de ni˘c~oes · de ni˘c~oes vetor de m edias matriz de covari^ancias matriz de correla˘c~oes...

Definicoes

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Patrıcia de Siqueira Ramos

UNIFAL-MG, campus Varginha

20 de Setembro de 2018

Patrıcia de Siqueira Ramos Analise multivariada - Definicoes

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Vetor de mediasMatriz de covarianciasMatriz de correlacoesOutras variancias

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a) Vetor aleatorio

• X e um vetor com p componentes, em que cada componente e umavariavel aleatoria (v.a.)

• Xi e uma v.a. ∀i = 1, 2, . . . , p

• Cada variavel pode ser analisada separadamente (pelocomportamento da sua distribuicao de probabilidade), mas e melhoranalisar o vetor como um todo (pode ser que haja relacionamentosentre as p variaveis)

X =

X1

X2...Xp

=[X1 X2 . . . Xp

]T.


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a) Vetor aleatorio

Ex.: Empresa de minerio de ferro. Variaveis: X1: teor de ferro, X2: teorde umidade, X3: granulometria.

X =[X1 X2 X3

]Te um vetor aleatorio com p = 3.

Ex.: Pesquisa de mercado, amostra de um novo produto para n pessoasque darao notas de 1 a 7 para cada atributo.X1: nota para a cor da embalagemX2: nota para o saborX3: nota para precoX4: nota para facilidade de compra

X =[X1 X2 X3 X4

]Te um vetor aleatorio com p = 4.


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b) Vetor de medias


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b) Vetor de medias

• O vetor µ = E (X ) e chamado vetor de medias do vetor X.

µ = E (X) =

E (X1)E (X2)

...E (Xp)

=

µ1

µ2...µp

• µi = E (Xi ) e a esperanca da variavel Xi

• A media µi e uma das medidas mais utilizadas para sintetizar ainformacao de tendencia central da distribuicao de valores da variavelXi


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c) Matriz de covariancias


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c) Matriz de covariancias

• A matriz de covariancias do vetor aleatorio X e uma matriz simetricadada por

Σp×p =

σ11 σ12 . . . σ1p

σ21 σ22 . . . σ2p...

.... . .

...σp1 σp2 . . . σpp

,• em que a diagonal e composta pelas variancias e os outros elementos

sao as covariancias entre as variaveis.


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Variancia

• A variancia do i-esimo componente de X e

V (Xi ) = E [(Xi − µi )2] = σ2i = σii

• O desvio padrao e σi ou√σii

• O desvio padrao informa a dispersao dos valores da v.a. Xi emrelacao a µi (estao proximos ou distantes de µi )

• Grandes valores de σi indicam maior dispersao de valores em relacaoa media da distribuicao


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Covariancia

A covariancia entre os valores da i -esima e j-esimavariaveis do vetor aleatorio X e

Cov(Xi ,Xj) = E [(Xi − µi)(Xj − µj)] = σij .


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Covariancia

• Quando i = j , Cov(Xi ,Xi ) = V (Xi )

• A covariancia mede o grau de relacionamento linear entre duasvariaveis

• Se valores de Xi acima da media µi estiverem associados a valores Xj

acima da media µj , σij tende a ser positiva (e o mesmo para valoresabaixo da media para Xi e Xj)

• Se valores de Xi acima da media µi estiverem associados a valores Xj

abaixo da media µj , ou vice-versa, σij tende a ser negativa

• Covariancia tem informacao sobre o relacionamento linear entre duasvariaveis, mas e difıcil julgar se a relacao e forte ou nao apenas peloseu valor (correlacao e mais util para isso)


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Covariancia

• Em formato matricial

Cov(X) = E (X− µ)(X− µ)T =

=

E (X1 − µ1)2 . . . E (X1 − µ1)(Xp − µp)

E (X2 − µ2)(X1 − µ1) . . . E (X2 − µ2)(Xp − µp)...

......

E (Xp − µp)(X1 − µ1) . . . E (Xp − µp)2


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Covariancia

Forma equivalente da covariancia:

Cov(Xi ,Xj) = E (XiXj)− E (Xi )E (Xj) = E (XiXj)− µiµj .

Matricialmente

Cov(X) = E (XXT )− µµT


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Covariancia

Se Xi e Xj sao independentes, Cov(Xi ,Xj) = 0 (mas o inverso nao everdadeiro):

• Xi e Xj independentes, E (Xi · Xj) = E (Xi )E (Xj)

• Como Cov(Xi ,Xj) = E [(Xi − µi )(Xj − µj)],

Cov(Xi ,Xj) =E (XiXj − Xiµj − Xjµi + µiµj)

= . . .

