Um cubo formado por 10 placas;

Um cubo formado por 100 barras.

Ao se desejar formar o cubo com os cubinhos, espera-se que o aluno seja

capaz de observar, por exemplo, que se dez cubinhos so iguais a uma barra, e

so necessrias 100 barras para formar o cubo, ento sero necessrios 10x100 =

1000 cubinhos para formar o cubo. queles que no chegarem a essa concluso,

o professor dever fazer a mediao e lembr-los tambm de que o cubo

macio, ou seja, de que existem cubinhos em todo o seu interior.

Feito os reconhecimentos acima, o professor poder estabelecer as

seguintes relaes:

Cubo 1 inteiro

Placa

Barra

Cubinho

40

Num segundo momento, devero montar as outras peas do Material

Dourado para que sejam feitas as equivalncias entre elas, e, utilizando as

relaes acima, concluir que:

Uma barra formada com 10 cubinhos, logo, ;

Uma placa formada por 10 barras, logo, ;

Um cubo formado por 10 placas, logo, ;

Uma placa formada por 100 cubinhos, logo, ;

Um cubo formado por 100 placas, logo, ;

Um cubo formado por 1000 cubinhos, logo, .

Ao final, relacionar todas as igualdades encontradas:

, ,

provvel que, nesse estgio grande parte dos alunos perceba que, entre

essas fraes equivalentes, h um acrscimo de zeros nos termos de uma frao

para outra. O professor pode aproveitar o momento para esclarecer que esse

acrscimo de zeros significa que os termos foram multiplicados pelas potncias

de 10, mas, no deve apresentar tcnicas de clculos para encontrar fraes

equivalentes. Estas sero desenvolvidas na atividade que se segue.

3.2.4 Atividade 9: Fraes Equivalentes

Esta atividade tem o objetivo de concluir a operao matemtica

envolvida no processo de equivalncia de fraes.

41

Material Utilizado: Rgua e folhas retangulares para dobraduras.


Com o acompanhamento do professor, os alunos devero dobrar uma

folha ao meio, na posio que desejarem, e colorir uma das partes. Sobre a parte

colorida, escrever 1/2. Novamente com a folha dobrada, dobrar ao meio mais

uma vez, de forma que, ao abri-la, obtenham um retngulo dividido em quatro

partes iguais.

Com a folha totalmente aberta, deve-se observar que, agora, o retngulo

est dividido em quatro partes iguais estando duas coloridas; assim, a frao

correspondente 2/4. Como a poro colorida no foi alterada, as fraes

1/2 e 2/4 representam a mesma quantidade, logo, .

Com a mediao do professor, os alunos devero constatar que, da

primeira diviso do retngulo para a ltima, o nmero de partes coloridas

(numerador) e o nmero total de partes (denominador) foram duplicados.

42

Em outra folha retangular, e com o uso da rgua, dividi-la e dobr-la em

trs partes iguais; colorir uma das partes e identific-la pela frao 1/3. Com a

folha ainda dobrada em trs, dobr-la ao meio e, em seguida, abrir.

Observando-se as partes depois da ltima dobra, conclui-se que a parte

colorida que representava 1/3, agora representa 2/6. Como a parte colorida

no foi alterada, ento 1/3 e 2/6 representam a mesma poro, logo, .

Nesse momento, necessrio que os alunos sejam instigados a

perceberem que o ato de dividir a folha ao meio, fez com que duplicasse o

nmero de partes, fossem elas, coloridas ou no. Espera-se que, assim, o aluno

comece a perceber, intuitivamente, a multiplicao envolvida nesse processo de

equivalncia.

Para dar continuidade construo desse processo multiplicativo, dobrar

outra folha em quatro partes iguais e, colorir uma das partes identificando-a por

1/4. Em seguida, com a folha ainda dobrada, dividi-la e dobr-la em trs partes

iguais.

43

Os alunos devero observar que quando o retngulo foi dividido em

trs, o nmero de partes iniciais foi triplicado. Assim, o denominador que era 4

passou a ser 12, e o numerador que era 1, passou a ser 3, ou seja, .

