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Clculo Vetorial e Geometria Analtica

Prof. Jos Carlos Morilla

Santos 2009Prof. Jos Carlos Morilla

2 1 CLCULO VETORIAL .................................................................................................. 4 1.1 1.2 Segmentos Orientados ........................................................................................... 4 Vetores ................................................................................................................... 4 Soma de um ponto com um vetor .................................................................... 5 Adio de vetores ............................................................................................ 5 Diferena de vetores ........................................................................................ 6 Mdulo, Direo e Sentido ............................................................................... 6 Produto de um nmero real por um vetor. ....................................................... 6 Espao vetorial. ............................................................................................... 7 Exerccios. ....................................................................................................... 7

1.2.1 1.2.2 1.2.3 1.2.4 1.2.5 1.2.6 1.2.7 1.3

Dependncia e Independncia Linear. ................................................................... 8 Definies ........................................................................................................ 8 Exerccios. ....................................................................................................... 9

1.3.1 1.3.2 1.4

Base ....................................................................................................................... 9 Adio entre vetores ...................................................................................... 10 Multiplicao por um escalar.......................................................................... 11 Exerccios ...................................................................................................... 11 Ortogonalidade. ............................................................................................. 12 Exerccios. ..................................................................................................... 13

1.4.1 1.4.2 1.4.3 1.4.4 1.4.5 1.5

Mudana de Base................................................................................................. 13 Mudana de Base Ortornormal. ..................................................................... 14 Exerccios. ..................................................................................................... 14

1.5.1 1.5.2 2

PRODUTOS ENTRE VETORES E ESCALARES ...................................................... 15 2.1 2.2 ngulo entre dois vetores. .................................................................................... 15 Produto Escalar. ................................................................................................... 16 Cossenos diretores ........................................................................................ 16 Projeo de um vetor ..................................................................................... 17 Propriedades do Produto Escalar. ................................................................. 17 Exerccios. ..................................................................................................... 18

2.2.1 2.2.2 2.2.3 2.2.4 2.3 2.4

Orientao no espao V3. ..................................................................................... 19 Produto Vetorial .................................................................................................... 19 Vetores Cannicos......................................................................................... 21 Exerccios ...................................................................................................... 23

2.4.1 2.4.2 2.5

Produto Misto ....................................................................................................... 23 Propriedades do Produto Misto...................................................................... 24

2.5.1

Prof. Jos Carlos Morilla

3 2.5.2 2.6 Exerccios ...................................................................................................... 25

Duplo produto vetorial. ......................................................................................... 26 Exerccios ...................................................................................................... 26

2.6.1 3

GEOMETRIA ANALTICA .......................................................................................... 27 3.1 Sistemas de Coordenadas Cartesianas ............................................................... 27 Exerccios ...................................................................................................... 27

3.1.1 3.2

Retas e Planos ..................................................................................................... 28 Estudo da Reta. ............................................................................................. 28 Equaes Paramtricas da Reta. ............................................................ 28 Exerccios ................................................................................................ 29

3.2.1

3.2.1.1 3.2.1.2 3.2.2

Equaes do Plano ........................................................................................ 29 Equaes Paramtricas do Plano ........................................................... 32 Exerccios ................................................................................................ 34

3.2.2.1 3.2.2.2 3.3

Posio relativa de retas e planos ........................................................................ 35 Posio relativa entre duas retas. .................................................................. 35 Exerccios ...................................................................................................... 36

3.3.1 3.3.2 3.4

Posio relativa entre uma reta e um plano. ........................................................ 37 Exerccios ...................................................................................................... 39 Posio relativa entre planos. ........................................................................ 40 Exerccios ...................................................................................................... 41

3.4.1 3.4.2 3.4.3

Prof. Jos Carlos Morilla

4

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CLCULO VETORIAL

1.1

Segmentos Orientados Chamamos de segmento orientado a um segmento de reta que possui sua origem em um ponto e sua extremidade em outro. Tome-se, por exemplo, o segmento mostrado na figura 1.

Figura 3- Segmentos Opostos

Dizemos que dois segmentos so equipolentes quando eles possuem o mesmo comprimento, a mesma direo e o mesmo sentido.

Figura 4 - Segmentos Equipolentes Figura 1- Segmento de reta orientado

Na figura 1 o segmento de reta representado tem sua origem no ponto A e sua extremidade no ponto B. Dizemos que um seguimento nulo quando sua origem coincide com sua extremidade (AB). Dado um segmento AB, diz-se que o segmento BA o seu oposto.

1.2

Vetores Chama-se de vetor ao segmento de reta orientado que possui sua origem em um ponto e extremidade em outro. Na figura 5, o segmento AB chamado de vetor AB e indicado por AB.

Figura 5- Vetor AB

Figura 2- Segmentos Opostos

Dados dois segmentos orientados AB e CD, como os mostrados na figura 3, dizemos que eles tm a mesma direo quando os segmentos AB e CD so paralelos ou coincidentes. Com relao ao seu sentido, dizemos que dois segmentos possuem o mesmo sentido quando, alm de terem a mesma direo possuem a mesma orientao. Quando a orientao oposta, dizemos que os segmentos so opostos.Prof. Jos Carlos Morilla

Sempre que designarmos um vetor este ter em sua designao uma seta, orientada para a direita, sobre o smbolo de sua designao. Dois vetores AB e CD so iguais se e somente se, os dois segmentos orientados que os representam forem equipolentes.

Figura 6- Vetores iguais (AB = CD)

5 Dado um vetor v = AB, o vetor BA chamado de oposto de AB e se indica por -AB ou por - v .

Figura 7- Vetores Opostos Figura 8 Soma de vetores

1.2.1 Soma de um ponto com um vetor Dado um ponto A e um vetor v , existe um nico ponto B tal que B-A=v. O ponto B chamado de soma do ponto A com o vetor v e se indica por A+ v . As propriedades imediatas: abaixo so

Podemos dizer, ento que o vetor w soma do vetor u com o vetor v . Podemos escrever ento que: u+v=w Graficamente, podemos usar a regra do paralelogramo:

A+0=A (A-v)+v=A Se A+ v =B+v ento A=B Se A+ u =A+v ento u=v A+(B-A)=BFigura 9 Regra do Paralelogramo

1.2.2 Adio de vetores Consideremos dois vetores u e v e um ponto qualquer A. Quando se toma o ponto A, e a ele se soma o vetor u obtemos um segundo ponto, que aqui vamos chamar de B. Quando se soma ao ponto B o vetor v , encontramos um terceiro ponto, que chamaremos de C. Podemos dizer que existe um terceiro vetor w que ao ser somado ao ponto A encontramos o ponto C.

Na figura 10, o vetor AD representa a soma entre os vetores u; v e w. C

B D

AFigura 10 Soma entre vetores

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6 1.2.3 Diferena de vetores Consideremos dois vetores u e v , como os mostrados na figura 11, o vetor k u+ -v chamado de diferena entre u ev. Na figura 11, quando se toma o ponto A e a ele se soma o vetor u , obtemos o ponto B. Quando se soma ao ponto A o vetor v ,