=E (Xi )E (Xj)− µiµj = 0


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d) Matriz de correlacoes


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Correlacao

O coeficiente de correlacao entre as i-esima e j-esima variaveis do vetor Xe definido por

ρij =σij√σiiσjj

.

• Medida de covariacao entre as variaveis em uma escala padronizada

• −1 ≤ ρij ≤ 1, i , j = 1, 2, . . . , p. (a covariancia possui domınio ]−∞,+∞ [ )

• Na escala padronizada, um valor muito proximo de 1 ou −1 indicaque as variaveis estao fortemente associadas

• Quando i = j , ρij = ρii = 1

• Se ρij = 0, as variaveis nao possuem associacao linear


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Matriz de correlacoes

A matriz de correlacoes do vetor aleatorio X e uma matriz simetrica dadapor

ρp×p =

1 ρ12 . . . ρ1p

ρ21 1 . . . ρ2p...

.... . .

...ρp1 ρp2 . . . 1

* Exemplo


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Matriz de correlacoes

Matricialmente, se tomarmos V = diag(Σ) = diag(σii ) e definirmosV−1/2 = diag(1/

√σii ), teremos

ρ = V−1/2ΣV−1/2 =

1 ρ12 . . . ρ1p

ρ21 1 . . . ρ2p...

.... . .

...ρp1 ρp2 . . . 1

* Exemplo


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e) Outras variancias


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e) Outras variancias

• A matriz de covariancias Σ(p × p) de um vetor aleatorio Xpossui p(p + 1)/2 parametros referentes a

• p variancias e

• p(p − 1)/2 covariancias

• Se p for grande, o numero de parametros pode ser muito grande

• E interessante usar medidas resumo tais como determinante,traco ou o conjunto de autovalores de Σ


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Variancia total

A variancia total do vetor aleatorio X e definida como

Variancia total = traco(Σ) = tr(Σ) = σ11 + σ22 + · · ·+ σpp.

• Forma de sintetizar a variancia global da distribuicao multivariada porser a soma das variancias de todas as variaveis do vetor X

• Altos valores de variancias totais indicam maior dispersao global dasvariaveis Xi , i = 1, 2, . . . , p.

Obs.: tr(Σ) = tr(Λ) = λ1 + · · ·+ λp (soma dos autovalores).


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Variancia generalizada

A variancia generalizada do vetor aleatorio X e definida como odeterminante da matriz Σ, ou seja,

Variancia generalizada = |Σ|Desvio padrao generalizado = |Σ|1/2

• Tambem fornece uma nocao da dispersao global da distribuicaomultivariada

• Altos valores de variancias generalizadas tambem indicam maiordispersao global das variaveis

• Mas, ao contrario da variancia total, a variancia generalizada einfluenciada pelas covariancias (ou correlacoes) entre as variancias(ver Ferreira(2008) para explicacao geometrica detalhada)

* Exemplo


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Variancia generalizada

A variancia generalizada do vetor aleatorio X e definida como odeterminante da matriz Σ, ou seja,

Variancia generalizada = |Σ|Desvio padrao generalizado = |Σ|1/2

• Tambem fornece uma nocao da dispersao global da distribuicaomultivariada

• Altos valores de variancias generalizadas tambem indicam maiordispersao global das variaveis

• Mas, ao contrario da variancia total, a variancia generalizada einfluenciada pelas covariancias (ou correlacoes) entre as variancias(ver Ferreira(2008) para explicacao geometrica detalhada)

* ExemploPatrıcia de Siqueira Ramos Analise multivariada - Definicoes

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f) Combinacoes lineares


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Combinacoes lineares

• Seja X um vetor aleatorio, composto por p variaveis, com vetor demedias µ e matriz de covariancias Σ.

• Seja ap×1 um vetor de escalares (conhecidos), isto e,

a =[a1 a2 . . . ap

]T

• Seja Z a variavel definida por

Z = aTX = a1X1 + a2X2 + . . . apXp.

• Entao, Z e uma v.a. e uma combinacao linear das variaveispertencentes a X.


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• Seja X um vetor aleatorio, composto por p variaveis, com vetor demedias µ e matriz de covariancias Σ.

• Seja ap×1 um vetor de escalares (conhecidos), isto e,

a =[a1 a2 . . . ap

]T• Seja Z a variavel definida por

Z = aTX = a1X1 + a2X2 + . . . apXp.

• Entao, Z e uma v.a. e uma combinacao linear das variaveispertencentes a X.


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• A media (esperanca matematica) de Z e dada por

µZ = E (Z ) = a1µ1 + a2µ2 + · · ·+ apµp,

em que µi = E (Xi ).

• A variancia de Z e dada por

σ2Z = aTΣa =

p∑i=1

a2i σ

2i +

∑i 6=j

aiajσij .


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