Prosseguindo para melhor observao, pode-se dobrar outra folha, por

exemplo, em cinco partes iguais e depois em quatro, resultando vinte partes

iguais; ou, dobrar em seis e depois em quatro ou cinco partes iguais; buscando

sempre a explicao a respeito da mudana dos termos (numerador e

denominador) da frao inicial, assim como foi feito nos exemplos anteriores.

Ao final, espera-se que o aluno conclua que se uma frao tem seus

termos multiplicados por um mesmo nmero natural, a nova representao

fracionria representa a mesma poro da frao inicial, ou seja, so fraes

equivalentes.

3.3 Adio e subtrao com fraes

Para um professor de Matemtica do Ensino Fundamental II, ou at

mesmo do Ensino Mdio, no novidade encontrar alunos somando (ou

subtraindo) os numeradores e os denominadores de duas fraes, na tentativa de

44

efetuar a adio (ou subtrao) de fraes. Em operaes do tipo ,

apresentam como resultado a expresso mesmo observando que ela no faz

sentido nenhum.

Um exemplo desse tipo de erro pde ser visto na resoluo de uma das

questes da Prova Brasil de 2009, aplicada aos alunos do 9 ano de escolas

pblicas. Sua anlise mostrou que 74% dos alunos no dominavam adio e

subtrao de fraes, ou a multiplicao entre elas.

Figura 8 Prova Brasil - Operaes com Fraes

Fonte: Brasil (2008, p. 181-182)

A nosso ver, os 31% que marcaram a alternativa B podem ter

somado/subtrado os numeradores, enquanto que o denominador 3, foi repetido,

j que o nmero inteiro no apresenta, visualmente, um denominador. Obtm-se,

dessa forma, o resultado .

Talvez esse tipo de erro ocorra devido memorizao de regras, que

muitas vezes so apresentadas sem a compreenso do aluno. Uma frequente

utilizao de fraes equivalentes nas adies de fraes com denominadores

45

diferentes pode evitar o excesso de regras e diminuir os erros causados por elas.

De acordo com os PCN (BRASIL, 1998, p. 67),

O importante superar a mera memorizao de regras e de algoritmos (divide pelo debaixo e multiplica pelo de cima, inverte a segunda e multiplica) e os procedimentos mecnicos que limitam, de forma desastrosa, o ensino tradicional do clculo.

Analisando alguns livros didticos, observamos que todos eles

introduzem a adio/subtrao de fraes com denominadores diferentes, de

acordo com os PCN (BRASIL, 1998, p. 104) que recomenda transform-las em

fraes com o mesmo denominador (no necessariamente o menor), aplicando

as propriedades das fraes equivalentes. Portanto, cabe ao professor dar

continuidade a esse mtodo de resoluo.

Alm disso, Hilton (1980), em seu artigo Devemos Ensinar Fraes?,

faz uma interessante citao a respeito do clculo mental:

[...] a intuio deveria desempenhar um papel muito maior na aritmtica de fraes do que na lgebra de funes racionais. No se deseja que um aluno calcule , ou mesmo, , com auxlio da regra para calcular a/b + c/d.

Fraes mais comuns no dia a dia, como o caso das citadas por Hilton,

so de fcil percepo visual e, assim, possveis de serem calculadas

mentalmente. As vantagens a so: desenvolvimento do raciocnio lgico;

agilidade na resoluo de um problema; e, at mesmo, auxlio na compreenso

do processo de adio/subtrao de outras operaes mais complexas, evitando

assim, as respostas absurdas.

46

nesse sentido que apresentamos a seguir, atividades introdutrias do

clculo de adio/subtrao de fraes, que visam a auxiliar o clculo mental e,

num segundo momento, perceber a funo das fraes equivalentes.

3.3.1 Atividade 10: Introduo Adio e Subtrao de Fraes

O objetivo desta atividade introduzir a noo de adio e subtrao de

fraes, relacionando as operaes parte do inteiro que cada uma representa.


Operaes de adio e de subtrao devero ser relacionadas regio

colorida de uma figura geomtrica.

