Vetor Posição

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<p>Mecnica TcnicaAula 5 Vetor Posio, Aplicaes do Produto Escalar</p> <p>Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues</p> <p>Aula 5</p> <p>Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues</p> <p>Tpicos Abordados Nesta AulaVetores Posio. Vetor Fora Orientado ao Longo de uma Reta. Produto Escalar Aplicado na Mecnica.</p> <p>Mecnica Tcnica</p> <p>Aula 5</p> <p>Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues</p> <p>Vetores PosioO vetor posio definido como um vetor fixo que localiza um ponto do espao em relao a outro. O vetor posio pode ser escrito na forma cartesiana.</p> <p>r r r r r = xi + yj + zkMecnica Tcnica</p> <p>Aula 5</p> <p>Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues</p> <p>Vetor Posio entre Dois Pontos A e B Fora da OrigemO vetor posio calculado a partir da subtrao das coordenadas x, y, z das extremidades dos vetores em anlise. O vetor posio indica o comprimento real ou a distncia entre dois pontos no espao.</p> <p>r r r rAB = rB rAr r r r rAB = ( x B x A )i + ( y B y A ) j + ( z B z A ) kMecnica Tcnica</p> <p>Aula 5</p> <p>Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues</p> <p>Aplicaes do Vetor Posio</p> <p>Mecnica Tcnica</p> <p>Aula 5</p> <p>Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues</p> <p>Vetor Fora Orientado ao Longo de uma RetaPode-se definir uma fora como um vetor cartesiano pressupondo que ele tenha a mesma direo e sentido que o vetor posio orientado do ponto A para o ponto B na corda.r r r r F = F u = F r</p> <p>Mecnica Tcnica</p> <p>Aula 5</p> <p>Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues</p> <p>Exerccio 11) a corda mostrada na figura est presa aos pontos A e B, determine seu comprimento e sua direo, medidos de A para B.</p> <p>Mecnica Tcnica</p> <p>Aula 5</p> <p>Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues</p> <p>Soluo do Exerccio 1Vetor Posio AB: Vetor Unitrio AB:</p> <p>A (1, 0, 3) m B (2, 2, 3) m</p> <p>r u ABr u AB r u AB</p> <p>r r = AB rAB</p> <p>r r r r rAB = ( x B x A )i + ( y B y A ) j + ( z B z A ) k r r r r rAB = ( 2 1)i + ( 2 0) j + (3 ( 3)) k r r r r rAB = ( 3i + 2 j + 6k ) mMdulo do Vetor Posio:</p> <p>r r r 3i + 2 j + 6k = 7 r r r 3i + 2 j + 6k = 7</p> <p>r r r r u AB = 0,428i + 0,285 j + 0,857 k</p> <p>rAB = 3 2 + 2 2 + 6 2</p> <p>rAB = 7 mMecnica Tcnica</p> <p>Aula 5</p> <p>Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues</p> <p>Soluo do Exerccio 1ngulos Diretores:</p> <p>r rABx = arccos r AB</p> <p>r rABy = arccos r AB2 = arccos 7</p> <p>r rABz = arccos r AB</p> <p> 3 = arccos 7 </p> <p> = arccos = 31</p> <p>6 7</p> <p> = 115</p> <p> = 73,4</p> <p>Mecnica Tcnica</p> <p>Aula 5</p> <p>Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues</p> <p>Exerccio 22) A placa circular parcialmente suportada pelo cabo AB. Sabe-se que a fora no cabo em A igual a 500N, expresse essa fora como um vetor cartesiano.</p> <p>Mecnica Tcnica</p> <p>Aula 5</p> <p>Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues</p> <p>Soluo do Exerccio 2Vetor Posio AB: A (0, 0, 2) m Vetor Unitrio AB: rr r u AB = AB rABr r r r 1,707i + 0,707 j 2k u AB = 2,723 r r r r u AB = 0,626i + 0,259 j 0,734 k</p> <p>B r rAB r rAB r rAB</p> <p>1,707; 0,707; 0) m r r r = ( x B x A )i + ( y B y A ) j + ( z B z A ) k r r r = (1,707 0)i + (0,707 0) j + (0 2)k r r r = (1,707 i + 0,707 j 2k )m</p> <p>Vetor Fora:r r F = F u AB r r r r F = 500 (0,626i + 0,259 j 0,734 k ) r r r r F = (31,3i + 130 j 367 k ) N</p> <p>Mdulo do Vetor Posio:</p> <p>rAB = 1,707 2 + 0,707 2 + 2 2</p> <p>rAB = 2,723m</p> <p>Mecnica Tcnica</p> <p>Aula 5</p> <p>Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues</p> <p>Produto EscalarEm determinados problemas de esttica necessrio se determinar o ngulo formado entre duas retas ou ento os componentes paralelo e perpendicular de uma fora em relao a um eixo. Principalmente em problemas tridimensionais, a soluo por trigonometria torna-se complicada, dessa forma uma maneira rpida de se obter o resultado desejado a partir da lgebra vetorial. O mtodo que pose ser utilizado o produto escalar entre dois vetores.</p> <p>Mecnica Tcnica</p> <p>Aula 5</p> <p>Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues</p> <p>Formulao do Produto EscalarO produto escalar de dois vetores fornece como resultado um escalar e no um vetor e definido conforme a equao mostrada a seguir.