UNIVERSIDADE ESTADUAL DE CAMPINAS Faculdade de Engenharia Mecnica

Comisso de Ps-Graduao em Engenharia Mecnica

Contato entre corpos rolantes

Atividade 1 IM559 - Engenharia Assistida por computador

Alunos: Jony Javorski Eckert RA 115672 Matheus Sanches Stefani RA 109408 Andr Garcia Lima Suetti RA 098513

Campinas

2011

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SUMRIO

1 INTRODUO ............................................................................................................. 2 2 Reviso bibliogrfica ...................................................................................................... 3

2.1 Contato entre esferas .............................................................................................. 3 2.1.1 Distribuio de tenses: ...................................................................................... 5

2.2 Contato entre cilindros: ........................................................................................... 7 2.2.1 Tenses em cilindros .......................................................................................... 8

2.3 Contato geral entre corpos rolantes ......................................................................... 9 2.3.1 Tenses contato geral........................................................................................ 10

3 Exerccio resolvido ....................................................................................................... 12 4 Concluso .................................................................................................................... 15 5 Bibliografia .................................................................................................................. 16

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LISTA DE FIGURAS

Figura 2-1 Distribuio elipsoidal de presso no contato. Extrada de Norton, 2004. ........... 3 Figura 2-2 Localizao do eixo z. Extrada de Norton, 2004. ............................................... 5 Figura 2-3 Distribuio de presso em contato entre cilindros. ............................................ 7 Figura 3-1 Ilustrao do problema ..................................................................................... 12

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LISTA DE TABELAS

Tabela 1 - Fatores Ka e Kb .................................................................................................... 10

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1 INTRODUO

Em diversas aplicaes da engenharia mecnica necessrio conhecer os esforos e

deformaes resultantes do contato entre dois corpos. O propsito desse trabalho apresentar

o equacionamento necessrio para o clculo da deformao gerada pelo efeito de compresso

no contato entre dois corpos de superfcie curva. O equacionamento aqui apresentado

tambm chamado de Hertzian contact stress por ser proposto, inicialmente, por Hertz em

1882.

O primeiro caso trata do contato entre duas esferas, enquanto o segundo e terceiro

casos apresentam a formulao para o contato entre cilindros paralelos e corpos rolantes em

geral, respectivamente.

No fim do trabalho apresentado um exerccio resolvido considerando duas esferas

com dimetros diferentes.

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2 Reviso bibliogrfica

2.1 Contato entre esferas

A rea de contato entre duas esferas perfeitas encostadas sem nenhum tipo de

carregamento pode ser considerada infinitesimal. No entanto, na medida em que aplicada

uma carga normal ao contato, as superfcies se deformam, fazendo a distribuio de presso

assumir uma forma elipsoidal.

A presso de contato mxima no centro e nula na periferia do contato, e a fora

considerada como sendo igual ao volume da semi-elipside de contato, definida pela Equao

(2.1), onde a a metade do raio na regio de contato e a presso mxima definida pela Equao (2.2).

= 23 (2.1) = 32 (2.2)

Figura 2-1 Distribuio elipsoidal de presso no contato. Extrada de Norton, 2004.

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Sabendo-se que a presso a fora aplicada dividida pela rea de contato a presso

mdia definida pela Equao (2.3), e a presso mxima definida pela Equao (2.4).

A influncia do material das esferas dada pelo fator m calculada pela Equao (2.5), onde E e so o modulo de elasticidade e o coeficiente de Poisson do material, respectivamente.

A rea de contato geralmente muito pequena e depende unicamente dos raios das

esferas, portanto, um caso de um contato entre uma esfera e uma superfcie plana pode ser

equacionado se a superfcie plana for considerada uma esfera de raio infinito. Sendo assim, o

segundo fator da equao deve ser considerado nulo:

Em que o raio da regio de contato obtido pela Equao (2.6). Os ndices da varivel

m se referem aos dois corpos em contato.

A distribuio de presso definida pela Equao (2.8), onde as variveis x e y representam as coordenadas da regio da elipse onde se deseja saber a tenso.