Observando algumas figuras disponibilizadas pelo professor os alunos

devero encontrar operaes que possam representar a parte colorida da figura

dada. Por exemplo, na figura a seguir, podem-se associar as seguintes operaes

de adio.

A mesma figura pode, tambm, ser associada subtrao, em que se

retirou do todo, uma parte correspondente a 1/4.

47

Observando-se que a parte colorida da figura representa 3/4, deve-se

concluir que esse o resultado das operaes a ela associada.

Acreditamos que essa relao das operaes com a figura pode auxiliar

no desenvolvimento do clculo mental.

Como as operaes relacionadas a uma mesma figura so infinitas,

disponibilizamos, nos apndices M e N algumas operaes, juntamente com sua

representao geomtrica (apndice L), que podem ser entregues aos alunos para

que faam a correspondncia adequada.

3.3.2 Atividade 11: Adio e Subtrao de Fraes em Partes do Crculo

O objetivo desta atividade efetuar adio e subtrao de fraes

atravs da representao de seus termos.

Material Utilizado: Setores circulares coloridos, representando as

partes de um inteiro. Os mesmos setores j foram trabalhados nas atividades 2 e

7.


48

Operaes de adio e de subtrao de fraes devero ser representadas

utilizando as partes de um crculo, em que cada termo da operao ser

representado por seu setor correspondente.

Na adio de frao, esses setores correspondentes a cada parcela

devero ser colocados lado a lado, de modo a formar parte de um crculo.

Depois, substituir a regio formada, por setores de uma nica cor (ou por

um nico setor), e que sejam, juntos, equivalentes ao total.

Na subtrao, o setor correspondente ao segundo termo da operao

(subtraendo) deve ser sobreposto ao primeiro termo (minuendo). A regio que

no foi sobreposta representa o resultado da subtrao.

49

Em seguida, substituir a parte restante por setores de uma nica cor, e

que juntos, sejam equivalentes a esse restante.

Os setores a serem escolhidos para substituir os resultados devem ser os

maiores possveis, a fim de evitar fraes no simplificadas. Por exemplo, na

operao acima, a parte restante do setor vermelho tambm poderia ser

substituda por dois setores de 1/12, mas optamos pelo setor 1/6 por ser

maior.

O material concreto que foi disponibilizado por ns (setores circulares)

representa fraes de denominadores 2, 3, 4, 6 e 12. Logo, as operaes

possveis de serem realizadas da maneira que aqui propomos so restritas.

Assim, para auxiliar o trabalho do professor, deixamos no apndice O uma lista

de exerccios com a qual se poder trabalhar com os setores disponibilizados.

50

3.3.3 Atividade 12: Adio e Subtrao de Fraes

O objetivo desta atividade efetuar adio e subtrao de fraes e

reconhecer que, no caso de denominadores diferentes, as fraes equivalentes

so fundamentais para o clculo.

Material Necessrio: Fichas retangulares coloridas representando

partes de um todo. As mesmas fichas j foram utilizadas nas atividades 1 e 6.


Operaes de adio e de subtrao de fraes devero ser representadas

utilizando as partes de um retngulo, no qual cada termo da operao ser

representado pelas fichas correspondentes.

Se a operao apresenta denominadores iguais, basta, no caso da adio,

colocar as fichas lado a lado, de modo a formar parte de um retngulo, e cont-

las. Ao final, se for possvel, substituir a regio total por outras fichas maiores e

de uma mesma cor, e que sejam, juntas, equivalentes ao resultado inicial.

No caso da subtrao com denominadores iguais, devem-se expor as

fichas referentes ao primeiro termo da operao (minuendo) e, em seguida,

retirar as que correspondem ao segundo termo (subtraendo). Se possvel,

51

substituir as fichas restantes por outras maiores e de uma mesma cor, e que

sejam juntas, equivalentes a essa regio.

Em adies de denominadores diferentes, as fichas correspondentes

tambm sero colocadas lado a lado, mas, em seguida, devero ser substitudas

por outras fichas de cores iguais, e equivalentes ao total. Assim, estar

representada uma adio de fraes com denominadores iguais e o mesmo

procedimento, descrito anteriormente, dever ser seguido.