</p> <p>r r A B = A B cos</p> <p>r r i i =1 r r j j =1 r r k k =1</p> <p>r r i j =0 r r k j =0 r r i k = 0</p> <p>ngulo entre dois Vetores:</p> <p>r r A B = arccos A B </p> <p>Mecnica Tcnica</p> <p>Aula 5</p> <p>Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues</p> <p>Componentes Paralelo e Perpendicular de um Vetor2</p> <p>r r A// = A cos = A uA = A 2 A//</p> <p>Mecnica Tcnica</p> <p>Aula 5</p> <p>Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues</p> <p>Exerccio 33) A estrutura mostrada na figura est submetida a uma fora horizontal. Determine a intensidade dos componentes dessa fora paralela e perpendicular ao elemento AB.</p> <p>Mecnica Tcnica</p> <p>Aula 5</p> <p>Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues</p> <p>Soluo do Exerccio 3Fora Paralela a Barra AB: r r F// AB = F cos = F u AB Clculo do Vetor Unitrio AB:</p> <p>r rAB r u AB = rABVetor Posio AB: r r r r rAB = 2i + 6 j + 3k m Mdulo do Posio AB:rAB = 2 2 + 6 2 + 3 2</p> <p>rAB = 7 mMecnica Tcnica</p> <p>Aula 5</p> <p>Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues</p> <p>Soluo do Exerccio 3Clculo do Vetor Unitrio AB: r r r r r 2i + 6 j + 3k rAB r u AB = u AB = 7 rAB r r r r u AB = 0,286i + 0,857 j + 0,429k Fora Paralela a Barra AB: r r F// AB = F cos = F u AB r r r r F// AB = (300 j ) (0,286i + 0,857 j + 0,429k )F// AB = (0 0,286) + (300 0,857) + (0 0,429)F// AB = 257,1N</p> <p>Vetor Fora Paralela a Barra AB:v r F// AB = F// AB u AB r v r r F// AB = 257,1 (0,286i + 0,857 j + 0,429k ) r v r r F// AB = (73,5i + 220 j + 110k ) N</p> <p>Fora Perpendicular a Barra AB: r v v F AB = F F// AB</p> <p>r v r r r F AB = (300 j ) (73,5i + 220 j + 110 k ) r v r r F AB = (73,5i + 80 j 110 k ) N</p> <p>Em Mdulo:F AB = F 2 + F// AB2</p> <p>F AB = 300 2 + 257,12</p> <p>F AB = 155 NMecnica Tcnica</p> <p>Aula 5</p> <p>Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues</p> <p>Exerccios Propostos1) A cobertura suportada por cabos como mostrado. Determine a intensidade da fora resultante que atua em A.</p> <p>Mecnica Tcnica</p> <p>Aula 5</p> <p>Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues</p> <p>Exerccios Propostos2) Determine o comprimento do elemento AB da trelia.</p> <p>Mecnica Tcnica</p> <p>Aula 5</p> <p>Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues</p> <p>Exerccios Propostos3) Determine o comprimento do elemento AB da biela do motor mostrado.</p> <p>Mecnica Tcnica</p> <p>Aula 5</p> <p>Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues</p> <p>Exerccios Propostos4) Determine os comprimentos dos arames AD, BD e CD. O anel D est no centro entre A e B.</p> <p>Mecnica Tcnica</p> <p>Aula 5</p> <p>Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues</p> <p>Exerccios Propostos5) Determine a intensidade e os ngulos diretores coordenados da fora resultante que atua sobre o ponto A.</p> <p>Mecnica Tcnica</p> <p>Aula 5</p> <p>Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues</p> <p>Exerccios Propostos6) A porta mantida aberta por meio de duas correntes. Se a tenso em AB e CD for FAB = 300N e FCD = 250N, expresse cada uma dessas foras como um vetor cartesiano.</p> <p>Mecnica Tcnica</p> <p>Aula 5</p> <p>Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues</p> <p>Exerccios Propostos7) Os cabos de trao so usados para suportar o poste de telefone. Represente a fora em cada cabo como um vetor cartesiano.</p> <p>Mecnica Tcnica</p> <p>Aula 5</p> <p>Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues</p> <p>Exerccios Propostos8) A torre mantida reta pelos trs cabos. Se a fora em cada cabo que atua sobre a torre for aquela mostrada na figura, determine a intensidade e os ngulos diretores coordenados da fora resultante. Considere x = 20m e y = 15m.</p> <p>Mecnica Tcnica</p> <p>Aula 5</p> <p>Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues</p> <p>Exerccios Propostos9) Determine os componentes de F paralelo e perpendicular a barra AC. O ponto B est no ponto mdio de AC.</p> <p>Mecnica Tcnica</p> <p>Aula 5</p> <p>Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues</p> <p>Exerccios Propostos10) Determine o ngulo mostrado na figura a seguir.</p> <p>Mecnica Tcnica</p> <p>Aula 5</p> <p>Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues</p> <p>Prxima AulaEquilbrio do Ponto Material. Diagrama de Corpo Livre. Equaes de Equilbrio. Equilbrio de Sistemas Bidimensionais.</p> <p>Mecnica Tcnica</p>