= = (2.3) = 23 (2.4)

= 1

(2.5)

= 12 1 + 1 (2.6)

= 4 + 2 = 0,375 + (2.7)

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2.1.1 Distribuio de tenses:

O contato entre esferas fornece um estado triplo de tenses compressivas denominadas

tenses de Hertz, que so utilizadas para carregamentos estticos ou de rolamento puro, sendo

estas tenses calculadas pelas Equaes (2.9) e (2.10), em que o sentido positivo do eixo z aponta para dentro do material:

Para as tenses superficiais onde a cota z nula, tem-se:

= 1 (2.8)

= 1 + ( + ) (2.9) = = 2 (1 + 2) + 2(1 + ) + + (2.10)

= (2.11) = = 1 + 22 (2.12)

Figura 2-2 Localizao do eixo z. Extrada de Norton, 2004.

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A tenso de cisalhamento calculada por:

A tenso mxima de cisalhamento encontra-se abaixo da superfcie de contato,

gerando primeiramente trincas internas que crescem at que a camada superior se solte,

gerando crateras na pea, sendo a tenso cisalhante mxima calculada pela Equao (2.14):

Para um ponto intermedirio entre a superfcie e o ponto de tenso cisalhante mxima

fornecida a seguinte equao:

medida que se afasta da linha de centro do ponto de contato as tenses diminuem,

mas existe ainda um estado de cisalhamento puro dado pela Equao (2.16):

Alm da tenso cisalhante, existe uma tenso de trao que dada por:

= 2 (1 2)2 + (1 + ) + 32 + (2.13)

= 2 (1 2)2 + 29 (1 + )2(1 + ) (2.14)

@ = 2 + 27 2 (2.15)

= 1 23 (2.16) = 1 23 (2.17)

72.2 Contato entre cilindros:

O contato entre dois corpos cilndricos geram uma regio de conato retangular e, assim

como nas esferas, a presso de contato mxima no centro e nula nas bordas. A Figura 2-3

mostra a distribuio de presso no contato entre cilindros.

O comprimento de contato L , agora, includo no equacionamento. A fora aplicada

no contato definida pela Equao (2.18) e a presso mxima pela Equao (2.19):

A presso mdia e a presso mxima so definidas por:

= 12 (2.18) = 2 (2.19)

= = 2 (2.20) = 4 1,273 (2.21)

Figura 2-3 Distribuio de presso em contato entre cilindros.

8A constante geomtrica B similar ao contato entre esferas e definida pela Equao

(2.6). O fator a definido pela Equao (2.22) e, no caso de contato entre um cilindro e uma superfcie plana, o segundo termo do fator geomtrico B deve ser nulo.

O coeficiente m referente ao material das partes em contato calculado similarmente

ao caso de contato entre superfcies esfricas pela Equao (2.5).

A distribuio de presses dentro do retngulo dada por:

2.2.1 Tenses em cilindros

O contato entre cilindros permite a aplicao de duas teorias relacionadas anlise do

campo de tenses. Pode-se utilizar tanto o estado plano de tenses em cilindros curtos quanto

o estado plano de deformao em cilindros longos. Na linha de centro da superfcie de contato

as tenses so:

Assim como no caso das esferas, a mxima tenso de cisalhamento est situada abaixo

da superfcie de contato. Para dois cilindros de ao o valor da tenso mxima definido por:

= 2 +

(2.22)

= 1 (2.23)

= = (2.24) = 2 (2.25)

= 0,304 (2.26)

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2.3 Contato geral entre corpos rolantes

A regio de contato entre duas superfcies que possuem uma forma curva qualquer

considerada elptica e a distribuio de presses considerada uma semi-elipside. Como a

regio de contato na maioria dos casos muito pequena, possvel fazer uma aproximao da

curvatura dos corpos em contato por dois raios principais ortogonais no ponto de contato,

conforme a Figura 2-1.

A fora, presso mxima e presso mdia so dadas pelas equaes:

Como os corpos em contato no possuem geometria especfica, para este

equacionamento os coeficientes geomtricos A e B so mais complicados, tendo em vista serem compatveis com quaisquer formas acopladas no contato.