Nas subtraes com denominadores diferentes, o segundo termo da

operao deve ser sobreposto ao primeiro, representando assim, a parte que foi

retirada. A regio no sobreposta representa o resultado da subtrao, e dever

ser substituda por setores de uma mesma cor.

52

Como sugesto, disponibilizamos no apndice P uma lista de exerccios

envolvendo adio e subtrao de fraes possveis de serem trabalhadas com as

fichas retangulares expostas neste trabalho. importante ressaltar que, nessa

lista, algumas operaes apresentam como resultado nmeros maiores que um

inteiro, portanto, elas podem ser apresentadas em forma de nmero misto. Por

exemplo, 2

6+

5

6 pode ser representado por 1

1

6.

Espera-se que ao final da atividade, o aluno perceba que a substituio

de fichas feita no resultado das operaes, pode ser feita anteriormente, em cada

termo, e com as mesmas fichas. Ou seja, para efetuar adio e subtrao de

fraes com denominadores diferentes, basta encontrar uma frao equivalente,

de denominadores iguais, a cada um dos termos da operao.

53

4 CONCLUSO

Diante da complexidade do conceito de fraes, que se divide em, pelo

menos, cinco ideias diferentes, esse um contedo de difcil assimilao. A

ideia de frao como parte de um todo deve ser aprofundada no 6 ano do Ensino

Fundamental, e o que se veem so dificuldades cada vez maiores, a ponto de

amedrontar os alunos.

O presente trabalho props atividades que visam a diminuir a distncia

entre o concreto e a abstrao, proporcionando momentos de construo e

observao que so fundamentais para a compreenso do contedo.

Durante a elaborao deste trabalho, estando atuante em turmas de 6

ano de uma escola pblica, foi possvel colocar em prtica algumas atividades (1

a 7) que, aqui, propusemos j com as devidas melhorias frente s dificuldades

encontradas. Assim, pudemos constatar que so atividades possveis de serem

realizadas com desejvel xito, desde sua aplicao at o seu resultado no

aprendizado, alm de proporcionar aulas mais interativas e interessantes para o

aluno. Porm, uma das grandes dificuldades que podem ser encontradas o

tempo que deve ser destinado s aulas de fraes, pois as atividades exigem uma

relevncia maior ao contedo, o que pode comprometer o ensino dos demais.

Finalizamos este trabalho com o desejo de sermos colaboradores desse

processo de construo de um contedo to substancioso como o das fraes;

despertando para uma aprendizagem significativa e que reduza os dficits de

aprendizagem. Fica, porm, o desafio de se trabalharem na mesma linha da

pesquisa, contedos como simplificao e comparao de fraes e as operaes

de multiplicao e diviso.

54

REFERNCIAS

ANDRINI, A.; VASCONCELLOS, M. J. Fraes. So Paulo: Ed. Brasil, 2012. 288 p. (Coleo Praticando Matemtica).

BRASIL. Parmetros Curriculares Nacionais: matemtica: ensino de quinta a oitava sries. Braslia, 1998. 92 p.

BRASIL. PDE - Plano de Desenvolvimento da Educao: Prova Brasil: ensino fundamental: matrizes de referncia, tpicos e descritores. Braslia: MEC-SEB-INEP, 2008. 199 p.

FERREIRA, A. B. H. Mini-Aurlio: o dicionrio da lngua portuguesa. 7. ed. Curitiba: Positivo, 2009. 416 p.

GIMENEZ, J.; BAIRRAL, M. Fraes no currculo do ensino fundamental: conceituao, jogos e atividades ldicas. Seropdica: GEPEM/EDUR, 2005. v. 2, 130 p. (Srie Pensamento em Ao).

GIOVANNI JNIOR, J. R.; CASTRUCCI, B. A forma fracionria dos nmeros racionais. So Paulo: FTD, 2009. 336 p. (Coleo A Conquista da Matemtica).

