Análise de Sensibilidade Prof. M.Sc. Fábio Francisco da Costa Fontes Outubro - 2009.

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  • Anlise de Sensibilidade Prof. M.Sc. Fbio Francisco da Costa Fontes Outubro - 2009
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  • Introduo Uma das hipteses dos problemas de programao linear a considerao de certeza nos coeficientes e constantes. Isto , a soluo otimizada dependente dos coeficientes da funo objetivo (geralmente lucro, receita ou custo) e dos coeficientes e constantes das restries (geralmente necessidades por produto e disponibilidade de um recurso).
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  • Introduo No mundo real, quase nunca temos certeza destes valores; portanto, devemos saber o quanto a soluo otimizada est dependente de uma determinada constante ou coeficiente. Se observarmos uma alta dependncia, devemos tomar um grande cuidado na determinao da mesma.
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  • Introduo Para amenizar essa hiptese realizamos uma anlise ps-otimizao verificando as possveis variaes, para cima e para baixo, dos valores dos coeficientes da funo objetivo, dos coeficientes e das constantes das restries, sem que a soluo tima (x 1, x 2,..., x n ) seja alterada.
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  • Introduo Este estudo se denomina Anlise de Sensibilidade. Em uma Anlise de Sensibilidade deveremos responder basicamente a trs perguntas: 1. Qual o efeito de uma mudana num coeficiente da funo objetivo? 2. Qual o efeito de uma mudana numa constante de uma restrio? 3. Qual o efeito de uma mudana num coeficiente de uma restrio?
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  • Introduo Existem dois tipos bsicos de anlise de sensibilidade. O primeiro estabelece limites inferiores e superiores para todos os coeficientes da funo objetivo e para as constantes das restries. O segundo verifica se mais de uma mudana simultnea em um problema altera a sua soluo tima.
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  • Alterao em um dos coeficientes da Funo Objetivo Considere o problema abaixo e sua soluo grfica Max Z = 5x 1 + 2x 2 Sujeito a: 4x 1 + x 2 10(A) x 1 + 2x 2 9 (B) x 1 0 e x 2 0
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  • Alterao em um dos coeficientes da Funo Objetivo Z 2 4 6 8 2 4 6 8 A B (11/7, 26/7) Ponto timo
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  • Alterao em um dos coeficientes da Funo Objetivo A reta que define a funo objetivo do problema anterior dada por: Z = 5x 1 + 2x 2
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  • Na soluo tima, os valores de x 1 e x 2 so iguais para as duas equaes das retas que limitam a soluo. Portanto, resolvendo este sistema de equaes poderemos encontrar a soluo tima. Alterao em um dos coeficientes da Funo Objetivo
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  • 4x 1 + x 2 = 10 x 2 = - 4x 1 + 10 x 1 + 2x 2 = 9 x 2 = (- x 1 + 9)/2 - 4x 1 + 10 = (- x 1 + 9)/2 x 1 = 11/7 e x 2 = 26/7 Alterao em um dos coeficientes da Funo Objetivo
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  • A alterao em um dos coeficientes provoca uma alterao no coeficiente angular (inclinao) da reta que define a funo objetivo. Visualmente podemos notar que se a variao na inclinao for pequena a soluo tima (valor das variveis de deciso que produzem o maior valor da funo objetivo) no sofrer alterao. Devemos deixar claro que o valor mximo (Z) a ser produzido pela soluo tima ser diferente, independentemente da manuteno da soluo tima. Alterao em um dos coeficientes da Funo Objetivo
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  • A figura abaixo mostra quanto a inclinao (rea sombreada) da funo objetivo pode mudar sem que a soluo tima seja alterada. Alterao em um dos coeficientes da Funo Objetivo
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  • As retas A, B e a funo objetivo apresentadas na figura pertencem a uma mesma famlia de retas pois tm o ponto (11/7, 26/7) em comum, isto , uma caracterstica em comum, e a diferena ente elas est no coeficiente angular. Portanto, enquanto o coeficiente angular da funo objetivo estiver entre os coeficientes das retas que determinam a soluo tima esta no se alterar. Matematicamente, isto pode ser representado por: Alterao em um dos coeficientes da Funo Objetivo