@ = 0,786 (2.27)

= 23 (2.28) = 32 (2.29)

= = (2.30)

= 12 1 + 1 + 1 + 1 (2.31)

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As dimenses da rea de contato a e b so calculadas pelas equaes 33 e 34.

O coeficiente m referente ao material continua similar aos casos anteriores e definido pela Equao (2.5), e os fatores ka e kb so definidos pela tabela abaixo:

Tabela 1 - Fatores Ka e Kb Fonte: Projeto de mquinas Robert L. Norton

Fatores ka e kb 0 10 20 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 ka 6,612 3,778 2,731 2,397 2,136 1,926 1,754 1,611 1,486 1,378 1,284 1,202 1,128 1,061 1,000 kb 0 0,319 0,408 0,493 0,530 0,567 0,604 0,641 0,678 0,717 0,759 0,802 0,846 0,893 0,944 1,000

Em que a distribuio de presses na rea de contato dada por:

2.3.1 Tenses contato geral

A distribuio de tenso em contatos em geral similar ao contato entre cilindros,

sendo as mximas tenses normais descritas pelas Equaes abaixo:

= 12 1 1 + 1 1 + 2 1 1 1 1 2

(2.32)

= 3( + )4 (2.33)

= 3( + )4 (2.34)

= 1 (2.35)

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A mxima tenso de cisalhamento tambm ocorre um pouco abaixo da superfcie de

contato que depende da geometria dos corpos, sendo a tenso para o corpo de maior elipse

dada pela Equao (2.39).

E os fatores K3 e K4 so calculados por:

A tenso mxima de cisalhamento dada pela Equao (2.42).

= 2 + (1 2) + (2.36) = 2 + (1 2) + (2.37)

= (2.38)

= (1 2)

1 1 (2.39)

= (2.40) = 1 (2.41)

= (1 2)

1 (2.42)

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3 Exerccio resolvido

Determinar a fora mxima aplicada no contato entre duas esferas de ao com

dimetros de 30 mm e 50 mm para gerar uma tenso mxima de 300 MPa, conforme a Figura

3-1.

Tenso mxima:

Coeficiente de Poisson do ao

Continuando para presso mxima, temos:

MPamx 300 (3.1)

3,0ao (3.2)

MPaPP mxmxmxao

ymxxmx 15005,0221

__

(3.3)

Figura 3-1 Ilustrao do problema

13Considerando a tenso de cisalhamento = 300 MPa, para calcular a presso mxima

temos as seguintes resolues:

Para a presso mdia:

A dimenso da rea de contato a obtida por:

Utilizando o fator m, calculado atravs da Equao (2.5):

O coeficiente geomtrico B resulta em:

12192

221

2_mx

yzmxP

(3.4)

MpaPPP mxmxmx 901 0.3329300 0.66582300 (3.5)

MPaPPP mdiamdiamx 20023

(3.6)

reaFPmdia (3.7)

2area (3.8)

3 21

83 F

Bmma (3.9)

129

2

1

21

21 1033,4102103,011

E

mm (3.10)

33,53025,01

015,01

2111

21

21

RRB (3.11)

2

3 21

2

83

FB

mm

FaFPmdia

(3.12)

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Assim, teremos a fora mxima a ser aplicada:

32

21

3

83

Bmm

FP

(3.13)

3321212332

21

33,531033,41033,4

83300

83

B

mmPF (3.14)

NF 10,3 (3.15)

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4 Concluso

Com esse trabalho foi possvel entender a cinemtica que ocorre no contato entre dois

corpos de superfcie curva quando esto submetidos a uma fora normal. As geometrias

analisadas foram esferas e cilindros paralelos, alm de um caso geral.

O exerccio resolvido utilizou-se da formulao exposta e possibilitou encontrar a

mxima fora permissvel para gerar um nvel de tenso pr-determinado.

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5 Bibliografia

NORTON, R. L. Projeto de mquinas: uma abordagem integrada. Porto Alegre: Bookman, 2004. 931 p. PUTTOCK, M. J., THWAITE, E. G Elastic Compression of Spheres and Cylinders at Point and Line Contact. National Standards Paper n25, 1969.