Noes de Derivada1. Reta TangenteAo definir a inclinao de uma curva para, em seguida, encontrar a equao da reta tangente curva num ponto dado. Seja uma curva definida no intervalo (a,b). Sejam P e Q dois pontos distintos da curva . Seja s a reta secante que passa pelos pontos P e Q. Considerando o triangulo retngulo PMQ, temos que a inclinao da reta s ou coeficiente angular de s :

2. Velocidade e AceleraoVelocidade e acelerao so conceitos que todos ns conhecemos. Quando dirigimos um carro, podemos medir a distncia percorrida num certo intervalo de tempo. O velocmetro marca a cada instante a velocidade. Se pisarmos no acelerador ou no freio, percebemos que a velocidade muda e sentimos a acelerao.

VelocidadeSuponhamos que um corpo se move em linha reta e que um corpo se move em linha reta e que represente o espao percorrido pelo mvel at o instante t. Ento, no intervalo de tempo entre t e , o corpo sofre um deslocamento .Definimos velocidade mdia nesse intervalo de tempo como o quociente:

AceleraoO conceito de acelerao introduzido de maneira anloga ao de velocidade. A acelerao mdia no intervalo de tempo de t at dada por:

3. Derivada de uma funo num pontoA derivada de uma funo no ponto , denotada por , definida pelo limite onde, , quando o limite existe. Tambm podemos escreve:

Como vimos na seo anterior, este limite nos d a inclinao da reta tangente curva no ponto Portanto geometricamente a derivada da funo no ponto representa a inclinao da curva nesse ponto.4. Derivada de uma funo

A derivada de uma funo a funo denotada por , tal que seu valor em qualquer dado por:

Se este limite existir.

5. Continuidade de funes derivveisSeja uma funo derivvel em , vamos provar que continua em . Em outras palavras vamos provar que as condies da definio so validas. Isto : existe. existe.

6. Derivadas LateraisSe a funo est definida em , ento a derivada direita de f em , denotada por definida por:

7. Regras de derivaoSe C uma constante e para todo x, ento . Seja , ento:

8. Derivada de Funo CompostaConsideramos duas funes derivveis f e g onde e . Para todo x que est no domnio de g, podemos escrever , isto , podemos considerar a funo composta .Aplicaes da Derivada1. AcrscimosSeja uma funo. Se varia de a , definimos o acrscimo de , denotado por , como .A variao de x origina uma correspondente variao de , denotada por , dada por:

2. DiferenciaisSejam uma funo derivvel em um acrscimo de x. Definimos: A diferencial da varivel independente de x, denotada por , como . A diferencial da varivel dependente y, denotada por , como .Observao: De acordo com a definio anterior, podemos escrever . A notao , usada para , pode agora ser considerada um quociente entre duas diferenciais.

3. Taxa de VariaoToda derivada pode ser interpretada como taxa de variao, dada uma funo quando a varivel independente varia de x a , a correspondente variao de ser .O quociente representa a taxa (razo) mdia de variao de em relao a . A derivada a taxa instantnea de variao de em relao a ou, simplesmente, taxa de variao em relao a .4. Mximos e Mnimos Uma funo tem um mximo relativo (local) em , se existir um intervalo aberto I, contendo , tal que , para todo .Uma funo tem um mnimo relativo (local) em , se existir um intervalo aberto I, contendo , tal que , para todo .Se tem um mximo relativo ou mnimo relativo em , ento o ponto chamado ponto extremo da funo e chamado mximo relativo ou mnimo relativo. Exemplo:Os pontos de abscissa so pontos extremos da funo representada no grfico. e so mximos relativos. e so mnimos.A funo tem um mximo relativo em , pois existe o intervalo tal que , para todo Em e , a funo tem mnimos relativos, pois , para todo , e , para todo .

Teorema:Seja uma funo definida no intervalo aberto (a,b). Se tem um extremo relativo em , onde , e se existe, ento . Demonstrao:Suponhamos que f tenha um ponto de mximo relativo em c e que f '(c) existe. Ento,. Como um ponto de mximo relativo em c, se x estiver suficientemente prximo de , temos ou seja, Se , temos e assim, . Logo, .(I)Se , temos , assim, . Logo, (II)De (I) e (II) conclumos que . Se f tem um ponto de mnimo relativo em c, a demonstrao anloga.5. Teorema das Derivadas

Teorema de Rolle Seja f uma funo contnua em e derivvel em . Se , ento existe tal que . Se constante em ento , para todo . Seja no constante. Como contnua em , pelo teorema de Weierstrass, atinge seu mximo M e seu mnimo m em . Se ambos fossem atingidos nas extremidades e sendo teramos M = m e, assim, f seria constante. Logo, f atingir seu mximo M ou seu mnimo m em . Como f derivvel em , conclumos que . Teorema do Valor MdioSeja f uma funo contnua em e derivvel em . Ento existe tal que: .Sejam . A equao da reta que passa pelos pontos P e Q dada por: Fazendo temos: Como uma funo polinomial, contnua e derivvel em todos os pontos. Consideremos a funo . Esta funo determina a distncia vertical entre um ponto do grfico de f e o ponto correspondente na reta secante PQ.Temos: A funo satisfaz as hipteses do Teorema de Rolle em , pois: contnua em j que so contnuas em ; derivvel em j que so derivveis em ; .Portanto, existe um ponto tal que . Como , temos Segue que .6. Funes Crescentes e DecrescentesDizemos que uma funo , definida em um intervalo I, crescente neste intervalo se para quaisquer , temos Dizemos que uma funo , definida em um intervalo I, decrescente neste intervalo se para quaisquer , temos Se uma funo crescente ou decrescente num intervalo, dizemos que montona neste intervalo.

Proposio Seja uma funo contnua no intervalo e derivvel no intervalo :a) Se para todo , ento crescente em .b) Se para todo , ento decrescente em .