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  • Declividade Declividade Declividade da Linha A da Funo da Linha B Objetivo 4x 1 + x 2 = 10 x 1 + 2x 2 = 9 x 2 = -4x 1 + 10 x 2 = (-1/2)x 1 + 9/2 -4 Declividade -0,5 da Funo Objetivo
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  • De uma forma geral, podemos obter o valor do coeficiente angular de uma funo objetivo por Z = c 1 x 1 + c 2 x 2 ou por: Isto , o coeficiente angular dado por c 1 /c 2. Logo, no caso, queremos - 4 c 1 /c 2 - 0,5 Alterao em um dos coeficientes da Funo Objetivo
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  • A anlise que faremos a seguir supe que apenas um dos coeficientes da funo objetivo pode sofrer alterao de cada vez. Supondo primeiramente que apenas c 1 sofrer alterao, este poder variar de 1 c 1 8. Matematicamente estes limites podem ser obtidos da seguinte maneira: Alterao em um dos coeficientes da Funo Objetivo
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  • -4 - c 1 /c 2 - 0,5 para c 2 = 2 temos -c1/2 -4 c 1 8 -4 -c 1 /2 -0,5 -c 1 /2 -0,5 c 1 1 1 c 1 8 Alterao em um dos coeficientes da Funo Objetivo
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  • Assumindo agora que apenas c 2 sofrer alterao, este poder variar de 1,25 c 2 10. Matematicamente estes limites podem ser obtidos da seguinte maneira: -4 -c 1 /c 2 - 0,5 para c 1 = 5 temos -5/c 2 -4 c 2 5/4 (para c 2 0) -4 -5/c 2 -0,5 -5/c 2 -0,5 c 2 10 (para c 2 0) 5/4 c 2 10 Alterao em um dos coeficientes da Funo Objetivo
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  • Neste caso tivemos a nossa tarefa facilitada, pois existiam limites bem claros para a alterao do coeficiente angular, dado pelas duas retas das restries. Contudo, nem sempre existem estes limites de forma clara. Considere agora o problema a seguir, que difere do nosso problema original apenas pela alterao do coeficiente da varivel x 1. Alterao em um dos coeficientes da Funo Objetivo
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  • Max Z = 15x 1 + 2x 2 Sujeito a: 4x 1 + x 2 10(A) x 1 + 2x 2 9 (B) x 1 0 e x 2 0 Alterao em um dos coeficientes da Funo Objetivo
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  • 2 4 6 8 2 4 6 8 A B Z (5/2, 0) Alterao em um dos coeficientes da Funo Objetivo
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  • A representao grfica deste novo problema muito parecida com a anterior, j que os conjuntos de restries (portanto, as solues viveis) so os mesmos para ambos os problemas. A figura mostra o conjunto de solues viveis, bem como a soluo tima. Alterao em um dos coeficientes da Funo Objetivo
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  • Quando a rotao da funo objetivo em torno do extremo timo passa pela reta vertical, significa que ou o limite superior ou o inferior para a declividade no existem (a funo tangente no definida em 90). Neste problema um dos limites dado pela reta limite da restrio 4x 1 + x 2 10. O outro limite vai ser dado pela reta vertical que passa pelo ponto (5/2, 0). Alterao em um dos coeficientes da Funo Objetivo
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  • Para a funo objetivo ter cruzado a reta vertical, o coeficiente angular deve ser positivo, ou seja, o sinal do coeficiente da varivel x 1 teria de ser negativo (mantido o coeficiente de x 2 ). Alterao em um dos coeficientes da Funo Objetivo
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  • Por exemplo: se a funo objetivo fosse dada por Z = -10x 1 + 2x 2, seu coeficiente angular seria igual a 5. Como estamos desejando maximizar a funo objetivo, podemos facilmente notar que a soluo tima seria alterada de (5/2, 0), j que quanto mais aumentarmos x1 menor ser o valor de Z devido ao coeficiente negativo de x 1. Portanto, deveramos minimizar x 1 e maximizar x 2, o que nos levaria a soluo tima de (0, 9/2) e um valor mximo de 9. Alterao em um dos coeficientes da Funo Objetivo
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  • 2 4 6 8 2 4 6 8 A B Z (0, 9/2)
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  • Alterando o valor da Constante da Restrio Uma mudana em qualquer das constantes das restries pode tambm alterar a soluo tima de um problema. Esta mudana geralmente acarreta uma alterao no conjunto de solues viveis, aumentando ou diminuindo o mesmo. A alterao resultante no valor da funo objetivo devido ao incremento de uma unidade na constante de uma restrio denominada preo-sombra (shadow price). A interpretao do preo- sombra feita s vezes de custos ou receitas marginais, dependendo das variveis envolvidas.
