CONCEITOS BÁSICOS DE CONCEITOS BÁSICOS DE GRAFOSGRAFOS

Prof. M.Sc. Fábio Francisco da Costa Fontes

Março - 2009

Vértices e Arestas

Em um grafo não orientado G=(V,E), o conjunto de arestas E consiste em pares de vértices não ordenados. V={1,2,3,4,5,6} E={(1,2),(1,5),(2,5),(3,6)}

1 2 3

4 5 6

Vértices e Arestas

Em um grafo orientado (ou dígrafo) G=(V,E), os arcos consistem em pares de vértices ordenados (u,v).V= {1,2,3,4,5,6} E={(1,2),(4,1),(2,4),...}

1 2 3

4 5 6

Vértices e Arestas

Loop (laço): uma aresta que liga um vértice a ele mesmo

Multi-aresta: é uma coleção de arestas que tem os mesmos pontos finais.

Classificação de Grafos

Simples: um grafo simples não tem loops nem multi-arestas

Multigrafo: pode ter multi-arestas mas não pode ter laços

Pseudografo: pode ter multi-arestas e laços

Trivial: consiste de um vértice sem arestas

Nulo: não tem vértices, nem arestas

Vizinho e Vizinhança

Os vértices unidos por uma aresta são chamados de vizinhos.

A vizinhança (aberta) de um vértice v em um grafo G, denotado por N(v), é o conjunto de todos os vizinhos de v.

A vizinhança fechada de um vértice é N(v) U {v}.

Adjacência

Vértices Adjacentes: se (u,v) é uma aresta em um grafo G=(V,E), dizemos que o vértice v é adjacente ao vértice u.

Quando o grafo não é orientado a relação de adjacência é simétrica

u v

v é adjacente a uu é adjacente a v

Adjacência

Quando o grafo é orientado a relação de adjacência não é simétrica

u v

v é adjacente a u

u não é adjacente a v pois não existe a aresta (v,u)

Adjacência

Nos dois exemplos o vértice 2 é adjacente ao vértice 1. Mas no segundo o vértice 1 não é adjacente ao vértice 2 pois não existe a aresta (2,1).

1 2 3

4 5 6

1 2 3

4 5 6

Exemplo 1 Exemplo 2

Incidência

Arestas Incidentes: se o vértice v é um dos pontos finais da aresta e, dizemos que e é incidente em v.

Quando o grafo não é orientado a relação de incidência é simétrica.

eu v

Incidência

Nos exemplos abaixo a aresta (2,5) é incidente ao vértice 5. Mas no segundo a aresta (2,5) não incide no vértice 2.

1 2 3

4 5 6

1 2 3

4 5 6

Exemplo 1 Exemplo 2

Grau de um Vértice

O grau de um vértice em um grafo não orientado é o número de arestas incidentes nele.

Loops contam duas vezes Exemplo: o grau do vértice 2 do grafo

abaixo é 4.

1 2 3

4 5 6

Grau de um Vértice

Em um grafo orientado, temos a noção de grau de entrada e grau de saída.

O grau de um vértice orientado é seu grau de entrada mais seu grau de saída.

O grau de entrada do vértice 2 é 1 e o grau de saída é 3.

1 2 3

4 5 6

Soma dos Graus Leonhard Euler estabeleceu uma relação

fundamental entre vértices e arestas em um grafo

Teorema: a soma dos graus dos vértices de um grafo é duas vezes o número de arestas.

Porque?

Prova: Cada aresta contribui duas vezes para a soma dos graus.

Exercícios

1. Dado o grafo abaixo, ache:1. O conjunto de vértices2. O conjunto de arestas3. O grau de todos os vértices4. Os vértices adjacentes ao vértice 25. Construa uma tabela com os vizinhos de

cada vértice

1 2 3

4 5

Exercícios

2. Defina os conjuntos (V,E), ache os graus e os vizinhos de cada vértice do Grafo G das questões a, b e c.

Grafos valorados (Redes ≡ Networks)

Uma Rede é um grafo não-direcionado (ou um digrafo) no qual um número real é associado os vértices e/ou ligações. Este número é freqüentemente referido como o peso da ligação. Essa classificação é dada de acordo com a necessidade, ou não, da indicação do fluxo entre os vértices.

