conveccao em escoamento interno- parte i

Escoamento Interno

Desenvolvimento de Camada Limite fluidodinâmica laminar num tubo circular.

Condições de EscoamentoConsiderações Fluidodinâmicas

1

Escoamento Interno


Experiência de Reynolds.

2

Esquema da experiência

Escoamento Interno


3

Padrões de Escoamento.

Escoamento Interno


4

Padrões de Escoamento

Escoamento Interno

Considerações Fluidodinâmicas

5

Escoamento Externo

Escoamento Interno

Laminar

Turbulento

Laminar

Turbulento

Região de Entrada

Região Plenamente Desenvolvida

Região de Entrada

Região Plenamente Desenvolvida

Escoamento Interno

Condições de Escoamento

6

● Número de Reynolds para escoamento num tubo circular

Onde:- um é a velocidade média do fluido na secção transversal- D é o diâmetro do tubo

● Número de Reynolds Crítico

Escoamento Interno


7

● Comprimento de entrada fluidodinâmica para escoamento laminar (Re ≤ 2300, entrada convergente arredondada)

● Comprimento de entrada fluidodinâmica para escoamento turbulento (Re > 2300)

Para escoamento turbulento será admitido x/D>10

Escoamento Interno


8

Velocidade Média

● Escoamento Externo → Velocidade da corrente livre

● Escoamento Interno → Velocidade média

m trm u Aρρρρ====&&&&

mtr

mu

Aρρρρ====

&&&&

O número de Reynolds fica então :

m2

tr

u D D m D m 4mRe

A DD

4

ρρρρ ρρρρ

µ µ ρ µ π µµ µ ρ µ π µµ µ ρ µ π µµ µ ρ µ π µππππ= = = == = = == = = == = = = ⇒⇒⇒⇒

& & && & && & && & & 4mRe

Dπ µπ µπ µπ µ====

&&&&

Isolando um resulta:

Escoamento Interno

9

Representando o caudal mássico pelo integral de ρρρρ.u na secção transversal, tem-se:

Como entãom trm u Aρρρρ====&&&&

Velocidade Média

Escoamento Interno

( ) ( ) drrrdrrdAtr

πππ 222

=−+=10

Velocidade Média

Escoamento Interno

Esta expressão pode ser usada para determinar um em qualquerlocalização x sobre o eixo, a partir do perfil de velocidades u(r)nessa localização.

11

Escoamento Interno

Na região completamente desenvolvida a velocidade u nãodepende de x. Logo

u(r,x) = u(r)12

( ) ( ) drrrdrrdAtr

πππ 222

=−+=

ro

dr

r

r

dr

r

o

Escoamento Interno

( )

−=

2

om r

r12

u

ru

Perfil de Velocidade na Região de Escoamento Plenamente Desenvolvido para regime laminar:

13

Considerações Térmicas

Escoamento Interno

Se o fluido entra no tubo a T(r,0) menor que Ts, ocorretransferência de calor por convecção e inicia-se odesenvolvimento de uma camada limite de temperaturas

Camada limite de T

14


Escoamento Interno

O fluido vai aquecendo ao longo do tubo => a diferença entre a T inicial do fluido e a temperatura média em cada x aumenta com x 15

● Comprimento de entrada térmica para escoamento laminar

em comparação com o comprimento de entrada hidrodinâmica

● Comprimento de entrada térmica para escoamento turbulento

cd ,t

tur

10D

χχχχ ====

cd ,t

D

lam

0,05 Re PrD

χχχχ ≈≈≈≈


Escoamento Interno

16


Escoamento Interno

A Temperatura Média

Escoamento Externo Escoamento Interno

Velocidade na corrente livre ⇒⇒⇒⇒ Velocidade Média

Temperatura na corrente livre ⇒⇒⇒⇒ Temperatura Média

● As temperaturas nas secções transversais não são uniformes para a convecção em escoamento interno

● É necessária a definição de uma temperatura média

17

= ∫tr

p m p tr

A

m c T uc TdAρρρρ&&&&

A Temperatura MédiaEscoamento Interno

Energia térmica transportada

pelo fluido

18

cp(Tout-Tin)

(Apenas válido para fluidos com perfil de temperatura uniforme)

Para escoamento num tubo circular com ρρρρ e cp constantes e :

= ∫tr

p m p tr

A

m c T uc TdAρρρρ&&&&

=∫

tr

p tr

A

m

p

uc TdA

Tm c

ρρρρ

&&&&

= ∫or

m 2

m 0 0

2T uT r dr

u r

m trm u Aρρρρ====&&&&

A Temperatura Média

Escoamento Interno

Energia térmica transportada

pelo fluido

19

Lei do arrefecimento de Newton

′′ = −s s mq h(T T )

Onde h é o coeficiente de transferência de calor local

Tm (para esc. interno) e T∞

(para esc. externo) são essencialmente diferentes

- T∞

é constante ao longo do escoamento (ao longo de x)

- Tm varia ao longo do escoamento (ao longo de x) (porque há transferência de calor)

O valor de Tm com x, se houver transferência de calor da superfície para o fluido

O valor de Tm com x, se houver transferência de calor do fluido para a superfície


Escoamento Interno

20

Escoamento Interno

Condições Plenamente Desenvolvidas

≠h

f ( x )k

● No escoamento, completamente desenvolvido,de um fluido com propriedades constantes, ocoeficiente de transferência de calor porconvecção local (h) é uma constanteindependente de x .