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  • Considere o problema abaixo, onde alteramos o nosso problema inicial modificando o valor da constante da segunda restrio de 9 para 15. Max Z = 15x 1 + 2x 2 Sujeito a: 4x 1 + x 2 10(A) x 1 + 2x 2 15 (B) x 1 0 e x 2 0 Alterando o valor da Constante da Restrio
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  • A Figura mostra esta modificao graficamente, bem como a diferena no conjunto de solues viveis. Vale notar que esta mudana no alterou a soluo tima. A razo est no fato desta restrio no limitar a soluo tima. Neste caso as duas restries que limitam a soluo tima so 4x 1 + x 2 10 e x 1 0. Alterando o valor da Constante da Restrio
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  • Considere agora o problema a seguir, em que alteramos a constante da primeira restrio de 10 para 15. Como esta restrio limita a soluo tima, seu valor ser alterado. Max Z = 15x 1 + 2x 2 Sujeito a: 4x 1 + x 2 15(A) x 1 + 2x 2 9 (B) x 1 0 e x 2 0 Alterando o valor da Constante da Restrio
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  • A figura abaixo mostra a alterao do conjunto de solues viveis e da soluo tima. Alterando o valor da Constante da Restrio
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  • A alterao de cinco unidades da constante da primeira restrio provocou uma alterao no valor mximo da funo objetivo de 37,5 para 56,25. Logo, o preo-sombra deste recurso pode ser obtido como: Preo-sombra = (56,25-37,5)/5 = 3,75 Alterando o valor da Constante da Restrio
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  • Agora se alterarmos em 26 unidades ao invs de 5 unidades a constante da primeira restrio (10 para 36) provoca uma alterao no valor mximo da funo objetivo de 37,5 para 135. Logo, o preo-sombra deste recurso pode ser obtido como: Preo-sombra = (135 37,5)/26 = 3,75 Alterando o valor da Constante da Restrio
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  • Note que o valor do preo sombra o mesmo. Isto acontece dentro de um intervalo de valores apenas. A soluo grfica desta segunda alterao do problema original est representada a seguir. Alterando o valor da Constante da Restrio
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  • Fazendo agora a terceira modificao no problema aumentando o valor da constante para 37 (qualquer nmero maior que 36), o modelo seria o apresentado a seguir e sua soluo grfica a apresentada na prxima figura. Max Z = 15x 1 + 2x 2 Sujeito a: 4x 1 + x 2 37(D) x 1 + 2x 2 9(B) x 1 0 e x 2 0 Alterando o valor da Constante da Restrio
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  • Nesta alterao o valor da funo objetivo continuou o mesmo (135); portanto, Preo-sombra = (135-135)/1 = 0 Alterando o valor da Constante da Restrio
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  • Vale notar que a primeira restrio deixou de ser limitante da soluo tima. As restries limitantes so agora x1 + 2x2 9 e x1 0. Podemos concluir que, enquanto a restrio continuar como limitante da soluo tima, o preo-sombra permanece o mesmo, tornando-se zero quando ela deixa de ser limitante da soluo tima. Alterando o valor da Constante da Restrio
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  • Exerccio A Fashion Things Ltda. uma pequena empresa fabricante de diversos tipos de acessrios femininos, entre eles bolsas de modelos diferentes. A empresa foi convencida, pelo seu distribuidor, de que existe mercado tanto para bolsas do modelo- padro (preo mdio) quanto para as bolsas do modelo de luxo (preo alto). A confiana do distribuidor to acentuada que ele garante que ele ir comprar todas as bolsas que forem produzidas nos prximos trs meses.
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  • Exerccio Uma anlise detalhada dos requisitos de fabricao resultaram na especificao da tabela abaixo, a qual apresenta o tempo despendido (em horas) para a realizao das quatro operaes que constituem o processo produtivo, assim como o lucro estimado por tipo de bolsa:
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  • Exerccio ProdutoCorte e colora o CosturaAcabamen to Inspeo e empacota mento Lucro por bolsa Padro7/101/211/10R$ 10,00 De luxo15/62/31/4R$ 9,00 Tempo dispon vel p/ 3 meses 630600700135-
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  • A) Supondo que a empresa deseja maximizar o lucro, determine quantas bolsas de cada modelo devem ser fabricadas. B) Qual o lucro obtido pela quantidade tima de bolsas fabricadas? C) Quanto tempo deve ser programado para cada operao do processo produtivo? D) Qual o tempo de sobra em cada operao? E) Calcule o espectro de otimalidade dos coeficientes da funo objetivo? (o intervalo de variao para os coeficientes da funo objetivo)
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  • F) Detemine o valor de 1 hora adicional de corte e colorao? G) Qual o preo-sombra para a restrio de corte e colorao? H) Qual o preo sombra para a restrio de costura?
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  • Referncias LACHTERMACHER, G. Pesquisa Operacional na Tomada de Decises: modelagem em Excel. So Paulo: Campus, 2006.

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