CONCEITOS BÁSICOS DE CONCEITOS BÁSICOS DE GRAFOSGRAFOS

Prof. M.Sc. Fábio Francisco da Costa Fontes

Agosto - 2009

Caminho, PercursoUm caminho de um vértice vi0 para o vértice vik é uma seqüência de arestas

< vi0, vi1 >, < vi1 , vi2 > , . . . , < vi,k–1 , vik >.

Um caminho é dito elementar se passa exatamente uma vez por cada vértice e é simples se passa exatamente uma vez por cada aresta. Quando o grafo é não orientado o conceito de caminho é substituído por cadeia que pode ser representada pela seqüência de arestas que a forma ou dos vértices nela contidos. Alguns autores usam o termo percurso para denominar genericamente um caminho.

Caminho e Distância

Outra forma de representação encontrada na literatura:

Para grafos simples um caminho pode ser abreviado por uma seqüência de vértices:

W = <v0, v1, v2, ..., vn>

Em um grafo geral, pode-se abreviar como uma seqüência de arestas:

W = <v0, e1, e2, ..., en, vn>

Caminho, Percurso

Um caminho trivial é um caminho de comprimento zero: um vértice e nenhuma aresta

Um caminho fechado é um caminho não trivial que começa e termina no mesmo vértice.

Ciclo, Circuito

Se os vértices inicial e final são coincidentes ( vi0 = vik ), dizemos que o caminho é fechado e forma um ciclo que é chamado de circuito se o grafo for orientado.

Comprimento

O comprimento de um percurso num grafo valorado é a soma dos custos de percorrer cada aresta e num grafo não valorado é igual ao número de arestas que o compõe.Ou seja

O comprimento de um caminho é o número de arestas da seqüência

Caminho e Distância

Muitas aplicações precisam de grafos para representar percurso e distância.

Exemplos: O número de nós de rede percorridos por

uma mensagem de e-mailO número de links entre duas páginas

webA distância entre duas pessoas numa

rede de relacionamentos da internet

Caminho e Distância

A distância d(s,t) de um vértice s para um vértice t em um grafo G é o comprimento do menor caminho entre s e t

Se não existir um caminho entre s e t então a distância é infinita

Um problema interessante é o de achar sistematicamente o caminho mais curto entre dois vértices quaisquer

Excentricidade

A excentricidade de um vértice v em um grafo G=(V,E), denotado por ecc(v), é a distância de v ao vértice mais afastado de v.

)},({max)( xvdveccGVx

Diâmetro

O diâmetro de um grafo G=(V,E), denotado por diam(G), é a maior excentricidade dos vértices de G

O diâmetro é a maior distância entre dois vértices de G

)}({max)( xeccGdiamGVx

)},({max)(,

yxdGdiamGVyx

Raio

O raio de um grafo G=(V,E), denotado rad(G), é o mínimo das excentricidades dos vértices

)}({min)( xeccGradGVx

Vértice Central

O vértice central de um grafo G=(V,E) é o vértice com a menor excentricidade Se v é o vértice central, ecc(v) = rad(G)

Exemplo: O grafo abaixo tem diâmetro 4, raio 2 e os vértices centrais são x e y

x

y

u

u

u

Ciclo Euleriano e Circuito Hamiltoniano

Um Ciclo que passa por todas arestas de um grafo é dito Euleriano e um circuito elementar que passa por todos os vértices é chamado de Hamiltoniano.O problema do Caixeiro Viajante consiste em analisar todos circuitos Hamiltonianos existentes para (n+1) pontos, e o número máximo destes caminhos é n! .

Caminhos, Ciclos e Árvores

Um ciclo euleriano no grafo abaixo é ‹u,v,t,u,w,t,z,w,x,y,z,u›

w

zu t

v

y

x

Grafo Acíclico

Um grafo acíclico é um grafo que não tem ciclos

Exercício

No quadro a seguir assinale com X a classificação que atribui a cada um dos caminhos indicados:

Exercício

Descrição Elementar

Simples

Caminho

Circuito

1,2,3,4,5

1,2,1,4,5

1,2,3,1,2

1,2,2,3,4

2,2

2,3,1,2,1,2

3,1,4,5

4,5,1,2,2,3,4

Exercícios

2- Determine qual das seguintes seqüências de vértices são caminhos do grafo abaixo.

a) <u,v>b) <v>c) <u,z,v>d) <u,v,w,x,z> y

x

zu v

w

Exercícios

3- Ache todos os caminhos de comprimento 4 ou 5 do vértice w ao vértice r no grafo abaixo.

y

x

zu v

r

w s

Exercícios

4- Ache a distância entre os vértices x e y do grafo abaixo

x

y

Gabarito

Gabarito:2- a) sim b) sim (trivial) c) não d)

não