● Na entrada, h varia com x

21

Escoamento Interno

Condições Plenamente Desenvolvidas

Figura: Variação de h num tubo.

22

Escoamento Interno

Resumindo:

�A temperatura média é uma variável muito importante nos

escoamentos internos.

�Para descrever estes escoamentos é necessário conhecer a

variação da velocidade média com x

�Esta variação pode ser determinada mediante um balanço global

de energia no escoamento

23

O Balanço de EnergiaEscoamento Interno

Considerações Gerais

Partindo da Equação Eentra – Esai + Egerada= Eacumulada, e aplicandoacima:

( )entmTsaimTpcmconvdq,,

−= &

(((( ))))conv p m m mdq m c T dT T = + −= + −= + −= + − &&&& conv p mdq m c dT⇒⇒⇒⇒ ==== &&&&

Caudal mássico constante

Perímetro do tubo

Para todo o tubo vem: )(,0,

.

immpconv TTcmq −−−−==== 24

(((( ))))ms

pp

sm TThcm

P

cm

Pq

dx

dT−−−−====

′′′′′′′′====

&&

conv p mdq m c dT==== &&&&

representando conv sdq q P dx′′′′′′′′====

s p mq P dx m c dT′′′′′′′′ ==== &&&&

Rearranjando e substituindo (((( ))))s s mq h T T′′′′′′′′ = −= −= −= −



25

(((( )))) )1(ms

pp

sm TThcm

P

cm

Pq

dx

dT−−−−====

′′′′′′′′====

&&

A solução desta equação depende da condição térmicada superfície. Serão considerados dois casos:

- Fluxo térmico constante na superfície;

- Temperatura superficial constante.

O Balanço de Energia

Escoamento Interno


26

O Balanço de Energia

Escoamento Interno

Fluxo Térmico na Superfície Constante

T xxm s s

mp pT 0m ,ent

dT q P q PdT dx

dx m c m c

′′ ′′′′ ′′′′ ′′′′ ′′==== ⇒⇒⇒⇒ ====∫ ∫∫ ∫∫ ∫∫ ∫& && && && &

Integrando a Equação (1) desde x=0:

′′′′= + =s

m m ,ent sp

q PT ( x ) T x q cons tan te

m c&&&&

A taxa de transferência de calor é dada por:

( )L.Pqq sconv ′′=

27


Fluxo Térmico na Superfície Constante

•Tm(x) varia linearmente com x ao longodo tubo•(Ts - Tm) varia com x.•Esta diferença é inicialmente pequena(em virtude de h ser grande na entrada)(q’’ = h (Ts-Tm))•Esta diferença cresce com x porque hdecresce.•Na região completamente desenvolvida,h é cte, => (Ts - Tm) = cte

28

Escoamento Interno

Temperatura Superficial Constante

( )Th

cm

P

dx

Td

dx

dT

p

m ∆∆∆∆∆∆∆∆

&=−=

Fazendo (Ts-Tm)= ∆∆∆∆T na equação (1)

( )mspp

sm TThcm

P

cm

Pq

dx

dT−=

′′=

&&

Separando variáveis e integrando

( )∫∫ −=

L

0p

T

T

dxhcm

P

T

Tdsai

ent&

∆∆∆∆

∆∆∆∆∆∆∆∆

∆∆∆∆

29

Resolvendo a integração, resulta:

−= ∫

L

0pent

sai dxhL

1

cm

PL

T

Tln

&∆∆∆∆

∆∆∆∆

Lembrando que é, por definição o∫L

0

1hdx

L

coeficiente de convecção médio ,ou tem-se:Lh

tetanconsThcm

PL

T

Tln sL

pent

sai =−=&∆∆∆∆

∆∆∆∆

h

Escoamento Interno


30

Reordenando resulta:= −saiL

ent p

T PLln h

T mc

∆∆∆∆

∆∆∆∆ &&&&

tetanconsThcm

PLexp

TT

TT

T

Ts

pent,ms

sai,ms

ent

sai =

−=

−

−=

&∆∆∆∆

∆∆∆∆

Considerando a integração da entrada do tubo até uma posição xno interior do tubo, o resultado tem a forma mais geral:

tetanconsThcm

Pxexp

TT

)x(TTs

pent,ms

ms =

−=

−

−

&

(Ts-Tm) Decai exponencialmente com x

Escoamento Interno


31

Escoamento Interno


32

conveccao em escoamento interno- parte i

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