Grafos valorados (Redes ≡ Networks)

Na prática este número pode representar:- custos, distâncias, capacidades, e/ou

suprimentos e demandas;- tempo (trânsito, permanência, etc);- confiabilidade de transmissão;- probabilidade de ocorrer falhas;- capacidade de carga;- outros.

Representação Matemática

Um Rede é representado matematicamente também por:

G=(V,E,w)Onde: V é o conjunto de vértices; E é o conjunto de ligações;e w é o peso associado aos vértices e/ou ligações.

Grafos valorados (Redes ≡ Networks)

Exemplos de Grafos valorados (Redes ≡ Networks)

• Redes ferroviárias• Redes de telecomunicações• Redes de estradas• Redes Elétricas• Redes de esgotos• Redes de transportes• Redes de atividades → “scheduling” de

atividades em grandes projetos

Redes de atividades

Famílias de Grafos

Grafo Completo: é um grafo simples tal que cada par de vértices é interconectado por uma aresta.

K1 K2 K3 K4

Famílias de Grafos

Grafo Bipartido: é um grafo cujo conjunto de vértices pode ser dividido em dois subconjuntos U e W, tal que cada aresta do grafo conecta um vértice de U com um vértice de W.

Famílias de Grafos

Um grafo bipartido não pode ter loops Um grafo bipartido completo tem cada

vértice de uma partição conectado a todos os vértices da outra partição

K2,3

Famílias de Grafos

Grafo Regular: é um grafo em que todos os vértices tem o mesmo grau

Um grafo k-regular é regular e todos os vértices tem grau k

Grafo de PetersenTetraedro Molécula de O2

Famílias de Grafos

Bouquet: é um grafo que contém apenas um vértice com n loops

Bipolar (Dipole): é um grafo que contém dois vértices ligados por n arestas

D3B2 B4

Famílias de Grafos

Um grafo caminho P é um grafo simples com |VP| = |EP| + 1, tal que todos os vértices e arestas possam ser desenhados em uma linha reta

P2

P3

P4

Famílias de Grafos

Um grafo ciclo é um único vértice com um loop ou um grafo simples C, com |VC| = |EC|, tal que todos os vértices e arestas possam ser desenhados em um círculo

C1 C2

C4

Famílias de Grafos

Outros tipos de grafos:HipercuboEscadaInterseçãoIntervaloLinhaEtc.

Exercícios

1. Desenhe o menor grafo não-bipartido possível

2. Desenhe um grafo bipartido 3-regular que não é K3,3

Exercícios

3- Dê uma partição de vértices ou justifique porque o grafo não é bipartido

x z

u v

x y

u v

w z

Gabarito

1 - loop2 -

3 – U = {x, v} e W = {u,z} U = {x, z, u} e W = {y, v, w}

x z

u v

Observação

Como dito anteriormente, quando o conjunto de vértices de um grafo é particionado em dois subconjuntos U e W, tal que cada aresta do grafo conecta um vértice de U com um vértice de W, esse grafo é chamado bipartido.Também pode ser chamado 2-partido.Consequentemente, no caso de ser particionado em 3 subconjuntos teremos um 3-partido e assim sucessivamente até um k-partido (quando temos k subconjuntos).

Subgrafo ou sub-grafo

Dizemos que um grafo H = (W,F) é um subgrafo, ou sub-estrutura, de um grafo G = (V,E), quando W V e F E.

Observe que H é um grafo, o que implica na coerência das definições de W e de F, que não podem ser especificados de forma independente (ou seja, em H só podem existir ligações entre vértices de W).

Subgrafo ou sub-grafo

Subgrafo ou sub-grafo

Diz que H é um subgrafo induzido quando F contiver exatamente as ligações de G envolvendo vértices de W

Grafo G=(V,E) subgrafo induzido

H=(W,F)

Subgrafo ou sub-grafo

Um subgrafo abrangente (ou parcial) é quando W = V

Subgrafo ou sub-grafo

K-fatorUm K-fator é um subgrafo abrangente regular de grau K.

Enfim se H for um subgrafo de G, G será um supergrafo de H