CÁLCULO DA INVERSA DA BASE

Prof. M.Sc. FÁBIO FRANCISCO DA COSTA FONTES

Setembro - 2009

O método simplex revisado não computa a inversa B-1 da base diretamente. A primeira base considerada é sempre uma matriz identidade:

B = IB-1 = I

A partir dessa base, as demais são calculadas por um procedimento computacional, que será mostrado a seguir.

Cálculo da inversa da base

Cálculo da inversa da base

Seja uma matriz identidade representada por:

Im = (e1, e2 , ... , em)

Onde ei são vetores identidade, com o elemento 1 na linha i.Sejam xe a variável que entra na base e xs a variável que sai. A próxima inversa da base pode ser calculada, a partir da inversa atual, fazendo-se a seguinte operação:

Cálculo da inversa da base

B-1nova = E . B-1

Onde a matriz E é dada por

E = (e1 , e2 , ... , es-1 , δ , es+1 , ... , em)

e o vetor δ é formado da seguinteforma:

Cálculo da inversa da base

- a1e/ ase

- a2e/ ase

: :δ = 1/ ase

: : - ame/ ase

Onde aie são os coeficientes atualizados na iteração K da variável que está entrando na base, ou seja, da variável xe, e ase é o pivô.

Cálculo da inversa da baseAssim, a matriz E é uma matriz identidade ondea coluna s foi substituída pelo vetor calculadoacima.

Através deste procedimento, as inversas dasbases serão calculadas sucessivamente de umaforma computacionalmente simples.

SIMPLEXExemplo para explicação do algoritmo

do método simplex revisadoMax x1 + x2 Max x1 + x2

s.a: 2x1 + x2 ≤2 s.a: 2x1+x2 + x3=2

x1 + 3x2 ≤ 3 x1+3x2+x4=3

x1≥0 e x2≥0 x1,x2,x3,x4≥0

simplex

x1 x2 x3 x4 b x3 2 1 1 0 2 ½ 0 0 x4 1 3 0 1 3 E= -½ 1 0 1 1 0 0 0 -½ 0 1 x1 1 ½ ½ 0 1 1 -1/5 0 x4 0 5/2 -½ 1 2 0 2/5 0 0 ½ -½ 1 -1 0 -1/5 1

simplex

x1 1 0 3/5 -1/5 3/5 x2 0 1 -1/5 2/5 4/5 0 0 -2/5 -1/5 -7/5

simplex

O mesmo exemplo sendo resolvido de forma matricial temos:

SOLUÇÃO MATRICIAL E MÉTODO SIMPLEX

REVISADO

Passo1- solução básica inicial 2 1 1 0 IB={3,4} INB={1,2}A= cB

T = (0 0) xB = x3

1 3 0 1 cNT = (1 1) x4

xN = x1

N= 2 1 B=B-1= 1 0 b= 2 x2

1 3 0 1 3

SOLUÇÃO MATRICIAL E MÉTODO SIMPLEX

REVISADO

Passo2 –

cNT- cB

TB-1N=(1 1)-(0 0) 1 0 2 1 =(1 1)

0 1 1 3 Como existe cNi- cB

TB-1Ni ≥ 0, então a solução ainda não é ótima.

X1 entra na base

SOLUÇÃO MATRICIAL E MÉTODO SIMPLEX

REVISADOPasso3 –b’ = B-1b = 1 0 2 = 2 0 1 3 3Passo4 –

N1 = B-1N1 = 1 0 2 = 2 0 1 1 1min{b’1/N1¹, b’2/N1

2}=min{2/2, 3/1}=1

X3 sai da base

SOLUÇÃO MATRICIAL E MÉTODO SIMPLEX

REVISADO

Passo5 – Achar a nova solução BásicaIB={1,4} INB={3,2}

B= 2 0 N= 1 1 XB = x1

1 1 0 3 x4

xN = x3 cB

T=(1 0) cNT=(0 1) x2

Como a troca foi de x1 com x3, então em B os coeficientes que estão entrando na base são:

Como B-1nova = E . B-1

B-1

nova =

11

02B

O pivô

1

2

1

02

1

10

01

12

1

02

1

N1

Retornando ao Passo2.

SOLUÇÃO MATRICIAL E MÉTODO SIMPLEX

REVISADO

cNT- cB

TB-1N=(0 1)-(1 0) ½ 0 1 1 =(-½ ½)

-½ 1 0 3x2 entra na base

Passo3 –b’= B-1b = ½ 0 2 = 1 -½ 1 3 2

SOLUÇÃO MATRICIAL E MÉTODO SIMPLEX

REVISADO

Passo4 –N² = B-1N²= ½ 0 1 = ½ -½ 1 3 5/2

min{b’/N1², b’/N2²}min{1/(½), 2/(5/2)}=0,8x4 sai da base

SOLUÇÃO MATRICIAL E MÉTODO SIMPLEX

REVISADO

Passo5 –IB={1,2} INB={3,4}B= 2 1 N= 1 0 1 3 0 1 xB = x1 xN = x3

x2 x4

cBT=(1 1) cN

T=(0 0)

Como a troca foi de x2 com x4, então em B os coeficientes que estão entrando na base são:

Como B-1nova = E . B-1

B-1

nova =

2

51

2

12

BO pivô

5

2

5

15

1

5

3

12

1

02

1

5

20

5

11

N2

Retornando ao Passo2.

SOLUÇÃO MATRICIAL E MÉTODO SIMPLEX

REVISADO

cNT- cB

TB-1N=(0 0)-(1 1) 3/5 -1/5 1 0

-1/5 2/5 0 1cN

T- cBTB-1N =(-2/5 -1/5)

Como não existe cNi- cBTB-1Ni ≥ 0,

então a solução é ótima.Calcular xB e Z

SOLUÇÃO MATRICIAL E MÉTODO SIMPLEX

REVISADO

xB = B-1b

xB = 3/5 -1/5 2 = 3/5

-1/5 2/5 3 4/5

Z=cBTB-1b= (1 1) 3/5 -1/5 2

-1/5 2/5 3Z= (2/5 1/5) 2 = 7/5 3

exercício

Max Z = x1 + x2

S.a: 2x1 + x2 ≤ 2 6x1 + x2 ≤ 3 x1, x2 ≥ 0

Algoritmo Simplex Revisado Inicialização: Determine uma partição para a matriz A dada por A=[B : N] e em

conseqüência para cT=[cBT : cN

T] e xT=[xBT:xN

T], B-1 = B logica verdade Enquanto (logica) faça //teste de otimalidade// Se (cN

T - cBTB-1Nj) < = 0

logicafalso Senão b’ B-1b N j B-1Nj

Se Nij < = 0 i=1,...,m

Escreva(“Saida p/ ilimitação”) halt Senão Min{b’i / Ni

j tal que Nij > 0)}

Atualize A, cT e xT

E (e1, e2, ...,er-1, δ, er+1, ..., em) B-1 E.B-1

Fim se Fim se Fim enquanto xB B-1b Z cB

T xB escreva (Z, xB) Fim