HILTON, P. Do we still need fractions on the elementary curriculum? In: INTERNATIONAL CONGRESS ON MATHEMATICAL EDUCATION, 4., 1980, Boston. Proceedings... Boston: Birkhuser, 1980. p. 37-41. Disponvel em: . Acesso em: 27 nov. 2012.

LOPES, A. J. As fraes. So Paulo: FTD, 2000. 303 p. (Coleo Matemtica Hoje Feita Assim).

55

LOPES. A. J. Fraes. So Paulo: Scipione, 2013. 288 p. (Projeto Velear).

LOPES, A. J. O que nossos alunos podem estar deixando de aprender sobre fraes, quando tentamos lhes ensinar fraes. Bolema, Rio Claro, ano 21, n. 31, p. 1-22, 2008.

VASCONCELOS, C. B.; BELFORT, E. Diferentes significados de um mesmo conceito: o caso das fraes. Discutindo Prticas em Matemtica, Rio de Janeiro, n. 13, p. 39-49, ago./set. 2006. Disponvel em: . Acesso em: 4 dez. 2012.

56

APNDICES

APNDICE A - Partes do retngulo: 1 inteiro e 1/2

57

APNDICE B - Partes do retngulo: 1/3 e 1/4

58

APNDICE C - Partes do retngulo: 1/5 e 1/6

59

APNDICE D - Partes do retngulo: 1/7 e 1/8

60

APNDICE E Partes do retngulo: 1/9 e 1/10

61

APNDICE F Partes do retngulo: 1/11 e 1/12

62

APNDICE G Partes do Crculo: 1 inteiro e 1/2

63

APNDICE H Partes do Crculo: 1/3 e 1/4

64

APNDICE I Partes do Crculo: 1/6 e 1/12

65

APNDICE J - Lista de Exerccios: Reconstruo do Inteiro

Utilizando o molde dos polgonos, reproduza quantas peas forem necessrias

para criar as situaes descritas a seguir. Monte-as e cole-as no caderno. Nos

itens 6 ao 10, use sua criatividade.

01) O tringulo equiltero representa 1/3 de um trapzio issceles, como este:

. Verifique atravs de uma montagem.

02) Um determinado retngulo representa 1/6 de um quadrado. Represente o

quadrado.

03) O tringulo equiltero representa 1/4 de um tringulo equiltero maior.

Construa-o.

04) O tringulo retngulo representa 1/2 de um retngulo. Construa o retngulo.

05) O tringulo retngulo issceles representa 1/2 de um quadrado. Construa-o.

06) Um hexgono representa 1/5 de uma figura. Construa a figura.

07) Um octgono representa 1/6 de uma figura. Represente-a.

08) Um losango representa 1/3 de uma figura. Construa-a.

09) Um trapzio issceles representa 1/4 de uma figura. Construa-a.

10) Um hexgono representa 1/6 de uma figura. Construa-a.

66

APNDICE K Moldes de Polgonos para a Reconstruo dos Inteiros

67

APNDICE L - Representaes Geomtricas para Adio/Subtrao de

Fraes

68

APNDICE M - Fichas de Adio de Fraes

69

APNDICE N - Fichas de Subtrao de Fraes

70

APNDICE O - Lista de Exerccios: Adio/Subtrao com Partes do

Crculo

01) Represente as operaes abaixo com as partes correspondentes do crculo.

Em seguida, com peas de uma mesma cor, encontre a frao equivalente ao

total representado e registre o resultado.

02) Utilizando as partes do crculo, represente as operaes abaixo colocando a

pea menor sobre a maior. Depois, com peas de uma mesma cor, encontre a

frao equivalente parte restante que no foi coberta. Registre o resultado.

71

APNDICE P - Lista de Exerccios: Adio/Subtrao com Partes do

Retngulo

01) Represente as operaes utilizando os cartes retangulares, em seguida, se

for possvel, substitua-os por cartes maiores e equivalentes ao total. Registre

todos os caminhos percorridos por voc.

02) Represente as operaes utilizando os cartes retangulares, em seguida,

substitua-os por cartes de uma mesma cor e equivalentes ao total. Registre

todos os caminhos percorridos por voc.

dissertaÇÃo_uma proposta de ensino de frações voltada para a

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