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Mecnica TcnicaAula 5 Vetor Posio, Aplicaes do Produto Escalar

Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues

Aula 5

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Tpicos Abordados Nesta AulaVetores Posio. Vetor Fora Orientado ao Longo de uma Reta. Produto Escalar Aplicado na Mecnica.

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Vetores PosioO vetor posio definido como um vetor fixo que localiza um ponto do espao em relao a outro. O vetor posio pode ser escrito na forma cartesiana.

r r r r r = xi + yj + zkMecnica Tcnica

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Vetor Posio entre Dois Pontos A e B Fora da OrigemO vetor posio calculado a partir da subtrao das coordenadas x, y, z das extremidades dos vetores em anlise. O vetor posio indica o comprimento real ou a distncia entre dois pontos no espao.

r r r rAB = rB rAr r r r rAB = ( x B x A )i + ( y B y A ) j + ( z B z A ) kMecnica Tcnica

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Aplicaes do Vetor Posio

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Vetor Fora Orientado ao Longo de uma RetaPode-se definir uma fora como um vetor cartesiano pressupondo que ele tenha a mesma direo e sentido que o vetor posio orientado do ponto A para o ponto B na corda.r r r r F = F u = F r

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Exerccio 11) a corda mostrada na figura est presa aos pontos A e B, determine seu comprimento e sua direo, medidos de A para B.

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Soluo do Exerccio 1Vetor Posio AB: Vetor Unitrio AB:

A (1, 0, 3) m B (2, 2, 3) m

r u ABr u AB r u AB

r r = AB rAB

r r r r rAB = ( x B x A )i + ( y B y A ) j + ( z B z A ) k r r r r rAB = ( 2 1)i + ( 2 0) j + (3 ( 3)) k r r r r rAB = ( 3i + 2 j + 6k ) mMdulo do Vetor Posio:

r r r 3i + 2 j + 6k = 7 r r r 3i + 2 j + 6k = 7

r r r r u AB = 0,428i + 0,285 j + 0,857 k

rAB = 3 2 + 2 2 + 6 2

rAB = 7 mMecnica Tcnica

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Soluo do Exerccio 1ngulos Diretores:

r rABx = arccos r AB

r rABy = arccos r AB2 = arccos 7

r rABz = arccos r AB

3 = arccos 7

= arccos = 31

6 7

= 115

= 73,4

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Exerccio 22) A placa circular parcialmente suportada pelo cabo AB. Sabe-se que a fora no cabo em A igual a 500N, expresse essa fora como um vetor cartesiano.

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Soluo do Exerccio 2Vetor Posio AB: A (0, 0, 2) m Vetor Unitrio AB: rr r u AB = AB rABr r r r 1,707i + 0,707 j 2k u AB = 2,723 r r r r u AB = 0,626i + 0,259 j 0,734 k

B r rAB r rAB r rAB

1,707; 0,707; 0) m r r r = ( x B x A )i + ( y B y A ) j + ( z B z A ) k r r r = (1,707 0)i + (0,707 0) j + (0 2)k r r r = (1,707 i + 0,707 j 2k )m

Vetor Fora:r r F = F u AB r r r r F = 500 (0,626i + 0,259 j 0,734 k ) r r r r F = (31,3i + 130 j 367 k ) N

Mdulo do Vetor Posio:

rAB = 1,707 2 + 0,707 2 + 2 2

rAB = 2,723m

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Produto EscalarEm determinados problemas de esttica necessrio se determinar o ngulo formado entre duas retas ou ento os componentes paralelo e perpendicular de uma fora em relao a um eixo. Principalmente em problemas tridimensionais, a soluo por trigonometria torna-se complicada, dessa forma uma maneira rpida de se obter o resultado desejado a partir da lgebra vetorial. O mtodo que pose ser utilizado o produto escalar entre dois vetores.

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Formulao do Produto EscalarO produto escalar de dois vetores fornece como resultado um escalar e no um vetor e definido conforme a equao mostrada a seguir.

r r A B = A B cos

r r i i =1 r r j j =1 r r k k =1

r r i j =0 r r k j =0 r r i k = 0

ngulo entre dois Vetores:

r r A B = arccos A B

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Componentes Paralelo e Perpendicular de um Vetor2

r r A// = A cos = A uA = A 2 A//

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Exerccio 33) A estrutura mostrada na figura est submetida a uma fora horizontal. Determine a intensidade dos componentes dessa fora paralela e perpendicular ao elemento AB.

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Soluo do Exerccio 3Fora Paralela a Barra AB: r r F// AB = F cos = F u AB Clculo do Vetor Unitrio AB:

r rAB r u AB = rABVetor Posio AB: r r r r rAB = 2i + 6 j + 3k m Mdulo do Posio AB:rAB = 2 2 + 6 2 + 3 2

rAB = 7 mMecnica Tcnica

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Soluo do Exerccio 3Clculo do Vetor Unitrio AB: r r r r r 2i + 6 j + 3k rAB r u AB = u AB = 7 rAB r r r r u AB = 0,286i + 0,857 j + 0,429k Fora Paralela a Barra AB: r r F// AB = F cos = F u AB r r r r F// AB = (300 j ) (0,286i + 0,857 j + 0,429k )F// AB = (0 0,286) + (300 0,857) + (0 0,429)F// AB = 257,1N

Vetor Fora Paralela a Barra AB:v r F// AB = F// AB u AB r v r r F// AB = 257,1 (0,286i + 0,857 j + 0,429k ) r v r r F// AB = (73,5i + 220 j + 110k ) N

Fora Perpendicular a Barra AB: r v v F AB = F F// AB

r v r r r F AB = (300 j ) (73,5i + 220 j + 110 k ) r v r r F AB = (73,5i + 80 j 110 k ) N

Em Mdulo:F AB = F 2 + F// AB2

F AB = 300 2 + 257,12

F AB = 155 NMecnica Tcnica

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Exerccios Propostos1) A cobertura suportada por cabos como mostrado. Determine a intensidade da fora resultante que atua em A.

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Exerccios Propostos2) Determine o comprimento do elemento AB da trelia.

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Exerccios Propostos3) Determine o comprimento do elemento AB da biela do motor mostrado.

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Exerccios Propostos4) Determine os comprimentos dos arames AD, BD e CD. O anel D est no centro entre A e B.

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Exerccios Propostos5) Determine a intensidade e os ngulos diretores coordenados da fora resultante que atua sobre o ponto A.

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Exerccios Propostos6) A porta mantida aberta por meio de duas correntes. Se a tenso em AB e CD for FAB = 300N e FCD = 250N, expresse cada uma dessas foras como um vetor cartesiano.

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Exerccios Propostos7) Os cabos de trao so usados para suportar o poste de telefone. Represente a fora em cada cabo como um vetor cartesiano.

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Exerccios Propostos8) A torre mantida reta pelos trs cabos. Se a fora em cada cabo que atua sobre a torre for aquela mostrada na figura, determine a intensidade e os ngulos diretores coordenados da fora resultante. Considere x = 20m e y = 15m.

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Exerccios Propostos9) Determine os componentes de F paralelo e perpendicular a barra AC. O ponto B est no ponto mdio de AC.

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Exerccios Propostos10) Determine o ngulo mostrado na figura a seguir.

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Prxima AulaEquilbrio do Ponto Material. Diagrama de Corpo Livre. Equaes de Equilbrio. Equilbrio de Sistemas Bidimensionais.

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